Estadística descriptiva e inferencial. Métodos básicos y aplicaciones

Transcripción

1 descriptiva e inferencial Métodos básicos y aplicaciones 1 Introducción El término estadística suele usarse bajo dos significados distintos: 1 Como colección de datos numéricos: se habla de una estadística como una colección de datos numéricos presentados de una forma ordenada y sistemática 2 Como ciencia: se puede definir la estadística como un método de descripción cuantitativa numérica de conjuntos numerosos Tuvo su origen en los trabajos demográficos de John Graunt en Londres en 1660 La estadística se basa en el estudio de las características de un conjunto con el fin de describir el conjunto y poder realizar predicciones sobre el conjunto Resulta así una doble naturaleza: descriptiva y predictiva 2 Población, elementos y caracteres Cuando se realiza un estudio estadístico, se hace sobre un conjunto o colección A este conjunto se le denomina población y es el objeto del estudio Es necesario delimitar perfectamente cual debe ser la población estudiada, es decir, determinar reglas que nos permitan asegurar si un determinado elemento pertenece o no a la población A cada uno de los elementos que componen la población se le denomina individuo o unidad estadística Al número total de individuos que componen la población se le llama tamaño de la misma Este puede ser finito o infinito Cada uno de los individuos de la población puede describirse según uno o varios caracteres que son ciertas propiedades o cualidades que presentan los individuos Cada uno de estos caracteres puede presentar dos o más modalidades Las modalidades deben ser incompatibles y exhaustivas, es decir, todo individuo debe presentar una y solo una modalidad El número de modalidades de un carácter puede depender de la cantidad de información que se quiera obtener 3 Diferentes clases de caracteres Existen dos tipos de caracteres que pueden ser estudiados en los individuos de una población: 1 Los caracteres cualitativos son aquellos cuyas modalidades no son medibles numéricamente Por ejemplo: sexo, profesión, color del pelo, Las modalidades de un carácter cualitativo son los diferentes epígrafes de un nomenclator, establecidos de forma que cadndividuo figura en uno y sólo uno de los epígrafes 1

2 IES Montevives Dpto de Matemáticas 2 Los caracteres cuantitativos son aquellos cuyas modalidades son medibles numéricamente Por ejemplo: edad, peso, estatura, En los caracteres cuantitativos a cada una de las modalidades se le asigna un número A este valor se llama variable estadística: las diferentes modalidades de un carácter cuantitativo son los diferentes valores posibles de la variable estadística Las variables estadísticas pueden ser de dos tipos: a) variable estadística discreta es aquella cuyos valores son aislados, casi siempre números enteros b) variable estadística continua es aquella que puede tomar cualquier valor de un intervalo La distinción entre variables continuas y discretas viene dada por la naturaleza intrínseca del carácter y no por la medida, ya que ésta siempre será discreta 4 Métodos de observación de una población Tras delimitar claramente la población que se quiere estudiar y los caracteres a observar, se procede a observarlos en los distintos elementos de una población Podemos optar por distintos métodos de observación: 1 Observación exhaustiva- Se pueden observar todos y cada uno de los individuos de la población Es el más costoso y laborioso, llegando a perder actualidad los datos obtenidos debido al tiempo empleado 2 Observación parcial- Se observa a una parte de la población total Dependiendo de la parte de la población estudiada, podemos distinguir dos formas de observación parcial: a) Observando una subpoblación- Los individuos que hemos observado reúnen unas características especiales que no las reúnen los demás individuos Se suele emplear cuando no todos los individuos de la población tienen igual importancia b) Observando una muestra- Los individuos que observamos no reúnen ninguna característica especial, representando así a toda la población Para seleccionar una muestra, se utilizan dos métodos: 1) muestreo aleatorio: seleccionamos los individuos que componen la muestra por procedimientos aleatorios 2) muestreo no aleatorio: la selección de los individuos estudiados se hace por criterios personales no aleatorios 3 Observación mixta- Se combina la observación exhaustiva (en aquellos caracteres básicos) y la parcial (se observan mediante muestreo los demás) 5 Descriptiva e Inferencia Con la terminología que hemos presentado podemos decir que la estadística estudia el comportamiento de los caracteres de los individuos de una población Podemos afirmar que la estadística descriptiva se dedica a descubrir las regularidades existentes en un conjunto de datos Se basa en una observación exhaustiva de todos los elementos de la población 2

3 IES Montevives Dpto de Matemáticas Si la observación no es exhaustiva, se parte de la observación de una muestra, y a partir de los datos obtenidos se pretende conocer las características de toda la población Lnferencia estadística tiene por objeto generalizar los resultados de la muestra para estimar las características de la población Pero el conjunto de datos obtenido por la observación de la muestra tiene una doble función: describir la muestra (fase descriptiva) e inferir qué ocurre en la población (fase inferencial) La estadística descriptiva es la parte más clásica y elemental de la ciencia estadística Algunos procesos realizados por la estadística descriptiva son: 1 Censos: son investigaciones estadísticas que estudian los caracteres más estructurales y estáticos de los individuos de una población Se realizan periódicamente, cada 5 o 10 años 2 s: son investigaciones estadísticas que estudian los fenómenos más dinámicos de la población Se realizan periódicamente, al mes o al año 3 Encuestas: son investigaciones estadísticas de tipo esporádico u ocasional El proceso de lnferencia estadística puede enfocarse de dos maneras distintas Como la muestra en general no dnformación exacta de las características de la población, podemos proceder así: 1 Utilizar la muestra para estimar dichas características: teoría de la estimación 2 Emitir hipótesis sobre las características a partir de la muestra: contraste de hipótesis 6 Tablas estadísticas Supongamos que se quiere observar una población de n individuos, y estudiar un carácter C que presenta las modalidades c 1,c 2,,c n Llamaremos n i al número de individuos que presentan la modalidad c i del carácter C Tal valor recibe el nombre de frecuencia absoluta de la modalidad c i del carácter C Al cociente f i = ni n se le conoce como frecuencia relativa de la modalidad c i Para estos valores se cumple: n n i = n i=1 n f i = 1 i=1 Se llama frecuencia absoluta acumulada de la modalidad c i del carácter C a N i = i j=1 n j, y llamamos frecuencia relativa acumulada de la modalidad c i del carácter C a F i = i j=1 f j = Ni n Cuando se recogen los datos de una población se elaboran las tablas estadísticas, donde aparecen ordenados y listos para su tratamiento 61 Tablas estadísticas discretas Estas tablas se corresponden a las variables estadísticas discretas, es decir las que toman valores aislados, casi siempre números enteros Tienen la siguiente estructura: 3

4 IES Montevives Dpto de Matemáticas Modalidades F Absoluta F Relativa FA Acumulada FR Acumulada x 1 n 1 f 1 N 1 F 1 x 2 n 2 f 2 N 2 F 2 x 3 n 3 f 3 N 3 F 3 x k n k f k N k F k 62 Tablas estadísticas continuas Se corresponden a las variables estadísticas continuas Para éstas las modalidades vienen dadas por intervalos o clases Los extremos de las clases son los extremos del intervalo y las marcas de clases son los puntos medios de los intervalos Su estructura sería: Modalidades Marcas Amplitudes FAbsolutas FRelativas [e 0,e 1 [ c 1 = 1 2 (e 0 + e 1 ) a 1 = e 1 e 0 n 1 f 1 [e 1,e 2 [ c 2 = 1 2 (e 1 + e 2 ) a 2 = e 2 e 1 n 2 f 2 [e 2,e 3 [ c 3 = 1 2 (e 2 + e 3 ) a 3 = e 3 e 2 n 3 f 3 [e k 1,e k [ c k = 1 2 (e k 1 + e k ) a k = e k e k 1 n k f k 7 Representación gráfica de las distribuciones de un carácter En la representación gráfica de la distribución de un carácter, vamos a distinguir entre caracteres cualitativos y caracteres cuantitativos 71 Caracteres cualitativos El principio de la representación gráfica de los caracteres cualitativos es la proporcionalidad entre las áreas y las frecuencias Existen varios tipos de representaciones gráficas para estos caracteres: Diagrama de sectores Consta de un círculo donde cada modalidad se representa por un sector del círculo, de forma que el área del sector sea proporcional a la frecuencia de la modalidad: B A C D Diagrama de rectángulos Consta de una serie de rectángulos de bases iguales y cuyas alturas son proporcionales a las frecuencias 4

5 IES Montevives Dpto de Matemáticas B A C Pictograma Está formado por una serie de dibujos semejantes cuyos tamaños son proporcionales a las frecuencias de las modalidades A B C D 72 Caracteres cuantitativos Vamos a distinguir que las variables estadísticas sean continuas o sean discretas 721 Variables estadísticas discretas Diagrama de barras Es una representación gráfica que representa la frecuencia relativa en función de los valores de la variable En el eje X se consideran los valores de la variable y en el eje Y las frecuencias relativas f i x i Curva acumulativa o de distribución Se define la función F(x) como la proporción de individuos (en tanto por uno) de la población cuyo carácter es inferior o igual a x La representación gráfica de F(x) determina la curva acumulada o de distribución + f 4 + f 3 + f 2 f 1 x 1 x 2 x 3 x 4 5

6 IES Montevives Dpto de Matemáticas 722 Variables estadísticas continuas Histograma Vamos a considerar que la variable estadística continua se distribuye en los intervalos [e i 1,e i [ de amplitud y con frecuencia f i El histograma consta de una serie de rectángulos yuxtpuestos cuya base es la amplitud de cadntervalo y cuya altura es la frecuencia relativa dividida por la amplitud del intervalo (h i = fi ) Esta altura recibe el nombre de densidad de frecuencia f i e i 1 e i Polígono de frecuencias Si en el histograma se consideran los puntos (c i, fi ) y los unimos con una poligonal, se obtiene el polígono de frecuencias f i e i 1 e i Curva acumulativa o de distribución Se define la función F(x) como la proporción de individuos (en tanto por uno) con un valor de carácter inferior a x El valor de F se conoce en los extremos de los intervalos: F(e i ) = i j=1 f j 6