Fundamentos algebraicos 1. Grupos Sea S un conjunto. Se denota con S S el conjunto de los pares ordenados (s, t) con s, t en S. Un mapeo de S S en S se llama operación binaria en S. Esta definición requiere que la imagen de (s, t) S S pertenezca a S. Esto se conoce como propiedad de clausura de una operación. Una estructura algebraica o sistema algebraico es un conjunto con una o más operaciones. 1.1. Definicion. Un grupo es un conjunto G junto con una operación binaria en G tal que: 1. es asociativa: Para todos a, b, c G se cumple a (b c) = (a b) c; 2. Existencia de elemento identidad o unidad e en G : Para todo a G el elemento identidad satisface a e = e a = a; 3. Existencia de elemento inverso: Para todo a G existe a 1 G que cumple a a 1 = a 1 a = e. Si, además 4. Para todos a, b G se cumple que a b = b a, entonces el grupo se llama abeliano o conmutativo. Es fácil mostrar que e y a 1 son únicos, que (a 1 ) 1 = a, que (a b) 1 = b 1 a 1 y que a b = a c implica b = c y b a = c a implica b = c (leyes de cancelación) para todos a, b, c G. Frecuentemente, por simplicidad se escribe ab en lugar de a b. A veces se usa notación aditiva: a + b en lugar de a b y a en lugar de a 1. La ley asociativa garantiza que la expresión a 1 a 2... a n sea inambigua. Se utiliza la notación a n para representar aa... a (n factores a), siendo a un elemento de G. Asimismo a n es (a 1 ) n. Se cumple a n a m = a n+m y (a n ) m = a nm, siendo m y n enteros. Si se trata de un grupo aditivo lo anterior se escribe na, ( n)a = n( a), na + ma = (n + m)a y m(na) = (mn)a respectivamente.
Teoría de Códigos-InCo 2 Se adopta la convención a 0 = e en la notación multiplicativa y 0a = e en la notación aditiva. 1.2. Ejemplo. Enteros, un conunto con un único elemento, el conjunto de restos de los enteros divididos n. 1.3. Definicion. Un grupo multiplicativo G se dice cíclico si existe a G tal que para cualquier b G existe j Z tal que b = a j. Se dice que a es un generador del grupo cíclico y se escribe G = a. Puede haber más de un elemento generador. (Ej: 1, 1 en el grupo aditivo Z ). Todo grupo cíclico es conmutativo. Un subconjunto R de S S se llama relación de equivalencia si se cumplen las propiedades reflexividad, simetría y transitividad. En una relación de equivalencia R, la clase de equivalencia de s S es el conjunto [s] = {t S : (s, t) R}. 1.4. Definicion. Sean a, b Z, n Z +. Entonces se dice que a es congruente con b módulo n y se denota a b mod (n) si n (a b), o sea si a = b + kn para algún entero k. En el conjunto {[0],..., [n 1]} se define la operación + : [a] + [b] = [a + b]. 1.5. Definicion. El grupo formado por {[0],..., [n 1]} de clases de equivalencia módulo n con la operación + se llaman grupo de enteros módulo n y se denota Z n. Z n es un grupo cíclico. Un generador es [1]. 1.6. Definicion. Un grupo se dice finito (infinito) si contiene una cantidad finita (infinita) de elementos. El número de elementos de un grupo finito se llama orden y se escribe G o también O(G ). e. Para cualquier elemento a de un grupo finito G se cumple que a O(G ) = La función φ(.) se llama totient (o de Euler) y φ(n) indica el número de enteros j, con 1 j n, que son primos relativos con n. Si la factorización en primos distintos de n es n = s i=1 pe i i, entonces s ) s φ(n) = n (1 1pi = (p i 1)p e i 1 i. i=1 i=1
Teoría de Códigos-InCo 3 Si n es un entero positivo y a es primo relativo con n, entonces a φ(n) 1 mod (n) (Euler). Si p es primo, para cualquier entero a se cumple a p a mod (p) (Fermat). 1.7. Ejemplo. Tablas de Cayley para presentar Z n. 1.8. Definicion. El subconjunto H de G es un subgrupo de G si H es un grupo respecto a la operación de G. {e} y G son los subgrupos triviales. A otros subgrupos se les llama no triviales o propios. El conjunto formado por las potencias de a en G es un subgrupo. Si G es un grupo finito cuyo orden es un número primo, entonces G es cíclico y sus únicos subgrupos son los triviales. Para probar que un subconjunto H de G es un subgrupo se debe demostrar que si a, b H, entonces ab H (propiedad de clausura) y que a 1 H (existencia de inverso). Las otras propiedades de un grupo (asociatividad y existencia de elemento identidad) se deducen de las anteriores. Si H es finito alcanza con demostrar que se cumple la propiedad de clausura. 1.9. Definicion. El subgrupo de G que consiste en todas las potencias de un elemento a de G se llama subgrupo generado por a y se denota a. Es cíclico. Si a es finito, su orden se llama orden de a y se denota O(a). En otro caso se dice que a es de orden infinito. El elemento a es de orden k si k es el entero positivo más chico que cumple a k = e. Si a m = e, entonces m es múltiplo de k. Si S es un subconjunto no vacío de G, se denota con S al subgrupo de G generado por S, que está constituido por los productos finitos de potencias de los elementos de S. Si S = G, se dice que S genera G. 1.10. Teorema. Sea H un subgrupo de G. Se define la relación R H sobre G, mediante (a, b) R H si y sólo si a = bh para algún h H (b 1 a H ). Entonces R H es una relación de equivalencia. La relación de equivalencia R H se llama congruencia izquierda módulo H. Los subconjuntos de la partición inducida por R H se llaman cosets izquierdos y se denotan ah = {ah : h H } siendo a un elemento fijo de G. También se pueden definir los cosets derechos: H a = {ha : h H }. Si G es abeliano no hay diferencias entre cosets izquierdos y derechos. Otra notación usada en lugar de (a, b) R H es a b mod H. 1.11. Ejemplo. G = Z 12 y H = {[0], [3], [6], [9]}. Los cosets son [0] + H, [1] + H, [2] + H.
Teoría de Códigos-InCo 4 1.12. Teorema. Si H es un subgrupo finito de G, entonces todo coset (izquierdo, derecho) de G módulo H tiene el mismo número de elementos que H. 1.13. Definicion. Si el subgrupo H de G sólo sostiene una cantidad finita de cosets izquierdos de G, entonces el número de cosets se llama el índice de H en G. 1.14. Teorema. El orden de un grupo finito G es igual al orden de cualquier subgupo H multiplicado por el índice de H en G. El orden de H divide al orden de G y el orden de cualquier a G divide al orden de G. 1.15. Teorema. 1. Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico. 2. En un grupo cíclico a de orden m el elemento a k genera un subgrupo de orden m/gcd(k, m). 3. Si d es un divisor positivo del orden m de un grupo cíclico finito a, entonces a contiene exactamente un subgrupo de índice d y uno de orden d. 4. Sea f un divisor positivo del orden de un grupo cíclico finito a. Entonces a contiene φ(f) elementos de orden f. 5. Un grupo finito cíclico a de orden m contiene φ(m) generadores. Los generadores son las potencias a r con gcd(m, r) = 1. 1.16. Definicion. Un mapeo f : G H, sinedo G y H grupos, es un homomorfismo de G en H si f preserva la operación de G. Esto es, si y son las operaciones de G y H respectivamente, entonces f preserva si para todos a, b G se tiene f(a b) = f(a) f(b). Si, además el mapeo es sobre H, entonces f se denomina epimorfismo. Un homomorfismo de G en G se llama endomorfismo. Si f es uno a uno de G en H se llama isomorfismo. En este caso se dice que G y H son isomorfos. Un isomorfismo de G en G se llama automorfismo. Los automorfismos forman un grupo con la composición como operación. Un ejemplo importante son los automorfismos internos: Para un elemento fijo a de G, se define f a por f a (b) = aba 1 para b G. Los b y aba 1 se dicen conjugados y para un subconjunto no vacío S de G, el conjunto asa 1 = { asa 1 : s S } se denomina un conjugado de S. Y los conjugados de S son las imágenes de S bajo los distintos automorfismos internos de G.
Teoría de Códigos-InCo 5 1.17. Definicion. El núcleo de un homomorfismo f : G H del grupo G en el grupo H es el conjunto kerf = {a G : f(a) = e } donde e es el elemento identidad de H. 1.18. Ejemplo. En el homomorfismo f : Z Z n dado por f(a) = [a] el núcleo es kerf = n. Es fácil probar que kerf siempre es un subgrupo de G. Y además, si a G y b kerf entonces aba 1 kerf. 1.19. Definicion. El subgrupo H del grupo G se denomina subgrupo normal de G si aha 1 H para todo a G y h H. Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal. 1.20. Teorema. 1. El subgrupo H de G es normal si y sólo si H es igual a sus conjugados (H es invariante bajo todos los automorfismos internos de G ). 2. El subgrupo H de G es normal si y sólo si el coset izquierdo ah es igual al coset derecho Ha para todo a G. 1.21. Teorema. Si H es un subgrupo normal de G, entonces el conjunto de cosets (izquierdos) de G módulo H forma un grupo respecto a la operación (ah )(bh ) = (ab)h 1.22. Definicion. Para un subgrupo normal H de G, el grupo formado por los cosets de G módulo H bajo la operación del teorema 1.21. se llama el grupo factor (o grupo cociente) de G módulo H y se denota G /H. Si G /H es finito su orden es igual al índice de H en G. Por el teorema 1.14. esto es G /H = G / H. 1.23. Teorema (Teorema de homomorfismo). Sea f : G f(g ) = G 1 un homomorfismo de G sobre G 1. Entonces kerf es un subgrupo normal de G y G 1 es isomorfo al grupo factor G /ker f. Inversamente si H es un subgrupo normal de G, entonces el mapeo ψ : G G /H definido por ψ(a) = ah para a G es un homomorfismo de G sobre G /H con ker ψ = H. 1.24. Definicion. Sea S un subconjunto no vacío de G. El normalizador de S en G es N(S) = { a G : asa 1 = S }. 1.25. Teorema. Para cualquier subconjunto S no vacío de G, N(S) es un subgrupo de G y hay una correspondencia uno a uno entre los cosets izquierdos de G módulo N(S) y los conjugados asa 1 de S. El conjunto de los elementos conjugados de a es la clase conjugada de a. Para algunos elementos la clase conjugada tiene un único elemento.
Teoría de Códigos-InCo 6 1.26. Definicion. Para todo grupo G, el centro de G es el conjunto C = {c G : ac = ca para todo a G }. Es sencillo probar que C es un subgrupo normal de G. 1.27. Teorema (Ecuación de clases). Sea G un grupo finito con centro C. Entonces, G = C + k i=1 n i donde cada n i 2 y es divisor de G. Los n i son los números de elementos de las distintas clases conjugadas en G que contienen más de un elemento. 2. Anillos y cuerpos 2.1. Definicion. Un anillo (R, +, ) es un conjunto R junto con dos operaciones binarias, denotadas + y tal que: 1. R es un grupo abeliano con respecto a +. 2. es asociativa: (a b) c = a (b c) para todos a, b, c R. 3. Se cumplen las leyes distributivas: a (b + c) = a b + a c y (b + c) a = b a + c a para todos a, b, c R. Habitualmente se usa R para designar el anillo (R, +, ). A las operaciones + y se les llama respectivamente adición y multiplicación. El elemento identidad repecto a la adición se denota 0. El inverso aditivo de a se denota a y a b es una abreviación de a + ( b). Se escribe ab en lugar de a b. Para todos a, b R se cumple a0 = 0a = 0 y ( a)b = a( b) = ab. 2.2. Definicion. 1. Un anillo con identidad es un anillo que tiene un elemento identidad respecto a la operación multiplicativa. Esto es, existe e R tal que ae = ea = a para todo elemento a de R. 2. Se dice que un anillo es conmutativo si la operación es conmutativa. 3. Un dominio de integridad es un anillo conmutativo con identidad e 0 en el cual ab = 0 implica a = 0 o b = 0. 4. Un anillo se denomina anillo de división si los elementos de R excluido el 0 forman un grupo bajo. 5. Se define cuerpo como un anillo de división conmutativo. La propiedad definida en 3 se expresa diciendo que no hay divisores de cero. En un dominio de integridad se cumple la ley de cancelación: si ab = ac y a 0, entonces b = c.
Teoría de Códigos-InCo 7 En un cuerpo al elemento 0 se le llama el elemento cero y al elemento e se le llama elemento identidad multiplicativo o simplemente identidad. 2.3. Ejemplo. (i) Sea R un grupo abeliano. Si se define ab = 0 para todo a, b R, entonces R es un anillo. (ii) Los enteros forman un dominio de integridad, pero no un cuerpo. (iii) Los enteros pares forman un anillo conmutativo sin identidad. (iv) Las funciones de los reales en los reales forman un anillo conmutativo con identidad bajo las definiciones de f + g y fg dadas por (f + g)(x) = f(x) + g(x) y (fg)(x) = f(x)g(x) para todo x R. (v) El conjunto de las matrices 2 2 de números reales forman un anillo no conmutativo con identidad con respecto a la adición y la multiplicación de matrices. 2.4. Teorema. Todo dominio de integridad finito es un cuerpo. 2.5. Definicion. Un subconjunto S de un anillo R se denomina un subanillo de R si S es cerrado bajo + y y forma un anillo bajo esas operaciones. 2.6. Definicion. Un subconjunto J de un anillo R se llama un ideal si J es un subanillo de R y para todo a en J y r en R se cumple ar J y ra J. 2.7. Ejemplo. (i) Los enteros son un subanillo de los racionales pero no un ideal. (ii) Si R es un anillo conmutativo y a es un elemento de R, entonces J = {ra : r R } es un ideal. (iii) Sea R un anillo conmutativo y a R. El ideal de R más pequeño que contiene el elemento a es (a) = {ra + na : r R, n Z }. Si R tiene identidad, entonces (a) = {ra : r R }. 2.8. Definicion. Sea R un anillo conmutativo. Un ideal J de R se dice que es principal si existe a R tal que J = (a). En este caso, a J se le llama también el ideal principal generado por a. Los ideales son subgrupos normales del grupo aditivo de un anillo. Por lo tanto un ideal J de un anillo R define una partición de R en cosets disjuntos llamados clases residuales módulo J. La clase residual del elemento a de R módulo J se denota por [a] = a + J y son los elementos a+c para algún c J. Los elementos a, b R se denominan congruentes módulo J, y se denota a b mod J, si están en la misma clase residual
Teoría de Códigos-InCo 8 módulo J. Se puede verificar que a b mod J implica a + r b + r mod J, ar br mod J y ra rb mod J para cualquier r R y que na nb mod J para n Z. Si, además, r s mod J, entonces a + r b + s mod J y ar bs mod J. Se puede probar que el conjunto de clases residuales de un anillo R respecto a un ideal J forma un anillo respecto a las operaciones (a + J ) + (b + J ) = (a + b) + J (1) (a + J )(b + J ) = ab + J (2) 2.9. Definicion. El anillo de clases residuales del anillo R módulo el ideal J bajo las operaciones 1 y 2 es llamado anillo de clases residuales o anillo de factores de R módulo J y se denota R /J. 2.10. Ejemplo. (Anillo de clases residuales Z /(n) ) Se denota la clase residual del entero a módulo el entero positivo n por [a] y también por a + (n). 2.11. Teorema. Z /(p), el anillo de clases residuales de los enteros módulo el ideal principal generado por un primo p, es un cuerpo. 2.12. Ejemplo. Tablas de Cayley con p = 3. Los elementos de Z /(3) son [0], [1] y [2]. Las clases Z /(p) son el primer ejemplo de cuerpos finitos. No se debe asumir que en la formación anillos de clases residuales se preservan las propiedades del anillo original. Por ejemplo cuando n es compuesto, en Z /(n) hay divisores de cero. Hay una extensión obvia desde grupos hacia anillos de la definición de homomorfismo. Un mapeo ϕ : R S de un anillo R en un anillo S es un homomorfismo si para todos a, b R se cumple ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) y ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) El conjunto ker ϕ = {a R : ϕ(a) = 0 S} se denomina el núcleo de ϕ. 2.13. Teorema (Teorema de homomorfismo para anillos). Si ϕ es un homomorfismo de un anillo R sobre un anillo S, entonces ker ϕ es un ideal de R y S es isomorfo al anillo de factores R /ker ϕ. Recíprocamente, si J es un ideal del anillo R, entonces el mapeo ψ : R R /J definido por ψ(a) = a + J para a R es un homomorfismo de R sobre R /J con núcleo J.
Teoría de Códigos-InCo 9 2.14. Definicion. Para un primo p, sea F p (también denotado GF (p) ) el conjunto {0, 1,..., p 1} de enteros y sea ϕ : Z /(p) F p el mapeo definido por ϕ([a] ) = a para a = 0, 1,..., p 1. Entonces F p, enriquecido con la estructura inducida por ϕ, es un cuerpo finito, llamado el cuerpo de Galois de orden p. 2.15. Ejemplo. Tablas de Cayley para F 2 y F 5. 2.16. Definicion. Si R es un anillo arbitrario y existe un entero positivo n tal que nr = 0 para todo r R, entonces el menor de esos enteros positivos n se llama la característica de R y se dice que R tiene característica (positiva) n. Si no existe tal entero positivo n, se dice que R tiene característica 0. 2.17. Teorema. Un anillo R {0} de característica positiva que tiene identidad y sin divisores de cero debe tener característica prima. 2.18. Corolario. Un cuerpo finito tiene característica prima. 2.19. Teorema. Sea R un anillo conmutativo de característica prima p. Entonces (a + b) pn = a pn + b pn y (a b) pn = a pn b pn para todos a, b R y n N. Sea R un anillo conmutativo con identidad. Un elemento a R es llamado divisor de b R si existe c R tal que ac = b. Una unidad de R es un divisor de la identidad (o sea, las unidades son los elementos invertibles del anillo); se dice que dos elementos a, b R están asociados si hay una unidad ɛ de R tal que a = bɛ. Un elemento c R es llamado elemento primo si no es unidad y sus únicos divisores son las unidades de R y los asociados de c. Un ideal P R del anillo R es llamado un ideal primo si para a, b R se tiene ab P sólo si a P o b P. Un ideal M R de R es llamado un ideal maximal de R si para cualquier ideal J de R la propiedad M J implica J = R o J = M. Se dice que R es un dominio de ideales principales si R es un dominio de integridad y si todo ideal J de R es principal, esto es, existe a R tal que J = (a) = {ra : r R }. 2.20. Teorema. Sea R un anillo conmutativo con identidad. Entonces: (i) Un ideal M de R es un ideal maximal si y sólo si R /M es un cuerpo. (ii) Un ideal P de R es un ideal primo si y sólo si R /P es un dominio de integridad.
Teoría de Códigos-InCo 10 (iii) Todo ideal maximal de R es un ideal primo. (iv) Si R es un dominio de ideales principales, entonces R /(c) es un cuerpo si y sólo si c es un elemento primo de R. 2.21. Definicion. Si a y b pertenecen al anillo R, el elemento d de R es un máximo común divisor de a y b si (i) d divide a a y d divide a b. (ii) Si c R divide a a y a b entonces c divide a d. Si R es un anillo con identidad, a y b son primos relativos si su máximo común divisor es la identidad. 2.22. Definicion. Un domino de integridad es un dominio de factorización única si (i) todo elemento distinto de cero que no sea unidad puede ser factorizado como el producto de un número finito de elementos primos; (ii) la factorización es única a menos del orden y de factores unidad. El teorema fundamental de la aritmética establece que Z es un dominio de factorización única. 2.23. Teorema. Todo par de elementos de un dominio de factorización única tiene máximo común divisor. 2.24. Teorema. Un dominio de ideales principales es un dominio de factorización única. 2.25. Definicion. Se dice que un dominio de integridad R es un anillo Euclideano (dominio Euclideano) si está definida una función d que a cada elemento distinto de 0 de R asocia un entero no negativo tal que (i) Para todo a, b R \ {0} d(a) d(ab); (ii) Para todo a, b R \ {0} existen t, r R tales que a = tb + r donde r = 0 o d(r) < d(b). 2.26. Teorema. Un anillo euclideano es un dominio de ideales principales. 2.27. Teorema. Sea R un anillo euclideano y a, b R. Entonces a y b tienen un máximo común divisor d. Además d = pa + qb para algunos p, q R. 2.28. Teorema. Sea R un anillo euclideano. Si p es un elemento primo de R y p ab con a, b R, entonces p a o p b. Si a y c son primos relativos y c ab, entonces c b, con a, b, c R.