Diámetro (m) Velocidad (m/s) Número de Reynolds , , , /3,28 0,

Transcripción

1 Corrección del examen final de Sistemas y Máquinas de Fluidos Problema 1 a)en un experimento para determinar el número de Reynolds crítico en función de la escala de un sistema hidráulico, al usar agua como fluido y medir la velocidad donde se produce la transición entre régimen laminar y turbulento, se obtuvieron los datos de la tabla. Calcule el número de Reynolds crítico para cada sistema y comente el resultado. Diámetro Velocidad 1 cm 23 cm/s 1 pulgada 1, ft/h 1 pie (ft) 0,0075 m/s b) Una bomba de diálisis transporta un flujo máximo de 500 militros por minuto de sangre. Dado que el díametro medio de los tubos empleados es 6,4 mm, determine si el régimen del fluido es láminar o turbulento. ρ Sangre = 1, 05 ρ Agua ; µ Sangre = 4, 5 µ Agua a) Los datos del problema están en diversos sitemas de unidades. Para evitar problemas y poder hallar correctamente el número de Reynolds, vamos a trasladar todas ellas al sistema internacional y calcular desde ahí el número de Reynolds, teniendo en cuenta que la viscosidad cinemática (ν) del agua es 10 6 m 2 /2. El resultado final se observa en la tabla siguiente: Diámetro (m) Velocidad (m/s) Número de Reynolds , , , /3,28 0, Después de determinar el número de Reynolds, el ejercicio nos pide que comentemos el resultado. Viendo los tres números, y dado que del enunciado podemos deducir que se refiere a un sólo sistema hidraúlico, estamos obervando la confrmación de que el número de Reynolds crítico, lo que hemos calculado según el enunciado, es independiente de las dimensiones del sistema: los tres valores son tan parecidos, que cualquier diferencia entre ellos se puede achacar a errores experimentales, aunque no sepamos su valor. Además, y dado el valor obtenido, en torno a 2 300, podemos decir que el sistema hidráulico en estudio es una tubería. b) El caudal en unidades del S.I. es: Q = 500 ml/min = 0, = 8, m 3 /s. Hallar la viscosidad pude hacerse más difícil, pero dado que podemos poner los valores de la sangre en función de los del agua, simplificamos las cosas para obtener: ν S = µ S ρ S = 4, 5 µ Agua 1, 05 ρ Agua = 4, 5 1, 05 ν Agua = 3, m 2 /s Calcular ahora la velocidad a la que se mueve la sangre es muy fácil: V = Q 0, 25 π D 2 = 8, , 25 π 6, = 0, 26 m/s Por lo tanto el valor del número de Reynolds es: Re = V D ν = 0, 26 6, ,

2 Problema 2 La longitud total de la tubería de A a B es de 95 metros, el diámetro de todas las tuberías de media pulgada y su rugosidad de 12,7 micras. El punto A y el B se encuentran a la misma altura y P B - P A = - 0,15 atm. Sabiendo que el líquido que circula es aceite de oliva con un caudal de 10 l/s, a) calcule la potencia mínima necesaria si la pérdida de carga del sistema paralelo es de 5 Km. K 1 y K 2 valen 10. b) Si la longitud de la rama sin elementos localizados en el sistema paralelo (la de abajo) es de 10 m, calcule el caudal que circula por la de arriba. c) Le parece que está bien dimensionado el circuito? Justifique la respuesta. Lo primero que tenemos que hacer es calcular algunos parámetros básicos en la unidades adecuadas. La longitud total del sistema ya está dad en unidades adecuadas, pero el diámetro nos los dan en pulgadas 1 y no nos proporcionan la rugosidad relativa, sino la absoluta. Además, me gusta más usar la viscosidad dinámica que la división y tenemos que calcular la velocidad del fluido en la tubería principal, asi que vamos a calcular estos valores: D = 1 4 pulgada = 0, 25 2, m ɛ = e 12, = = 10 3 D 1, ν ac = µ ac = 0, 1 ρ ac 913 0, m 2 /s Q V = 0, 25 π D 2 = , 25 π 1, 27 2 = 78, 94 m/s 10 4 Ahora podemos plantear la ecuación que nos dará la potencia mínima de la bomba, la ecuación de Bernoulli modificada, entre los puntos A y B del sistema hidráulico: P A ρ ac g + V 2 2 g + z A = P B ρ ac g + V 2 2 g + z B + h ft h Bomba, (1) donde h ft = h f Longitud + 2 h f Localizadas + 5 Km es la suma de todas las pérdidas de carga del sistema, incluidas las de las tuberías en paralelo y las localizadas, y h Bomba es la energía que precisa la bomba, expresada en unidades de longitud. Dado que la altura de los puntos inicial y final es la misma, y que toda la tubería tiene la misma sección, despejando de la ecuación anterior la h Bomba obtenemos: h Bomba = h f Longitud + 2 h f Localizadas + 5 Km + P B P A ρ ac g (2) Calculemos pues las diversas pérdidas de carga. Las pérdidas de carga localizadas son muy fáciles de ver en este caso: h f Localizadas = 2 10 V 2 2 g = 20 78, , 81 m = m 6, 35 Km Para calcular las pérdias de carga totales, tenemos que usar el diagrama de Moody, calculando antes el número de Reynolds del sistema: ɛ = , 94 1, f 0, 031 Re = 0, , Como es habitual para tuberías, por otra parte... 2

3 Ahora ya podemos calcular el valor de la pérdida de carga debida a la longitud de la tubería 2 : h f Longitud = 0, , , , 81 m 73, 65 Km, con lo que el valor de la pérdida de carga total del sistema 3 y de la potencia necesaria es: h f T otal =6, , , 65 Km 85 Km h Bomba P otencia =ρ ac g h p Q = 913 9, W = W 7, 6 MW b) Para hallar el caudal que pasa por la rama superior de la parte paralela, tendremos que calcular la velocidad de una de las ramas. Dado que es un sistema en paralelo, por la ley de conservación del caudal, el caudal total será la suma del caudal de cada rama. Lo ideal sería conocer la velocidad de la rama de la que se nos pide el caudal, pero con los datos disponibles no podemos. Tendremos que hacerlo algo más largo: Hallar primero la velocidad de la rama de abajo, y luego hallar el caudal de la de arriba. Para ello, dado que sabemos la pérdida de carga de la rama paralela, podemos escribir: h f P aralela = f V 2 L 2 D g, donde los parámetros que no conocemos son la velociada y el factor de fricción, relacioandos ambos a través del diagrmaa de Moody. Hay, pues que iterar esta función: h f P aralela = = f V , 6 2 1, , 81 f V 2 = 124, 6 V =, f si ponemos todos los parámetros en unidades del S.I. Tras realizar algunas iteraciones, en la siguiente tabla obtenemos el resultado final en la última fila: Re in f (Del diagrama de Moody) V ser (m/s) Re (Desde V ser) , ,4 7, , , ,5 7, , , ,5 Cerramos el proceso iterativo Con lo cual, el caudal que circula por la rama más baja de las dos en paralelo es: Q = 60, 5 0, 25 π 1, = 7, m 3 /s y el caudal solicitado es: Q Rama arriba = Q T otal Q Rama abajo = , m 3 /s = 2, m 3 /s c) Parece obvio que el circuito no está bien dimensionado. De hecho, se puede contestar a esta pregunta sin hacer ningún cálculo, sólo fijándose en el hecho de que la pérdida de carga de un componente de tres es cerca de mil veces más grande que la longitud total de la tubería del problema. 2 A pesar de que se dice en el ejercicio que la longitud total del sistema son 95 m, algunos estudiantes emplearon como longitud de la tubería = 85 metros. No es correcto, pero se acepta como válido. 3 Nótese que hemos despreciado totalmente la contribución de la presión. 3

4 Problema 3 LNE(x = 0) = a)dibuje las líneas de altura motriz y de nivel energético para el azud de la figura despreciando las pérdidas localizadas. b)calcule el valor de LNE en x=0 sabiendo que la velocidad superficial del agua se puede considerar 0,01 m/s. c) Cuál es la velocidad final del agua? La presión es la atmosférica y todas las dimensiones son metros. a) Hecho en el dibujo. b) Dado el valor de la velocidad en ese punto, y considerando la ecuación de Bernoulli: P atm ρ ag g + V z(x = 0) = 2 g , m 13, 33 m. 2 g c) Para hacer esta parte del ejercicio, podemos no ser inteligentes y simplemente, igualar el valor de la LNE en x=0 al valor de la LNE en x=2 metros, despejando de la última parte la velocidad. O darnos cuenta de que la presión es siempre la misma en toda el azud, por lo que al igualar las dos líneas energéticas podemos eliminarlas. Además, dado que la velocidad a la que se mueve el agua al comienzo es muy pequeña, seguro que V2 también podemos despreciarla, con lo que al final la ecuación a resolver que nos queda es: 2 2 g = 3m V 2 = 3 2 9, 81 7, 7 m 4

5 Problema 4 Por una tubería de cobre de 3,5 m de largo y 10 cm de diámetro circulan 5 l/s de agua. El espesor de la tubería es de 1 cm. Al final de la misma se encuentra una válvula que tarda de cerrarse 4 s. Estime en unidades de longitud la energía que se produce en un golpe de ariete y compárela con el valor de la altura cinética (v 2 / 2 g). Comente brevemente el resultado. Primero tenemos que ver si el golpe de ariete es lento o rápido, para sabe qué forma tiene la energía del ariete. Para ello, lo primero es calcular la celeridad del golpe de ariete: c = K ρ 2, K D = E e 1 + 2,1 0,1 = 1, m/s, 120 0,01 donde los valores de los módulos de Young y el resto de los datos ya estaban convertidos en unidades del S.I. Dado este valor de la celeridad, el tiempo que tarda la onda en ir y volver por la tubería es: t Ariete = 2 L tubo c = 2 3, 5 1, = 5, s. Dado que este valor es mucho más pequeño que el tiempo en el que se cierra la válvula, el golpe de ariete es lento 4 y después de calcular la velocidad según el caudal en la tubería podemos hallar la potencia del golpe de ariete: Q V = 0, 25 π D 2 = = 0, 64 m/s; 0, 25 π , 5 0, 64 H = m = 0, 114 m. 4 9, 81 Calculemos ahora la altura cinética: Alt. Cin. = V 2 2 g = 0, , 81 m = 0, 021 m. La división entre ambos valores indica que la energía del golpe de ariete es unas cinco veces más grande que la energía cinética: Alt.Cin./ H = 5,4. No es algo especialmente sorprendente. En general, en sistemas de tuberías la mayor parte de la energía se emplea en proporcionar presión al fluido, no movimiento. Esto es fácil de ver si se considera la ecuación de Bernoulli. Por lo tanto, parece lógico concluir que la energía que el golpe de ariete emplea proviene, sobre todo, de la presión a la que el fluido está sometido. Datos Generales: 1 m = 3,28 ft 1 in = 2,54 cm 760 torr = 1 atmósfera 1 atmósfera = Pa 1 Poise = 0,1 Pa s µ Alcohol = 10 3 Pa s ρ Alcohol = 789 Kg / m 3 ρ Agua = 10 3 Kg/m 3. µ Agua = 10 3 Pa s µ AceiteOliva = 1 Poise ρ AceiteOliva = 0,913 ρ Agua Módulo de Young del cobre: N/m 2 Módulo de Young del Agua: 2, N/m 2 4 Como ya se comentó en clase, se podía haber empleado el valor de L, o sea, sólo el ir o volver de la onda de ariete. Es irrelevante c para el resultado final. 5

6 Teoría 1 I) Puede la energía del golpe de ariete ser mayor que la obtenida con las expresiones vistas en clase? Justifique su respuesta. Debería ser obvio que no. Las expresiones que vimos en clase y que están en el formulario permiten calcular el valor de la amplitud de la onda de ariete en su primera oscilación. Como es un fenómeno disipativo, todas las demás oscilaciones son siempre de menor magnitud, por la disipación de energía producida precisamente en la expansión y compresión tanto del líquido, como del material de la tubería. II) Al diseñar una turbomáquina, se observa que dos álabes de formas distintas, ver figura, obtienen las mismas velocidades de entrada y salida de fluido al ser usados en la misma bomba. Usando criterios puramente hidrodinámicos, cuál de los dos es mejor? Justifique su respuesta. Esta es una pregunta interesante. La ecuación de Euler de las turbomáquinas 5 deja bien claro que la eficiencia energética depende tan sólo de las velocidades de entrada y salida, que el enunciado plantea iguales 6. Por lo tanto, estas dos turbomáquinas serían iguales según este criterio. Lo que pasa es que observando la figura, parece claro que el álabe dos debería tener más problemas de cavitación, siempre y cuando el fluido que se bombee sea un líquido en régimen turbulento, claro. Por lo tanto, es preciso concluir que dadas las condiciones del enunciado, los dos álabes son indistinguibles entre sí. Teoría 2 III) Una máquina que pesa 18 toneladas tiene que girar en ángulos arbitrarios un máximo de cuatro veces por minuto. Qué tipo de lubricación (límite, etc.) emplearía en el sistema de giro de la máquina? Justifique la respuesta. Por lo lo que nos dice el enunciado, el máximo número de giros que tiene que soportar el sistema de lubricación son 4 por minuto, pero no indica si siempre van a producirse estos giros o no. Así, podemos considerar que las piezas a lubricar apenas se mueven unas sobre las otras. Por ello, para poder generar la presión que genera la sustentación no podemos contar con el caudal producido en la película lubricante por el movimiento relativo de las piezas, tendremos que generar la presión de manera externa al fluido. La lubricación ideal sería por lo tanto la hidroestática, y con sus relaciones deberíamos tratar de dimensionar el sistema de lubricación. El peso es muy grande, lo que quizás indique que las aproximaciones generales de líquido incompresible no sean válidas y quizás tendremos que empear modelos de lubricación elastohidrodinámica, pero para realizar mejoras sobre un diseño inicial considerando lubricación hidroestática. IV) Por qué dentro de los parámetros de los que depende la sustentación en la lubricación hidrodinámica no aparece la temperatura del fluido, si la viscosidad muestra una clara dependencia de la temperatura? Justifique la respuesta. Es cierto que la lubricación depende fuertemente de la temperatura y en general se debe tener en cuanta la temperatura del fluido de lubricación para hacer un diseño correcto.habitualmente, pensando en sistemas de refrigeración para el fluido lubricante o las piezas directamente. La razón de que no aparezca en las fórmulas y relaciones que hemos visto sobre la sustentación de la lubricación hidrodinámica está en el hecho de que hemos partido de la ecuaciones de Euler, y despreciado o ignorado las transferencias de calor en el fluido. 5 Para los despistados: W = ρ Q (ω R 2 V T 2 ω R 1 V T 1) 6 Difícil de creer, pero si el enunciado lo dice, no vamos a contradecirlo... 6