MATEMÁTICAS CON MATHEMATICA

MATEMÁTICAS CON MATHEMATICA SIGMA 28 José Luis Malaina (*) y Antón Albóniga (**) 1. INTRODUCCIÓN El sistema educativo, tanto a nivel universitario como preuniversitario (ESO y Bachillerato), debe estar fundamentado en una praxis educativa basada en el saber hacer de acuerdo con una metodología activa, dialéctica, práctica y crítica. En este marco de renovación, tienen notable importancia las matemáticas e informática como grandes lenguajes de base, así como la integración del ordenador como un elemento activo en el proceso enseñanza-aprendizaje. La existencia de potentes paquetes de software matemático, cuestiona la forma tradicional de enseñanza de las matemáticas y plantea un nuevo estilo de estrategia educativa que nos permite definir unos objetivos docentes más eficaces, enriquecedores y prácticos. Mathematica es un sistema general de software para aplicaciones matemáticas de uso fácil e intuitivo, muy extendido y bien documentado, integrando armónicamente el cálculo simbólico, el cálculo numérico, el grafismo y la programación. Además, la disponibilidad de una amplia librería de aplicaciones en distintos campos del conocimiento (ciencias físicas, ciencias de la computación, ingeniería, economía,...) y de un protocolo de comunicación para intercambiar información entre Mathematica y otros programas, incrementa el interés de Mathematica como una herramienta de trabajo eficaz para estudiantes, profesores y profesionales en el ámbito de las matemáticas y de las ciencias aplicadas. 2. MATHEMATICA EN ACCIÓN Mathematica está estructurado en dos partes: el Kernel y el Front End. El Kernel se encarga de realizar todos los procesos de cálculos internos, ejecutando las órdenes involucradas y determinando los resultados del procesamiento solicitado. Al Front End se le encomienda la comunicación con el usuario, haciendo de interface entre el usuario y el Kernel. En la versión de Mathematica para Windows el Front End es de tipo Notebook definiendo un interface que nos permite intercalar texto, entrada de datos y gráficos. Los Notebooks nos permiten una forma de trabajo muy interactiva pudiendo crear documentos a modo de páginas, haciendo posible el intercambio de información entre los distintos documentos de una manera sencilla. (*) Profesor de Matemática Aplicada de la UPV/EHU. (*) Profesor de Matemáticas del IES Miguel de Unamuno. Mayo 2006 2006ko Maiatza 61

José Luis Malaina y Antón Albóniga Comenzar a trabajar con Mathematica es muy fácil, sólo consiste en preguntar para que nos responda de inmediato. Una vez cargado el programa Mathematica para Windows, el usuario debe definir la entrada de datos y ejecutando dicha entrada se obtiene una respuesta que muestra el resultado de los cálculos efectuados. Una sesión de trabajo interactivo con Mathematica consiste en un diálogo a través de n inputs In[1] In[2]...In[k]...In[n] y sus correspondientes outputs Out[1] Out[2]...Out[k]...Out[n], en donde In[k] representa la k-ésima entrada y Out[k] la respectiva k-ésima salida de la sesión de trabajo. Para mostrar la utilidad de Mathematica en la resolución de problemas matemáticos, presentamos la resolución de un ejercicio. Ejercicio Sean las funciones f(x) y g(x) definidas por f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d y g(x) i = (x-3)2 x, así como las curvas C y C' de ecuaciones cartesianas respectivas y = f(x) e y = g(x). Considerando que: La curva C pasa por los puntos (-1,1) y (2,-1). La tangente a la curva C en el punto (-1,1) tiene de pendiente 1/2. La curva C tiene un punto de inflexión en el punto (2,-1). 1º) Hallar f(x), 2º) Representar gráficamente a C, 3º) Determinar los puntos de corte de la curva C y el eje de abscisas X, 4º) Hallar los extremos relativos de f(x), 5º) Representar gráficamente a C y C simultáneamente, determinando los puntos de corte de dichas curvas. 6º) Representar gráficamente el dominio limitado por las curvas C y C', calculando el área de dicho dominio, 7º) Determinar el volumen encerrado por la superficie de revolución S engendrada al girar la curva C, alrededor del eje de abscisas X, entre los puntos de abscisas x = -1 y x = 1. 62 SIGMA Nº 28 SIGMA 28 zk.

Matemáticas con Mathematica Solución con Mathematica 4.0 Determinemos la regla de f(x) resolviendo el sistema que caracteriza a las condiciones impuestas a dicha función: La función f(x) viene definida por: f(x) = 53 54-17x 36-7x2 18 + 7x3 108 Representemos gráficamente a C en [-4,7] y hallemos los puntos de corte de la curva C y el eje de abscisas X: La curva C corta al eje de abscisas X en tres puntos de coordenadas respectivas (-1.91758,0), (1.17039,0) y (6.74718,0). Hallemos los extremos relativos de f(x): Mayo 2006 2006ko Maiatza 63

José Luis Malaina y Antón Albóniga La función f(x) tiene un mínimo local en x = 4.53546 con f(4.53546) = -3.11289 y un máximo local en x = -0.535463 con f(-0.535463) = 1.11289 ( pues -f(x) tiene un mínimo local en x = -0.535463 con f(-0.535463) = -1.11289). Definamos la función g(x), representando conjuntamente a C y C en [-4,7] y determinando los puntos de corte de C y C. Las curvas C y C se cortan en los puntos de coordenadas respectivas (-2.40063,-1.02278) y (2.71519,-1.87028). Representemos gráficamente el dominio D limitado por las curvas C y C, determinando el área de dicho dominio: 64 SIGMA Nº 28 SIGMA 28 zk.

Matemáticas con Mathematica El área del dominio limitado por las curvas C y C vale 15.0919 unidades de superficie. Representemos gráficamente la superficie de revolución S engendrada al girar la curva C, alrededor del eje de abscisas X, entre los puntos de abscisas x = -1 y x = 1, determinado el volumen encerrado por S: Mayo 2006 2006ko Maiatza 65

José Luis Malaina y Antón Albóniga El volumen encerrado vale 5.03775 unidades de volumen. Mathematica 5.0 aporta las nuevas funciones FindMaximum, Maximize, Minimize, NMaximize y NMinimize que se pueden utilizar para reformular las entradas In[6] y In[7]. 3. LABORATORIO DE MATEMÁTICAS CON MATHEMATICA Con el apoyo de la Dirección de Innovación Educativa de la Consejería de Educación, Universidades e Investigación del Gobierno Vasco y a través del programa GARATU, hemos podido desarrollar un proyecto denominado Laboratorio de Matemáticas con Mathematica consistente en la elaboración de un material docente en soporte multimedia, en castellano y euskera, sobre la integración del ordenador en el proceso enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas en el Bachillerato con el apoyo de Mathematica 4.0. La aplicación multimedia está estructurada en diez módulos. Cada módulo se ha organizado en unidades de conocimiento desarrolladas según los objetivos propios del nivel educativo considerado y para la implementación de la aplicación multimedia se ha elegido el programa de autor ToolBook. 66 SIGMA Nº 28 SIGMA 28 zk.

Matemáticas con Mathematica El módulo I está dedicado a introducir al lector en la estructura básica de Mathematica. Los módulos del II al VIII se corresponden con los contenidos fundamentales de los distintos cursos de la ESO y Bachillerato. En el módulo IX se incluyen algunas ampliaciones de contenidos de interés posterior, dedicándose el módulo X a presentar las mejoras que aporta Mathematica 5.0, respecto de Mathematica 4.0, en el ámbito de interés del nivel educativo considerado en esta aplicación y de acuerdo con la estrategia de desarrollo establecida. Los distintos módulos están estructurados de acuerdo con los siguientes títulos: (I) INTRODUCCIÓN A MATHEMATICA 4.0. (II) ARITMÉTICA. (III) ÁLGEBRA. (IV) FUNCIONES Y GRAFISMO. (V) CÁLCULO MATRICIAL. (VI) ANÁLISIS. (VII) GEOMETRÍA ANALÍTICA. (VIII) ESTADÍSTICA. (IX) AMPLIACIONES. (X) MATHEMATICA 5.0. En los distintos módulos se presentan las funciones específicas de Mathematica involucradas en los mismos para posteriormente pasar a resolver y proponer una amplia colección de ejercicios que ponen de manifiesto la sencillez, el elegante estilo y la gran capacidad y precisión de Mathematica para hacer Matemáticas por ordenador. 4. ÚLTIMOS COMENTARIOS Nuestra experiencia en la integración de Mathematica en la enseñanza preuniversitaria y universitaria, así como en la impartición de cursos de formación de profesorado y en la coordinación y desarrollo de proyectos de innovación educativa, nos permite reconocer que Mathematica es un software ideal para integrar con eficacia el ordenador en el proceso enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, tanto a nivel universitario como a nivel preuniversitario. La Universidad del País Vasco (al igual que las Universidades más importantes del resto del Estado) dispone de licencia de campus de Mathematica y cada vez son más los Centros Universitarios que están utilizando dicho software matemático en la práctica de su docencia. La Mayo 2006 2006ko Maiatza 67

José Luis Malaina y Antón Albóniga integración de Mathematica en el nivel educativo preuniversitario permite presentar al alumno un software matemático eficaz y con vocación de continuidad en nuestro sistema educativo, prolongándose su utilidad al posterior ejercicio profesional de los estudios cursados. La aplicación multimedia Laboratorio de Matemáticas con Mathematica es una herramienta que facilita al profesor la integración del ordenador en el proceso enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en el Bachillerato, de una forma práctica, mediante la resolución de ejercicios y problemas del nivel educativo correspondiente, considerando además algunas ampliaciones de contenidos y haciendo uso de Mathematica como software de apoyo. Incluso una utilización restringida de la aplicación, permite integrar Mathematica en 4º de ESO considerando los módulos I, II, III, IV y parte del módulo VIII. Para obtener información exhaustiva sobre el programa Mathematica se sugiere consultar la dirección www.wolfram.com. Los profesores de ESO y Bachillerato, interesados en disponer de una licencia de la aplicación multimedia, deben dirigirse a cualquiera de los tres asesores de matemáticas de los Berritzegunes. 68 SIGMA Nº 28 SIGMA 28 zk.