3.4. Valorar la calidad de un método y de un instrumento de medición en función de las cifras significativas obtenidas Para el físico, las cifras significativas es una herramienta de comunicación de información. Por qué? Los resultados de medición, con el número de cifras significativas adecuadas, comunican al experimentador el grado de certidumbre de los mismos, y esta información es vital, pues, le permite, entre otras cosas, evaluar la calidad de los resultados de dicha medición, valorar la precisión del instrumento de medición utilizado, y en el proceso de enseñanza, tomar consciencia de la importancia de hacer mediciones con precisión para no desperdiciar el material que utiliza. En consecuencia, los resultados de estas valoraciones y análisis dan al experimentador capacidad predictiva sobre lo que puede encontrar o esperar con respecto a las mediciones. La información que brindan las cifras significativas no es sólo útil y clave para el físico, pues obtiene datos de buena calidad, sino también para el hombre en su vida cotidiana. Por ejemplo, un sastre, debe saber medir con precisión ya que el resultado de la medición que realizó, le va a permitir diseñar y dibujar con precisión el molde del traje que tiene que hacer, tener un buen molde puede ser la diferencia entre un traje de alta costura o calidad corriente, además, con esta información puede comprar justo la cantidad de tela que necesita y de esta forma evita el exceso y desperdiciar por tanto, tela, dinero y tiempo. Y esto último puede ser la diferencia entre un sastre exitoso y otro no exitoso. Consigna o afirmación que expone la situación a resolver Interés o idea principal de la situación a resolver Cómo comparar la precisión entre dos métodos, a través de expresar resultados de medición con el número adecuado de cifras significativas? Una de las preocupaciones de todo experimentador es encontrar la forma de valorar la calidad del método que utiliza. En consecuencia, el experimentador hace uso de distintas herramientas que le facilitan tener
90 información en este sentido, algunas sofisticadas, otras muy simples. En el hacer del físico, éste se encuentra con herramientas simples y de fácil uso que lo ayudan en esta tarea. Es por todo ello y más, que nuestro interés principal, dentro de esta experiencia, es hacer evidente la importancia y el papel que juega el reflexionar sobre cómo se usa una determinada herramienta, en este caso promoveremos la reflexión sobre una herramienta de comunicación: las cifras significativas y el papel que pueden jugar en la valoración del método de medición. Figura 3.39. Materiales. Se podría diseñar una experiencia centrada en el análisis y resolución de la consigna planteada? La respuestas es sí. En el desarrollo de esta experiencia, en su primera parte, utilizaremos un mismo instrumento y dos métodos de medición diferentes y, en su segunda parte, nos centraremos en trabajar con un mismo método de medición y diferentes instrumentos. Esta estructura, para comparar los métodos de medición, tiene a su base un control de variables. El comparar los resultados obtenidos en ambas partes dará sentido, forma y contenido a lo hecho y se puede traducir en la comprensión y manejo del concepto cifras significativas. En esta comparación, la herramienta de comunicación fundamental son las cifras significativas. Comprender lo importante que es saber qué utilidad puede tener una herramienta determinada, facilita al individuo, articular adecuadamente dicha herramienta en distintos contextos de trabajo. Por todo lo anterior tenemos que, el diseño y desarrollo de esta experiencia, parte de la hipótesis de que todas las fichas de la caja de
91 dominó, son iguales. En función de esto último los puntos medulares de la experiencia son: 1. Obtener el volumen de una ficha de dominó, a partir de la medición de la longitud de su espesor, ancho y largo. Es importante tener presente, la precisión del aparato (la regla) y lo que significa. Figura 3.41. Espesor de la ficha de dominó.. 2. Medir la longitud de los lados de un grupo de 28 fichas de dominó que se encuentra en la caja. Para ello, se debe utilizar la misma regla que en el punto anterior. 3. Comparar los resultados obtenidos con el método de trabajo del punto uno con los resultados obtenidos con el método descrito en el punto 2. Figura 3.42. Largo de la ficha de dominó. 4. Mantener el mismo método de trabajo al obtener la información, pero, con la diferencia de que cambiaremos el instrumento de medición. Qué evidencias se pueden obtener para valorar la calidad de un método de trabajo con respecto a otro? 5. Comparar los resultados obtenidos en los puntos 1 y 2 con los resultados obtenidos en el punto 4. Figura 3.40. Ancho de la ficha de dominó. Al medir la longitud de los lados de una ficha de dominó, ancho (figura 3.40), espesor (figura 3.41), Y largo (figura 3.42), con una regla de treinta centímetros, obtuvimos la información mostrada en el cuadro 3.11. La incertidumbre de la medición de cada lado está dada por la precisión de la regla. Es necesario hacer hincapié en que la medición de los lados de la ficha de dominó fue realizada con un método directo
92 de medición (primer método a comparar), pues, los resultados obtenidos, salen directamente del instrumento de medición (la regla). Espesor (mm) Ancho (mm) Largo (mm) 4,0 ± 0,5 15,0 ± 0,5 30,0 ± 0,5 Cuadro 3.11: Evidencias. Con la información de la tabla anterior se obtuvo el volumen de una ficha de dominó, V = abc = 1800 cm 3 (3.11) Lo siguiente es conocer la incertidumbre del volumen obtenido, pues, sin esta información este resultado esta incompleto. Antes de continuar es necesario tener presente que el volumen de la ficha de dominó se obtiene a través de una medición indirecta, pues, para obtener su valor, es indispensable conocer primero cuanto mide cada uno de los lados de dicha ficha (espesor, ancho y largo). Otro aspecto a tener presente es que obtener el error relativo (la incertidumbre) del volumen pasa por el uso de los logaritmos naturales. Por qué? Pues, suponemos que la incertidumbre es pequeña con respecto al valor del volumen obtenido. Por lo tanto, es una magnitud pequeña y se trata de trabajar con el orden de magnitud y esto se consigue con los logaritmos. En consecuencia, se aplica el logaritmo natural a la expresión V=abc y se obtiene, ln V = lna+ ln b + lnc (3.12) Lo siguiente es buscar la diferencial a la expresión anterior o su equivalente, las diferencias finitas por métodos algebraicos (Ver apéndice -1). V V = a a + b b + c c (3.13) A partir de esta expresión, podemos obtener la incertidumbre del volumen de una ficha de dominó, V = a a + b b + c c V (3.14) El resultado obtenido nos dice que la incertidumbre es 270 mm 3 (0,3 x 10 3 mm 3 ) y por lo tanto, el volumen de una ficha de dominó tiene alta probabilidad de encontrarse dentro del siguiente rango, 3 3 ( 1, 8 ± 0,3) x10 mm (3.15) Como el resultado se escribe con una sola cifra dudosa (la última), la duda está en la incertidumbre, es decir, el resultado está entre ±
93 0,3 x 10 3 mm 3, es decir, el resultado está entre 1,5 x 10 3 mm 3 a 2,1 x 10 3 mm 3. O sea un error experimental de alrededor 15 %. Es necesario, señalar que este resultado tiene sólo dos cifras significativas, lo que nos habla de la baja precisión de la regla utilizada. Se puede mejorar la calidad del resultado obtenido? Mejorar la calidad del resultado pasa por aumentar el número de cifras significativas del mismo, en consecuencia, pretendemos, obtener un resultado con dos cifras ciertas y una cifra dudosa. Con esto en mente podemos cambiar el método de medición o el instrumento. Si cambiamos el método de medición significa el uso de un conjunto de fichas de dominó (28) y una regla (el mismo instrumento de medición usado con el primer método). Las fichas de dominó se agrupan en función del espesor, ancho y largo; a continuación se midió las longitudes de estos agrupamientos. Por último, el valor de la longitud de cada agrupamiento fue dividida entre el número de fichas que lo forman (dividir entre un entero que se obtiene sin error, no propaga la incertidumbre). Es importante tener claro que ahora, en este caso, el método de medición de los lados de la ficha de dominó, no es un método directo sino un método indirecto de medición. Figura 3.43. Medición indirecta del espesor. La longitud del agrupamiento de fichas en función del espesor fue de 128,5 mm (el objetivo es de obtener cuatro cifras significativas). Este resultado tiene cuatro cifras significativas. Al dividir la longitud obtenida, entre el número de fichas agrupadas obtenemos que el espesor de una ficha de dominó es de 4,589 mm, figura 3.43. A continuación se procedió a hacer lo mismo para medir el ancho de una ficha de dominó, en este caso se agruparon las fichas, en función del ancho, tal como se muestra en la imagen a continuación. La longitud de este agrupamiento de fichas,
94 Figura 3.44. Medición indirecta del ancho. en función del ancho es de 280,0 mm (el objetivo es de obtener cuatro cifras significativas). Al dividir esta longitud entre el número de fichas agrupadas tenemos que el resultado fue 15,56 mm, figura 3.44. Por último, se procedió a medir el largo de la ficha de dominó, figura 3.45, para ello procedimos de la misma forma y agrupamos las fichas tal como mostramos en la imagen a continuación, en función del largo. En este caso la longitud de este agrupamiento de fichas, en función del largo, fue de 271,5 mm (el objetivo es de obtener cuatro cifras significativas). Nuevamente, al dividir la longitud de este agrupamiento, obtuvimos que el largo de una ficha de dominó es de 30,16 mm. En cuanto a la incertidumbre, de las mediciones obtenidas, la misma está dada por la precisión de la regla. Por lo tanto, los resultados de la medición indirecta de cada longitud medida (espesor, ancho y largo) con su respecti- Figura 3.45. Medición indirecta del largo.
95 va incertidumbre son presentados en el cuadro 3.12. Debemos tener presente que aquí la incertidumbre de cada longitud medida está dada por la máxima incertidumbre (cinco medidas hacia arriba y cinco medidas hacia abajo) de la cifra dudosa. Esta cifra es 9 para el espesor ± 5; 6 para el ancho ± 5 y 6 para el largo ± 5. Esto último es presentado en el cuadro 3.12. Espesor (mm) Ancho (mm) Largo (mm) 4,589 ± 0,005 15,56 ± 0,05 30,16 ± 0,05 Cuadro 3.12: Nuevas evidencias. Tomando en cuenta la propagación de la incertidumbre de los resultados de la tabla anterior, podemos obtener el volumen. El resultado obtenido nos dice que el volumen de una ficha de dominó está a dentro del siguiente rango, V = a + b b + c 0,005 c V = 2,15 4,589 + 0,05 15,56 + 0,05 30,16, este resultado permite escribir el volumen, como sigue, 3 3 ( 2,15 ± 0,01) x 10 mm (3.16) El resultado obtenido, está en el rango 2,14 x 10 3 mm 3 a 2,16 x 10 3 mm 3, pero, en este caso el error (incertidumbre) experimental se encuentra alrededor del 1 %. Lo siguiente es comparar el volumen de una ficha de dominó obtenido, a través de usar un método directo de medición para conocer la longitud de cada uno de sus lados, con el volumen obtenido a través de medir indirectamente los lados de una ficha de dominó. Comenzamos esta comparación presentado los resultados del volumen de una ficha de dominó, obtenido con ambos métodos, en el cuadro 3.13. Volumen (método directo) Volumen (método indirecto) (1,8 ± 0,3) x 10 3 mm 3 (2,15 ± 0,03) x 10 3 mm 3 Cuadro 3.13: Resultados del volumen a comparar. Como podemos observar en el cuadro 3.13, el volumen obtenido con el método usado al medir los lados de una ficha de dominó, está en el límite del rango dentro del cual se encuentra el volumen obtenido al medir los lados de la ficha de dominó con un método indirecto más preciso. Continuando con la comparación, encontramos que cambiar de método de medición, pero,
96 no el instrumento de medición marca la diferencia en cuanto a la calidad de los datos. Es decir, el resultado producto del cambio de método de medición puede tener mayor calidad que el anterior, pues, tiene mayor número de cifras significativas. Es necesario recordar que con cada método de medición se mantiene constante el instrumento de medición (la regla de 30,00 cm). A continuación usamos unos métodos estadísticos para verificar o descartar la hipótesis de que la fábrica hizo todas las fichas iguales, para ello se procedió de la siguiente forma. Se pueden elegir los resultados de un mínimo de ocho alumnos y se obtiene de ese grupo el valor promedio de las medidas, la desviación estándar y la incertidumbre típica. Ante estos resultados se evaluan los valores de la desviación estándar y la incertidumbre típica. Si la dispersión es muy superior a la incertidumbre del método anterior (Segundo Método), entonces, hay que introducir la evaluación estadística. Si es inferior o igual no se gana precisión. La hipótesis nula sería que hay diferencia estadísticamente significativa. Sin embargo, debemos negar la hipótesis y aceptamos que las fichas de dominó son iguales. A continuación tomamos los resultados de 8 personas al medir cada uno de los lados de una pieza de dominó de forma indirecta (agrupando un conjunto de fichas en función del espesor, ancho y largo según sea el caso) y estos resultados son presentados en el cuadro 3.14. Persona Espesor (mm) Ancho (mm) Largo (mm) 1 4,578 ± 0,005 15,65 ± 0,05 30,30 ± 0,05 2 4,589 ± 0,005 15,56 ± 0,05 30,16 ± 0,05 3 4,570 ± 0,005 15,50 ± 0,05 30,22 ± 0,05 4 4,575 ± 0,005 15,67 ± 0,05 30,25 ± 0,05 5 4,580 ± 0,005 15,70 ± 0,05 30,20 ± 0,05 6 4,585 ± 0,005 15,82 ± 0,05 30,45 ± 0,05 7 4,583 ± 0,005 15,60 ± 0,05 30,35 ± 0,05 8 4,590 ± 0,005 15,59 ± 0,05 30,26 ± 0,05 Cuadro 3.14: Mediciones realizadas por distintas personas. El análisis estadístico de los datos obtenidos para cada lado son presentados en el cuadro 3.15. Con estos resultados, los mostrados en el cuadro 3.15, producto de medición indirecta realizada por 8 personas, se obtuvo el volumen de una ficha de dominó. Resultado del volumen En el cuadro 3.16, presentamos el volumen obtenido y su respectiva incertidumbre en función de la desviación estándar y la desviación
97 típica. Valor Promedio (mm) Desviación estándar (mm) Desviación típica (mm) Espesor 4,606 0,074 0,02 Ancho 15,64 0,098 0,04 Largo 30,27 0,092 0,03 Cuadro 3.15: Información sobre el valor promedio, desviación estándar y la desviación típica. Volumnen x 10 3 mm 3 Método indirecto de medición Incertidumbre (desviación estándar) x 10 3 mm 3 Incertidumbre (desviación típica) x 10 3 mm 3 2,15 0,06 0,02 Cuadro 3.16: Resultados del volumen a comparar. Antes de continuar es necesario tener presente que la incertidumbre para cada uno de los volúmenes calculados y presentados en la tabla anterior, fue obtenida a través de la expresión, V = a a + b b + c c V En cuanto al volumen obtenido por el método estadístico debido a las 8 mediciones y con una incertidumbre en función de la desviación típica, nos permitió controlar el problema de la dispersión. Por último, con la finalidad de ver cómo cambiaría la calidad de nuestra medición, mantenemos el mismo método, pero, ahora cambiamos el instrumento de medición. Al comparar método con instrumento, en el fondo partimos de un control de variable, donde mantenemos constante, el método, pero cambiamos el instrumento, para ver si el tipo de instrumento que se usa influye o no en el resultado. El instrumento de medición utilizado, en esta ocasión, es el pie de rey con una precisión de 0,03 mm. Qué sucedería con la calidad de nuestra medición si mantenemos el método, pero cambiamos el instrumento de medición?
98 Figura 3.46. Medición directa del largo. Figura 3.47. Medición directa del ancho. Figura 3.48. Medición directa del espesor.
99 En primer lugar, medimos los lados de una de la ficha de dominó, con su precisión, son presentados en la tabla a continuación. ficha de dominó, figuras 3.16, 3.47, 3.48. Los resultados de esta primera medición de los lados Espesor Ancho Largo (4,43 ± 0,03) mm (15,56 ± 0,03) mm (30,12 ± 0,03) mm Cuadro 3.17: Espesor, ancho y largo de una ficha de dominó obtenidas con pie de rey. Con la información anterior tenemos que el rango. volumen para una ficha de dominó, al medir a través de un método directo, usando un pie de rey, las longitudes de sus lados es, 3 3 ( 2,08 ± 0,02) x 10 mm (3.17) Esta última información nos permite afirmar Luego de lo anterior, se hace necesario comprobar si aumentar el número de mediciones, es decir, medir los lados de las 28 piezas de dominó con un pie de rey mejora el resultado del volumen obtenido. Los datos obtenidos al medir los lados de las 28 piezas de dominó son presentados en el cuadro 3.18. que todos los resultados obtenidos para el volumen, hasta el momento, están dentro del mismo Espesor (mm) Largo (mm) Ancho (mm) 4,43 4,34 30,12 30,23 15,56 15,45 4,78 4,45 30,67 30,34 15,67 15,34 4,67 4,23 30,34 30,23 15,45 14,45 4,56 4,23 30,45 30,67 15,56 15,78 4,78 4,45 30,34 30,12 15,67 15,45 4,78 4,56 30,12 30,12 15,56 15,78 4,67 4,45 30,34 30,34 15,45 15,45 4,89 4,78 30,45 30,34 15,78 15,67 4,78 4,78 30,45 30,34 15,78 15,56 4,56 4,45 30,78 30,34 15,67 15,45 4,67 4,45 30,34 30,23 15,56 15,56 4,78 4,45 30,56 30,12 15,78 15,34 4,67 4,56 30,34 30,45 15,56 15,67 4,56 4,89 30,23 30,45 15,56 15,67 Cuadro 3.18: Mediciones realizadas por distintas personas.
100 A través de un análisis estadístico de los datos mostrados en el cuadro 3.18 obtuvimos la información mostrada en el cuadro 3.19. A partir dela información precedente y tomando en cuenta la propagación de la dispersión, tenemos que el volumen es, en este caso, 3 3 ( 2,17 ± 0,02) x 10 mm (3.18) En el cuadro 3.20 presentamos este último resultado del volumen, pero con su respectiva incertidumbre en función de la desviación estándar y la desviación típica. Valor Promedio (mm) Desviación estándar (mm) Desviación típica (mm) Espesor 4,595 0,185 0,03 Ancho 15,54 0,252 0,03 Largo 30,35 0,173 0,05 Cuadro 3.19: Comparación entre la desviación estándar y la desviación típica. Volumnen x 10 3 mm 3 Método indirecto de medición Incertidumbre (desviación estándar) x 10 3 mm 3 Incertidumbre (desviación típica) x 10 3 mm 3 2,17 0,13 0,02 Cuadro 3.20: Resultados del volumen a comparar. Es momento de recapitular, en consecuencia, en el cuadro 3.21 presentamos los distintos valores encontrados para el volumen de una ficha de dominó con los distintos métodos. Método Volumen (x 10 3 mm 3 ) Casi Directo 1,8 ± 0,3 Indirecto 2,15 ± 0,03 Indirecto con dispersión (28 fichas) 2,15 ± 0,02 Directo (pie de rey) y con dispersión (una sola ficha) Directo (pie de rey ) y con dispersión (28 fichas) 2,08 ± 0,02 2,17 ± 0,02 Cuadro 3.21: Resumen de la información obtenida.
101 Esta comparación nos permite decir, que al mantener el método y cambiar el instrumento la diferencia en la incertidumbre no es significativa, por lo que podemos señalar que el control de la calidad en la medición se puede hacer a través del método (se mejora) o a través del instrumento(se cambia a uno con mayor precisión). Aquí entran otras valoraciones como los costos en tiempo y en dinero para decidir qué hacer. Conclusión Los resultados nos señalan que la calidad de la precisión de la medición se puede controlar a partir del número de cifras significativas que se obtengan producto de la medición. Además, el análisis de las comparaciones nos permite señalar que no hay una única forma de hacer este control. Reflexión alumno o alumna adquiera, poco a poco, habilidades en el manejo, uso y comprensión de la información que recibe, a través, por ejemplo, de la toma de datos. Pero, además debe saber comunicar a otros lo qué hace, cómo lo hace y sus resultados. Este proceso de aprendizaje implica que el aprendiz interactué con los datos (la información) que obtiene producto de la medición, y no conformarse con una lectura estática de dicha información. La interacción entre los alumnos y la información debe girar alrededor de actividades que promuevan la reflexión sobre la importancia de identificar sutilezas, diferencias, similitudes, en la información que se maneja, lo que los puede llevar, poco a poco, a construir criterios que apoyan y fundamentan la comparación de los resultados obtenidos, entre otros aspectos, con métodos de medición diferente. En consecuencia, adquiere herramientas adicionales que le facilitan valorar la calidad del método o de los resultados y hacer un análisis de los dos en tiempo y dinero. El físico requiere, para comprender lo que hace, entre otras cosas, tener claro la función que tienen y el uso que puede dar a las distintas herramientas que le facilitan obtener información. Su hacer gira alrededor de la información que recibe, obtiene o busca, pero, también proporciona información a otros. Esto nos dice que en el hacer de la ciencia la comunicación es una herramienta fundamental. Lo que se traduce en la enseñanza de la física, en que el