Introducción al Muestreo Estratificado y por Conglomerados

Transcripción

1 MUESTREO ESTADÍSTICO II Diseños ΠPS Introducción al Muestreo Estratificado y por Conglomerados 1 Diseño ΠPS En el MAS y SIS las probabilidades de inclusión de primer orden son iguales para todos los elementos de la población. En los diseños ΠPS los elementos de la población tienen distintas probabilidades de ser seleccionados, proporcionales a los valores {x 1,..., x N } de cierta variable auxiliar x (a la que se le suele denominar tamaño ) que se suponen conocidos y positivos. Se dirá que un diseño es ΠPS respecto de la variable x si π i x i, i = 1,..., N. Si el diseño muestral es de tamaño fijo n, debido a que en este caso N i=1 π i = n, se tiene que π i = nα i, i = 1,..., N, (1) con α i = x i /T (X). De (1) se deduce que los valores de la variable tamaño han de verificar que 0 < nx i T (X), i = 1,..., N, para que las π i sean coherentes: 0 < π i 1, i = 1,..., N. En los diseños ΠPS aquellos elementos con mayor valor de la variable tamaño tienen una mayor probabilidad de ser seleccionados. Por ejemplo, si la población está formada por los municipios de Andalucía y la variable tamaño representa el número de habitantes de cada uno de ellos, los municipios con más habitantes tienen más probabilidad de ser seleccionados. Es de observar que el término ΠPS hace referencia a una propiedad que verifican las probabilidades de inclusión de primer orden del diseño, pero éstas no determinan el diseño muestral. A continuación, se recogen algunos métodos para la selección de una muestra según un diseño ΠPS, clasificados en función del tamaño muestral. 1.1 Tamaño muestral n = 1 Dados p i, i = 1,..., N, verificando p i > 0 y N i=1 p i = 1, los métodos acumulativo y de Lahiri permiten seleccionar un elemento de una población U = {1,..., N} de forma que la 1

2 probabilidad de selección del i-ésimo elemento sea p i. En el caso de un diseño ΠPS con n = 1 basta considerar p i = α i. Método acumulativo La selección se realiza de acuerdo al siguiente procedimiento: 1. Sea Q 0 = 0 y Q k = Q k 1 + p k, k = 1,..., N. 2. Se genera un valor de una distribución U (0, 1) : u. 3. Se selecciona el elemento i para el que se verifica: Q i 1 < u Q i. Método de Lahiri La selección se realiza según el siguiente esquema: 1. Se genera un valor de una distribución UD {1,..., N}: i. 2. Sea p max k p k. Se genera un valor de una distribución U (0, p ): u. 3. Si u p i se selecciona el elemento i. Si u > p i no se selecciona ningún elemento y se vuelve al paso Tamaño muestral n = 2 Entre los distintos esquemas propuestos en la literatura para seleccionar una muestra según un diseño ΠP S con n = 2 a continuación se recoge el Método de Brewer. Método de Brewer Es un esquema de tipo secuencial y para su aplicación se ha de verificar que α i < 1/2, i = 1,..., N: 1. El primer elemento se selecciona de U de acuerdo a las probabilidades p 1 k = β k N k=1 β, k = 1,..., N, k con β k = α k(1 α k ) 1 2α k. Sea i el elemento seleccionado. 2. El segundo elemento se selecciona de U {i } de acuerdo a las probabilidades p 2 k = α k, k i. 1 αi 2

3 Las probabilidades de inclusión de segundo orden vienen dadas por: π ij = 2α iα j C 1 α i α j (1 2α i )(1 2α j ), con C = N k=1 β k, y se verifica que ij < 0, i j. 1.3 Tamaño muestral n > 2 A continuación se recogen los métodos de Midzuno y de Madow como métodos generales para la selección de una muestra según un diseño ΠP S, aunque para su aplicación se requieren algunas condiciones adicionales sobre los valores de la variable tamaño. Método de Midzuno Supuesto que α k > n 1, k = 1,..., N, n (N 1) la muestra se selecciona según: 1. Se selecciona un elemento de U de acuerdo a las probabilidades: Sea i el elemento seleccionado. N 1 p k = nα k N n n 1, k = 1,..., N. N n 2. Los restantes elementos de la muestra se seleccionan de U {i } mediante un MAS(N 1, n 1). Las probabilidades de inclusión de segundo orden vienen dadas por: ( n(n 1) π ij = α i + α j 1 ), N 2 N 1 verificándose que ij < 0, i j. Método de Madow Este método es una adaptación del muestreo sistemático para seleccionar una muestra de acuerdo a un diseño ΠPS. Sea T 0 = 0 y T k = T k 1 + x k, k = 1,..., N. Sea a un entero positivo y n la parte entera de T N /a de forma que T N = na + c, con 0 c < a. Bajo estas condiciones, supuesto que x k a, k = 1,..., N, la muestra se selecciona según: 3

4 1. Se genera un valor de una distribución UD{1,..., a} : r. 2. Se selecciona la muestra m = {k : T k 1 < r + (j 1)a T k, j = 1,..., n(m)}, donde el tamaño muestral n(m) es n cuando c < r a o bien n + 1 cuando r c. Así pues, si c > 0 el diseño muestral no es de tamaño fijo. En cualquier caso, se verifica que π k = nx k, k = 1,..., N. T N c 2 Muestreo estratificado Básicamente, la estratificación consiste en una partición de la población en varias subpoblaciones para la posterior selección de una muestra en cada una de ellas. Dada una población U, se dirá que U 1,..., U L forman una estratificación de U si: U = L h=1 U h U h U k =, h k. Por ejemplo, podemos estratificar los alumnos de una universidad según el centro en el que están matriculados, o los habitantes de una cierta región según el municipio en el que tienen fijada su residencia. Sobre una población estratificada, un muestreo estratificado consiste en seleccionar, de forma independiente, una muestra m h de cada uno de los estratos U h, h = 1,..., L. La muestra resultante es: m = m 1... m L. Los diseños muestrales que se aplican en cada estrato pueden ser distintos. Ya que las muestras se extraen de forma independiente en cada estrato, si denotamos por Pr h (m h ) la probabilidad de seleccionar m h en el estrato U h, se tiene que Pr(m) = Pr 1 (m 1 )Pr 2 (m 2 ) Pr L (m L ), las probabilidades de inclusión de primer orden vienen dadas por π i = Pr (i m) = Pr (i m h ), supuesto que i U h, y las de segundo orden por { Pr (i, j mh ), si i, j U π ij = Pr (i, j m) = h Pr (i m h ) Pr (j m k ), si i U h, j U k, con h k. El objetivo básico del muestreo estratificado es el de incrementar la precisión de los estimadores. Ya que las estimaciones son más precisas conforme la población es más 4

5 homogénea respecto de la variable objeto de estudio, podemos conjeturar que para que el muestreo estratificado cumpla este objetivo básico la estratificación debe realizarse de forma que los estratos sean internamente lo más homogéneos posibles. Además de este objetivo básico podemos citar otras razones que justifican la estratificación: facilidad del manejo de los marcos de los estratos, procedimientos muestrales más ágiles en cada estrato, uso de información adicional en cada estrato, intereses de tipo administrativo,... Al realizar un muestreo estratificado podemos obtener también estimaciones en cada uno de los estratos, lo que puede ser de interés aunque éste no es el objetivo básico de este tipo de muestreo. De la descripción realizada del muestreo estratificado se deduce que para implementarlo hay que dar respuestas, entre otras, a las siguientes cuestiones: qué variable utilizar para formar los estratos, cuántos estratos deben formarse y qué tamaño muestral considerar en cada estrato. 3 Muestreo por conglomerados Los diseños estudiados en secciones previas suponen que las unidades de muestreo son los elementos de la población objeto de estudio, U = {1,..., N}, y para su aplicación se requiere de un marco donde se recojan todas las unidades poblacionales. En muchas ocasiones no se dispone de este marco y su elaboración puede resultar muy costosa e incluso puede ser imposible. Imaginemos por ejemplo la población formada por las unidades familiares de una gran ciudad o por los alumnos de una universidad. En ocasiones los elementos de la población se encuentran agrupados en estructuras jerarquizadas, a las que denominaremos conglomerados, de las que los elementos poblaciones pueden considerarse el último eslabón, que pueden facilitar la implementación de un procedimiento de muestreo. Por ejemplo, los alumnos de una universidad forman parte de grupos, cursos, y centros, siendo factible, desde un punto de vista práctico, implementar un diseño muestral para seleccionar una muestra entre los distintos centros, una muestra entre los cursos de un determinado centro o una muestra de alumnos de un determinado grupo. Es decir, en ocasiones una forma de solventar el problema ocasionado por no disponer de un marco adecuado de U es agrupar las unidades poblacionales en conglomerados, C 1,..., C M, que formen una partición de la población, considerar la población de conglomerados U c = {C 1,..., C M } y seleccionar una muestra m c de U c. Los conglomerados que formen parte de la muestra m c serán analizados posteriormente: se seleccionará una muestra m h (o se realizará un censo) en cada C h m c. Para la selección de m c sólo se requiere de un marco de U c a partir del cual implementar un diseño muestral. 5

6 En los ejemplos mencionados anteriormente podemos pensar en agrupar las unidades familiares geográficamente, por ejemplo en secciones censales, o los alumnos por centros donde están matriculados. En ambos casos los conglomerados están claramente definidos y es fácil disponer de una marco para los mismos y seleccionar una muestra de ellos. Es de resaltar que para la aplicación del muestreo por conglomerados se requiere una división de la población en subconjuntos, C 1,..., C M, que formen una partición de la población, tal como ocurre en el muestreo estratificado, U 1,..., U L. Sin embargo, en el muestreo estratificado se selecciona una muestra m h de cada estrato U h, h = 1,..., L, mientras que en el muestreo por conglomerados se selecciona una muestra m c de U c y posteriormente una muestra m h sólo en aquellos C h m c. Muestreo por conglomerados en una etapa. En el muestreo por conglomerados en una etapa la muestra final está compuesta por todos los elementos que componen los conglomerados seleccionados, es decir se realiza un censo en cada uno de los conglomerados de la muestra m c. La selección de conglomerados se puede realizar por cualquiera de los procedimientos presentados en las secciones anteriores. Por ejemplo sobre la población constituida por todos los alumnos de la Universidad de Sevilla pueden considerarse conglomerados los distintos centros. Si la muestra de conglomerados está formada por las facultades de matemáticas, derecho y medicina, la muestra estará constituida por todos los alumnos matriculados en estos tres centros. Las probabilidades de inclusión de primer orden son π i = Pr (i m) = Pr (C h m c ), supuesto que i C h, y las de segundo orden { Pr (Ch m π ij = Pr (i, j m) = c ), si i, j C h Pr (C h, C k m c ), si i C h, j C k, con h k. Muestreo por conglomerados en dos etapas. Si en cada uno de los conglomerados seleccionados en la primera etapa en vez de realizar un censo se selecciona una muestra tendremos un muestreo por conglomerados en dos etapas. Continuando con el ejemplo anterior, en la segunda etapa se seleccionaría una muestra de alumnos de las facultades de matemáticas, derecho y medicina. La muestra resultante estaría compuesta por los alumnos que integran las tres muestras. Es decir, en una primera etapa se seleccionan centros y en la segunda alumnos dentro de cada uno de los centros que componen la muestra obtenida en la primera etapa. 6

7 Las probabilidades de inclusión de primer orden son π i = Pr (C h m c ) Pr(i m h ) si i C h y las de segundo π ij = { Pr (Ch m c ) Pr(i, j m h ), si i, j C h Pr (C h, C k m c ) Pr(i m h )Pr(j m k ), si i C h, j C k, con h k. Muestreo polietápico El muestreo por conglomerados en dos etapas se pueden generalizar a un mayor número de etapas. En el ejemplo descrito anteriormente podemos suponer que en cada centro los alumnos están agrupados según el curso que realizan, y que para seleccionar una muestra de alumnos del centro: en primer lugar se seleccionan dos cursos y posteriormente una muestra de alumnos de cada uno de los cursos seleccionados. Es decir, en una primera etapa se seleccionan centros, en la segunda cursos dentro de los centros que componen la muestra obtenida en la primera etapa y en la tercera alumnos dentro de los cursos seleccionados en la segunda. En el muestreo polietápico a las unidades seleccionadas en la primera etapa se le denominan unidades primarias, a las de la segunda etapa unidades secundarias,... A los elementos de la población objetivo, de los que obtenemos la información, independientemente de la etapa en que sean seleccionados se les denomina unidades finales o últimas. En el muestreo por conglomerados los diseños muestrales de cada etapa pueden ser distintos. Por ejemplo para seleccionar una muestra de alumnos de una universidad puede seleccionarse en una primera etapa una muestra de centros de acuerdo a un diseño ΠPS, siendo la variable auxiliar el número de alumnos de cada centro, en una segunda etapa seleccionar cursos según un MAS y en la tercera etapa seleccionar alumnos según un muestreo sistemático uniforme a partir de la lista de alumnos matriculados en el curso. Obviamente, el diseño muestral resultante estará caracterizado por los diseños que se implementen en cada una de las etapas. 4 Ejemplo A continuación describimos un procedimiento, para la selección de una muestra estratificada de la población española de ambos sexos de 18 años y más, que combina los diferentes diseños presentados. 7

8 Se consideran los estratos que se forman mediante el cruce de las 17 comunidades autónomas con el tamaño del municipio dividido en las siguientes categorías de acuerdo al número de habitantes: menor o igual a 2.000; de a ; de a ; de a ; de a ; de a y más de En cada estrato la muestra se selecciona mediante un muestreo polietápico: Primera etapa. Selección de unidades primarias (municipios) mediante un diseño ΠPS, considerando como variable auxiliar el tamaño de cada municipio. Segunda etapa. Selección de unidades secundarias (secciones censales) mediante un diseño ΠPS, considerando como variable auxiliar el tamaño de cada sección. Tercera etapa. Selección de unidades últimas (personas) mediante un MAS. El procedimiento descrito, junto con la afijación proporcional (considerar el tamaño muestral en cada estrato proporcional al tamaño del estrato), proporciona un diseño autoponderado, es decir, la probabilidad de inclusión de primer orden es la misma para todos los elementos de la población. Desde un punto de vista práctico, la implementación de un MAS para la selección de las unidades últimas puede que no sea viable, por lo que en la práctica suele utilizarse algún procedimiento no probabilístico como por ejemplo un muestreo mediante rutas aleatorias y cuotas cruzadas de sexo y edad. 8