Práctica 0. (Introducción a Maple)

Transcripción

1 Departamento de Matemáticas, Universidad de Alcalá Métodos Matemáticos Simbólicos (Ing. Electrónica) Curso Práctica 0 (Introducción a Maple) 1. Averiguar en que librería se encuentra la función divisors. 2. Calcular todos los divisores de Este ejercicio se centra en la manipulación de números primos y en la utilización del sistema de ayuda de Maple. Se pide: 3.1. Obtener un número entero de 12 cifras a generado aleatoriamente 3.2. Decidir, sin factorizar, si a es primo 3.3. Factorizar a 3.4. Repetir los ejercicios 3.2 y 3.3 para cincuenta números enteros obtenidos alealtoriamente. Cuántos números primos han sido generados?. Dar una eplicación a este fenómeno Obtener los números primos anterior y posterior al número Calcular el milésimo número primo. 4. Factorizar el número a = 100!. 5. Calcular el m.c.d. de , 31!, Construir una lista con los 100 primeros primos. 7. Obtener las 50 primeras cifras de los números e 3 π y 3 15 π. 8. Calcular el m.c.d. de los coeficientes del polinomio f() = Resolver el problema 8. sin utilizar el comando igcd. 10. Factorizar sobre Q el polinomio f(, y, z) = 20 y 20 z Factorizar sobre C el poliniomio f(, y) = 2 + y 2.

2 12. Calcular el m.c.d. sobre Q de los polinomios f 1 (, y, z) = 30 y 30 z 10 y f 2 (, y, z) = 16 y y 16 z 5 + z 5 y. 13. Calcular el m.c.d. sobre Q de los polinomios f 1 () = , f 2 () = , f 3 () = Calcular el m.c.d. sobre Q de los coeficientes del polinomio f(, y, z) = 79 2 yt + 56y 2 z y y 2 z z 3 59y 2 z 3 en la variable z. 15. Factorizar sobre Q los polinomios de los ejercicios 12 y Obtener el coeficiente de 20 en el polinomio f(, y, z) = (5 2 y + y z) Obtener todos los coeficientes del polinomio anterior en las variables {, y}. 18. Construir las funciones f(, y, z) = sen()cos(y) y g() = 1 z Calcular f(5, 6, 7) y obtener la composición g(f(, y, z)). 19. Simplificar las siguientes epresiones: ( + y + z) 3 3( + y)(y + z)(z + ) ( y) 3 + 3( y)( + y) + ( + y) 3 + 3( y)( + y) ( y)( 1 y)( + y) i=0 i cos 2 2 cos 6 + 3sen2 cos 6 tg6 sen () 1 sen() 1 sen() + cos2 () Sean f = 3 y 2 +z, g = 4 5 y 2 +z 3 +1, h = 2 3 y 4 +7z 3. Simplificar (f+g) 2 +h 3 f+g+h Sea el polinomio f(, y) = y 2 + y 3 + y y y las 2+t funciones racionales R 1 (t) = 2, R 3+5t t 2 +t 3 2 (t) = t(2+t2 ). 3+5t t 2 +t 3 Simplificar la epresión f(r 1 (t), R 2 (t)) Sea el polinomio g(, y, z) = y yz + y y 2 z + 3 z 2 3 yz+ 3 y 2 z+ 3 y 2 z 2 y las funciones racionales q 1 (t 1, t 2 ) = 1 t 1 +t 2, q 2 (t 1, t 2 ) = t 1, q t 1 +t 2 3 (t 1, t 2 ) = t 1 t 2. Simplificar g(q 1 (t 1, t 2 ), q 2 (t 1, t 2 ), q 3 (t 1, t 2 )). 2

3 20. Sea f(, y, z) = 79 2 yt+56y 2 z y y 2 z z 3 59y 2 z 3. Obtener la epresión simplicificada de la función racional g(t 1, t 2, t 3 ) = t f( 1 5t 2 +3, t 2 3t 3 +t 1, t 2 2, t 3+1 t 2 ). Calcular g(1/3, 5/7, 2). 21. Sea f() = sen. Se pide: Calcular f () Calcular f v) (): Obtener f 100) (π) Obtener las 15 primeras cifras del valor obtenido en Comprobar mediante integración que el resultado obtenido en 21.2 es correcto. 22. Introducir una matriz 3 6 A = (a i,j ) donde a i,j = i i+j. 23. Introducir una matriz 6 3 B = (b i,j ) donde b i,j = cos(i+j). Obtener e j una aproimación numérica de la matriz B. 24. Introducir una matriz 4 4 C = (c i,j ) donde c i,j = ma{i, j}. 25. Introducir una matriz 4 4 D = (d i,j ) donde d i,j es el (i + j)-ésimo número primo. 26. Introducir una matriz I = (δ i,j ) donde δ i,j = 0 si i j y δ i,j = 1 si i = j. 27. Sea f() = sen( 1 ). Introducir la matriz diagonal 7 7 cuyo i-ésimo elemento en la digonal principal es f i) (1). Obtener una aproimación numérica de la matriz. 28. Introducir aleatoriamente una matriz simétrica de orden Calcular C + D, C D, 5 C D, C 1, D 5, C 3 y ( 2 + 1) C, donde C y D son las matrices construidas en los ejercicios 24 y Calcular el determinante de las matrices que aparecen en los ejercicios 24,25,26,27,28,29 y el rango de las matrices obtenidas en todos los ejercicios anteriores. 31. Construir una matriz 5 5 sin elementos nulos con determinante Construir una matriz 4 4, sobre R[t], sin elementos nulos y con determinante ( 1)( 2)( 3)( 4).

4 33. Obtener la fórmula del determinante de una matriz 3 3. Idem para matrices Calcular en función de los parámetros a y b el rango de la matriz a a a 2a a b 2b 2b 0 2b A = a 2 b 2 2a 2 2b 2 2a 2 2b 2 2a 2 2b 2 a 2 b a 2a 2 + a 2 + 2a 2 b 2b b 2b 0 Calcular la inversa de A cuando el rango sea máimo. 35. Sean a, b R. Determinar la parte real y la parte imaginaria de 36. Calcular h g f donde 37. Sea 1 + a + ib 1 + a ib f() = + 1, g() = , h() = f() = a + b c + d Encontrar una relación entre a, b, c, d R para que f sea invertible. 38. Sea Se pide f() = Evaluar f() para = 1, 10,..., Representar f gráficamente Calcular el límite de f() cuando tiende a. 39. Dada la sucesión { n 2 + n n} n N, determinar su límite y representar los 150 primeros términos de la sucesión. 40. Determinar la derivada en a 0 de la función f() = + 2 sen( 1 )

5 41. Calcular y comprobar el resultado mediante derivación. 42. Determinar la suma 0 n 10 + n + 1 n! 43. Dada la curva plana, en polares, r = 1+acos(θ), representar su gráfica para a = 1, 2, 3, 4, Representar las curvas de nivel de la función f(, y) = 2 4 y 2.