1ª Evaluación 2Bach CCSS DETERMINANTES.PROGRAMACIÓN LINEAL. Nombre: Fecha: Instrucciones: a) Duración: 1 hora y media. b) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. d) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. OPCIÓN A 1. Resuelve los siguientes ejercicios: a) (1,25 puntos) Halla el valor de a para que el determinante de la siguiente matriz sea igual a 24: 1 38 53 78 4 87 39 a 93 2 A = 2 1 38 53 4 87 a 8a = 24 a = 3 = 2 4a = b) (1,25 puntos) Determinar para que valores de m la siguiente matriz tiene inversa: 1 1 m A = m A = m 3 6 1 = m = ± 7 que no tiene 6 solución real. Luego la matriz A tiene inversa para cualquier valor de m A = 2. (2,5 puntos) Discutir el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a: x y + z = 1 1 y + z = = 2 + 1 1 = Luego el sistema x + 2z = a 3 1 2 no es compatible determinado 1 1 1 2 1 1 a 3 + 1 a 3 F ; = F ; F < F ; = F ; F 3 1 1 1 1 a 3 + 1 a 3 + 1 = a = 1 a 3 + 1 ) Si a=1 El sistema es compatible indeterminado 2b) Si a 1 El sistema es incompatible 3.- a) (1,5 puntos) Dibujar el recinto del plano definido por el sistema de inecuaciones siguiente y determinar sus vértices: y 2 2x x 1 3y x + 2y 6 x El recinto sería:
El recinto tiene por vértices A(1,), B(,2), C(,3) y D(4,1). b) (1 punto) Sabiendo que A(,2), B(1,4), C(3,4), D(4,2) y E(2,1) son los vértices de una región factible, determinar el mínimo y el máximo de la función objetivo F(x,y) = 1x+5y+21 Calculamoslosvaloresquetomalafunción F(x,y)=1x+5y+21 enlosvérticesquenosindican en el problema F ( A) = F (, 2) = 31 F(B) = F(1,4) = 51 F(C) = F(3,4) = 71 F(D) = F(4,2) = 71 F(E) = F(2,1) = 46 Luego el máximo está en todos los puntos del segmento CD y vale 71. El mínimo está en el punto A y vale 31. 4.- (2,5 puntos) Un comerciante quiere dar salida a 4kg de avellanas, 3kg de nueces y 4kg de almendras. Para ello hace dos tipos de lotes: los de tipo A contienen 2kg de avellanas, 2kg de nueces y 1kg de almendras; los del tipo B contienen 3kg de avellanas, 1kg de nueces y 4kg de almendras. El precio de venta de cada lote es 2 los de tipo A y 4 los de tipo B. cuántos lotes de cada tipo ha de vender para obtener el máximo beneficio y a cuánto asciende éste? Llamamos x al número de lotes del tipo A. Llamamos y al número de lotes del tipo B. Tipo A Tipo B Máximo Avellanas 2 3 4 Nueces 2 1 3 Almendras 1 4 4 Beneficio 2 4 2x + 4y Teniendo en cuenta lo anterior tenemos las siguientes inecuaciones: 2x+3y²4; 2x+y²3; x+4y²4; y ; x
La función beneficio es F(x,y) ) = 2x + 4y con sus vértices A(,), B(,1), C(8,8), D(125,5 y E(15,) F(,) = 2. + 4. =, F(,1)= 2. + 4.1 =4, F(8,8)= 2.(8)+4.(8)=48, F(1,)= 2(1) + 4() =2. Teniendo en cuenta lo anterior vemos que el máximo absoluto de la función F en la región es 48 (el valor mayor en los vértices) y se alcanza en el punto (8,8), es decir para obtener el mayor beneficio hay que realizar 8 lotes del tipo A y otros 8 lotes del tipo B OPCIÓN B 1 1.- a) (1 25 puntos) Dada la matriz A = 1, determina para qué 1 m valores del parámetro m existe A @<. A = m + + 1 + m = Luego la matriz A tiene inversa para cualquier valor de m b) (1 25 puntos) Calcula la inversa de A cuando m=-1 AdjA = 1 1 1 A @< = 1 A ; AdjA C = AdjA C 1 1 1 ; A @< = 1 1 1 1 2.- (2 5 puntos) Resuelva el sistema formado por las ecuaciones: x + y + z = 6 2x y + 2z = 3 3x + 2y 3z = 3 x = E < < ; @< 3 ; 3 @; A = = GEGEG;@3HGI 1 1 1 2 2 3 2 3 = 1; y = = 3 + 4 + 6 + 3 4 + 6 = 18 < E < 3 ; 3 ; ; @; = @IGEG;E@I@EG;E =3
z = 1 1 6 2 3 3 2 3 18 = 3 + 24 + 9 + 18 6 6 18 = 2 3.- (2 5 puntos) Una empresa monta dos tipos de ordenadores: fijos y portátiles. La empresa puede montar como máximo 1 fijos y 15 portátiles a la semana, y dispone de 16 horas de trabajo a la semana. Se sabe que el montaje de un fijo requiere 4 horas de trabajo, y reporta un beneficio de 1 euros, mientras que cada portátil necesita 1 horas de trabajo y genera un beneficio de 15 euros. Calcule el número de ordenadores de cada tipo que deben montarse semanalmente para que el beneficio sea máximo, y obtenga dicho beneficio. x = No ordenadores fijos. y = No ordenadores portátiles. Función Objetivo = Beneficio = F(x,y) = 1x + 15y por x las 1; inecuaciones y 15; dadas. 4x + 1y 16; x ; y, = 1; y = 15; 4x + 1y = 16; x = ; y =. Vemos que los vértices del recinto son: A(,), B(1,), C(1,12), D(2 5,15) y E(,15). F(,) = 1() + 15() =; F(1,) = 1(1) + 15() = 1; F(1,12) = 1(1) + 15(12) = 28; F(2 5,15) = 1(2 5) + 15(15) = 25; F(,15) = 1() + 15(15) = 225; Teniendo en cuenta lo anterior vemos que el máximo absoluto de la función F en la región es 28 (el valor mayor en los vértices) y se alcanza en el vértice B(1,12), es decir el beneficio máximo es de 28 y se alcanza montando 1 ordenadores fijos y 12 ordenadores portátiles. 4.- Sea el siguiente sistema de inecuaciones: x+ y 6; x 5; y 3x; x³; y³ a) (1 5 puntos) Represente gráficamente el conjunto de soluciones del sistema y calcule sus vértices.
Los vértices del recinto son los puntos: A = (,); B = (5,); C = (5,1); D = (15,45) b) (1 punto) Halle el punto del recinto anterior en el que la función F(x, y) = 38x + 27y alcanza su valor máximo. F(A) = F(,) = F(B) = F(5,) =19. F(C) = F(5,1) = 21.7 F(D) = F(15,45) =17.85 Luego vemos que el máximo está en el punto C = (5,1) y vale 21.7