2 Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad

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1 2 Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad Problemas. El abdomen del cangrejo de mar común Carcinus moenas) está integrado por siete segmentos dispuestos paralelamente. En los machos se suelen apreciar fusiones entre los segmentos, 4 y 5. Se considera la variable aleatoria X Número de segmentos fusionados. Esta variable puede tomar los valores ninguna fusión), se fusionan los segmentos y 4, ó el 4 y 5), y 2 se fusionan los tres segmentos entre sí). A través de diversas consideraciones sobre la genética de esta población de cangrejos, se llega a la conclusión de que las probabilidades asociadas a esta variable son de la forma: P X ) a b a) P X ) b a P X 2) a, a > a) Qué relación debe existir entre a y b para que esta distribución de probabilidad esté bien definida?. b) Calcula la esperanza y la varianza de esta variable aleatoria. c) Supongamos que a2. Si se tienen 6 cangrejos, cuál es la probabilidad de que ninguno presente fusiones en los segmentos señalados?. Solución: a) Para que la distribución de probabilidad esté bien definida han de darse dos condiciones: ) P X k), k,, 2 2) 2 k P X k)

2 Comenzando por la segunda de estas condiciones, debe ocurrir que: P X ) + P X ) + P X 2) a b a) + b a + a + a + b a a b a) + b ab a 2 + a 2 a ) b b + a2 a Llevando ahora este valor de b a la expresión de las probabilidades P X k) para k,, tenemos: P X ) donde hemos empleado que: a b a) a a ; P X ) a a + ) a + b a +a 2 a a +a 2 a 2 +a a a a + Podemos comprobar que efectivamente: P X ) + P X ) + P X 2) a a a + ) + a a + ) + a a + a a ) + a + a a + ) a + a 2 a + a + a a + ) Asimismo, como a es mayor que según se indica en el enunciado, es trivial comprobar que las tres probabilidades P X ), P X ) y P X 2) están comprendidas entre y. b) Por definición, la esperanza de una variable aleatoria discreta es E [X] k kp X k). En este caso: E [X] P X ) + P X ) + 2 P X 2) a a a a ) + 2 a + ) a2 + a + 2 a a a + ) a a + ) Asimismo, la varianza es var X) E [X²] E [X]) 2, donde E [ X 2] k k2 P X k). En este caso: E [X²] 2 P X ) + 2 P X ) P X 2) a a a a + 2) a + ) a a + ) a a ) + 4 a + ) a a + ) a + 2 a a2 + a + 2 a a + )

3 Por tanto: var X) E [X²] E [X]) 2 a + 2 a a + 2 a a 2 ) 2 + a + 2 a a + ) a4 + a 2 + 2a a + 4a 2 a 2 a + ) 2 a a + )2 a + 2) a 4 2a 5a 2 2a 4 a 2 a + ) 2 a4 + 4a + 5a 2 + 2a a 4 2a 5a 2 2a 4 a 2 a + ) 2 2a 4 a 2 a + ) 2 2 a 2 ) a 2 a + ) 2 c) Si a 2 entonces P X ) a aa+) 6. Si suponemos que los 6 cangrejos son independientes suposición razonable), y llamamos X i Número de fusiones que presenta el cangrejo i, la probabilidad de que ninguno presente fusiones es: P X X 2 X X 4 X 5 X 6 ) P X ) P X 2 ) P X ) P X 4 ) P X 5 ) P X 6 ) ) El número de días que transcurren desde que cierto vertido industrial llega al mar hasta que puede considerarse que dicho vertido ha desaparecido del entorno del emisario por el cual fue expulsado, es una variable aleatoria cuya función de probabilidad se supone de la forma: fx) ϑ,7) k, k,, 2,,... siendo ϑ es una constante. a) Determinar el valor de ϑ y calcular el número esperado de días que transcurren desde la emisión hasta la desaparición del vertido. b) Con probabilidad.95, cuál es el número máximo de días que tarda en desaparecer el vertido? c) Sabiendo que tras 4 días aún no ha desaparecido el vertido, cuál es la probabilidad de que desaparezca el quinto día? Solución:

4 a) Para que la función de probabilidad esté bien definida debe ocurrir que k f k). En este caso, los valores de k van desde hasta, por lo que: ϑ,7) k ϑ,7) k ϑ,7 ϑ, k k Nota: Hemos utilizado aquí el valor de la suma de la serie geométrica de razón ρ menor que la unidad es k ρk ρ. Este valor puede obtenerse del siguiente modo: ) Llamamos S n n k ρk + ρ + ρ 2 + ρ + + ρ n + ρ n 2) Calculamos ρs n ρ + ρ 2 + ρ + + ρ n + ρ n + ρ n+ ) Restamos S n ρs n + ρ + ρ 2 + ρ + + ρ n + ρ n) ρ + ρ 2 + ρ + + ρ n + ρ n + ρ n+) ρ n+, de donde se sigue que ρ) S n ρ n+. 4) Despejamos S n ρn+ ρ. 5) Entonces, si < ρ <, se tiene que lím n ρn y en tal caso k ρk S lím S n n ρ. Para calcular la esperanza de esta variable hemos de hallar E [X] k k k,,7k, k k,7k, 2, días.,7,7) 2,7, kp X k) Nota: Ahora hemos utilizado el valor de la suma de la serie aritmético-geométrica de razón ρ menor que la unidad es k kρk ρ. Este valor puede obtenerse del ρ) 2 siguiente modo: ) Llamamos S n n k kρk ρ + 2ρ 2 + ρ + + n ) ρ n + nρ n 2) Calculamos ρs n ρ 2 + 2ρ + + n ) ρ n + nρ n+ ) Restamos S n ρs n ρ + 2ρ 2 + ρ + + n ) ρ n + nρ n) ρ 2 + 2ρ + + n ) ρ n + nρ n+) ρ + ρ 2 + ρ + + ρ n nρ n+, de donde se sigue que: ρ) S n + + ρ + ρ 2 + ρ + + ρ n) nρ n+ + ρn+ ρ ρ n + ) ρn+ + nρ n+2 ρ 4) Despejamos S n ρ n+)ρn +nρ n+ ) ρ) 2. nρ n+ ρ ρn+ nρ n+ + nρ n+2 ρ ρ n + ) ρ n + nρ n+) ρ 5) Entonces, si < ρ <, se tiene que lím n + ) n ρn y lím n nρn+, por lo que en tal caso k kρk S lím S n ρ. n ρ) 2

5 b) Si X es el número de días que tarda en desaparecer el vertido, hemos de calcular el valor M tal que P X M),95. Ahora bien: M M P X M) P X k),,7 k,,7m+,7 k k,7 M+ Entonces: P X M),95,7 M+,95,7 M+,5 M + ) ln,7) ln,5) M ln,5) ln,7) 7,99 Si deseamos mostrar la solución con un número entero de días podríamos decir que P X 8),95. c) Se trata de una probabilidad condicionada: P X 5 X > 4) P {X 5 {X > 4) P X > 4) P X 5) P X ) P X 5) k P X k),,75, k,7k,,7 5,,74,7,,75,7 4,2. La velocidad en cm/seg) de una corriente marina en cierta zona es una variable aleatoria con función de densidad f x) e ϑx, x a) Cuál es la velocidad media de la corriente?. b) Se coloca una boya cuyo anclaje es capaz de resistir el empuje de una corriente de hasta 4 km/h. Cuál es la probabilidad de que el anclaje se rompa? c) Cuál es la probabilidad de que se rompa en un día en que la velocidad de la corriente ha superado ya los.5 km/h? Solución: Antes de realizar ningún cálculo necesitamos determinar el valor de la constante ϑ. Para ello imponemos la condición de que la probabilidad total área total bajo la función de densidad)

6 debe ser. En este caso: f x) dx e ϑx dx e ϑx dx ) [e e ] ϑ ϑ [ ϑ e ϑx ] Entonces: f x) dx ϑ ϑ Por tanto, la función de densidad de la variable X Velocidad de la corriente es f x) e x, x. a) El valor medio, o esperado, de la velocidad de la corriente es: E [X] xf x) dx x e x dx Esta integral puede resolverse fácilmente por partes; llamando u x, dv e x dx, se tiene que du dx, v e x por lo que: x e x dx xe x + e x dx [ xe x e x] Así pues, la velocidad media de la corriente es de cm/seg 6. cm/hora.6 km/hora. b) Una velocidad de 4 km/hora equivale a que el anclaje se rompa es entonces: 4, cm,6 seg, cm/seg. La probabilidad de P X,), e x dx [ e x], e,,292 c) Una velocidad de.5 km/hora es equivalente a 5, cm,6 seg 97,22 cm/seg. La probabilidad de que el anclaje se rompa es ahora la probabilidad de que la velocidad supere la resistencia del anclaje esto es, supere los. cm/seg.) sabiendo que ya supera los cm/seg. La probabilidad pedida es, pues, una probabilidad condicionada: P X, X 97,22) P {X, {X 97,22) P X 97,22) P X,) P X 97,22) e, e 97,22 e, 97,22) e,89, La cantidad de arena en kg.) depositada cada día en una playa debido a la meteorización de

7 las rocas del relieve próximo es una variable aleatoria con función de densidad: x 2 x ϑ f x) x > a) Determinar el valor de ϑ para que fx) sea función de densidad. b) Cuál es la cantidad esperada de arena que se deposita cada día en la playa? c) Cuál es la variabilidad de estos depósitos de arena? d) Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera elegido al azar la playa gane arena? y de que la pierda? e) Cuál es la probabilidad de que en un día se ganen entre 2 y 5 kg de arena? f ) Cuál es la probabilidad de que en un día se ganen menos de 5 kg de arena si se sabe que ese día se han ganado más de 2 kg? Solución: a) Nuevamente, para determinar ϑ debemos buscar el valor que hace que la probabilidad total sea. En este caso: ˆ ˆ x 2 f x) dx dx [ ] x ϑ ϑ x [ ) )] ϑ ϑ ) 4 6 ϑ ϑ Para que esta integral valga ha de ocurrir que: 4 6 ϑ ϑ Por tanto, podemos reescribir la función de densidad de la variable X Cantidad de arena depositada en la playa diariamente como: f x) x2 ϑ El siguiente código R nos permite dibujar esta función: x x 2 ) 4 6, x > ffunctionx){ifelseabsx)<,*-x^2)/4e6,) > xseq-2,2,length5) > plotx,fx),type"l",col"red",lwd2) > )

8 fx) x Como puede apreciarse, esta función de densidad entre - y es una parábola invertida. b) Si observamos la gráfica anterior, es evidente que la esperanza de esta variable es cero, ya que la función de densidad es simétrica respecto al origen, por lo que su centro de masas esperanza) está en dicho punto. Desde un punto de vista empírico, ello significa que la playa está en equilibrio, y que en promedio recibe tanta arena como pierde. Para calcular esta esperanza de manera anaĺıtica hemos de resolver: ˆ xf x) dx ˆ 4 6 x x 2) 4 6 dx 4 6 [ ) ] [ x2 2 x4 4 4 )2 2 )4 4 )] c) Para calcular la variabilidad hemos de hallar la varianza: ˆ var X) E [ X 2] E [X]) 2 E [ X 2] x 2 x 2) 4 6 dx ] [ x 4 6 x5 5 [ ) )] ) ) ) ) ) kg 2 5 Podemos expresar la variabilidad también en términos de la desviación típica: σ var X) 2 44,72 kg.

9 d) La probabilidad de que la playa gane arena es P X ) y la probabilidad de que pierda es P X ). De la simple observación de la gráfica de la función de densidad de esta variable, simétrica respecto al origen, se deduce que ambas probabilidades deben ser iguales a /2. En cualquier caso, pueden calcularse anaĺıticamente como: P X ) ˆ 4 6 f x) dx ˆ 6 6 x 2) 4 6 dx 4 6 ) ) ] [x x P X ) P X ) 2 e) P 2 X 5) ) [ x 2 ) dx x x 4 6 )] ) 8, [ ] 5 2 f ) Se trata en este caso de una probabilidad condicionada: P {X < 5 {X 2) P X < 5 X 2) P X 2),9575,52,556 P 2 X < 5) P X 2) donde: P X 2) ˆ ˆ x 2) f x) dx dx 4 6 ) )] [ ),52 ] [x x 2 5. La proporción X, en tanto por uno, en que cierto compuesto químico aparece presente en la composición de las algas de determinada especie es una variable aleatoria con función de densidad: f x) ϑ + ) x ϑ. x a) Comprobar que fx) es siempre función de densidad, cualquiera que sea el valor de ϑ. b) Cuál debe ser el valor de ϑ para que el valor esperado de X sea.7? c) Cuál debe ser este valor para que PX,7),95?

10 Solución: a) Para comprobar que f x) es siempre función de densidad cualquiera que sea el valor de ϑ hay que verificar que f x) dx ϑ. En efecto: ˆ ϑ + ) x ϑ dx ϑ + ) ˆ [ ] x x ϑ ϑ+ dx ϑ + ) ϑ+ ϑ+) ϑ ϑ + b) La esperanza de esta variable aleatoria es: E [X] ˆ xf x) dx [ x ϑ+2 ϑ + ) ϑ + 2 Para que su valor sea.7: ˆ ] x ϑ + ) x ϑ dx ϑ + ) ϑ + ϑ + 2 ˆ x ϑ+ dx ϑ +,4,7 ϑ +,7 ϑ + 2) ϑ,7ϑ,4 ϑ ϑ + 2,, c) P X,7),7 ϑ + ) x ϑ dx [ x ϑ+],7,7 ϑ+. Para que esta probabilidad sea.95:,7 ϑ+,95 ϑ + ) ln,7) ln,95) ϑ ln,95) ln,7) ϑ, En otra especie de algas, la concentración de este compuesto químico tiene por función de densidad la siguiente: f x) 2ϑ x + ϑ 2 ϑ + ϑ 2, x a) Para qué valores de ϑ y ϑ 2 es f x) una función de densidad correctamente definida? b) Demostrar que no existen valores de ϑ y ϑ 2 para los que E [X],7 y var X),6 c) Demostrar que existen infinitos valores de ϑ y ϑ 2 para los que E [X],7 y var X),4. d) Reparametrizar f x) de tal manera que los valores de sus parámetros sean únicos en el caso anterior. Nota: Tener en cuenta que fx) es una recta entre y ) Solución:

11 a) Para que f x) esté bien definida, debe verificar que f x) dx ϑ. Entonces: ˆ 2ϑ x + ϑ 2 ϑ + ϑ 2 dx x [2ϑ 2 ] ϑ + ϑ ϑ 2x ϑ + ϑ 2 ) ϑ, ϑ 2, Si ϑ + ϑ 2 ) ϑ + ϑ 2 Por tanto esta función está definida para cualesquiera valores de ϑ y ϑ 2, siempre y cuando ϑ + ϑ 2. b) Tenemos: E [X] ˆ xf x) dx ϑ + ϑ 2 [2ϑ x ˆ + ϑ 2 x 2ϑ x + ϑ 2 dx ϑ + ϑ 2 x 2 2 ] ϑ + ϑ 2 2 ϑ + ) 2 ϑ 2 ˆ ˆ E [ X 2] x 2 f x) dx x 2 2ϑ x + ϑ 2 dx ϑ + ϑ 2 x [2ϑ 4 ϑ + ϑ ϑ x ] 2 ϑ + ϑ 2 2 ϑ + ) ϑ 2 Sabemos que var X) E [ X 2] E [X]) 2, por lo que E [ X 2] var X) + E [X]) 2. Como en este caso var X),6 y E [X],7, se sigue que E [ X 2],6 +,49,65. Sustituyendo estos valores en las expresiones anteriores: 2 ϑ +ϑ 2 ϑ + 2 ϑ 2),7 ϑ +ϑ 2 2 ϑ + ϑ ) 2,65 2 ϑ + 2 ϑ ) 2,7 ϑ + ϑ 2 ) 2 ϑ + ϑ ) 2,65 ϑ + ϑ 2 ) de donde: 2,7) ϑ + 2,7) ϑ 2 2,65) ϑ +,65) ϑ 2 Multiplicando ambas ecuaciones por 6 para eliminar las fracciones): 4 4,2) ϑ + 4,2) ϑ 2,9) ϑ + 2,9) ϑ 2,2ϑ,2ϑ 2,9ϑ 2,9ϑ 2 Este sistema de ecuaciones es homogéneo; como el rango de su matriz de coeficientes es 2, su única solución es ϑ ϑ 2 ; pero en tal caso f x) no es una función de densidad, por lo que podemos concluir que no existen valores de los parámetros ϑ y ϑ 2 que produzcan los valores de esperanza y varianza indicados. c) En este caso E [ X 2] ϑ +ϑ 2 ϑ + 2 ϑ 2),7 ϑ +ϑ 2 2 ϑ + ϑ ) 2 6, y procediendo como antes: 2 ϑ + 2 ϑ ) 2 7 ϑ + ϑ 2 ) 2 ϑ + ϑ ) 2 6 ϑ + ϑ 2 )

12 de donde: ) ϑ + 2 ) 7 ϑ2 ) ϑ + ) 6 ϑ2 Multiplicando ambas ecuaciones por para eliminar las fracciones): 2 2) ϑ + 5 2) ϑ 2 5 6) ϑ + 6) ϑ 2 ϑ 6ϑ 2 ϑ 6ϑ 2 Por tanto tenemos una única ecuación ϑ + 6ϑ 2, que tiene infinitas soluciones: dado cualquier valor a R {, el par ϑ 2 a,ϑ 6a es solución. d) Si observamos que f x) es en realidad la ecuación de una recta, podemos reparametrizar esta función de densidad como: y para que esté bien definida: ˆ f x) dx f x) 2ϑ x + ϑ 2 ϑ + ϑ 2 2ϑ ϑ + ϑ 2 x + ϑ 2 ϑ + ϑ 2 ϕ x + ϕ 2 ˆ x ϕ x + ϕ 2 ) dx [ϕ ϕ 2x ] ϕ 2 + ϕ 2 Por tanto: ϕ 2 ϕ 2 ) y sustituyendo en la expresión anterior de f x): f x) ϕ x + ϕ 2 2 ϕ 2 ) x + ϕ 2 Por tanto, en realidad f x) depende de un único parámetro; podemos prescindir del subíndice y escribir directamente: f x) 2 ϕ) x + ϕ, x En particular, para los valores de E [X] y var X) del apartado anterior se tenía que ϑ + 6ϑ 2. Como ϕ ϕ 2 ϑ 2 ϑ +ϑ 2 ϕ ϑ 2 ϑ + ϑ 2 y la densidad en este caso se reduce a: resulta: ϑ 2 6ϑ 2 + ϑ 2 ϑ 2 5ϑ 2 5 f x) 2 + ) x x En otra especie de algas, la concentración de este compuesto químico tiene por función de

13 densidad la siguiente: f x) ϑ x 2 + 2ϑ 2 x +, x ϑ + ϑ 2 + a) Para qué valores de ϑ y ϑ 2 es f x) una función de densidad correctamente definida? b) Determinar los valores de ϑ y ϑ 2 sabiendo que E [X],7 y var X),6 Solución: a) Para que f x) esté bien definida, debe verificar que f x) dx ϑ. Entonces: ˆ ϑ x 2 + 2ϑ 2 x + dx ϑ + ϑ 2 + x [ϑ ϑ + ϑ ϑ x 2 ] x ϑ + ϑ 2 + ϑ + ϑ 2 + ) ϑ, ϑ 2, ϑ + ϑ 2 + ) Por tanto esta función está definida para cualesquiera valores de ϑ y ϑ 2, siempre y cuando ϑ + ϑ 2 +. b) Tenemos: E [X] ˆ xf x) dx ϑ + ϑ 2 + ˆ [ϑ x 4 x ϑ x 2 + 2ϑ 2 x + dx ϑ + ϑ ϑ 2 x + x2 2 ] ϑ + ϑ ϑ + 2 ϑ 2 + ) 2 ˆ ˆ E [ X 2] x 2 f x) dx x 2 ϑ x 2 + 2ϑ 2 x + dx ϑ + ϑ 2 + x [ϑ 5 ϑ + ϑ ϑ x 4 ] x ϑ + ϑ ϑ + 2 ϑ 2 + ) var X) E [ X 2] E [X]) 2 c) Como E [X],7 y var X),6, sustituyendo en las expresiones anteriores: ϑ +ϑ 2 + ϑ +ϑ ϑ + 2 ϑ 2 + 2),7 5 ϑ + 2 ϑ 2 + ),7 2,6 ϑ +ϑ ϑ + 2 ϑ 2 + ) 2,7 ϑ +ϑ ϑ + 2 ϑ 2 + ),55 4 ϑ + 2 ϑ 2 + ) 2,7 ϑ + ϑ 2 + ) 5 ϑ + 2 ϑ 2 + ),55 ϑ + ϑ 2 + ) Multiplicamos por 2 la primera ecuación y por la segunda para eliminar las fracciones): 9ϑ + 8ϑ 2 + 6) 8,4 ϑ + ϑ 2 + ) 8ϑ + 5ϑ 2 + ) 6,5 ϑ + ϑ 2 + )

14 9 8,4) ϑ + 8 8,4) ϑ 2 8, ,5) ϑ + 5 6,5) ϑ 2 6,5,6ϑ,4ϑ 2 2,4,5ϑ,5ϑ 2 6,5 Multiplicamos la primera ecuación por 5 y la segunda por -2: ϑ 2ϑ 2 2 ϑ + ϑ 2 Sumamos ambas ecuaciones: ϑ 2 De la primera ecuación: ϑ 2 + 2ϑ ) ϑ El siguiente código R nos permite dibujar la función de densidad para estos valores de ϑ y ϑ 2 : f x) x + 2 ) x x2 6x + x 2 5 x + > ffunctionx){ifelsex< x>,,*x^2-.6*x+/) > xseq-.2,.2,length5) > plotx,fx),type"l",col"red",lwd2) > ablinevc,),lty2) > fx) x