Sucesiones y series con Mathematica

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1 ucesiones y series con Mathematica Á Resumen de comandos UCEIONE Y ERIE NUMÉRICA Limit#a i, i! ˆ] calcula el límite de la sucesión a i cuando i tiende a infinito imax um#a i, {i, imin,imax,paso}]= Å a i calcula la suma de la serie (el paso es opcional e igual a por defecto) i imin ERIE DE POTENCIA eries[f, {x, x 0, n] genera una serie de potencias (desarrollo de Taylor) para la función f alrededor del punto x x 0 hasta orden +x x 0 / n. Normal[eries[f, {x, x 0, n]] ofrece el polinomio de Taylor de grado n. eries[f,{x, x 0, n x,{y, y 0, n y ] para funciones de varias variables. eriescoefficient[serie, n] busca el coeficiente n-ésimo de la serie de potencias. Inverseeries[s, x] coge la serie s generada por eries, y da una serie para la inversa de la función representada por s. eriesdata[x, x 0, {a 0, a,, nmin, nmax, den] construye una serie de potencias en la variable x alrededor del punto x 0. Los a i son los coeficientes en la serie de potencias. Las potencias de (x-x 0 ) que aparecen son nmin/den, (nmin+)/den,, nmax/den. ERIE DE FOURIER <<Calculus`FourierTransform` paquete a cargar FourierTrigeries[f[t], t, k] calcula el desarrollo en serie trigonométrico de orden k de una función periódica en el intervalo [-/2,/2] FourierCosCoefficient[f[t],t,n] calcula el n-ésimo c n coeficiente en el desarrollo en serie de cosenos FourierinCoefficient[f[t],t,n] calcula el n-ésimo d n coeficiente en el desarrollo en serie de senos NFourierTrigeries[f[t], t, k] calcula el desarrollo en serie trigonométrico de orden k de una función periódica en el intervalo [-/2,/2] numéricamente NFourierCosCoefficient[f[t],t,n] calcula el n-ésimo c n coeficiente en el desarrollo en serie de cosenos numéricamente NFourierinCoefficient[f[t],t,n] calcula el n-ésimo d n coeficiente en el desarrollo en serie de senos numéricamente

2 74 ucesiones y series con Mathematica.nb Recordemos que el desarrollo de Fourier de una función en el intervalo (0,) y en un intervalo arbitrario (a,b) es 0, f +t/ k c 0 ½ n c n cos+2 nt/ d n sin+2 nt/ a, b f +t/ +«b «/ +a/s2 k +c 0 ½ n c n cos +2 bnt/ d n sin +2 bnt// donde: s2 s2 0, c 0 ¼ s2 f +t/ Å t c n 2 ¼s2 f +t/ cos+2 nt/ Å t a, b + «b «/ +a/s2 s+2«b«/ ¼ s+2«b«/ f +t/ Å t 2 +«b «/ +a/s2 s+2«b«/ ¼ s+2«b«/ f +t/ cos+2 bnt/ Å t y s2 0, d n 2 ¼s2 f +t/ sin+2 nt/ Å t a, b 2 +«b «/ +a/s2 s+2«b«/ ¼ s+2«b«/ f +t/ sin+2 bnt/ Å t i no se especifica nada, Mathematica entiende que el intervalo que se repite es el [-/2,/2]. Para modificar el periodo T=b-a y el intervalo [a,b] a repetir, introduciremos la opción: FourierParameters {a/(b-a),b/(b-a)} Á Cálculo de límites, sumas parciales y series numéricas Podemos hacer límites de sucesiones como: In[]:= Out[]= Limit$ L N M 2nz \ ccc 2nz^ Æ z ] n,n ˆ( o límites laterales de funciones como: In[2]:= Out[2]= In[3]:= Out[3]= Limit$ r x 2 6x9 cccc x 3 ccc Limit$ r x 2 6x9 cccc x 3 ccc,x 3, Direction (,x 3, Direction ( Para sumar números que vienen dados por una cierta sucesión, como por ejemplo calcular 0 la suma ½ i i 2, Mathematica dispone del comando um, y el modo de utilizarlo es el

3 ucesiones y series con Mathematica.nb 75 siguiente. Por ejemplo, para sumar los cuadrados de los primeros 0 números naturales 0 i 2 escribimos: ½ i In[4]:= Out[4]= 385 um#i^2, i,, 0' También se pueden hacer las sumas n-ésimas, así como la suma de series numéricas, es n decir expresiones como ½ i i 2, y ½ ˆ i +i/ 2. Para ello debemos escribir, respectivamente,: In[5]:= Out[5]= um#i^2, i,, n' cccc n + n/ + 2n/ 6 In[6]:= Out[6]= um#i^+2/, i,, Infinity' 2 6 Ejercicio ) Calcula las siguientes sumas y productos: n ½ i 2 i 0 ; ½ i 25 +x i / i +2 i / i ; ½ i 0 cc x ; i ¾ 0 i +2 i / i n ; ¾ i +2 i / i 2) Calcula las siguientes series numéricas: ½ ˆ n ˆ + / n c n ; ½ n n ; ½ ˆ n 0 3 n c n Á eries de potencias Para obtener el desarrollo en serie de potencias de orden n de una función f(x) alrededor del punto x=a, disponemos de la sentencia : eries[f(x),{x,a,n}], que nos proporciona la fórmula de Taylor de orden n de la función f(x) en el punto x=a. Para obtener el Polinomio de Taylor de grado n de la función f(x) en el punto x=a: Normal[eries[f(x),{x,a,n}]]. Por ejemplo: In[7]:= sen0serie7 eries#in#x', x, 0, 7' Out[7]= x x3 x5 6 cccc 20 x7 ccccc 5040 O#x'8 ofrece el desarrollo de orden 7 de la función seno en torno a x=0. Para obtener el polinomio de Taylor escribimos:

4 76 ucesiones y series con Mathematica.nb In[8]:= sen0poli7 Normal#sen0serie7' Out[8]= x x3 x5 6 cccc x7 20 ccccc 5040 El coeficiente del término de grado 5 se obtiene In[9]:= eriescoefficient#sen0serie7, 5' Out[9]= cccc 20 Una representación gráfica conjunta de la función seno y de su desarrollo de orden 7 en torno a x=0 In[0]:= Plot#in#x', sen0poli7, x, 0, 2 Pi' Out[0]= nos indica que la aproximación es buena cerca de x=0, pero que ambas gráficas empiezan a divergir paulatinamente conforme nos alejamos de dicho punto. En particular, la aproximación polinómica de grado 7 parece ser bastante mala para puntos x>3. i queremos un radio de "solapamiento" mayor, necesitamos añadir más términos al desarrollo. Por ejemplo: In[]:= sen0serie2 Normal#eries#in#x', x, 0, 2''; Plot#in#x', sen0serie2, x, 0, 2 Pi' Out[2]= Para obtener la serie inversa de otra dada se utiliza el comando Inverseeries. Por ejemplo, dado el desarrollo en serie del seno In[3]:= s eries#in#x', x, 0, 9' Out[3]= x x3 x5 6 cccc 20 ccccc 5040 x7 x 9 cccc O#x'0 Obtenemos el desarrollo en serie del arcoseno mediante: In[4]:= is Inverseeries#s' Out[4]= x x3 En efecto: 3x5 5x7 6 ccc 40 ccc 2 35 x9 52 O#x'0

5 ucesiones y series con Mathematica.nb 77 In[5]:= eries#arcin#x', x, 0, 9' Out[5]= x x3 3x5 5x7 6 ccc 40 ccc 2 35 x9 52 O#x'0 nos ofrece la misma expersión. Podemos también escribir funciones asociadas a una serie con coeficientes predeterminados: In[6]:= eriesdata#x, 0,, s 2, s 3, s 4, s 5, s 6, s 7,,8,' Out[6]= x x2 x3 x4 x5 x6 x O#x'8 Ejercicio Obtener el desarrollo en serie de orden 3, 6 y 9 de : a/ y e x en torno a x 0, y b/ y arctan +x/ en torno a x 0. uperponga la gráfica de la función a la de su desarrollo en serie de potencias en un cierto intervalo e identifique de forma aproximada los puntos a partir de los cuales ambas graficas difieren cualitativamente. Á eries de Fourier Para funciones f(t) periódicas de periodo, es decir, que cumplen f(t)=f(t+), como la función "diente de sierra" o "mantisa": In[7]:= mantisa Plot#t Round#t', t,.5,.5' Out[7]= existe la posibilidad de aproximarlas por una serie trigonométrica k c n cos+2 nt/ d n sin+2 nt/. Para ello disponemos del paquete: f +t/ c 0 ½ n In[8]:= Calculus`FourierTransform` y del comando: In[9]:= FourierTrigeries#t, t, 3' Out[9]= in#2 t' in#4 t' in#6 t' 2 3 que nos da la serie con k=3 términos. Representemos gráficamente dicha serie

6 78 ucesiones y series con Mathematica.nb In[20]:= Plot#%, t,.5,.5' Out[20]= y superpongámosla a la función In[2]:= how#mantisa, %' Out[2]= Para conseguir un mejor ajuste debemos aumentar el número de términos, por ejemplo, de 3 a 5 términos: In[22]:= FourierTrigeries#t, t, 5' Out[22]= in#2 t' in#4 t' in#6 t' 2 3 in#8 t' 4 in#0 t' ccc 5 In[23]:= Plot#%, t,.5,.5' Out[23]= In[24]:= how#mantisa, %' Out[24]= Observe que obtenemos un mejor ajuste al aumentar el número de términos. Para calcular el coeficiente de Fourier correspondiente al modo n-ésimo escribiremos:

7 ucesiones y series con Mathematica.nb 79 In[25]:= Out[25]= FourierinCoefficient#t, t, n' n Cos#n ' in#n ' c n 2 2 que tiene un comportamiento del tipo /n, típico de funciones periódicas con discontinuidades de salto finito. Consideremos otras funciones definidas a trozos como la función salto de Heaviside: In[26]:= salto#t_' : If#t 0,, ' Plot#salto#t', t,, ' Out[27]= i repetimos la gráfica de esta función a intervalos consecutivos (es decir, si construimos una función periódica con periodo 2=-(-) que salta de - a en los pares y de a - en los impares), entonces sus aproximaciones trigonométricas de orden 3,5 y 7 son: In[28]:= fsalto Table#FourierTrigeries#salto#t', t, n, FourierParameters s 2, s 2', n, 3, 7, 2' General::spell : Possible spelling error: new symbol name "fsalto" is similar to existing symbol "salto". Out[28]= 42 s4 in# t' 42s4 in#3 t' ccc 3 2 s4, 42 s4 in# t' 42s4 in#3 t' ccc 42s4 in#5 t' ccc 3 5 ccc ccc cccc cccc 42 s4 in# t' 42s4 in#3 t' ccc 42s4 in#5 t' ccc 42s4 in#7 t' ccc ccc ccc ccc c 2 s4 2 s4, Nótese que la opción FourierParameters {-/2,/2} define una serie trigonométrica de periodo 2 en el intervalo [-,]; en general, para la serie trigonométrica de periodo T=b-a en el intervalo [a,b] escribiríamos: FourierParameters {a/(b-a),b/(b-a)}. i se omite esta opción, Mathematica entiende por defecto que se trata de FourierParameters {-,}. uperpongamos la gráfica de la función salto y de sus desarrollos de Fourier de orden 3,5 y 7:

8 80 ucesiones y series con Mathematica.nb In[29]:= Plot#salto#t', fsalto##'', t,, ' Plot#salto#t', fsalto##2'', t,, ' Plot#salto#t', fsalto##3'', t,, ' Out[29]= Out[30]= Out[3]= Vemos que el desarrollo se ajusta mejor (en media) a la función salto cuanto mayor es el orden. Ejercicio Obtener el desarrollo en serie de orden 3, 6 y 9 de : f +t/ 0sit± #,0#, f +t/ sen +t/ si t ± #0, '. uperponga la gráfica de la función a la de su desarrollo en serie de Fourier en el intervalo #, '.