PRÁCTICA 1: EL GIRÓSCOPIO 1.- Introducción teórica 1.1. Dinámica del sólido rígido Se va a estudiar el movimiento de un sólido rígido, con un punto fijo, sometido a la acción de la gravedad y en el supuesto de que su centro de gravedad o centro de masas (cdm.) no coincida con O. Es necesario que repasemos o conozcamos los fundamentos de la mecánica del sólido rígido. La ecuación fundamental del movimiento de una partícula, (una masa en la que sus dimensiones no juegan ningún papel en el movimiento) es Fuerza aplicada = variación con el tiempo del momento lineal El momento lineal es un vector que depende de la masa y de la velocidad de la partícula: (1) (2) Pero lo habitual es tener un cuerpo compuesto por muchas partículas, es decir, un sistema de partículas. Por tanto la ecuación (1) se transformará en (3) donde la suma de los momentos de cada partícula será el momento del sistema de partículas Ahora necesitamos recordar el concepto de centro de masas o centro de gravedad. La velocidad del centro de masas se define como la media ponderada de las velocidades, que se calcula sumando los productos de la masa de cada una de las partículas por su velocidad y dividiendo el resultado entre la suma de todas las masas del sistema El concepto de centro de masas se puede aclarar con los siguientes ejemplos: (4) 1
- En una piedra desplazándose horizontalmente todos los puntos de la piedra se desplazan con la misma velocidad y por tanto el centro de gravedad también se moverá con esa velocidad. - Si un disco circular está girando en torno a un eje perpendicular que pasa por su centro, cada punto del disco tendrá una velocidad de traslación distinta (los puntos más alejados del eje se desplazan más rápidamente que los que están más cerca). Sin embargo, por la simetría circular del disco, y debido a que gira en torno a su centro, cualquier punto tendrá su simétrico que se desplazará con la misma velocidad pero en sentido contrario. La media ponderada es por tanto cero y la velocidad de traslación del centro de masas es también cero. - Sería diferente si el disco girase en torno a un eje que no pasara por su centro. En ese caso la media ponderada, y por tanto la velocidad de traslación del centro de masas, ya no sería cero. Por tanto el momento lineal de un sistema de partículas que aparece en la ecuación (3) se define como el producto de la masa total del sistema de partículas por la velocidad de traslación del centro de masas (5) Es decir, el centro de masas o centro de gravedad es el punto en el que se considera que está concentrada, a los efectos de traslación, la masa del sistema. Con esto la ecuación (3) que relaciona las fuerzas con la variación del momento lineal de un sistema de partículas respecto del tiempo toma la forma Suma de fuerzas exteriores = variación del momento lineal del sistema de partículas (6) Pero no es suficiente conocer la velocidad de traslación del centro de masas: el disco puede estar girando en torno a su centro sin desplazarse. Para describir la dinámica de un sistema de partículas por completo hay que tener en cuenta los giros y en torno a qué eje o punto está girando el sistema de partículas. La capacidad que tiene una fuerza de hacer girar un cuerpo en torno a un eje se llama el momento de la fuerza respecto a ese eje y se define matemáticamente como el siguiente producto vectorial (7) donde r 0 es el vector de posición que va desde el punto O (por donde pasa el eje de rotación) hasta el punto de aplicación de la fuerza. Este producto vectorial da como resultado un vector cuyo módulo se define por 2
(8) De la misma forma que para la traslación de un sistema de partículas la magnitud fundamental es el momento lineal del sistema que depende de la masa y de la velocidad de traslación- en el caso de la rotación se define una magnitud que es en parte similar: el momento angular. De igual modo que el momento lineal depende de la velocidad de traslación, el momento angular depende de la velocidad de rotación ω ; y también, como el momento lineal, depende de la masa del sistema de partículas, aunque ahora es más complejo porque no sólo hay que tener en cuenta la masa, sino su distribución en el espacio (o sea de su forma). La magnitud que contiene esta información sobre la masa y la forma del sistema de partículas se llama momento de inercia I. Como hemos dicho anteriormente sigue siendo fundamental la posición del eje de rotación. El momento angular de un sistema de partículas con respecto a un eje que pasa por O se define como (9) 3
Tanto el momento de una fuerza (7) como el momento angular o el momento de inercia dependen de dónde esté colocado el eje de giro. La dirección y sentido del vector velocidad angular ω se obtiene utilizando la regla de la mano derecha: ω se orienta en la dirección y sentido del pulgar cuando el resto de los dedos se enrollan en el sentido de giro del movimiento que estamos describiendo. La relación que describe los giros en un sólido rígido, relación que completa así la información suministrada por la ecuación (6) para la traslación es Suma de momentos de fuerzas exteriores = variación del momento angular del sistema (10) Como se puede observar esta ecuación es bastante similar a la ecuación (6): donde allá se hablaba de fuerza y momento lineal, aquí se habla de momento y momento angular. En los dos casos ocurre que la fuerza/momento es la causa de la variación con el tiempo del momento lineal/momento angular. El conjunto de estas dos ecuaciones (11) describe por completo la dinámica de un sistema de partículas rígido: son las Leyes de Newton de la Mecánica. 4
La siguiente tabla contiene el resumen de los resultados para la dinámica de traslación y rotación de un sistema de partículas, y sirve para destacar la similitud que hay entre ambas dinámicas: Aun así hay dos diferencias fundamentales entre la dinámica de rotación y la de traslación: - Siempre hay que indicar el eje respecto del cual hacemos los cálculos. - En la dinámica de traslación el momento lineal del sistema siempre es paralelo a la velocidad de traslación, en dinámica de rotación esa relación entre el momento angular y velocidad de rotación no se cumple en general. 5
1.2. Cinemática esférica El concepto de cinemática esférica se tratará ampliamente en el tema 5 de la asignatura; no obstante en este guion se va a incluir una pequeña introducción al mismo. Hablamos de cinemática esférica cuando tenemos un sólido rígido en movimiento con un punto fijo para todo instante de tiempo. Algunos ejemplos de sólidos rígidos con movimiento esférico serían las rotulas esféricas, o el propio giroscopio estudiado en la presente práctica. Desde el punto de vista de la dinámica del sólido rígido, tener un punto fijo conlleva una serie de implicaciones que serán desarrolladas en las clases de teoría. Desde el punto de vista de cinemática del sólido rígido, además de un sistema fijo (S1) y un sistema móvil(s) usados en la cinemática general del sólido rígido, vamos a definir un nuevo triedro no ortogonal, denominado triedro de Euler, del que se derivan las denominadas tres rotaciones de Euler (precesión, nutación y rotación propia). Vamos a ver que cualquier movimiento que tenga el sólido rígido puede ser descompuesto en estas tres rotaciones. Por un lado, tenemos el sistema fijo (01X1Y1Z1), y un sistema móvil S (0XYZ), solidario al sólido rígido; siendo el origen de ambos sistemas el mismo punto, coincidente a su vez con el punto fijo del sólido rígido. Dado que tenemos un punto fijo, con velocidad igual a cero durante todo el movimiento, el estudio del campo de velocidades del sólido rígido queda reducido a conocer el vector velocidad angular del sólido, con lo que las velocidades de todos los puntos quedarían determinadas, aplicando para ello la expresión del campo de velocidades del sólido rígido: v p wss / 1 OP 6
Dicho de otro modo, tendremos determinado completamente el campo de velocidades del sólido rígido si conocemos la posición relativa entre el sistema móvil y el fijo, y conocemos el vector velocidad angular. Para establecer la posición relativa entre los triedros móvil y fijo, vamos a utilizar los denominados ángulos de Euler, que son tres: ángulo de precesión (nutación () y rotación propia ( Para entender que representa cada uno de estos ángulos, vamos a partir de una posición en la que los triedros fijo y móvil coinciden. En primer lugar tenemos un giro del triedro móvil alrededor del eje z; el ángulo girado coincide con el ángulo de precesión ( En segundo lugar se produce un giro alrededor del eje x. El ángulo girado se define como ángulo de nutación, y en el dibujo se ve como el ángulo que forman los ejes z y z1: Finalmente tenemos un tercer giro, alrededor del eje z. El ángulo que giran los ejes x e y se denomina ángulo de rotación propia. 7
Además de estos tres ángulos, vamos a definir un nuevo triedro, que no es rígido ni ortogonal, denominado triedro de Euler, compuesto por los siguientes vectores unitarios: k, k 1 y n, donde k y k1 son los vectores asociados a los ejes z y z1, y el vector n es un vector unitario asociado a la denominada línea de nodos, y que se calcula con el siguiente producto vectorial: n k k 1 1 k k El vector velocidad angular se puede poner en coordenadas de los tres triedros definidos: el fijo, el móvil y el de Euler. A la proyección del vector sobre cada uno de los vectores de Euler se le denomina rotaciones de Euler. A la proyección sobre k 1 le denominamos precesión ( ), sobre n nutación ( ), y sobre k rotación propia ( ), de forma que: w w i w j w k k n k x1 1 y1 1 z1 1 1 8
2.- DESCRIPCIÓN DEL APARATO UTILIZADO El giroscopio que vamos a utilizar consta de las siguientes partes: Una base con un soporte vertical que sostiene un eje por un punto de apoyo O fijo. Este eje está articulado en O y puede cambiar su orientación. Un disco grande y pesado (para que así su momento de inercia sea grande) que gira en torno al eje que pasa por su centro. Este disco es el giroscopio. Un contrapeso en el lado opuesto al del disco para que así el eje pueda mantenerse horizontal en equilibrio. Cuando esto ocurre podemos afirmar que el centro de masas del sistema se halla situado justo encima del punto O que es el soporte del eje. Para la caracterización del movimiento del giroscopio, vamos a usar a partir de ahora los Ángulos de Euler, vistos en el tema de cinemática esférica. Considerando el triedro de Euler, tenemos tres ángulos diferentes, (ángulo de precesión)(ángulo de nutación)y(ángulo de rotación propia). Durante el desarrollo de la práctica se va a obviar el movimiento de nutación (cabeceo del disco), y sólo se considerara el movimiento de precesión (giro alrededor del eje vertical del giroscopio) y de rotación propia (giro del disco alrededor de su propio eje). Las derivadas temporales de dichos ángulos serán la velocidad de precesión y rotación propia, respectivamente. Por ser grandes el radio y la masa del disco, el momento de inercia del giroscopio con respecto al eje que pasa por su centro es mayor que con respecto a un eje vertical cualquiera, por ejemplo, el que pasa por el punto de apoyo O y que aparece con línea discontinua en la figura. Si además hacemos que el disco gire con una velocidad angular ω muy grande en torno a su eje, entonces la componente del momento angular paralela a este eje es mucho más grande que las otras dos (podemos descomponer el momento angular, como cualquier vector, en tres componentes dirigidas a lo largo de tres ejes perpendiculares entre sí), siendo estas otras dos componentes por lo tanto despreciables en primera aproximación. Si se cumple que el disco y son grandes, podemos considerar que el momento angular es prácticamente sólo 9
su componente paralela al eje del giroscopio y que el momento angular es paralelo al vector velocidad angular del disco. (Obsérvese la figura de la regla de la mano derecha). 3.- DESCRIPCIÓN DE LA PRÁCTICA A REALIZAR Equipo necesario: - Giroscopio - Cronómetro - Masas auxiliares - Cinta métrica o regla - Cuerda (1,5 metros) - Estroboscopio Objeto El objeto del experimento es medir la velocidad angular de precesión del giroscopio y comparar este valor medido directamente con el valor calculado a partir de otras magnitudes. Procedimiento Se aplica un par al giroscopio suspendiendo una masa m del extremo de su eje. Este par hace que el giroscopio tenga un movimiento de precesión con velocidad angular de precesión de módulo. Suponemos que inicialmente el giroscopio está equilibrado en posición horizontal, = 90º. Se hace girar el disco a una velocidad angular (rotación propia) y, a continuación, se suspende del extremo del eje una masa m a una distancia d del eje vertical; esto crea un par = m g d. Pero este par es también igual a dl/dt, siendo L el momento angular del disco. Según vemos en la figura 1.1, para pequeñas variaciones del ángulo ddl = L d d 10
Considerando ahora el valor en módulo de los vectores considerados, sustituyendo dl en la ecuación del par tenemos dl d mgd L dt dt y, teniendo en cuenta que la velocidad de precesión es d dt d mgd L L dt por lo que la velocidad angular de precesión viene dada por la expresión calculada mgd I donde I es el momento de inercia del disco respecto de su eje, y es su velocidad angular de rotación. Para hallar el momento de inercia del disco lo desequilibramos adosándole una pequeña masa m1 de 15 g, le hacemos oscilar y medimos el periodo de oscilación T. (Asumimos que la pequeña masa m1 modifica de forma despreciable el momento de inercia del disco) Para una mejor aproximación mediremos el tiempo necesario para cinco oscilaciones y dividiremos el resultado entre cinco. I se obtiene aplicando la siguiente ecuación: Iz= (T 2 g /4π 2 R 1) m 1 R 2 El radio R del disco se mide con la cinta métrica o una regla. Velocidad angular de precesión: medición directa y cálculo Ajustes: 1.- Nivelamos el giroscopio en la base A sobre la que descansa. 2.- Ajustamos la posición del contrapeso mayor hasta lograr que el giroscopio quede equilibrado sin la masa auxiliar. (El contrapeso menor puede utilizarse para el equilibrado fino.) Procedimiento operatorio. 1.- El valor de la masa auxiliar m es de 150 g. Suspender esta masa auxiliar en el extremo del eje. Medir la distancia d desde el eje vertical hasta la masa auxiliar. 11
2.- Mientras se sujeta el giroscopio para impedir la precesión (ver fig 1.3) se imprime una rotación al disco con la cuerda, aproximadamente a 500 revoluciones por minuto. Medir exactamente esta velocidad angular con el estroboscopio. 3.- Procediendo con cierta rapidez, a fin de que el giroscopio no pierda mucha velocidad de rotación, liberar el giroscopio para permitir su movimiento de precesión y cronometrar el tiempo que tarda en una revolución completa, determinando así el valor experimental de la velocidad angular de precesión e. Anotar este valor en la tabla 1.1 4.- Repetir inmediatamente la medida de la velocidad angular de rotación con el estroboscopio, de forma totalmente análoga a la del punto 2. Anotar el nuevo valor Se tomará como valor definitivo de la media de los valores y 5.- Realizar las operaciones para calcular la velocidad de precesión teórica error relativo respecto al valor e medido en el punto 3. T y obtener el 6.- Repetir el experimento de nuevo siguiendo todos los pasos anteriores. Se tendrán dos valores de e y de T. Se calcula la media aritmética de los dos experimentos para ambos parámetros, y finalmente se calcula el error relativo presente entre las medidas teórica y experimental. 12
ANEXO 1. PRÁCTICA 1. EL GIROSCOPIO. Nombre: HOJA DE ENTREGA DE RESULTADOS Nº Matrícula: - Fórmula para el cálculo de la Precesión teórica, φ T. m g d φ T = I Ψ med m= Masa auxiliar. g= Aceleración gravitatoria. d= Distancia desde el punto fijo del giróscopo hasta el c.d.m. de la masa m. I= Momento de inercia del disco. Ψ med= Rotación propia del disco. - Formula para calcular el momento de inercia del disco respecto al eje de rotación propia. I = ( T2 g 4 π 2 R 1) m 1 R 2 T= Periodo de oscilación; T 5 = Tiempo de 5 oscilaciones; R= Radio del disco. m 1 = masa pequeña. - Cálculo de I: m 1 (kg) g (m/s 2 ) T 5 (s) T (s) R (m) I (kg m 2 ) 0.0150 9.81 - Cálculo de φ T teórico: m (kg) g (m/s 2 ) d (m) I (kg m 2 ) Ψ 1 (rad/s) Ψ 2 (rad/s) Ψ med (rad/s) φ T (rad/s) φ Exp (rad/s 0.150 9.81 - Cálculo del error relativo, ε, de la medida de Velocidad Experimental de Precesión, φ Exp: Valor medio de la precesión experimental: φ Exp: Valor medio de la precesión teórica : φ T: ε(%) = φ T φ Exp 100 = 100 = φ T Cuestión 1: Indique cuales son las fuentes de error que considera más relevantes en el experimento. Cuestión 2. Indique de qué manera se puede reducir la precesión experimental con los instrumentos disponibles en el montaje de laboratorio. Práctica 1. Mecánica ETSII UPM. Curso 2018/2019