En este tema se estudian dos aspectos básicos de los emisores/radiadores de sonido

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1 Tema 3 Radiación sonora En este tema se estudian dos aspectos básicos de los emisores/radiadores de sonido Las características direccionales que explican la forma como la energía se distribuye por el medio de radiación Las impedancias de radiación que explican cómo el medio actúa contra la vibración de la superficie que produce el sonido 3.1 Descriptores de la directividad Son parámetros que se usan para expresar las características direccionales de una fuente Las características direccionales dependen de la frecuencia. La información de los descriptores de la directividad sólo se refieren a una frecuencia o intervalo de frecuencias

2 Directividad D La directividad de una fuente sonora en una dirección, se define como la razón entre la presión eficaz generada por la fuente en esa dirección a la distancia r, y una presión eficaz de referencia p (r); que suele ser la máxima que produce la fuente a esa distancia. En campo libre la directividad resulta independiente de la distancia D (θ, φ) = p ef (r, θ, φ) p (r) Cuando existe simetría de revolución en torno al eje z de la fuente sonora, no se considera la dependencia con φ D (θ) = p ef (r, θ) p (r) Es normal expresar la directividad en decibelios D =2log p ef p Página 2

3 Diagrama de directividad Es la representación de la directividad de una fuente sonora en función de las coordenadas esféricas θ y φ Cuando existe simetría de revolución en torno al eje z, larepresentación se puede realizar de manera sencilla y muy intuitiva en un diagrama polar 2D Página 3

4 Factor de directividad Q El factor de directividad de una fuente en una dirección, se define como la razón entre la intensidad acústica que en esa dirección emite la fuente, y la intensidad que emitiría una fuente isotrópica -fuente puntual omnidireccional- que radiara igual potencia total Q (θ, φ) = I (θ, φ) I iso I iso = W 4πr 2 = S I (θ,φ )senθ dθ dφ 4π Q (θ, φ) =4π I (θ, φ) S I (θ,φ )senθ dθ dφ Cuando existe simetría de revolución Q (θ) = 1 2 π 1 I(θ ) I(θ) sen θ dθ Página 4

5 Índice de directividad DI Se define como diez veces el logaritmo decimal del factor de directividad DI =1logQ Se puede expresar como la suma del índice de directividad máximo más la directividad expresada en decibelios DI =1log I I iso =1log I I iso 1 log I I iso +1log p2 p 2 I I = = DI +2logD Página 5

6 3.2 Directividad de fuentes Fuente esférica Sea una esfera de radio a situada en un medio homogéneo e isotrópico. Su superficie se mueve con una velocidad radial û (t) =û a e jωt En el medio se generan ondas esféricas p (r) = Â r e jkr La fuente es omnidireccional; radia por igual en todas las direcciones D =1; Q =1; DI = Esta fuente sonora no existe, pero se puede utilizar para modelar fuentes sonoras que sean lo suficientemente pequeñas. Entonces la geometría de la fuente sonora pierde importancia Página 6

7 La presión en la superficie de la esfera es p (a) =Â a e jka = Ẑ s (a) û a = ρ c ( jka ) jka+1 û a El valor de la amplitud resulta ( ) jka 2 Â = ρ c û a e jka = jka+1 ( ) jωρ 1 Û a e jka 4 π 1+jka Así p (r) = jωρ 4 πr ( 1 1+jka ) Û a e jk(r a) Cuando ka 1ykr 1 p (r) = jωρ 4 πr Ûa e jkr Esta expresión no depende de la geometría de la fuente sonora Página 7

8 Pistón en pantalla infinita Sea un pistón de radio a situado en una pantalla infinita, en un medio homogéneo e isotrópico y a r 1 P 1 φ 1 r θ d x P(r, θ) z El elemento diferencial de superficie en P 1 genera en P la presión diferencial d p = jωρ dû 2 πd e jkd = jωρ û 2 πd e jkd ds dû = ûds es la velocidad volumétrica del elemento diferencial de superficie ds = r 1 dφ 1 dr 1 Página 8

9 En campo lejano a r 1 d 1 r e jkd e jkr e jkr 1 sen θ sen φ 1 La presión diferencial resulta entonces d p jωρ û 2 πr e jkr e jkr 1 sen θ sen φ 1 r 1 dφ 1 dr 1 La presión total en P se obtiene sumando todas las contribuciones diferenciales p (r, θ) = d p = S jωρ û 2πr jωρ û 2πr jωρ Û 2πr e jkr e jkr a 2 π a [ ] 2 J1 (ka sen θ) ka sen θ e jkr 1 sen θ sen φ 1 r 1 dφ 1 dr 1 = J (jkr 1 sen θ) r 1 dr 1 = e jkr J y J 1 son funciones de Bessel de primer orden y Û = πa2 û es la velocidad volumétrica en la superficie del pistón Página 9

10 .6 J 1 (x) La directividad del pistón en pantalla infinita es D = p (r, θ) p (r, ) = 2 J 1 (ka sen θ) ka sen θ 1 2*J 1 (x)/x Página 1

11 (a) ka = (b) ka = (c) ka = (d) ka = (e) ka = (f) ka =1 Directividad del pistón en pantalla infinita Página 11

12 La función de Bessel de primer orden y primera especie tiene el desarrollo en serie J 1 (x) = x 2 x x Cerca del eje z, convaloresde ka sen θ bajos p (r, θ) jωρ Û 2πr e jkr 3.3 Impedancias de radiación El sonido se produce por una superficie vibrante como el diafragma de un altavoz La impedancia de radiación es una medida cuantitativa de la oposición que presenta el medio al movimiento de la superficie vibrante La impedancia de radiación tiene una parte real, que determina la potencia radiada, y una parte imaginaria o reactiva, que viene de la masa de airequesemuevesincompresión apreciable Página 12

13 Esfera pulsante La oposición a la vibración de la esfera es Ẑ M = f û = S p û =4πa2 ρ c jka Esta impedancia de radiación puede expresarse como dos elementos en paralelo u 1 Ẑ M = + 1 4πa 2 ρ c + 1 jω 4πa 3 ρ f M R M M _ 1 = 1 R M + 1 jω M M Sin embargo, es más normal expresar esta impedancia como dos elementos en serie, aunque dependientes de la frecuencia u + f _ M MR R MR Ẑ MR =4πa 2 (ka) 2 ρ c 1+(ka) 2 +j4πa 2 ka ρ c 1+(ka) 2 = R MR + jx MR Página 13

14 R MR y X MR suelen representarse en su forma normalizada frente a ka R MR = X MR = R MR 4πa 2 ρ c = X MR 4πa 2 ρ c = (ka)2 1+(ka) 2 ka 1+(ka) 2 1e+ 1e-1 X MR 4 π a 2 ρ c 1e-2 R MR 1e-3 1e ka A baja frecuencia, ka 1 R MR (ka) 2 ; X MR ka A alta frecuencia, ka 1 R MR 1; X MR 1 ka Página 14

15 Pistón en pantalla infinita La impedancia mecánica de radiación es [ Ẑ MR = πa 2 ρ c 1 J 1 (2ka) + j H 1 (2ka) ka ka J 1 es la función de Bessel de primer orden y primera especie y H 1 es la función de Struve de primer orden H 1 (x) = 2 ( x 2 π 3 x x 6 ) Los valores de R MR y X MR en su forma normalizada son R MR = X MR = R MR πa 2 ρ c =1 J 1 (2ka) ka X MR πa 2 ρ c = H 1 (2ka) ka La impedancia mecánica de radiación normalizada para el pistón en pantalla infinita posee el mismo aspecto que la de la esfera pulsante, con la diferencia de una cierta ondulación introducida por las funciones de Bessel y Struve ] Página 15

16 1 X R ka A baja frecuencia, ka 1 J 1 (2ka) ka Entonces 1 (ka)2 2 R MR (ka)2 2 A alta frecuencia, ka 1 lím x J 1 (x) =; En consecuencia ; H 1 (2ka) ka ; X MR 8ka 3π 8ka 3π lím x H 1 (x) = 2 π R MR 1; X MR 2 πka Página 16

17 Pistón al final de un tubo En el margen de baja frecuencia R MR (ka)2 4 ; X MR 1, 927ka π En el margen de alta frecuencia R MR 1; X MR 2 πka El factor de normalización es πa 2 ρ c Pistón radiando libremente En el margen de baja frecuencia R MR (ωa) 2 (ka) 2 ρ 2 En el margen de alta frecuencia R MR 2; X MR ; X MR 8ka 3π El factor de normalización es πa 2 ρ c Página 17

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19 2J 1 (x) 2J 1 (x) 2J 1 (x) x x x D db x x D db x D, 1,, 4, -,33-29,63 8,,59-24,1,999 -,1 4,1 -,5-25,95 8,1,61-24,2,995 -,4 4,2 -,66-23,61 8,2,63-24,3,989 -,1 4,3 -,8-21,94 8,3,64-23,4,98 -,17 4,4 -,92-2,71 8,4,65-23,5,969 -,27 4,5 -,13-19,77 8,5,64-23,6,956 -,39 4,6 -,112-19,5 8,6,63-23,7,94 -,54 4,7 -,119-18,5 8,7,62-24,8,922 -,7 4,8 -,124-18,1 8,8,6-24,9,92 -,89 4,9 -,128-17,83 8,9, ,,88-1,11 5, -,131-17,65 9,, ,1,856-1,35 5,1 -,132-17,58 9,1, ,2,831-1,61 5,2 -,132-17,59 9,2, ,3,83-1,9 5,3 -,131-17,68 9,3, ,4,774-2,22 5,4 -,128-17,86 9,4, ,5,744-2,57 5,5 -,124-18,12 9,5, ,6,712-2,95 5,6 -,119-18,46 9,6,29-3 1,7,68-3,35 5,7 -,114-18,88 9,7, ,8,646-3,79 5,8 -,17-19,39 9,8, ,9,612-4,27 5,9 -,1-2, 9,9, ,,577-4,78 6, -,92-2,71 1,,9-41 2,1,541-5,33 6,1 -,84-21,52 1,1,4-48 2,2,55-5,93 6,2 -,75-22,49 1,2 -,1-57 2,3,47-6,57 6,3 -,66-23,6 1,3 -,6-44 2,4,434-7,26 6,4 -,57-24,91 1,4 -, ,5,398-8,1 6,5 -,47-26,5 1,5 -, ,6,362-8,82 6,6 -,38-28,43 1,6 -, ,7,327-9,71 6,7 -,29-3,9 1,7 -, ,8,293-1,67 6,8 -,19-34,33 1,8 -, ,9,259-11,74 6,9 -,1-39,91 1,9 -,29-3

20 Directividad de un pistón montado en pantalla infinita

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22 2ka R MR X MR 2ka R MR X MR 2ka R MR X,,, 4, 1,33,5349 8,,9413,1,12,424 4,1 1,54,5146 8,1,9389,2,5,847 4,2 1,66,4937 8,2,9371,3,112,1266 4,3 1,8,4725 8,3,936,4,199,168 4,4 1,922,451 8,4,9355,5,39,287 4,5 1,127,4293 8,5,9357,6,443,2486 4,6 1,1115,477 8,6,9366,7,6,2875 4,7 1,1188,3861 8,7,938,8,779,3253 4,8 1,1244,3647 8,8,94,9,979,3618 4,9 1,1284,3437 8,9,9425 1,,1199,3969 5, 1,131,3231 9,,9455 1,1,1438,435 5,1 1,1322,331 9,1,9489 1,2 ;1695,4624 5,2 1,132,2837 9,2,9527 1,3,1969,4925 5,3 1,136,2649 9,3,9569 1,4,2258,528 5,4 1,1279,247 9,4,9614 1,5,2561,5471 5,5 1,1242,23 9,5,966 1,6,2876,5713 5,6 1,1194,2138 9,6,979 1,7,323,5935 5,7 1,1137,1986 9,7,976 1,8,3539,6134 5,8 1,173,1845 9,8,9811 1,9,3883,6312 5,9 1,1,1714 9,9,9862 2,,4233,6468 6, 1,922,1594 1,,9913 2,1,4588,66 6,1 1,839,1485 1,1,9964 2,2,4946,671 6,2 1,751,1387 1,2 1,13 2,3,535,6798 6,3 1,661,13 1,3 1,61 2,4,5665,6863 6,4 1,568,1224 1,4 1,17 2,5,623,695 6,5 1,473,1159 1,5 1,15 2,6,6378,6926 6,6 1,379,115 1,6 1,191 2,7,6729,6925 6,7 1,285,161 1,7 1,229 2,8,774,694 6,8 1,192,128 1,8 1,263 2,9,7411,6862 6,9 1,11,14 1,9 1,294

23 Impedancia mecánica de radiación normalizada de un pistón en pantalla infinita