3.2. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN 2 33 Es evidente, dadas las propiedades de la derivada, que D es un operador lineal. Así, podemos definir de forma análoga D 2 f = f, D 3 f = f, y en general D k f = f [k], con D k : C n C n k. Más adelante estudiaremos de manera más detallada el operador D y sus propiedades. Recordemos del álgebra lineal el concepto de vector y valor propio de una transformación lineal T, que son, respectivamente, un vector x del dominio de T y un escalar λ tales que T ( x) = λ x. Con esto, nos preguntamos si este operador diferencial D, siendo una operación lineal, tendrá vectores propios. Es fácil encontrar un valor propio del operador D por inspección: D(e λx ) = λe λx. Así, vemos que los valores propios de D son las soluciones de Dy = λy, o, equivalentemente, de y = λy. Además, esta es la única familia de soluciones posibles por Teorema de Existencia y Unicidad, con la condición inicial (por ejemplo, y() = y ) determina completamente el comportamiento de f en todo su dominio. Vemos entonces que la ecuación (3.2.1) puede escribirse como: D 2 y + a 1 Dy + a y = (D 2 + a 1 D + a )y = y el término L = D 2 + a 1 D es un operador lineal. Así, nos interesa hallar una función y tal que Ly = a y, o, lo que es lo mismo, un vector propio de L asociado al valor propio a ; como L se obtiene a partir del operador lineal D, cuyos vectores propios son funciones exponenciales, podemos suponer que los vectores propios de L son combinaciones lineales de funciones exponenciales también. Volviendo a la ecuación (3.2.1), supongamos que las soluciones son de la forma y(x) = e λx, λ constante. Luego se (3.2.1) se transforma en: ( e λx ) + a1 ( e λx ) + a ( e λx ) = Luego de derivar y dividir por e λx, que siempre es distinto de, se tiene: λ 2 + a 1 λ + a = Esta expresión se denomina polinomio característico de la EDO. En este caso, las raíces de este polinomio están dadas por: De lo anterior, debemos analizar 3 casos: λ = a 1 ± a 2 1 4a 2 1. a 2 1 4a > 2. a 2 1 4a < 3. a 2 1 4a = Caso 1: a 2 1 4a >. Tenemos 2 raíces reales y distintas, con lo cual encontramos 2 soluciones: (3.2.2) y 1 (x) = e λ1x y 2 (x) = e λ2x con λ 1 = a 1 + a 2 1 4a 2 λ 2 = a 1 a 2 1 4a 2
34 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Ahora probemos que y 1, y 2 son linealmente independientes. Tomemos una combinación lineal que sea idénticamente nula, es decir x I: (3.2.3) α 1 e λ1x + α 2 e λ2x =, o bien α 1 + α 2 e (λ1 λ2)x = Derivando se tiene que: α 2 (λ 1 λ 2 ) e (λ1 λ2)x = Como λ 1 λ 2, se conluye que α 2 = y luego de (3.2.3) se extrae que α 1 =. Por lo tanto y 1, y 2 son l.i y la solución general de la EDO (3.2.1) está dada por: y(x) = C 1 e λ1x + C 2 e λ2x C 1, C 2 R Caso 2: a 2 1 4a <. Tenemos 2 raíces complejas conjugadas de la forma: (3.2.4) recordemos ahora el siguiente teorema: λ 1 = a 1 2 + iω 4a a 2 λ 2 = a 1 con ω = 1 2 iω 2 TEOREMA 3.2. (Fórmula de Euler) Sea z = a + ib C, con a, b R. Se cumple que 3 : e a+ib = e a (cos(b) + i sen(b)) PROPOSICIÓN 3.4. Sea a, b R,entonces la derivación de la función f : R C definida por f(x) = e (a+ib)x está dada por: d ( e (a+ib)x) = (a + ib)e (a+ib)x dx DEMOSTRACIÓN. Usando el teorema, se tiene la siguiente igualdad: e (a+ib)x = e ax (cos(bx) + i sen(bx)) Derivando a ambos lados con respecto a x y desarrollando se tiene que: d ( e (a+ib)x) = ae ax (cos(bx) + i sen(bx)) +e ax ( b sen(bx) + ib cos(bx)) dx }{{} e ibx 3 Esto es cierto si identificamos la función exponencial e x con su serie de Taylor 1 + x + x2 2! +...; podemos demostrar que esta serie converge para todo z C. Si evaluamos para z = ib y separamos la parte real de la imaginaria veremos que la parte real corresponde a la serie de Taylor del coseno, mientras que la imaginaria corresponde a la serie de Taylor del seno. La fórmula se obtiene a partir de la propiedad e a+ib = e a e ib.
3.2. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN 2 35 Agrupando términos y usando que i 2 = 1 se obtiene que: d ( e (a+ib)x) = ae (a+ib)x + be ax ( sen(bx) + ib cos(bx)) dx = ae (a+bi)x + be ( ax i 2 sen(bx) + i cos(bx) ) }{{} ie ibx Finalmente se concluye que: d ( e (a+ib)x) = ae (a+ib)x + ibe (a+ib)x = (a + bi) e (a+ib)x dx Volviendo a las raíces complejas conjugadas obtenidas en (3.2.4) y en virtud de la proposición (3.2.3), encontramos 2 soluciones linealmente independientes 4 : (3.2.5) e ( a 1 2 +iω)x, e ( a 1 2 iω)x Sin embargo, estás soluciones toman valores complejos. Existirán soluciones con valores reales? PROPOSICIÓN 3.5. Dadas las soluciones encontradas (3.2.5), otra posible base de soluciones es: ( R e ( a 1 +iω)x) ( 2, I e ( a 1 +iω)x) 2 donde R(z), I(z) son las funciones parte real y parte imaginaria, respectivamente. 5 DEMOSTRACIÓN. Sea z : I C una solución de (3.2.1), entonces se cumple que: z + a 1 z + a z = Si aplicamos parte real a ambos lados y usando su linealidad se tiene que: R(z ) + R(a 1 z ) + R(a z) = Dado que los coeficientes a, a 1 R, entonces tenemos que: R(z ) + a 1 R(z ) + a R(z) = Usando la siguiente la propiedad R(z ) = R(z), pues dada la linealidad de R(z) y de la derivada, ambas operaciones conmutan 6, y se obtiene que: 4 Propuesto verificar que resuelven la EDO y que son l.i. 5 Podríamos haber escogido la base de soluciones, tomando parte real e imaginaria a la solución conjugada y el resultado que se obtiene es el mismo, dado que la parte real en ambos casos es la misma y la parte imaginaria tiene el signo cambiado. 6 Sean a(x), b(x) : I R funciones C 2 tal que: z(x) = a(x)+ib(x), entonces z (x) = a (x)+ib (x) y la propiedad R(z (x)) = R(z(x)) es evidente.
36 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR R(z) + a 1 R(z) + a R(z) = Con lo cual R(z),es solución de (3.2.1). Analogamente se cumple lo mismo con I(z). ( Luego R e ( a 1 +iω)x) ( ) 2 = R e a 1 2 x (cos(ωx) + i sen(ωx)) = e a 1 2 x cos(ωx), y, del ( mismo modo, I e ( a 1 +iω)x) ( ) 2 = I e a 1 2 x (cos(ωx) + i sen(ωx)) = e a 1 2 x sen(ωx) De esta forma hemos encontrado las siguientes soluciones de (3.2.1): e a 1 2 x cos(ωx), e a 1 2 x sen(ωx) Verifiquemos que son linealmente independientes, sea α 1, α 2 tal que: α 1 e a 1 2 x cos(ωx) + α 2 e a 1 2 x sen(ωx) Evaluando en x = se tiene que α 1 =. Derivando la igualdad y evaluando nuevamente en x =, se tiene que α 2 =. Por lo tanto, las soluciones son l.i. Así hemos probado que la parte real y la parte imaginaria forman una base de soluciones que están definidas de I R. Finalmente, para este caso, la solución general de (3.2.1) en R se expresa como: y(x) = C 1 e a 1 2 x cos(ωx) + C 2 e a 1 2 x sen(ωx) C 1, C 2 R Caso 3: a 2 1 4a =. Tenemos una única raíz real: λ = a 1 2 Con lo cual encontramos una solución de (3.2.1), dada por: y 1 (x) = e a 1 2 x Necesitamos encontrar otra solución y 2 que sea linealmente independiente con y 1. Como asumimos que había soluciones exponenciales en el primer caso, es natural pensar que la otra solución l.i. involucre una función exponencial. Supongamos que existe una función u(x) tal que y 2 (x) = u(x)e kx, y reemplacemos en la EDO original. Con esto obtenemos: y 2 +a 1 y 2+a y 2 = (u e kx +2k u e kx +k 2 u e kx )+a 1 (u e kx +k u e kx )+a u e kx y, agrupando términos, la expresión anterior se convierte en: e kx ( u + (2k + a 1 )u + (k 2 + ka 1 + a )u ) Como queremos que y 2 (x) = u(x)e kx sea solución de la EDO original, la expresión anterior debe ser cero. Como la función exponencial nunca se anula, deducimos que la expresión entre paréntesis debe anularse.
3.2. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN 2 37 Notemos que el polinomio en k que acompaña a u corresponde al polinomio característico de la EDO, y que por lo tanto su única raíz es λ = a1 2 ; así también este valor λ anula el coeficiente de u. Por lo tanto, si imponemos k = λ = a1 2 obtenemos que u debe satisfacer la ecuación u =. Es evidente que la función u(x) = x satisface esta ecuación, de modo que tenemos que y 2 (x) = xe a 1 2 x = xy 1 (x). Dejamos propuesta la demostración de la independencia lineal de estas soluciones. Finalmente la solución general en este caso se escribe como: y(x) = C 1 e a 1 2 x + C 2 xe a 1 2 x C 1, C 2 R 3.2.2. La ecuación de Euler-Cauchy. Nos interesa ahora introducir un tipo de ecuación diferencial de coeficientes variables cuya resolución es moderadamente fácil. Veremos muchos paralelos entre esta ecuación y la ecuación a coeficientes constantes de orden 2; esto se debe a que, mediante un cambio de variable adecuado, podemos convertir una ecuación en la otra. DEFINICIÓN 3.3. La ecuación de Euler-Cauchy de orden 2 es la siguiente ecuación diferencial lineal: (3.2.6) x 2 y + a 1 xy + a y = b(x), a, a 1 R, b : A R R Nos preocuparemos en esta sección del caso homogéneo, en el cual b(x). Para comenzar, recordemos que la derivada de un polinomio de grado n es un polinomio de grado n 1; en particular, si y(x) = x m, entonces la función y es proporcional a las funciones xy, x 2 y,..., x n y [n]. A qué vamos con esto? Podemos ver entonces que si la ecuación (3.2.6) tuviese una solución polinómica (en particular, una función de la forma y(x) = Cx m ) entonces el término izquierdo sería proporcional a la función y(x). Es decir, si suponemos que y = x m, tendremos que y = mx m 1, y = m(m 1)x m 2. Por lo tanto, si reemplazamos en (3.2.6), tenemos que: x 2 y +a 1 xy +a y = m(m 1)x m +a 1 mx m +a x m = (m 2 +(a 1 1)m+a )x m = Asumiendo que el término x m no se anula, tenemos que si y = x m es solución, el polinomio en m que aparece debe anularse 7. De este modo, vemos que las soluciones de esta EDO son de la forma x N, con N raíz del polinomio característico de la ecuación: (3.2.7) m 2 + (a 1 1)m + a = Podemos ver que, dependiendo de si las soluciones de esta ecuación son iguales o distintas, y reales o complejas, se obtienen soluciones distintas. Sin embargo, podemos reducir estas soluciones a las del caso anterior, por lo que no necesitamos hacer un estudio detallado de todos los casos. Notemos la semejanza con la ecuación a coeficientes constantes, en las que también se llega a un polinomio característico que determina soluciones de un cierto tipo. Dónde está la conexión? 7 Nótese la semejanza de esto con el polinomio característico de la ecuación (3.2.1).
38 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR El enlace entre ambas ecuaciones radica en que, mediante un cambio de variable adecuado, se puede convertir la ecuación (3.2.6) en una de la forma (3.2.1). En efecto, si hacemos x = e u, w = y(e u ), tenemos que: y del mismo modo: d 2 w du 2 dw du = dy dx dx du = y (e u )e u = xy = d du (y (e u )e u ) = e u y (e u )e u + y (e u )e u = x 2 y + xy Luego, si despejamos xy y x 2 y y reemplazamos, obtenemos que: xy = dw du x2 y = d2 w du 2 dw du d2 w du 2 + (a 1 1) dw du + a w = la cual es una EDO de orden 2 a coeficientes constantes. Es fácil ver que su polinomio característico es (3.2.7), de modo que las soluciones estarán dadas por w = e mu, en que m es solución de dicho polinomio. Deshaciendo el cambio de variable, llegamos a y = x m, la solución que encontramos previamente. Queda para el lector comprobar qué ocurre cuando las soluciones son complejas conjugadas o son iguales. 3.2.3. Coeficientes variables. En el caso de coeficientes variables no hay una fórmula exacta para encontrar las soluciones en todos los casos. Sin embargo, existen métodos para casos particulares (por ejemplo, los casos vistos en la sección (2.5.4)) y otros que nos permiten encontrar la solución general de la ecuación lineal homogénea de orden 2 a partir de una solución no trivial conocida cualquiera. DEFINICIÓN 3.4. Dada la EDO lineal de segundo orden homogénea: (3.2.8) y + a 1 (x)y + a (x)y = y sean y 1, y 2 dos soluciones de ésta. Definimos el wronskiano de estas soluciones como el determinante dado por: W [y 1, y 2 ](x) = y 1(x) y 2 (x) y 1(x) y 2(x) = y 1(x)y 2(x) y 2 (x)y 1(x) TEOREMA 3.3. Las siguientes proposiciones son equivalentes: 1. Existe x I tal que W [y 1, y 2 ](x ) =. 2. Para todo x I el wronskiano de y 1 e y 2 se anula. 3. y 1 e y 2 son l.d. DEMOSTRACIÓN. (2) (1) es trivial. (1) (3). Supongamos que existe x I tal que el wronskiano se anule. Entonces los vectores [ ] [ ] y1 (x Y 1 = ) y 1(x, Y ) y2 (x 2 = ) y 2(x )
3.2. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN 2 39 son l.d., por propiedades de los determinantes, y por lo tanto existen α 1, α 2 R, al menos uno distinto de cero, tales que α 1 Y1 +α 2 Y2 =. Observemos que la función ȳ = α 1 y 1 + α 2 y 2 es solución de (3.2.8) y que satisface la condición inicial dada por { ȳ(x ) = ȳ (x ) = problema de valor inicial en el que la función nula también es solución. Luego, por Teorema de Existencia y Unicidad (3.1.3), se cumple que ȳ y por lo tanto α 1 y 1 (x) + α 2 y 2 (x) para todo x en su dominio, y por lo tanto estas funciones son l.d. (3) (2). Tenemos que existen dos números (uno no nulo, al menos) α 1, α 2 R tales que α 1 y 1 + α 2 y 2. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que α 1, de modo que y 1 = α2 α 1 y 2 y 1 = α2 α 1 y 2. Luego el wronskiano tendrá dos columnas proporcionales y por lo tanto será nulo. Es importante notar que en la demostración del teorema anterior (en particular, en la demostración de (1) (3)) utilizamos el hecho de que y 1 e y 2 eran soluciones de la misma EDO. Por lo tanto, cabe destacar que el hecho de que el wronskiano de dos funciones cualesquiera f, g se anule en algún punto, o incluso en todos los puntos de su dominio, no implica de por sí la dependencia lineal de f y g si no sabemos si existe una EDO lineal que tenga como base de soluciones al conjunto {f, g}. Por ejemplo, consideremos f, g : R R, f(x) = x 3, g(x) = x 3 = x 2 x, de modo que f (x) = 3x 2, g (x) = 3x x. Tenemos que para cualquier x R se cumple que: W [f, g](x) = x 3 x 2 x 3x 2 3x x = 3x4 x 3x 4 x = Sin embargo, es fácil comprobar que estas funciones son l.i.; basta asumir que una combinación lineal se anula en un punto x y ver qué ocurre en x. De este modo, esto nos permite deducir que no existe una EDO lineal de segundo orden homogénea tal que sus soluciones sean x 3 y x 3. Un aspecto interesante del wronskiano W de dos funciones que son soluciones de la misma EDO es que la función W (x) es ella misma solución de una cierta ecuación diferencial. Para ver esto, necesitamos la siguiente fórmula: LEMA 3.1. (Derivada de un determinante de orden 2) La derivada del determinante det[a ij (x)], con las a ij : A R R funciones diferenciables, está dada por: d dx a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 12 a 21 a 22 + a 11 a 12 a 21 a 22 Es decir, es la suma de los determinantes formados al derivar cada una de las filas y dejar intactas las demás. DEMOSTRACIÓN. Por cálculo directo.
4 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Usaremos el lema anterior y la definición para calcular la derivada del wronskiano W [y 1, y 2 ](x), con y 1, y 2 soluciones de la EDO y + a 1 (x)y + a (x)y =. Tenemos que: dw dx = d dx y 1 y 2 y 1 y 2 = y 1 y 2 y 1 y 2 + y 1 y 2 y 1 y 2 El primer determinante tiene dos filas iguales, y por lo tanto es nulo. Para obtener una expresión más explícita del segundo determinante, necesitamos otro lema: LEMA 3.2. El determinante es una función lineal por filas, es decir, se cumple la siguiente igualdad: a 11 a 1n..... α a i1 + β b i1 α a in + β b in..... a n1 a nn a 11 a 1n a 11 a 1n.......... = α a i1 a in + β b i1 b in.......... a n1 a nn a n1 a nn Por lo tanto, tenemos que, como y 1, y 2 son soluciones de la EDO previamente mencionada, podemos reescribir el segundo determinante de la igualdad previa como sigue: dw dx = y 1 y 2 y 1 y 2 = y 1 y 2 a 1 y 1 a y 1 a 1 y 2 a y 2 y = a 1 y 2 1 y 1 y 2 a y 1 y 2 y 1 y 2 Pero, al igual que en el caso anterior, el segundo determinante tiene dos filas iguales y por lo tanto es nulo, mientras que el primer determinante es el mismo wronskiano W [y 1, y 2 ](x). De este modo tenemos que el wronskiano es solución de la EDO lineal de primer orden dada por: (3.2.9) dw dx + a 1(x)W = De la igualdad anterior y de la solución general (2.4.3) para las ecuaciones lineales homogéneas de primer orden, deducimos el siguiente resultado de gran importancia:
3.2. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN 2 41 TEOREMA 3.4. (Fórmula de Abel) Si conocemos el valor del wronskiano W [y 1, y 2 ](x) en un punto x, para funciones y 1, y 2 soluciones de la misma EDO lineal homogénea de segundo orden en un intervalo I, entonces el valor de W para cualquier x I está dado por: ( x ) W (x) = W (x ) exp a 1 (s) ds x COROLARIO 3.1. Si el wronskiano de dos funciones que satisfacen las condiciones anteriores se anula en un punto x I, entonces se anula para todo x I, como consecuencia de la fórmula anterior y del Teorema de Existencia y Unicidad en la EDO (3.2.9). Podemos usar este resultado a veces para encontrar la solución general de una EDO de orden 2 si conocemos alguna solución no trivial. La idea es utilizar la fórmula de Abel y sabiendo la definición de W (x), podemos encontrar y 2 en función de la solución conocida y 1. Explícitamente, si W (x) = W [y 1, y 2 ](x) y y 1 es la solución ya conocida: ( x ) W (x) = y 1 y 2 y 2 y 1 = W exp a 1 (s) ds x de modo que, al dividir por y 2 1, obtenemos la siguiente ecuación para y 2 : y 1 y 2 y 1y 2 y 2 1 = d dx ( y2 y 1 ) = W y 2 1 e integrando, obtenemos la fórmula de Liouville: x ( W (t ) y 2 (x) = y 1 (x) x y1 2 exp (t) o, utilizando integrales indefinidas: ( y 2 (x) = Ky 1 (x) ( x ) exp a 1 (s) ds x ) a 1 (s) ds dt t t ) 1 a(s) ds y1 2 dt + C (t)e 3.2.4. Variación de parámetros en orden 2. Con la discusión anterior hemos visto métodos para resolver las EDOs de orden dos a coeficientes constantes y algunas EDOs de coeficientes variables homogéneas. Ahora nos interesa estudiar cómo resolver la ecuación no homogénea y +a 1 (x)y +a (x)y = b(x), conociendo ya la solución de la ecuación homogénea subyacente y + a 1 (x)y + a (x)y =. Para comenzar, observemos que la diferencia entre dos soluciones de la EDO no homogénea resuelve la ecuación homogénea; esto puede comprobarse fácilmente reemplazando sus valores. De este modo, la solución general de la EDO no homogénea corresponde a la suma de la solución general de la ecuación homogénea y una solución particular cualquiera. Queremos encontrar esta solución particular. Supongamos que y 1, y 2 son soluciones de la ecuación homogénea. Asumiremos que y p puede escribirse en la forma y p (x) = w 1 (x)y 1 (x) + w 2 (x)y 2 (x) y derivemos: y p = w 1y 1 + w 2y 2 + w 1 y 1 + w 2 y 2
42 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR de modo que: y p = (w 1y 1 + w 2y 2 ) + w 1 y 1 + w 2 y 2 + w 1y 1 + w 2y 2 a y p + a 1 y p + y p = a (w 1 y }{{} 1 + w 2 y 2 )+ }{{} (1) (2) a 1 (w 1y 1 + w 2y 2 ) + a 1 (w 1 y 1 + w 2 y 2 )+ }{{}}{{}}{{} (3) (1) (2) (w 1y 1 + w 2y 2 }{{} ) + w 1 y 1 }{{} + w 2 y 2 +w }{{} 1y 1 + w 2y 2 (3) (1) (2) = b(x) Como y 1, y 2 son soluciones de la ecuación homogénea, podemos ver que los términos (1) y (2) se anulan. Si imponemos que se anulen los términos (3) también, obtenemos un sistema de ecuaciones diferenciales lineales para w 1 y w 2, el cual podemos escribir en forma matricial como: (3.2.1) [ y1 y 2 y 1 y 2 ] [ w 1 w 2 ] [ = b(x) ] [ = b(x) 1 ] Del álgebra lineal recordamos que una matriz A cuadrada de orden 2 es invertible si y solo si det(a), y si lo es, se satisface la relación: [ ] 1 [ ] a11 a 12 1 a22 a = 12 a 21 a 22 det(a) a 21 a 11 Usando esta igualdad y pre-multiplicando por la inversa de la matriz con las funciones y j en (3.2.1), obtenemos, recordando que el determinante de esta matriz es el wronskiano: [ w 1 con lo que obtenemos: w 2 ] = W [y 1, y 2 ] y 1 y 1 1 [ y 2 y 2 ] [ w 1 = y 2b W [y 1, y 2 ], y 1 b w 2 = W [y 1, y 2 ] b(x) de modo que, integrando, obtenemos la fórmula general para las soluciones de la EDO no homogénea: y(x) = w 1 (x )y 1 (x) + w 2 (x )y 2 (x) + }{{} solución homogénea x x y 1 (s)b(s) ds y 2 (x) x W [y 1, y 2 ](s) y y 2 (s)b(s) ds 1(x) x W [y 1, y 2 ](s) }{{} solución particular ]
3.2. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN 2 43 Recordemos que habíamos supuesto y p = w 1 y 1 +w 2 y 2 de modo que w 1y 1 +w 2y 2 =. Si w 1 (x ) = w 2 (x ) = de modo que y p (x ) = y p(x ) = se tiene que: y p = x x y 2 (x)y 1 (s) y 1 (x)y 2 (s) f(s)ds W [y 1, y 2 ](s) Esto lleva a definir la Función de Green como: G(x, s) = y 2(x)y 1 (s) y 1 (x)y 2 (s) f(s) W [y 1, y 2 ](s) y p (x) = x x G(x, s)f(s) ds La solución general se encuentra: y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) + x x G(x, s)f(s) ds. Si se quiere y(x ) = α, y (x ) = β, para encontrar C 1, C 2 se resuelve: α = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) β = C 1 y 1(x ) + C 2 y 2(x ) Sistema que siempre es resoluble pues {y 1, y 2 } es l.i. = W [y 1, y 2 ] NOTA 1. Interpretación en el álgebra lineal Sea W = {u : I R/u C 2 (I), x I, u(x ) = u (x ) = } de modo que se define el operador lineal L : W C 1 (I) tal que: L(u) = u + a 1 u + a u Notar que L es inyectiva, pues Ker(L) = {u W/L(u) = } = {} por Teorema de Existencia y Unicidad. Además Im(L) = C(I), pues con cualquier función f C(I), la EDO L(u) = f tiene siempre una solución, con lo cual L es sobreyectiva. De lo anterior se tiene que L es una biyección y la operación lineal inversa está dada por: L 1 (f) = x x G(x, s)f(s) ds Propuesto: Problema con condición de borde: Determinar para qué combinaciones de α, β R la ecuación u + αu = cos(βt) Con la condición de borde u () = u (1) =, tiene solución única.
44 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 3.3. Resolución en orden n 3.3.1. Notas sobre ecuaciones a coeficientes constantes. El método de resolución de la EDO lineal de orden n a coeficientes constantes es una extensión del método para ecuaciones de orden 2. Comenzaremos considerando la ecuación homogénea: (3.3.1) y [n] + a n 1 y [n 1] + a n 2 y [n 2] + + a 1 y + a y =, a, a 1,..., a n 1 R Si asumimos soluciones exponenciales de la forma y = e λx, obtenemos que λ debe satisfacer la ecuación algebraica siguiente (llamada ecuación característica): (3.3.2) p(λ) = a + a 1 λ + a 2 λ 2 + + a n 1 λ n 1 + λ n = En virtud del Teorema Fundamental del Álgebra, la ecuación (3.3.2) tiene exactamente n soluciones en C, las cuales pueden ser iguales o distintas entre sí. Además, si α + iβ es solución de (3.3.2), entonces su conjugado α iβ también resuelve la ecuación anterior, de modo que aquí surgen distintos casos: A cada raíz simple real λ le corresponde una solución de la forma y(x) = e λx. A cada par de raíces complejas conjugadas simples α ± iβ le corresponde un par de soluciones de la forma y 1 (x) = e αx cos(βx) y otra de la forma y 2 (x) = e αx sen(βx). A una raíz múltiple real λ de multiplicidad m le corresponde una familia de soluciones {e λx, xe λx, x 2 e λx,..., x n 1 e λx }. A una raíz compleja α + iβ de multiplicidad m y a su conjugada α iβ, que también será de tal multiplicidad, le corresponden 2m soluciones de la forma {x j e αx cos(βx), x j e αx sen(βx)}, con j =, 1, 2,..., m 1. La demostración de los puntos anteriores es similar al caso para n = 2. Para justificar lo anterior, introduciremos algunos teoremas que nos serán de utilidad para esta justificación: LEMA 3.3. (Independencia lineal de las funciones exponenciales) Dadas n constantes λ 1, λ 2,..., λ n C distintas dos a dos, y n polinomios p 1, p 2,..., p n C[x], se cumple que: n p j (x)e λjx = p j, j = 1, 2,..., n j=1 DEMOSTRACIÓN. Por contradicción. Supongamos que hay k n polinomios distintos de cero (sin pérdida de generalidad, supongamos que estos son p 1,..., p k, de grados n 1, n 2,..., n k ). De este modo, dividimos la igualdad anterior por e λ1x, de modo que se tenga: k p 1 (x) + p j (x)e (λj λ1)x = Derivando esta igualdad, obtenemos lo siguiente: k p 1(x) + [p j + (λ j λ 1 )p j ]e (λj λ1)x = j=2 j=2
3.3. RESOLUCIÓN EN ORDEN n 45 en que el termino entre corchetes [p j + (λ j λ 1 )p j ] siempre tiene el mismo grado que el polinomio p j, ya que λ j λ 1 para todo j = 2, 3,..., k, y gr(p k ) = gr(p k) 1; así, tras derivar n 1 veces más obtenemos (ya que p [n1+1] 1 ) la igualdad: k p j,2 (x)e (λj λ1)x = j=2 en la que los p j,2 son nuevos polinomios de igual grado que los p j. Iterando el proceso y derivando n 2 + 1 veces, obtenemos: k p j,3 (x)e (λj λ1 λ2)x = j=3 y así sucesivamente, hasta obtener: p k,k (x)e (λ k λ k 1 λ k 2 λ 1)x = y esto implica que p k,k (x) (o, equivalentemente, gr(p k,k ) = ), ya que las exponenciales nunca se anulan; pero, por la construcción que hemos hecho, sabemos que gr(p k,k ) = gr(p k ) = n k, ya que asumimos que p k. Esto es una contradicción; por lo tanto, todos los p k deben ser nulos. Ahora nos hallamos en condiciones de estudiar la ecuación (3.3.1). Para ello, utilizaremos el operador diferencial D y algunas técnicas del álgebra lineal que nos ayudarán. DEFINICIÓN 3.5. Un polinomio diferencial de grado k, p(d) : C n+k (I) C n (I), es un operador (función) lineal de la forma: k p(d)(y) = a j (x) dj y k dx j = a j D j y, con a j : I C j= Es decir, es una función que transforma a cada función y(x) en una combinación lineal de dicha función y sus k primeras derivadas. Notemos que los coeficientes a j (x) son funciones, y por lo tanto no necesariamente constantes. De este modo, podemos escribir la ecuación (3.3.1)en la forma p(d)y =, es decir, como un polinomio diferencial aplicado a una función desconocida y; los coeficientes del polinomio diferencial p(d) son efectivamente constantes reales en este caso, y por lo tanto lo identificamos con un polinomio p(x) R[x] (o C[x]). Un dato importante a considerar es el hecho de que, cuando los coeficientes son constantes, los polinomios diferenciales se comportan como polinomios ordinarios, de modo que su suma corresponde a la suma de polinomios y su producto a la composición de polinomios diferenciales 8. Más exactamente: TEOREMA 3.5. Sean p(d) = n k= a kd k y q(d) = m k= b kd k polinomios diferenciales, y sean p(x) = n k= a kx k y q(x) = m k= b kx k sus polinomios asociados de C[x]. Entonces se tienen las siguientes propiedades: 8 En términos técnicos, el conjunto de los polinomios diferenciales a coeficientes constantes es un subespacio vectorial del conjunto de las transformaciones lineales C (I) C (I), el cual es además un anillo con las operaciones de suma y composición, y es isomorfo al anillo de los polinomios con coeficientes reales (o complejos). j=
46 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 1. (p(d) + q(d))y = (p + q)(d)y 2. (p(d) q(d))y = (p q)(d)y DEMOSTRACIÓN. Basta recordar que los operadores D son lineales y por lo tanto los p(d) también, y por consiguiente se tiene que (α + β)d k = αd k + βd k, y D k D l = D k+l. COROLARIO 3.2. La composición de polinomios diferenciales es conmutativa. Es decir, p(d)(q(d)y) = q(d)(p(d)y). Recordemos que, por el teorema fundamental del Álgebra, todo polinomio puede factorizarse en la forma A m k=1 (x a k) n k, en que los a k C son las raíces con multiplicidad n k del polinomio. En particular, todo polinomio con coeficientes reales puede factorizarse como producto de factores lineales y cuadráticos irreducibles con coeficientes reales. De este modo, como el polinomio asociado al polinomio diferencial p(d) es el polinomio característico de la ecuación (3.3.1), podemos escribir esta ecuación en la forma: (3.3.3) (D λ 1 ) m1 (D λ 2 ) m2 (D λ k ) m k y = en que los λ i C son las raíces de la ecuación característica (3.3.2) y los m j son sus multiplicidades, con m 1 + + m k = n. Por consiguiente, toda solución de cada una de las ecuaciones diferenciales (3.3.4) (D λ j ) mj y = será también solución de (3.3.3) y por lo tanto de (3.3.1). Por la proposición (3.1.5), el espacio de soluciones de (3.3.1) tiene dimensión n y cada uno de los espacios soluciones de las ecuaciones (3.3.4) tiene dimensión m k ; si logramos probar que las soluciones de estas ecuaciones son l.i. entre sí tendremos que el espacio solución de (3.3.1) es suma directa de los espacios generados por las soluciones de (3.3.4), es decir, todas las soluciones de (3.3.1) son soluciones de alguna de las ecuaciones de (3.3.4). Por lo tanto, basta con saber resolver (3.3.4). En el caso de raíces con multiplicidad 1, la ecuación ya está resuelta, ya que se reduce simplemente a la ecuación y λ j y =, cuya solución es e λjx. Notemos también que si α+βi es una raíz compleja con multiplicidad m, su conjugada α βi es también una raíz de la ecuación, y también tiene multiplicidad m. Por lo tanto, solamente tenemos que estudiar ecuaciones de la forma: (D λ) m y = ((D α) 2 + β 2 ) m y = En el primer caso, tenemos que, evidentemente, y = e λx es una solución. Supongamos que hay otras soluciones en la forma y(x) = z(x)e λx ; de este modo tenemos que: (D λ)y(x) = z (x)e λx + λz(x)e λx λz(x)e λx = z (x)e λx y, por inducción, se tiene que: (D λ) m y(x) = D m z(x) =
3.3. RESOLUCIÓN EN ORDEN n 47 por lo que basta con resolver la ecuación z [m] (x). Pero esta ecuación tiene como solución todos los polinomios de grado m 1 o menor, como es fácil de comprobar integrando reiteradamente; además, las funciones 1, x, x 2,..., x m 1 son linealmente independientes. De este modo, una base de soluciones de esta ecuación está dada por {e λx, xe λx,..., x m 1 e λx }. Notemos que en esta demostración en ningún caso utilizamos el hecho de que λ era real; de este modo esto vale igualmente para ecuaciones complejas. Así, la segunda ecuación tiene por soluciones e αx cos(βx), e αx sen(βx), xe αx cos(βx), xe αx sen(βx),......hasta x m 1 e αx cos(βx), x m 1 e αx sen(βx). Con esto ya hemos resuelto (3.3.1). Además, las soluciones obtenidas son linealmente independientes, en función del lema (3.3.1), de modo que se concluye que no hay otras soluciones fuera de las que ya encontramos. Para la ecuación de Euler-Cauchy de orden n: x n y [n] + a n 1 x n 1 y [n 1] + + a 2 x 2 y + a 1 xy + a y = Podemos hacer el cambio de variable x = e u, z(u) = y(x) como se realizó en el caso de orden 2 y de manera análoga, transformarla en una EDO lineal de orden n a coeficientes constantes. 3.3.2. Ecuaciones lineales no homogéneas. Wronskiano. Ahora estudiaremos ecuaciones diferenciales lineales en un caso general, es decir, ecuaciones de la forma: (3.3.5) a n (x)y [n] + a n 1 (x)y [n 1] + a n 2 (x)y [n 2] + + a (x)y = b(x) en que los a i (x) y b(x) son funciones definidas en un intervalo I R. Recordemos que decimos que la ecuación es homogénea si b. Es fácil ver que si y 1 (x) e y 2 (x) son soluciones de (3.3.5), entonces y 1 y 2 es una solución de la ecuación homogénea subyacente. De este modo, deducimos que todas las soluciones de (3.3.5) son de la forma y(x) = y p (x) + y h (x), en que y p (x) es una solución cualquiera no trivial de (3.3.5) y y h (x) es una solución de la ecuación homogénea subyacente; de este modo, si sabemos resolver la ecuación homogénea, el problema se reduce a encontrar una solución no trivial de esta ecuación. Esto también implica que el Teorema de Existencia y Unicidad se cumple también para ecuaciones no homogéneas, en que el lado derecho no es idénticamente nulo. Para encontrar una solución particular, introduciremos varios métodos. El primero de ellos es una generalización del método de variación de parámetros utilizado en las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Sin embargo, previamente debemos introducir algunos conceptos necesarios para un desarrollo fluido de este método, en particular una generalización del wronskiano. DEFINICIÓN 3.6. Dada una familia de funciones {y 1, y 2,..., y n } C n 1 (I), definimos su wronskiano W [y 1,..., y n ](x) como la función I R dada por el siguiente
48 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR determinante: W [y 1,..., y n ] = y 1 y 2 y 3 y n y 1 y 2 y 3 y n y 1 y 2 y 3 y n....... 2 y [n 1] 3 y n [n 1] y [n 1] 1 y [n 1] Vamos a ver que este wronskiano tiene propiedades análogas al wronskiano de dos funciones definido previamente. En particular: TEOREMA 3.6. Sean y 1,..., y n soluciones de una misma ecuación diferencial lineal homogénea y normalizada. Las siguientes proposiciones son equivalentes: 1. Existe x I tal que W [y 1, y 2,..., y n ](x ) =. 2. Para todo x I el wronskiano de y 1, y 2,..., y n se anula. 3. y 1, y 2,..., y n son l.d. DEMOSTRACIÓN. Es similar al caso de n = 2. En particular, (2) (1) es trivial. Para (1) (3), supongamos que para un x I el wronskiano se anula; luego, por propiedades de los determinantes, los n vectores de R n dados por: y i y i Y i = y i. y [n 1] i son linealmente dependientes, y luego existen reales α 1,..., α n, no todos nulos, tales que la combinación lineal α 1Y1 + +α nyn se anula. Pero entonces, aplicando el Teorema de Existencia y Unicidad α 1 y 1 + + α n y n es una combinación lineal de los y i y por tanto solución de la EDO, y satisface la condición inicial de y(x ) = y (x ) = y (x ) = y [n 1] (x ) = por lo que es la solución nula. Como los α i no son todos nulos, concluimos que las funciones y i son l.d. Para (3) (2), tenemos que, si estas funciones son l.d., podemos despejar una de las funciones y i, digamos, y 1, como combinación lineal de las demás: y 1 = β 2 y 2 + β 3 y 3 + + β n y n. Así, sus derivadas sucesivas también pueden expresarse en esta forma: y [j] 1 = β 2 y [j] 2 + + β ny n [j], j = 1, 2,..., n 1. Luego, una columna.
3.3. RESOLUCIÓN EN ORDEN n 49 del determinante W [y 1,..., y n ] será combinación lineal de las demás y, por consiguiente, de las propiedades del determinante se deduce que éste es nulo. Tal como señalamos en el caso n = 2, la implicación (1) (3) solamente se da cuando suponemos que los y i son soluciones de una misma EDO lineal. De este modo, que el wronskiano se anule no garantiza que las funciones sean linealmente dependientes, a menos que sepamos que son soluciones de la misma ecuación diferencial lineal homogénea. Podemos también generalizar la fórmula de Abel obtenida para el caso de ecuaciones de segundo orden, y comprobaremos que el wronskiano es también solución de una cierta ecuación diferencial. Para ello, necesitamos la fórmula para la derivada de un determinante: LEMA 3.4. Sea f : I R una función derivable dada como determinante de una matriz de funciones: f = det[f ij (x)] i,j=1,...,n. Entonces la derivada de f es la suma de los n determinantes obtenidos al derivar una de las filas y dejar las demás intactas, es decir: f 11 f 1n f 11 f 1n f 11 f 1n f 11 f 1n d f 21 f 2n f 21 f 2n f 21 f 2n f 21 f 2n dx.... =..... +..... + +...... f n1 f nn f n1 f nn f n1 f nn f n1 f nn DEMOSTRACIÓN. Directo de la fórmula explícita de un determinante y de la regla de derivación de un producto. La demostración de la fórmula de Abel es similar al caso de dos funciones. Comenzaremos calculando la derivada del wronskiano de las soluciones de una EDO lineal homogénea utilizando la fórmula anterior: y 1 y n y y dw 1 y n 1 y n y y dx = y 1 y n 1 y 1 y n n y + y 1 y 1 y n n + + y 1 y n............... y [n 1] 1 y n [n 1] y [n 1] 1 y n [n 1] y [n] 1 y n [n] Podemos ver que todos los términos salvo el último son determinantes con dos filas iguales y por lo tanto son nulos, y por lo tanto la expresión para W (x) se reduce al último determinante. También sabemos que los y k son soluciones de una EDO lineal de la forma (3.3.5), homogénea y normalizada, de modo que podemos despejar y [n] como: n 1 y [n] (x) = a k (x)y [k] (x) k=
5 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Así, como el determinante es lineal por filas y por columnas, obtenemos que W (x) queda dado por: y 1 y n y n 1 dw dx = 1 y n a k (x) y 1 y n. k=.... y [k] 1 y n [k] y nuevamente los n 1 primeros términos son productos que involucran un determinante con dos filas iguales y, por consiguiente, se anulan, mientras que el último determinante corresponde simplemente a W (x). Así, W es solución de la ecuación diferencial de primer orden: dw dx = a n 1(x)W (x) W (x) W (x) = d dx [ln(w (x))] = a n 1(x) Resolviendo la ecuación diferencial, obtenemos la fórmula de Abel: ( x ) W (x) = W (x ) exp a n 1 (t) dt x la cual nos indica que si el wronskiano de una familia de funciones soluciones de una EDO lineal homogénea se anula en un punto, entonces es idénticamente nulo. 3.3.3. Variación de parámetros. Ahora procederemos a desarrollar el método de variación de parámetros, para lo cual supondremos que conocemos una base de soluciones {y 1, y 2,..., y n } de la ecuación homogénea subyacente a (3.3.5), e intentaremos proceder de igual forma que en el caso n = 2; es decir, intentaremos buscar una solución en la forma: (3.3.6) y p (x) = c 1 (x)y 1 (x) + c 2 (x)y 2 (x) + + c n (x)y n (x) con los c n (x) funciones I R a determinar. Derivando la ecuación (3.3.6) obtenemos: n n y p(x) = c k(x)y k (x) + c k (x)y k(x) k=1 Como no conocemos las funciones c n (x), y, potencialmente, existen infinitas funciones que satisfagan (3.3.6), entonces podemos imponer una condición adicional a los c n (x): n c k(x)y k (x) lo que implica que: k=1 y p(x) = k=1 n c k (x)y k(x) k=1 Derivando nuevamente, podemos suponer, imponiendo una condición similar, que: n c k(x)y k(x) k=1
3.3. RESOLUCIÓN EN ORDEN n 51 de modo que: y p (x) = n k=1 c k (x)y k(x) y así sucesivamente, hasta la derivada (n 2)-ésima. No impondremos una condición similar para la derivada (n 1)-ésima, ya que en ese caso obtendríamos que todos los c k (x) son nulos; de este modo, obtenemos que: y [n] p (x) = n k=1 c k(x)y [n 1] k (x) + n k=1 c k (x)y [n] k (x) Reemplazando estos términos en la ecuación diferencial obtenemos: n n n c k (x) a j (x)y [j] k + c k(x)y [n 1] k (x) = b(x) k=1 j= }{{} ec. homogénea k=1 Como los y k son soluciones de la ecuación homogénea, el término señalado se anula. De este modo, obtenemos que: n c k(x)y [n 1] k (x) = b(x) k=1 Esto, sumado a las n 1 condiciones establecidas previamente, nos entrega el siguiente sistema de n ecuaciones en las n incógnitas c 1, c 2,..., c n: n c k(x)y k (x) = k=1 n c k(x)y k(x) = k=1 n k=1 k=1 c k(x)y k(x) =.. n c k(x)y [n 2] k (x) = n k=1 c k(x)y [n 1] k (x) = b(x) o, escrito en forma matricial: y 1 y 2 y 3 y n c y 1 y 2 y 3 y n 1 y 1 y 2 y 3 y n c 2 c =....... 3. y [n 1] 1 y [n 1] 2 y [n 1] 3 y n [n 1] c n. b(x) Notemos que la matriz H de la izquierda es una especie de matriz wronskiana, en el sentido de que det(h) = W [y 1,..., y n ]. Además, como los y i son una base del espacio solución de las funciones homogéneas, deducimos que W (ya que
52 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR los y i son l.i.) y de este modo la matriz H es invertible. Así, podemos obtener las funciones c i en función de b(x) y la base de los y i, en la forma: c 1 y 1 1 y 2 y 3 y n c y 2 c 1 y 2 y 3 y n = y 1 3. y 2 y 3 y n........ c n y [n 1] 1 y [n 1] 2 y [n 1] 3 y n [n 1] b(x) y luego, integrando, obtenemos las funciones c i. Alternativamente, podemos despejar los c i utilizando la regla de Cramer: y 1 y n y 1 y n y 1 y n........ y. 1 y n c y [k] 1 b(x) y n [k] y b(x) 1 y n i = = y 1 y n y 1 y i y n W [y y 1 y i y n 1,..., y n ](x)......... y 1 y i y n y [k] 1 1 y [k] n......... y [k] 1 y [k] i y n [k] Si denotamos por W i (x) el determinante obtenido al reemplazar la i-ésima columna del wronskiano por ê n = [,,..., 1] T, el último vector de la base canónica, entonces obtenemos que los c i están dados por la fórmula: c i (x) = b(x) W i(x) W (x) dx de modo que, reemplazando en (3.3.6) obtenemos una fórmula explícita para la solución particular y p (x) que buscamos: n x b(t) n y p (x) = c i (x)y i (x) = W i (t)y i (x) dt W (t) i=1 Por simplicidad, definimos la función de Green mediante la fórmula: G(x, t) = 1 n W i (t)y i (x) W (t) con lo que la fórmula anterior se reduce a: y p (x) = x x i=1 i=1 x b(t)g(x, t) dx Considere la siguiente EDO lineal de orden n: P (D)y = f 1 (x) + f 2 (x) Dada la linealidad, podemos resolver separadamente las EDO: P (D)y = f 1 (x) P (D)y = f 2 (x)
3.3. RESOLUCIÓN EN ORDEN n 53 y sumar ambas soluciones. En efecto, sea y 1, y 2 las respectivas soluciones, entonces: P (D)y 1 = f 1 (x) P (D)y 2 = f 2 (x) = P (D)(y 1 + y 2 ) = f 1 (x) + f 2 (x) Por lo tanto, y 1 + y 2 es solución de la EDO original. Esto podrá ser usado en el método de los coeficientes indeterminados, que estudiaremos a continuación. 3.3.4. Coeficientes indeterminados. Otro método para encontrar la solución particular de una ecuación diferencial lineal es el método de coeficientes indeterminados. Sin embargo, este método no tiene tanto alcance, ya que su mayor aplicación se encuentra en las ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantes y depende fuertemente del tipo de función b(x) del lado derecho. A pesar de esto, en general es más simple que el método de variación de parámetros, cuando puede aplicarse. Consideremos una ecuación diferencial del tipo (3.3.1) a coeficientes constantes, pero no homogénea: y [n] + a n 1 y [n 1] + + a 1 y + a y = b(x) El método se basa en el hecho de que, para ciertos tipos de funciones (como los polinomios, funciones trigonométricas, etc.), sus derivadas tienen la misma forma general que las funciones originales (por ejemplo, la derivada de un polinomio es un polinomio, la derivada de una expresión exponencial es una expresión exponencial, etc.). Más formalmente, se trata de encontrar una ecuación diferencial a coeficientes constantes de la cual b(x) sea una solución; de este modo, podemos convertir la ecuación no homogénea en una ecuación homogénea de mayor orden. Explícitamente, vemos que existe un polinomio diferencial a coeficientes constantes p(d) para el cual la ecuación puede escribirse como p(d)y = b(x). Si b(x) es solución de la ecuación diferencial a coeficientes constantes dada por q(d)b =, entonces se cumple que: q(d)[p(d)y] = q(d)b(x) = (p q)(d)y = es decir, existe una ecuación lineal homogénea a coeficientes constantes de la cual las soluciones de la ecuación original p(d)y = b(x) son también soluciones. Llamamos al polinomio diferencial q(d) el anulador de la función b(x). Por ejemplo, consideremos la ecuación diferencial: y + 5y + 6y = 3x + cos(x) Tenemos que la función 3x + cos(x) es solución de la ecuación diferencial D 2 (D 2 + 1)y = y [4] + y = Aplicando el polinomio diferencial D 2 (D 2 + 1) (el anulador) a la ecuación anterior obtenemos: D 2 (D 2 + 1)(D 2 + 5D + 6)y = D 2 (D 2 + 1)(3x + cos(x)) =
54 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR y de este modo tenemos la ecuación diferencial a coeficientes constantes, homogénea, dada por: D 2 (D 2 + 1)(D + 2)(D + 3)y = y toda solución de la ecuación anterior será también solución de esta ecuación. Resolviendo, obtenemos que esta ecuación tiene soluciones de la forma: y = c 1 + c 2 x + c 3 cos(x) + c 4 sen(x) + c 5 e 2x + c 6 e 3x }{{} y h El término destacado corresponde a la solución de la ecuación homogénea subyacente, por lo que sin pérdida de generalidad podemos asumir que c 5 = c 6 =. Por consiguiente debemos encontrar valores adecuados de c 1, c 2, c 3, c 4 para los cuales y p + 5y p + 6y p = 3x + cos(x). Tenemos que: y p = c 1 + c 2 x + c 3 cos(x) + c 4 sen(x) y p = c 2 c 3 sen(x) + c 4 cos(x) y p = (c 3 cos(x) + c 4 sen(x)) y reemplazando en la ecuación, obtenemos que: 6(c 1 +c 2 x+c 3 cos(x)+c 4 sen(x))+5(c 2 c 3 sen(x)+c 4 cos(x)) (c 3 cos(x)+c 4 sen(x)) debe ser igual a 3x + cos(x). Agrupando e igualando términos obtenemos el sistema de ecuaciones: 6c 1 + 5c 2 = 6c 2 = 3 5c 3 + 5c 4 = 1 5c 4 5c 3 = con lo cual obtenemos que c 2 = 1 2, c 1 = 5 12, c 3 = c 4 = 1 1 y luego: y p = 1 1 (sen(x) + cos(x)) + 1 2 x 5 12 con lo que la solución general de la ecuación es: y = 1 1 (sen(x) + cos(x)) + 1 2 x 5 12 + Ae 2x + Be 3x con A y B constantes a determinar. Podemos ver que en general este método funciona cuando el lado derecho es una suma de expresiones polinómicas, trigonométricas y exponenciales, y se observa que la solución particular obtenida es de la misma forma que el lado derecho. En general tenemos que: Forma de b(x) Polinomio de grado n A sen(ωx) + B cos(ωx) Ce λx Forma de y p (x) Polinomio de grado n α sen(ωx) + β cos(ωx) γe λx En el caso especial en que el lado derecho de la ecuación b(x) es solución de la ecuación homogénea subyacente, en general el y p (x) asociado es el de la tabla, multiplicado por x.
3.4. INTERPRETACIÓN DESDE EL ÁLGEBRA LINEAL 55 Como se vio anteriormente, aprovechando la linealidad de la EDO, podemos aplicar separadamente el método de los coeficientes indeterminados en el ejemplo anterior. Es decir, aplicar el método separadamente a las EDOs: y sumar las soluciones obtenidas. y + 5y + 6y = x y + 5y + 6y = cos(x) 3.4. Interpretación desde el álgebra lineal Para las ecuaciones diferenciales no existe una teoría unificada; muchos de los resultados conocidos han sido obtenidos de forma independiente y no hay generalizaciones universales. Sin embargo, algunos de los más importantes resultados teóricos se hallan estrechamente relacionados con resultados del álgebra lineal; aquí examinaremos brevemente los resultados que hemos obtenido hasta ahora desde esta nueva perspectiva. 3.4.1. Valores propios de los operadores diferenciales. Para comenzar, consideremos la ecuación diferencial lineal más simple que no es trivial: (3.4.1) y = y (D 1)y = Recordemos que D es un operador lineal C n+1 (R) C n (R); en particular, es un operador lineal C C, y, por lo tanto, puede poseer valores propios. De nuestra discusión anterior recordamos que D tiene como valores propios todos los números reales (y, en realidad, todos los complejos), y los vectores propios asociados a cada valor propio λ son las funciones exponenciales Ce λx. De este modo, la ecuación (3.4.1) es equivalente a hallar valores y vectores propios asociados al operador D. En particular, el valor propio λ = tiene como espacio propio asociado al conjunto de todas las funciones tales que Df = f =. Es decir, este espacio corresponde al conjunto ker(d) = {f C (C) Df = }, el cual es el conjunto de todas las funciones constantes en todo su dominio C, y es un subespacio vectorial de C (C) isomorfo al mismo cuerpo C. Asimismo, consideremos la ecuación de Euler-Cauchy de primer orden: (3.4.2) xy = λy Si definimos el operador diferencial θ : C C dado por θ = xd, es decir, θ(f)(x) = xf (x), vemos que (3.4.2) es también un problema de búsqueda de valores propios, y que la ecuación se reduce a θy = λy. Podemos comprobar, por inspección o resolviendo la ecuación, que todo λ C es un valor propio de la ecuación, asociado al vector propio x λ, ya que: θ(x λ ) = xd(x λ ) = x(λx λ 1 ) = λx λ Asimismo, también podemos ver que la ecuación de segundo orden (3.4.3) D 2 y = λy es un problema de valores propios; pero aquí el análisis es más complejo. Resulta ser que, nuevamente, todo λ R resulta ser un valor propio del operador lineal
56 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR D 2, pero ahora el espacio propio asociado a cada valor propio λ tiene dimensión 2 y dos generadores l.i. Tenemos que, para λ >, los dos vectores propios l.i. asociados son e λx y e λx, y el espacio propio E λ C asociado es {e λx, e λx }. En cambio, para λ <, los vectores propios asociados son cos( λ x) y sen( λ x). En el caso de λ =, el espacio propio asociado E corresponde a ker(d 2 ), el conjunto de todas las funciones cuya segunda derivada es nula, y vemos que una base de este espacio es el conjunto l.i. {1, x}; es decir, ker(d 2 ) es el conjunto de todas las funciones afines, polinomios de grado 1 o menos. 3.4.2. Analogías entre ecuaciones lineales y ecuaciones diferenciales. Para el caso general de una ecuación diferencial lineal homogénea a coeficientes constantes: (3.4.4) p(d)y = lo que se busca es determinar el conjunto de funciones y para las cuales el operador p(d) : C C funciona como anulador. Es decir, el conjunto solución V de esta ecuación corresponde a ker(p(d)). Notemos que los polinomios diferenciales son operadores lineales cuya composición conmuta. Así, vemos que si factorizamos p(d) en sus factores irreducibles, se tiene que: p(d)y = (D α 1 ) n1 (D α m ) nm y =, α 1, α 2,..., α m C y entonces, conmutando adecuadamente los operadores, vemos que ker((d α i ) ni ) ker(p(d)) i {1, 2,..., m} ya que ker(t ) ker(s T ). Además, como la dimensión del espacio solución corresponde al grado del polinomio p (al orden de la ecuación), el cual es igual a la suma de los n i, tenemos que toda solución de (3.4.4) es combinación lineal de soluciones de alguna de las ecuaciones correspondientes a cada factor irreducible, y esta combinación es única. Es decir, en los términos del álgebra lineal: m V = ker(p(d)) = ker((d α i ) ni ) i=1 Notemos la analogía entre la ecuación (3.4.4) y la resolución de un sistema de ecuaciones A x = cuando la matriz A es singular, es decir, cuando existen soluciones no triviales. Notemos que el polinomio p(d) en sí es no invertible (singular) y esto es lo que causa que la ecuación p(d)y = pueda tener soluciones distintas de cero. Asimismo, en el caso de una ecuación no homogénea, el proceso es similar. Recordemos que en un sistema de ecuaciones A x = b, si la matriz es singular, puede no haber soluciones o haber infinitas. El conjunto de todos los vectores que satisfacen esta ecuación es un espacio afín, es decir, es un subconjunto del espacio vectorial al que pertenece x, formado por todos los vectores de la forma x + k, con k ker(a), y x una solución dada de este sistema, ya que: A( x + k) = A x + A k = b + = b
3.4. INTERPRETACIÓN DESDE EL ÁLGEBRA LINEAL 57 Este proceso es análogo al que hemos descrito para resolver una ecuación lineal no homogénea: encontrar una solución particular y sumarla a la solución general de la ecuación homogénea. De este modo vemos que el espacio solución de una ecuación no homogénea no es un espacio vectorial, pero es un subespacio afín del conjunto C.
Capítulo 4 Transformada de Laplace 4.1. Funciones de orden exponencial DEFINICIÓN 4.1. Sea f : [, + ) R, se dirá que f es de Orden exponencial si existen constantes C >, α R tal que x se tenga que: f(x) Ce αx Es evidente que las funciones de la forma f(x) = e ax, a R son siempre de orden exponencial. Además, podemos observar además que toda función acotada es de orden exponencial (basta con tomar α = y C = supf(x)) x PROPOSICIÓN 4.1. El conjunto E = {f : [, ) R, f de orden exponencial} es un espacio vectorial DEMOSTRACIÓN. Primero, es directo notar que que f E. Ahora probemos que si f, g E entonces (λ 1 f + λ 2 g) E para λ 1, λ 2 R. En efecto, dado que f, g E, podemos asumir que existen constantes C 1, C 2 > ; α, β Rtal que: f(x) C 1 e αx, g(x) C 2 e βx Luego, usando desigualdad triangular y lo anterior se tiene que: λ 1 f(x) + λ 2 g(x) λ 1 f(x) + λ 2 g(x) λ 1 Ce αx + λ 2 De βx 2 máx{ λ 1 C 1, λ 2 C 2 } e máx{ α, β } x Con lo cual se tiene que cualquier combinación lineal de funciones de orden exponencial es también de orden exponencial. E es un espacio vectorial. Además, se obtiene de forma directa que el producto de funciones de orden exponencial, también es de orden exponencial.