TUTORIAL SERIES DE FOURIER

Transcripción

1 TUTORIAL SERIES DE FOURIER Ya se han presentado Tutoriales sobre el espectro (transformada de Fourier) y la convergencia de series, pero de manera independiente al menos argumentalmente. En este tutorial pretendo introducir la convergencia de las series de Fourier, teoría de importante aplicación para valorar la viabilidad matemática de cada uno de los elementos que aparecen en un espectro de frecuencias. Dada la amplitud de la materia en este tutorial solo se expondrán los conceptos relativos a la definición de Serie de Fourier, entrándose con posterioridad en otros relativos a su convergencia y viabilidad matemática. DEFINICIÓN Una serie de Fourier es una sucesión de Senos y Cosenos como ya se dijo en el tutorial sobre el espectro de vibración. Matemáticamente si tenemos una aplicación: :, entonces la serie 2 + cos + sin Si converge a á! "#$! $% ó. BAGAJE CONCEPTUAL Funciones Continuas a Trozos en un intervalo es aquella que presenta en ese intervalo un número finito de discontinuidades de Primera Especie. Una función periódica de período T tiene también por período ZT siendo Z un número entero. Período fundamental es el menor de los valores períodos de una función. Función par en un intervalo es aquella que no cambia de valor invirtiendo el signo de la variable. Función impar en un intervalo es aquella que invierte su signo al cambiar el signo de la variable. 1 Producto Escalar de 2 funciones, ) > =, ())() //////! Tutoriales Página 1

2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Se trata de funciones que se analizarán en el intervalo,, representándose como la unión de las 3 funciones: CARACTERÍSTICAS cos4 5 2sin4 %# 7 Tienen por período fundamental cos4 es una función par en,. 2sin 4 es una función impar en, Son funciones ortonormales 2 a 2 puesto que sus productos escalares son : o 1, cos > =, cos 1 o 1, sin > =, sin 1! =! = o cos, sin : > =, cos sin:! = :, : 7 1 o cos, cos: > =, cos cos:! = :, : 7 1 o sin, sin: > =, sin sin:! = :, : 7 1 SERIE DE FOURIER La serie definida con anterioridad: 2 + cos + sin es la serie de Fourier de la función f, y basándose en las propiedades de ortonormalidad anteriores con los siguientes coeficientes: =, () cos! 1 =, 1 ()! = CASOS PARTICULARES, () sin! 1 Si :, es par su serie de Fourier es: ~ 2 + cos > ()cos! Tutoriales Página 2

3 Si :, es impar su serie de Fourier es: ~ sin! > () cos! EJEMPLOS Valor Absoluto de x Calcular los coeficientes de la serie de Fourier de la función () = con, = = 1B C A A A :A, sin! 1 Por lo que la función puede aproximarse por: Coseno al Cubo de x ~ 2 4 (2 1) E cos(2 1) Calcular los coeficientes de la serie de Fourier de la función () = %# F con, A 1 H 3 F = G B = B EXTENSIONES PARA FUNCIONES DEFINIDAS EN OTROS INTERVALOS Las definiciones dadas hasta ahorase limitan al intervalo,. Dada la utilidad de esta serie de funciones se detallan las extensiones para funciones definidas en otros intervalos: EXTENSIÓN PAR DE FUNCIONES DEFINIDAS EN J, K Dada la función : L, M se denomina N ó A!, con período 2 a: O () = P () () O () = O ( + 2) > () cos! Tutoriales Página 3

4 EXTENSIÓN IMPAR DE FUNCIONES DEFINIDAS EN J, K Dada la función : L, M se denomina N ó :A!, con período 2 a: GENERALIZACIÓN A S, T V R () = P () () R ( 1 ) + R ( 1 ) 2 = = > () sin! Si la variable N recorre el intervalo, entonces la variable definida por: = 2 N + + recorrerá el intervalo W, Y, definiéndose así las funciones trigonométricas: Zcos (2N ( + ))[ 5 Zsin( (2N ( + ))[ Las funciones anteriores serán ortonormales en el intervalo, La serie de Fourier quedará definida para la función :, de la siguiente manera: (N) ~ 2 + cos 2N ( + ) + sin 2N ( + ) El concepto de paridad se complica pues ya no es el punto medio (ahora es \]^ E ): o A, (N) = ( + N) o :A, (N) = ( + N) De igual manera que se hablaba sobre extensiones para el intervalo, se puede hablar para [a,b] o Extensión par al intervalo [2a-b, b] sería una función que tuviese por argumento y series y coeficientes de Fourier los siguientes: N O (N)~ 2 + cos (N )!N ^ > O(N) \ cos (N )!N Tutoriales Página 4

5 o Extensión impar al intervalo [2a-b, b] sería una función que tuviese por argumento y series y coeficientes de Fourier los siguientes: N R (N)~ sin (N )!N ^ > O(N) sin (N )!N \ EJEMPLOS Función (N) = N con N E, Se obtiene el argumento 2N ( + ) = 4N 3 para pasar al dominio [-, ^1\ Familia de funciones trigonométricas cos(4N 3)4 5 2sin(4N 3)4 Teniendo en cuenta las fórmulas de coseno y seno de una suma N ~ 2 + cos(4n) + sin(4n) = 1 4 = 1 4 > N cos4n!n E > N sin4n!n E Tutoriales Página 5