Resistencia de pérdidas de un Dipolo

Transcripción

1 Resistencia de pérdidas de un Dipolo Figura : Elemento diferencial de longitud de un Dipolo de media onda cuya resistencia diferencial es dr = R i dz, donde L es la longitud del dipolo y a radio del alambre. La impedancia interna por unidad de longitud de un conductor cilíndrico utilizando la aproximación de altas frecuencias, se expresa de la siguiente manera: Z i = R i + jx i = ( + j)r s 2πa Ω/m () πfµ donde: R s = σ y a es el radio del conductor. Separando partes real e imaginaria: R i = Rs 2πa Ω/m X i = Rs 2πa Ω/m (2) La antena tendrá en un diferencial de longitud dz una resistencia equivalente dr. La potencia de pérdidas total que disipa la antena de longitud L, donde la corriente no es uniforme a lo largo de la dirección z, se puede escribir como: I(z ) 2 dr + I(z ) 2 dr (3) Como en un diferencial de longitud la corriente es constante, el diferencial de resistencia será: Reemplazando R i : dr = R i dz (4) dr = dz (5)

2 Para el caso de un dipolo de longitud L la distribución de corriente en el mismo es: { I senβ(l/2 z ) z > I senβ(l/2 + z ) z < (6) Reemplazando (6) en (3): Agrupando: I 2 (I senβ(l/2 + z )) 2 dr + (I senβ(l/2 z )) 2 dr (7) sen 2 β(l/2 + z )dz + sen 2 β(l/2 z )dz (8) Haciendo los cambios de variables siguientes: u = β(l/2 + z ) y v = β(l/2 z ) los diferenciales serán: du = βdz y dv = βdz ) Por lo tanto (8) se expresa como: Agrupando: u2 u β Resolviendo las integrales: sen 2 u u2 u ( ) du v2 ( ) dv + sen 2 v β v β v2 sen 2 udu sen 2 vdv v (9) () I 2 2πaβ (u/2 sen2u/4) u 2 u (v/2 sen2v/4) v 2 v () Volviendo a la variable original: I 2 I 2 2πaβ β(l/2 + z )/2 sen2β(l/2 + z )/4 2πaβ β(l/2 z )/2 sen2β(l/2 z )/4 L/2 (2) Se obtiene: 2

3 β I 2 β(l/2)/2 sen2β(l/2)/4 +I 2 ωµ β β(l/2)/2 sen2β(l/2)/4 (3) Operando: 4πa Reemplazando I 2 = 2I2 ef y operando: L senβl β ωµ ef L senβl β Por lo tanto la Resistencia de pérdidas se expresa como: ( ) ωµ L senβl βl Se puede expresar también en función de L/λ: (4) (5) (6) ( ) L πcµl sen(2πl/λ) (7) λ σ 2πa (2πL/λ) Donde: sinc(2πl/λ) = sen(2πl/λ) (2πL/λ) L πcµl sinc(2πl/λ) (8) λ σ 2πa Observando la expresión anterior se puede analizar como varía la resistencia de pérdidas en función de L/λ, es decir variando la longitud de onda del generador. Caso del dipolo de media onda L = λ/2 (9) Reemplazando (2) en (6) se obtiene: βl = (2π/λ)(λ/2) = π (2) L (2) 3

4 Ejemplo Calcular el rendimiento de un dipolo de media onda de aluminio, constituido de un alambre de 5mm (2a) diámetro, excitado por un generador a una frecuencia de MHz (λ = 3m). La resistencia de pérdidas se puede calcular reemplazando los valores en la expresión (6): 2π 6 4π 7,5 2 3,5 7 =,45Ω (22) 2π 2,5 3 La resistencia de radiación para el dipolo de media onda es: R rad = 73,6Ω (23) Por lo tanto el rendimiento se puede calcular como: Reemplazando se obtiene: η = η = R rad R rad + R perd (24) 73,6Ω =,99 (25) 73,6Ω +,45Ω Por lo tanto la resistencia de pérdidas no afectará el rendimiento del sistema, en cambio será importante en el rendimiento la adaptación de impedancias con el generador que se conecta a la antena. Ejercicio Calcular el rendimiento de un monopolo de frecuencias medias de H =,52λ de altura, sobre tierra perfecta, constituido por un mástil triangular de hierro de 5mm de diámetro (2a), excitado por un transmisor cuya frecuencia es f = MHz. 4

5 Resistencia de pérdidas de un monopolo Figura 2: Elemento diferencial de longitud de un Monopolo de media onda cuya resistencia diferencial es dr = R i dz, donde L es la longitud del dipolo y a radio del alambre. El procedimiento para calcular la resistencia de pérdidas es idéntico al dipolo, aunque hay que considerar que la longitud total será H y la distribución de corriente es: I senβ(h z ) z > (26) Por lo tanto la potencia total de pérdidas será: H (I senβ(h z )) 2 dr (27) Resolviendo esta integral (a efectuar por parte del alumno) la expresión de la potencia de pérdidas en el conductor, teniendo en cuenta que I 2 = 2I2 ef resulta: I 2 ef H La resistencia de pérdidas resulta: Expresada en H/λ: H sen2βh 2βH sen2βh 2βH (28) (29) (H ) πcµh sinc(2πh/λ) (3) λ σ 2πa 5