Matemáticas para Maestros

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1 Matemáticas para Maestros Grado Magisterio en Educación Primaria Curso Tratamiento de la Información

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3 INTRODUCCIÓN La estadística trata con colecciones de datos numéricos y otros daros de interés que pueden presentarse de forma ordenada y sistemática. Diariamente recibimos información de tipo estadístico : índices de crecimiento de población, educación, economía, turismo, tendencias políticas, etc. La estadística analiza estos tipos de datos que, por su variabilidad intrínseca, no pueden ser analizados desde la perspectiva de las leyes deterministas. La Estadística se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar inferencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso, formular predicciones. En la Etapa Primaria aparecen ideas de tipo estadístico en todos los ciclos. Dentro del bloque de contenidos llamado Tratamiento de la información, azar y probabilidad del Tercer Ciclo, la descripción de los mismos es la siguiente: Bloque 4 (Tercer Ciclo). Tratamiento de la información, azar y probabilidad Gráficos y parámetros estadísticos - Recogida y registro de datos utilizando técnicas elementales de encuesta, observación y medición. - Distintas formas de representar la información. Tipos de gráficos estadísticos. - Valoración de la importancia de analizar críticamente las informaciones que se presentan a través de gráficos estadísticos. - La media aritmética, la moda y el rango, aplicación a situaciones familiares. - Disposición a la elaboración y presentación de gráficos y tablas de forma ordenada y clara. - Obtención y utilización de información para la realización de gráficos. Carácter aleatorio de algunas experiencias - Presencia del azar en la vida cotidiana. Estimación del grado de probabilidad de un suceso. - Valoración de la necesidad de reflexión, razonamiento y perseverancia para superar las dificultades implícitas en la resolución de problemas. - Confianza en las propias posibilidades e interés por utilizar las herramientas tecnológicas en la comprensión de los contenidos funcionales. El estudio de la Estadística se divide en dos partes principales: Estadística descriptiva y Estadística deductiva o inferencial. A continuación, se explica la diferencia entre ellas y se introducen los conceptos básicos de la estadística descriptiva ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIA ESTADÍSTICA La estadística descriptiva tiene como fin presentar resúmenes de un conjunto de datos y poner de manifiesto sus características, mediante representaciones gráficas. Los datos se usan para fines 3

4 comparativos y no se usan principios de probabilidad. El interés se centra en describir el conjunto de datos y no se plantea el extender las conclusiones a otros datos diferentes o a una población. La inferencia estadística, por el contrario, estudia los resúmenes de datos con referencia a un modelo de tipo probabilístico. Se supone que el conjunto de datos analizados es una muestra de una población y el interés principal es predecir el comportamiento de la población completa a partir de los resultados de la muestra. Las capacidades de cálculo y representación gráfica de los ordenadores actuales permiten la obtención de una amplia variedad de gráficos y cálculos estadísticos de una forma sencilla y han hecho posible la aparición de una nueva metodología en los estudios estadísticos: el análisis exploratorio de datos. Es una perspectiva intermedia entre la estadística descriptiva y la inferencia en la que, previamente a cualquier tratamiento estadístico de los datos, se hace un análisis de los mismos basado en la visualización por medio de diferentes gráficos. Población, individuos, muestras y variables estadísticas Una población (o universo) es el conjunto total de objetos que son de interés para un problema o estudio a realizar. Los objetos pueden ser personas, animales, países, objetos, etc. Cada uno de ellos recibe el nombre de elemento (o individuo) de la población. Por ejemplo, si queremos analizar la resistencia de una pieza que se produce en una fábrica, la población son todas las piezas de ese tipo que se producen en un período de tiempo. Cada aspecto que queremos analizar sobre los individuos que componen una población se llama variable estadística (por ejemplo, el peso y el color del pelo son variables estadísticas para una población de personas; la cantidad de habitantes, la esperanza de vida, el tipo de gobierno, la renta per cápita, etc. son variables estadísticas para una población de países). Las variables estadísticas pueden tomar valores numéricos, en cuyo caso se llaman cuantitativas; por ejemplo, el peso es una variable estadística cuantitativa; o pueden tomar valores no numéricos, por ejemplo, la cantidad de deporte que hace un individuo se puede registrar como mucho, poco, nada; en este caso se llaman cualitativas. Un estudio estadístico realizado sobre la totalidad de una población se denomina censo. Sin embargo muchos problemas de interés implican poblaciones que son difíciles, costosas o imposibles de inspeccionar en su totalidad. Esto obliga a tener que seleccionar un subconjunto de la población, llamado muestra, mediante métodos que garanticen que la muestra es representativa. Ejemplo: Cómo son los alumnos de una clase? Deseamos elaborar un perfil de los alumnos de una clase, identificando el alumno típico y analizando si hay diferencias, por ejemplo, entre el chico y la chica típicos. Contamos con una población de 60 individuos. Datos: Preparamos una lista de las características de los alumnos que queremos estudiar. Así, identificamos las variables estadísticas siguientes: Cuantitativas: peso, altura, tamaño del calzado, dinero que lleva en el bolsillo. Cualitativas: género, deporte que practica. Mediante una encuesta, recogemos una tabla de datos como la siguiente: 4

5 Población Variables Estadísticas Nº Alum. Género Deporte Peso(Kg) Altura(cm) Calzado Dinero 1 M poco V nada M poco V poco V poco M mucho M poco M poco M nada V nada V mucho V poco V poco M poco M nada M mucho M poco M poco M poco M nada M poco M poco M poco M poco M poco V mucho V poco M nada M poco M nada M poco V mucho V nada V nada M mucho M nada M poco M poco M poco V mucho V mucho V mucho M mucho V mucho M nada M mucho M nada V poco M mucho M nada M nada M poco V poco M nada M poco V poco V poco M poco M poco M poco Tabla 1: Datos recogidos sobre los alumnos 5

6 Dentro de las variables estadísticas que toman valores numéricos se distingue entre variables discretas y continuas, siendo discretas aquellas que por su naturaleza sólo pueden tomar valores aislados -generalmente números enteros- y continuas las que pueden tomar todos los valores de un cierto intervalo. Son continuas las variables: peso, altura. Son discretas: edad, tamaño del calzado, dinero. Frecuencias El listado de los distintos valores que puede tomar una variable estadística, junto con la cantidad de veces que aparece cada valor es el resumen más primario de una colección de datos y recibe el nombre de distribución de frecuencias. La frecuencia absoluta (o simplemente frecuencia) es el número de veces que aparece cada valor. La frecuencia relativa se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta por el total de casos en la muestra. El porcentaje es igual a la frecuencia relativa multiplicada por 100. Por ejemplo, en la Tabla 2 siguiente se muestra la distribución de frecuencias correspondiente a la variable estadística Número de Calzado : Tabla 2: Distribución de Frecuencias del número de calzado Cuando la variable es numérica (o sus valores se pueden ordenar), como es el caso del número de calzado, interesa también calcular las frecuencias acumuladas. Para cada valor de la variable, la frecuencia acumulada es el número de elementos con un valor de la variable menor o igual que el dado. Se obtienen sumando a la frecuencia de un valor todas las anteriores. La frecuencia relativa acumulada se obtiene dividiendo la frecuencia acumulada por el número de datos o bien sumando las frecuencias relativas de los valores de la variable menores o iguales que el dado. A una tabla que recoge una distribución de frecuencias, como la Tabla 2, se le llama Tabla de Frecuencias. Es inmediato observar que la suma de la los valores de la frecuencia absoluta es el número total de datos y la suma de los valores de la frecuencia relativa es 1. Aunque el ejemplo anterior no lo muestra, es frecuente que en la tabla aparezca una columna correspondiente al porcentaje relativo a cada valor de la variable. Para realizar los cálculos y los gráficos de las actividades de este tema recomendamos usar una Hoja de Cálculo. Actividad 1 a) Cuál es el valor o valores más frecuentes del número de calzado? b) Qué porcentaje de alumnos calzan el 40 o un número mayor de calzado? c) A partir de los datos de la Tabla 1, calcula la Tabla de Frecuencias de las variables estadísticas género y deporte. d) Si tomo la ficha de un alumno al azar, es más probable que sea una chica o un chico? hará mucho deporte? 6

7 Gráficos estadísticos Las distribuciones de frecuencias de las variables estadísticas también pueden representarse mediante gráficos que permiten resaltar de forma visual las principales características de la distribución. Hay distintos tipos de gráficos: Gráfico de barras. Para cada valor de la variable se dibuja una barra cuya altura ha de ser proporcional a la frecuencia de dicho valor. Es útil para comparar variables distintas, por ejemplo en el gráfico siguiente se puede ver la práctica del deporte según el género. Gráfico de línea poligonal. Se usa preferentemente para mostrar cambios de una variable a lo largo del tiempo, aunque también puede usarse en el mismo sentido que el gráfico de barras. Gráfico de sectores (informalmente tarta, quesito) muestra el reparto de una cantidad total en partes, así como el tamaño relativo de dichas partes. Pictograma. Utiliza figuras para presentar información. Cada figura representa una cantidad. La repetición de dichas figuras indican la cantidad que se desea representar. Utilización de medios de transporte 7

8 En la elaboración de gráficos estadísticos es fundamental el uso de escalas adecuadas. Si esto no se tiene en cuenta, el gráfico puede dar una idea deformada de la información que se trata de comunicar. Actividad 2 1. En el siguiente diagrama de barras se representa la población aproximada de cuatro ciudades andaluzas. A la vista de esta figura, crees que la población de Almería es la cuarta parte de la de Córdoba? Por qué? Representa de nuevo la gráfica de modo que no se induzca a confusión. 2. La siguiente gráfica corresponde a una información sobre el número de expendedoras automáticas en servicio durante los años 1975 a Observando el número de figuras que corresponden a los dos primeros años, comprueba si el número de máquinas existentes en 1976 era el doble que en Cuántas expendedoras representa cada figura? Con qué intención crees que está hecho este pictograma? 3. El índice de precios al consumo señala lo que le cuesta la vida a un ciudadano normal. Interesa que este índice no suba demasiado. Los valores de dicho índice se publican mensualmente y se pueden representar de varias formas. Indica, de las dos gráficas siguientes, cuál corresponde al gobierno y cuál a la oposición. Justifica tu respuesta. 8

9 4. Representa mediante un diagrama de barras la distribución de la variable "práctica de deporte" de la Tabla 1 y analiza las ventajas e inconvenientes respecto de la representación mediante el gráfico de sectores. Agrupación de variables en intervalos Cuando la variable estadística que estudiamos es continua, como la altura de los alumnos, los valores observados suelen ser distintos unos de otros. Por tanto, las frecuencias son pequeñas y ocurre que una tabla de frecuencias y su correspondiente representación gráfica no constituyen buenos resúmenes estadísticos. Por dicho motivo se procede a definir unos intervalos de valores y se recuentan las frecuencias de los valores en cada intervalo de clase (Tabla 5). Los extremos de este intervalo se denominan extremos de clase, extremo inferior y extremo superior, y el punto medio marca de clase. Este método también se aplica a veces cuando siendo una variable discreta, el número de datos es muy elevado. Intervalo de Clase Marca de clase Frecuencia [ ) 157,50 9 [ ) 162,50 19 [ ) 167,50 11 [ ) 172,50 10 [ ) 177,50 5 [ ) 182,50 5 [ ) 187,50 0 [ ] 192,50 1 Tabla 5: Frecuencias de datos agrupados de la variable "Altura" El histograma de frecuencias es la gráfica apropiada para representar estas tablas de frecuencias de datos agrupados en intervalos. En el histograma, la frecuencia de cada intervalo se representa por medio de un rectángulo cuya área es proporcional a la frecuencia en dicho intervalo, como en la Figura 3. Los histogramas pueden representar frecuencias absolutas o relativas. También podemos comparar una misma variable en dos muestras, utilizando histogramas con la misma amplitud de intervalos, como se muestra en la Figura 4. Figura 3: Histograma de frecuencia de la altura de los alumnos Figura 4: Histograma de frecuencias relativas de peso según sexo 9

10 Actividad 4 Con los datos de la Tabla 6 siguiente, representa gráficamente el histograma de frecuencias del "dinero" con intervalos de amplitud 5. Intervalo de Clase Marca de clase Frecuencia Extremo inferior Extremo superior 0 5,00 2, ,00 10,00 7, ,00 15,00 12, ,00 20,00 17, ,00 25,00 22, ,00 30,00 27, ,00 35,00 32, ,00 40,00 37, ,00 45,00 42, ,00 50,00 47, ,00 55,00 52, ,00 60,00 57, ,00 65,00 62, ,00 70,00 67, ,00 75,00 72,50 1 Tabla 6: Distribución de frecuencias de "Dinero" Representación gráfica de frecuencias acumuladas En las figuras 5 y 6 hemos representado gráficamente las frecuencias acumuladas de las variables número de calzado y altura. En los dos casos hemos obtenido una gráfica creciente ya que, obviamente, las frecuencias acumuladas son mayores a medida que aumentamos el valor de la variable. - En el caso de la variable sin agrupar número de calzado tiene forma de escalera: a cada valor de la variable le corresponde una altura igual a su frecuencia acumulada. - En el caso de la variable agrupada altura además de la gráfica similar a la anterior se ha construido el polígono acumulativo de frecuencias. Para su construcción se señalan los puntos que tienen por abscisa la marca de clase de un intervalo o el extremo superior de del intervalo, y por ordenada la frecuencia acumulada de dicho intervalo, a continuación se unen los puntos obtenidos mediante una línea poligonal. Figura 5: Diagrama de frecuencias acumuladas del número de calzado 10

11 Frecuencia acumulada de la variable agrupada altura Figura 6: Polígono acumulativo de frecuencias de Altura MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL Y DE DISPERSIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Supongamos que tenemos que elegir en la clase al alumno cuyas características representen mejor cada una de las variables recogidas. A quien elegirías? Qué valores elegirías como mejor representante de cada una de las variables analizadas? En lo que sigue estudiaremos la forma de resumir una distribución de datos para poder elegir a representantes que cumplan distintos criterios. En ese proceso aparecen lo que de forma general se denominan estadísticos. Medidas de tendencia central Para comparar dos distribuciones de frecuencias correspondientes, por ejemplo, a muestras distintas de una misma variable, podemos: - hacer una comparación directa de las tablas de frecuencias, o - visualmente, utilizar gráficos estadísticos, o - elegir un valor representativo de cada muestra La media aritmética, la moda y la mediana permiten identificar dichos valores representativos. Reciben el nombre de medidas de posición central o medidas de tendencia central. La media aritmética o promedio: Es la principal medida de tendencia central. Es el número que se obtiene sumando todos los valores (xi) de la variable estadística y dividiendo por el número de valores (N). Si un valor aparece varias veces debe ponderarse por su frecuencia (fi). Simbolicamente: x x 1f 1 x n f n N La media es la mejor estimación de una cantidad desconocida, cuando hemos hecho varias medidas de la misma. Esta es la propiedad de la media que usamos cuando calificamos a un alumno a partir de varias evaluaciones o cuando estimamos el tiempo de espera en la parada de un autobús. Por tanto sirve para resolver problemas como el siguiente: Actividad 5 Un objeto pequeño se pesa con una misma balanza por ocho estudiantes de una clase, obteniéndose los siguientes valores en gramos: 6'2, 6'0, 6'0, 6'3, 6'1, 6'23, 6'15, 6'2. Cuál es la mejor estimación del peso real del objeto? 11

12 Actividad 6 1. Hay 10 personas en un ascensor, 4 mujeres y 6 hombres. El peso medio de las mujeres es de 58 kg y el de los hombres de 72. Cuál es el peso medio de las 10 personas del ascensor? 2. La media en fluidez verbal de una clase de un colegio es de 400. Si extraemos una muestra aleatoria de 5 estudiantes y resulta que la puntuación de los 4 primeros es de 380, 420, 600, 400 Cuál sería aproximadamente la puntuación esperada para el quinto estudiante? 3. Para aprobar cierta asignatura, un estudiante necesita obtener una puntuación media de 6 o más puntos entre cuatro exámenes. Las puntuaciones de Pedro en los tres primeros fueron de 3'5, 6'6 y 6'2. Qué puntuación mínima necesita obtener en el cuarto examen para aprobar la asignatura? 4. La edad media de los 175 alumnos de una escuela es de 8 años, y la de los 12 adultos (profesores y personal) es de 40 años. Cuál es la edad media de todas las personas de esa escuela? La moda Es el valor o modalidad de la variable que tiene mayor frecuencia. En el ejemplo que estamos tratando, la moda del número de calzado es el 37. En una distribución puede haber más de una moda. Por ejemplo, en la variable altura (sin agrupar) son modas los valores 160, 161, 162, 163, 165 y 175. Si existe una sola moda se llama unimodal, si existen dos bimodal, si hay más de dos se llama multimodal. En general es una medida de tendencia central poco eficaz ya que si las frecuencias se concentran fuertemente en algunos valores al tomar uno de ellos como representante los restantes pueden no quedar bien representados, pues no se tienen en cuenta todos los datos en el cálculo de la moda. Sin embargo, es la única característica de valor central que podemos tomar para las variables cualitativas. Además su cálculo es sencillo. La mediana Si suponemos ordenados de menor a mayor todos los valores de una variable estadística, se llama mediana al número tal que existen tantos valores de la variable [superiores o iguales] como [inferiores o iguales] a él. Es decir, el número de valores inferiores y el número de valores superiores no superan el 50%. Por ejemplo si en una familia los niños tienen 3, 7 y 8 años, la edad del niño mediano es 7 años. La mediana es igual a 7. Si nace un nuevo bebé (0 años) ahora tenemos dos niños medianos, uno de 3 y otro de 7 años. En este caso hay una indeterminación y para resolverla tomamos como mediana el valor 5 (promedio entre 3 y 7). La frecuencia relativa acumulada que corresponde a la mediana es el valor 0 5. Sabiendo esto, podemos calcular la mediana a partir de las frecuencias relativas acumuladas o de un polígono de frecuencias acumuladas. Por ejemplo, en la Tabla 2 (número de calzado), como al número de calzado 37 le corresponde una frecuencia acumulada 0 43 y al número 38 una frecuencia acumulada 0 60 la mediana es igual a 38. La mediana presenta ciertas ventajas como medida de tendencia central frente a la media en algunas distribuciones, ya que no se ve afectada por los valores extremos de las observaciones; por ello su uso es particularmente indicado en las distribuciones asimétricas. También se puede calcular con variables estadísticas cualitativas susceptibles de ordenación, mientras que la media no se puede aplicar en estos casos. Medidas de dispersión Las medidas de dispersión nos dan idea del mayor o menor agrupamiento de los datos respecto a los valores de tendencia central. Por ello nos indican cuánto de representativos son dichos valores. Todas ellas son valores mayores o iguales a cero. El valor cero indica que no hay dispersión. 12

13 Una de tales medidas es el recorrido (o rango) de una variable: la diferencia entre el valor mayor y el menor de la distribución de frecuencias. Como en su cálculo sólo intervienen dos valores (el máximo y el mínimo) es escasamente representativa de la dispersión del conjunto de datos. Ejemplo: El rango para la distribución del número de calzado es 11, que es la diferencia entre los valores extremos 46 y 35. La medida de dispersión más utilizada es la desviación típica (s), que es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la diferencia entre cada valor y la media, dividida dicha suma por el número de valores; su cuadrado recibe el nombre de varianza y viene dada por la siguiente expresión: s 2 f i (x i x) 2 N Actividad 7 Calcula los resúmenes estadísticos de las variables consideradas en la encuesta realizada en clase (rellena la tabla siguiente). Estadístico Media Mediana Moda Desviación típica Mínimo Máximo Rango Variable Peso Altura Longitud Calzado Dinero Actividad 8 1. Inventa un problema referido a calificaciones de matemáticas de un curso de 12 alumnos cuya media sea aproximadamente 5 y cuya desviación típica sea aproximadamente 2. (En la práctica las distribuciones de frecuencias de este tipo verifican aproximadamente que el 68,26% de los datos se encuentran dentro del intervalo x s, x s y el 95,44% en el intervalo x 2, s x 2 s ). 2. Inventa las calificaciones obtenidas en un examen por 20 alumnos para cada uno de los casos siguientes: a) La desviación típica sea cero. b) El rango sea grande, pero la desviación típica sea pequeña. c) El rango sea pequeño, pero la desviación típica sea grande. 3. En los tres exámenes realizados por Lucía, la mediana fue de 8'8, su puntuación media fue de 9'0 y el rango fue 0'8. Cuáles fueron las puntuaciones de los tres exámenes? 13

14 Actividad 9 1. Las gráficas y parámetros siguientes corresponden a las notas de tres grupos A, B y C en un test. Qué gráfica corresponde a cada grupo? x A B C ,7 1,6 2,5 Figura nº Figura Figura Figura Actividad 10 La siguiente gráfica representa la distribución de frecuencias de la antigüedad de los empleados de una empresa. Cuál es mayor, la moda o la mediana? 14

15 Actividad 11 Las tres distribuciones siguientes tienen la misma media y sus desviaciones típicas son 3.8, 1.3 y 2.9. Asocia a cada distribución uno de estos valores. ( a ) ( b ) ( c ) Distribución ( a ) ( b ) ( c ) Desviación Típica Actividad 12 Las edades de las personas que asistieron a una presentación son las siguientes: 19, 21, 23, 18, 19, 25, 20, 20, 23, 24, 20, 21, 17, 19, 20, 22, 22, 21, 20, 18, 23, 21. a) Haz la tabla de frecuencias, frecuencias relativas y frecuencias acumuladas. b) Calcula la media, la mediana y la moda. c) Qué porcentaje de los asistentes no había cumplido los 20 años? d) Dibujar una gráfica de barras que represente la distribución de frecuencias de las edades. e) La siguiente es la gráfica de las edades de un segundo grupo: Llamamos D1 y D2 a las desviaciones típicas de las edades del primer y del segundo grupo, respectivamente. De la observación de las dos gráficas, deduce cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: D1 < D2 D1 = D2 D1 > D2 Explica tu respuesta. 15

16 BIBLIOGRAFÍA Batanero, C., Godino, J. D. (2005). Matemáticas para Maestros. Proyecto Edumat Maestros. Batanero, C. (2000). Didáctica de la Estadística. 16