Práctica 9 (19/04/2016)

Transcripción

1 Series de Fourier Curso 5 6 Prácticas Matlab Cálculo II Objetivos Práctica 9 (9/0/06) Obtener series de Fourier de funciones periódicas. Visualizar gráficamente la aproimación de una función periódica a partir de una suma finita de armónicos. Comandos de Matlab. Para calcular la integral definida de una función, f(), en el intervalo [a,b]. int(f,a,b) >> syms >> int(log(),,,);. Para representar segmentos verticales stem(vectori,vectorf) X = linspace(0,*pi,50)'; Y = [cos(x), 0.5*sin(X)]; stem(x,y) 3. Para crear una matriz de unos ones(size(t)) ones(n) t=linespace(,5,0) ones(size(t)) %Define una matriz de unos de la misma dimensión que t &en este ejemplo un vector de dimensión 0 ones() %Define una matriz con todos unos.

2 PÁGINA MATLAB: SERIES DE FOURIER Ejercicios Considera la función periódica de periodo siguiente si 0 f 0 si 0 (a) Calcula los coeficientes de la serie de Fourier. (b) Escribe la serie de Fourier de f e indica dónde es convergente. (c) Calcula el valor de la suma de la serie utilizando la serie de n Fourier obtenida en el apartado anterior. Comprueba con matlab el valor de la suma obtenida. (d) Considera la suma de los diez primeros armónicos y representa la gráfica de la función junto con la gráfica de la suma de estos armónicos. Apartado a) Apartado b) syms n t p=pi; w=pi/p; %a0=(int(0*t,t,-p,0)+int(t,0,p))/p a0=int(t,0,p)/p %an=(int(0*cos(n*w*t),t,-p,0)+int(t*cos(n*w*t),t,0,p))/p an= int(t*cos(n*w*t),t,0,p)/p %bn=(int(0*sin(n*w*t),t,-p,0)+int(t*sin(n*w*t),t,0,p))/p bn=int(t*sin(n*w*t),t,0,p)/p n Se cumple que f cos sen n para los n n k / k. valores de que en el conjunto Apartado c) n 8. Basta darse cuenta que f 0 0 f 0 n n n Puedes comprobarlo en Matlab escribiendo symsum(/(*n-)^,n,,inf)

3 MATLAB: PRÁCTICA 9 PÁGINA 3 Apartado d) %Suma de m+ armónicos tt = -pi:0.:pi; sum = a0*ones(size(t))/; m=0; for k=:m ank=subs(an,n,k); bnk=subs(bn,n,k); sum = sum + double(ank*cos(w*k*tt)+bnk*sin(w*k*tt)); end plot(tt,sum) hold on t=-pi:0.0:0; t=0:0.:pi; plot(t,0*t,t,t,'r') Definición (Espectro de amplitud). Se llama espectro complejo de amplitud de la gráfica resultante de representar la amplitud f t a c n frente a la frecuencia angular n. Nótese que el espectro de amplitud de f () t es una gráfica formada por un conjunto de n puntos discretos, correspondientes a las frecuencias discretas n n y se etiende a p frecuencias negativas. C n an ibn C 0 cn C C C C an bn C 3 C n El análisis de los espectros de amplitudes de la serie trigonométrica de Fourier, permite estudiar la influencia de cada armónico en la composición de la función periódica. Dada la función 0, g( ), 0, (a) Obtener la forma compleja de la serie de Fourier de la onda etensión periódica de la función g( ).

4 PÁGINA MATLAB: SERIES DE FOURIER (b) Escribir el código Matlab para representar el espectro de complejo de amplitud de la onda etensión periódica de la función g( ) (es decir la gráfica resultante de representar la amplitud frente a la frecuencia angular Indicación apartado a) Como la función es par solo tiene términos en coseno. En forma compleja, los cálculos de los coeficientes son: n n / / / i i i n i i e e e n cn f e d e d sen i n i n co / / / d Utiliza Matlab y comprueba que obtienes el mismo resultado. Indicación apartado b) w=*pi; n=-5:5; cn=abs(sin(n*pi/)./(n*pi)); %Espectro de amplitud stem([0,n], [/,cn],'o') label('frecuencia (nw)') ylabel(' Cn ') %Representación de la envolvente hold on t=-5:0.:5; ct=abs(sin(t*pi/)./(t*pi)); plot(t,ct,'r') 3, 0 El desarrollo en serie de Fourier de la función f( ), 0 es: A) 3 sen() 3 sen B) n n C) 3 sen() n D) Ninguna de las anteriores.

5 MATLAB: PRÁCTICA 9 PÁGINA 5 A partir de la serie de la función f ( ) para. Se puede deducir que la suma de la serie numérica es: n A) /. B) /. C) / D) Ninguna de las anteriores. n Sabiendo que el desarrollo de Fourier de la función, 0 f( ) sen() es, n0, 0 5 justificar si las afirmaciones de los apartados a) y b) son ciertas o falsas., 0 (a) La serie de Fourier de la función g ( ), 0 n0 sen() b) Se cumple n0 n ( ) es Resumen de comandos Estos son los comandos utilizados en esta práctica que se darán por conocidos en las prácticas siguientes y que conviene retener porque se podrán preguntar en las distintas pruebas de evaluación. Para calcular una integral de forma simbólica: int Para calcular una integral de forma simbólica: stem Define una matriz de unos: ones