Mecánica Clásica 1 2 Instituto de Física y Matemáticas, UMSNH

Transcripción

1 Mecánica Clásica 1 2 Instituto de Física y Matemáticas, UMSNH Mecánica Lagrangiana Dinámica lagrangiana Ligaduras. Ligaduras holónomas y espacio de configuraciones. Coordenadas generalizadas. Grados de libertad. Desplazamientos virtuales. Principio de los trabajos virtuales. Ligaduras ideales. Principio de D Alembert. Derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange del principio de D Alembert. Función lagrangiana. Fuerzas generalizadas. Energía cinética en coordenadas generalizadas. Potenciales generalizados. Partícula cargada en un campo electromagnético. Función de disipación. Ligaduras no holónomas 3. Derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange para sistemas no holónomos a partir del principio de D Alembert. Multiplicadores de Lagrange. Dificultad de extender el principio de Hamilton a sistemas no holónomos. El principio de mínima acción Cálculo de variaciones. Concepto de funcional. Funcionales diferenciables. Ecuaciones de Euler-Lagrange como condiciones para la determinación de curvas extremales. Ejemplos: líneas geodésicas para el plano y la esfera ; problema de la braquistocrona. Acción. Principio de mínima acción de Hamilton. Equivalencia de las ecuaciones de Euler-Lagrange y del principio de mínima acción. Simetrías y leyes de conservación Integrales del movimiento. Propiedades de simetría y leyes de conservación. Homogeneidad del tiempo y conservación de la energía para sistemas cerrados. Sistemas conservativos. Integral de Jacobi. Relación 1 El símbolo indica opcional. 2 El símbolo indica que solamente se ilustra con ejemplos y se recomienda no presentar las demostraciones completas. 3 Se recomienda Arnold, Kozlov, Neishtadt. 1

2 entre energía e integral de Jacobi. Homogeneidad del espacio y conservación del momento lineal. Isotropía del espacio y conservación del momento angular. Teorema de Noether. Sistemas unidimensionales y oscilaciones Ecuaciones dinámicas. Período de un movimiento finito unidimensional. Péndulo plano: solución de la ecuación dinámica. Período de oscilación. Posiciones de equilibrio estable. Linealización de un sistema dinámico lagrangiano. Pequeñas oscilaciones en el caso unidimensional. Oscilaciones forzadas. Oscilaciones amortiguadas. Oscilador amortiguado sujeto a una fuerza impulsora. Resonancia paramétrica. Pulsación. Oscilaciones pequeñas para sistemas con más de un grado de libertad. Frecuencias características y modos normales de oscilación. Péndulos acoplados. Vibraciones moleculares. Límite de sistemas continuos. Movimiento en un campo de fuerza central Problema de dos cuerpos. Movimiento de un punto material en un campo de fuerza central. Reducción a un problema unidimensional. Análisis de las trayectorias en un campo central. Condiciones para la caida hacia el centro de la fuerza. Campo coulombiano. Las tres leyes de Kepler. Condiciones para que todas las órbitas limitadas sean cerradas (teorema de Bertrand ). Estabilidad de trayectorias acotadas. Precesión del perihelio debida a términos perturbativos del potencial gravitatorio. Colisiones y dispersión de partículas Colisiones elásticas binarias. Análisis cinemático de los procesos de colisión. Análisis dinámico de los procesos de colisión. Sección eficaz de dispersión. Potenciales atractivos y sección de incidencia. Sección de dispersión en el sistema del centro de masa y en el sistema del laboratorio. Fórmula de Rutherford. Problema inverso: determinación del potencial a partir de la sección de dispersión. Dispersión para ángulos de desviación pequeños. 2

3 Mecánica Hamiltoniana Dinámica hamiltoniana Transformada de Legendre. Función hamiltoniana como transformada de Legendre de la lagrangiana con respecto a las velocidades. Ecuaciones de Hamilton. Relación entre hamiltoniana y energía. Coordenadas cíclicas. Espacio fase. Flujo de fase hamiltoniano. Teorema de Liouville. Teorema de Poincaré. Principio de mínima acción en el espacio fase. Principio variacional de Maupertius. Corchetes de Poisson. Identidad de Jacobi. Teorema de Poisson. Transformaciones canónicas Definición de las transformaciones canónicas. Función generatriz. Ejemplos de transformaciones canónicas (transformación identidad, transformaciones puntuales, intercambio momentos-coordenadas). Condiciones para que una transformación sea canónica: condiciones directas, condición simpléctica. Corchetes de Poisson como invariantes canónicos. Transformaciones canónicas infinitesimales. Constantes de movimiento como generatrices de las transformaciones canónicas que dejan invariante la hamiltoniana. Hamiltoniana como generatriz de la evolución temporal. Momento lineal como generatriz de las translaciones. Momento angular como generatriz de las rotaciones. La ecuación de Hamilton-Jacobi Acción como función de las coordenadas y del tiempo. La ecuación de Hamilton-Jacobi. Función característica. Ejemplo de aplicación: el oscilador armónico. Separación de variables. Análisis del movimiento en un campo central con el método de Hamilton-Jacobi. Variables de acción-ángulo Variables acción-ángulo para sistemas periódicos con un grado de libertad. Variables acción-ángulo para sistemas con periodicidad múltiple. Problema de Kepler en variables acción-ángulo. Invariantes adiabáticas. Teoría especial de la relatividad 3

4 BIBLIOGRAFÍA 1. H. Goldstein, Classical Mechanics, 2 a ed., Addison-Wesley, Reading (1980) 2. L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Mechanics, 3 a ed., Pergamon Press, Oxford (1976) 3. V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer Verlag, Berlin (1978) 4. Jorge V. José and Eugene J. Saletan, Classical Dynamics, a contemporary approach, Cambridge University Press (1998). 5. C. Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Dover Publications Inc. (1970). Comentarios acerca de las referencias: - Goldstein: presenta la versión estándar de la construcción de las ecuaciones de Euler-Lagrange a partir del concepto de trabajo virtual. Presenta una versión completa de la formulación Hamiltoniana. (la Extension del principio de Hamilton a sistemas no holonomos presentada en Goldstein NO es correcta (Axel Weber)). - Landau: presenta las ecuaciones de Euler-Lagrange a partir del principiod e mínima acción. La parte Lagrangiana es muy valiosa en esta versión y los ejercicios son pocos pero muy ilustrativos. - Arnold: presenta una versión muy bien formulada de la mecánica en términos matemáticos. No presenta un gran número de ejercicios y suele ser somero en algunos temas, pero el grado de abstracción es considerable y atractivo. - José y Saletán: presenta una versión geométrica de la formulación lagrangiana. Demanda el conocimiento de ciertas bases de geometría diferencial. Los ejercicios son muy valiosos y numerosos. Muy útil para los multiplicadores de Lagrange. - Lanczos: contiene la versión mejor fundamentada del uso de los principios variacionales aplicados a la mecánica. 4

5 - Arnold, Kozlov y Neishtadt, Dynamical Systems III - Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics, 2da edición 1993, Springer. 5