CLASES DE NIVELACIÓN: UN INSTRUMENTO DE APOYO AL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICAS PARA LA EMPRESA

CLASES DE NIVELACIÓN: UN INSTRUMENTO DE APOYO AL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICAS PARA LA EMPRESA Roberto J. Cañavate Bernal Tfno: 968 32 57 83 e-mail: r.canavate@upct.es Mª Belén Cobacho Tornel Tfno: 968 32 54 02 e-mail: belen.cobacho@upct.es Juan Francisco Garcerán Martínez Tfno: 968 32 70 04 e-mail: juanfrancisco.garceran@upct.es Abilio Milla Hernández Tfno: 968 32 70 04 e-mail: abilio.milla@upct.es Dpto. Métodos Cuantitativos e Informáticos Facultad de Ciencias de la Empresa Paseo Alfonso XIII, 50 30203 CARTAGENA FAX: 968 32 57 45 La enseñanza de las Matemáticas como herramienta imprescindible en la formación de los alumnos de las carreras de Diplomatura en Ciencias Empresariales y L.A.D.E. se ve obstaculizada por la heterogeneidad del nivel de conocimientos del alumnado, debida en parte a las distintas formas de acceso a la Universidad vigentes en la actualidad. A esta diversidad de procedencias académicas se le suma, en una gran mayoría de casos, profundas carencias de conocimientos matemáticos previos. Éstos son problemas que, si bien no son susceptibles de ser tenidos en cuenta en los planes de estudio, no pueden ser pasados por alto y hacen necesario el planteamiento de posibles soluciones. Con este fin se propone un programa complementario (al margen del plan de estudios vigente) de clases de nivelación en matemáticas, cuyo objetivo primordial es adecuar los conocimientos previos del alumnado a los requerimientos de las asignaturas de Matemáticas en estas carreras. En este trabajo se describe la experiencia docente de los autores en este ámbito, junto con una reflexión sobre la necesidad y adecuación de esta medida para la mejora del aprendizaje en las asignaturas de matemáticas. Palabras Clave: Docencia, Conocimientos preuniversitarios, Clases de nivelación

1. PROBLEMÁTICA DOCENTE DE LAS ASIGNATURAS DE MATEMÁTICAS EN LA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EMPRESA DE CARTAGENA En los últimos años dos constantes han marcado ostensiblemente los grupos de primer curso tanto de los estudios de diplomatura como los de licenciatura en nuestro centro: la reducción de créditos de la asignatura de Matemáticas para la Empresa en el nuevo Plan de Estudios y una gran heterogeneidad en la procedencia del alumnado. En cuanto a la primera cuestión, en el Plan de Estudios de 1978 de la Diplomatura en Ciencias Empresariales, las asignaturas de matemáticas poseían una carga total de 18 créditos (distribuidos en dos asignaturas impartidas en primer y segundo curso), pero con la introducción del Plan de Estudios de 1999 la docencia de esta disciplina quedó reducida a una única asignatura de 9 créditos en primer curso. Del mismo modo, el Plan de Estudios de la Licenciatura en Administración y Dirección de Empresas (de reciente incorporación a nuestra universidad) sólo incluye una asignatura de matemáticas en primer curso, con una carga docente de 9 créditos. La heterogeneidad en la procedencia del alumnado en los últimos años es consecuencia fundamentalmente de la coexistencia en la enseñanza secundaria de la Ley General de Educación (LGE) y la Ley de Ordenación General del Sistema Educativo (LOGSE), lo que provoca un origen muy diverso en los alumnos matriculados en estas asignaturas: a) Alumnos procedentes del Curso de Orientación Universitaria (COU). b) Alumnos procedentes del Plan Experimental de Reforma de las Enseñanzas Medias (REM) (dos institutos de los seis de la ciudad lo seguían). c) Alumnos del Bachillerato de la LOGSE. d) Alumnos con prueba de acceso para mayores de 25 años superada. e) Alumnos que provienen del mundo laboral. f) Alumnos correspondientes al 30 % reservado para la Formación Profesional de Segundo Grado (FP), sólo en el caso de la diplomatura. En la FP también han coexistido la tradicional, la correspondiente al Plan Experimental (Módulos Profesionales) y la derivada de la LOGSE (Ciclos Formativos de Grado Superior). Esta diversidad de procedencias de los alumnos no es meramente formal sino que ocasiona una importante disparidad en sus conocimientos matemáticos, no sólo cuantitativa, sino también cualitativamente (véase Fernández Geniz et al. (2001)), como ponen de manifiesto los siguientes datos:

1. Con la LGE los alumnos estudian de media 4 horas semanales de matemáticas por año (en sus cuatro últimos de estudios no universitarios), por 3,5 con la LOGSE. 2. Mientras que el concepto de derivada se introduce en la LGE en el segundo curso de estudios secundarios, en la LOGSE se introduce un curso después y en la REM no se introduce hasta el último curso (el alumno cursa dos asignaturas de matemáticas el último año de estudios secundarios). 3. De la misma forma la introducción del concepto de integral se ha visto retrasada con la LOGSE un curso respecto de la LGE. A estos hechos hemos de añadir las dificultades que cualquier alumno encuentra en el salto que supone pasar de los estudios secundarios a los estudios universitarios. Este cambio requiere cierta madurez en la etapa que Piaget (1979) llama etapa de las operaciones formales, caracterizada por habilidades de razonamiento abstracto y teórico, inductivo y deductivo, nivel de razonamiento formal que en muchos casos aún no ha sido alcanzado (véase Jiménez y Areizaga (2001)). La situación descrita compone unas condiciones claramente adversas para la docencia y el aprendizaje de las asignaturas de matemáticas de los alumnos de primer curso. Puesto que esta situación no podía ser pasada por alto, como medida para paliar dichas dificultades se tomó la decisión de impartir clases complementarias de matemáticas durante el curso 2001/2002 denominadas clases de nivelación. 2. DESCRIPCIÓN DE LAS CLASES Las clases de nivelación tienen como objetivo primordial adecuar los conocimientos previos del alumnado a los requerimientos de la asignatura, unificando así, en la medida de lo posible, sus situaciones de partida para el primer curso. Sin embargo, con estas clases también se persiguen otros fines secundarios que no carecen de interés propio, como mejorar la capacidad de utilización práctica de los conocimientos matemáticos o intentar eliminar el rechazo habitual de los alumnos hacia las asignaturas de matemáticas. 2.1. Organización y agrupamientos La asistencia a las clases de nivelación es totalmente voluntaria, por lo que se estableció un turno de mañana y otro de tarde (de entre dos y tres horas semanales cada uno) para facilitar la presencia de los alumnos en éstas, de forma que los pertenecientes a grupos de mañana acuden a las clases de nivelación impartidas por la tarde y viceversa. Con el objetivo de racionalizar la asistencia del alumnado se organizaron las clases en periodos semanales: al principio de cada semana se facilita a los alumnos información detallada de los contenidos que serán tratados para que éste tenga la capacidad de decidir si cree necesario acudir a las clases de ese periodo.

2.2. Metodología Se consideró que la componente formativa de la disciplina queda suficientemente cubierta con el temario impartido en primer curso, lo que unido al ajuste temporal del programa establecido para estas clases, llevó a plantearlas sin recurrir a amplios desarrollos teóricos. En la programación de cada semana el desarrollo de las clases se divide en tres etapas: a) Se comienza con una exposición de esquemas teóricos y ejemplos realizados en el aula por el profesor. b) Se facilita al alumnado una relación de ejercicios y/o problemas para su trabajo personal, tutorizando el profesorado, en la medida de lo posible, la realización de éstos. c) Se presentan en la pizarra la resolución de aquellas cuestiones que han presentado mayor dificultad. 2.3. Contenidos y temporalización Para la ubicación temporal de las clases se barajaron dos alternativas: 1. Un programa intensivo al comienzo del curso universitario. 2. Un programa complementario a las clases regladas que se imparta paralelamente a éstas en el tiempo. En ambos casos se aprecian aspectos positivos y negativos. La primera opción presenta la ventaja de que el alumno conoce, antes de comenzar la asignatura, los contenidos mínimos necesarios para enfrentarse a ésta. Sin embargo, precisa de un esfuerzo intensivo por parte del alumno que, en ocasiones, no está dispuesto a realizar. Además, con frecuencia el alumnado de nuevo acceso no es consciente de sus carencias de conocimientos hasta bien entrado el curso académico, lo que podría limitar, en gran medida, la asistencia de éstos a las clases de nivelación. Con respecto a la segunda posibilidad, hallamos el inconveniente de que, al impartir las clases a lo largo de todo el curso, parte del alumnado tienda a reducir su asistencia por la necesidad de dedicar tiempo a otras asignaturas. Sin embargo, existen las ventajas de la progresión con la que se estudian los contenidos y el paralelismo en el tiempo con las clases de la disciplina, lo que permite impartir en las clases de nivelación precisamente aquellos contenidos que son necesarios para el alumno en cada momento. La opción escogida, de forma experimental, fue la segunda. Esta elección condicionó decisivamente la distribución de los contenidos de las clases de nivelación, haciendo que éstos se presentaran no desde un punto de vista didáctico o histórico, sino de forma paralela al desarrollo del temario de la disciplina (pueden consultarse el

programa de la asignatura y de las clases de nivelación en el apéndice). De este modo, las clases de nivelación constituyen para el alumno un apoyo duradero y adaptado a las necesidades de éste para la asimilación y manejo de la asignatura. 3. ENCUESTA Dado que las clases de nivelación son una experiencia introducida a lo largo del curso 2001/2002 se consideró conveniente, con el objetivo de obtener datos que permitan mejorar la calidad de éstas, realizar una encuesta al alumnado de la asignatura para conocer su opinión al respecto, así como las características de los alumnos que asisten a las clases. Si bien la experiencia dice que normalmente la asistencia a las clases regladas se cifra en torno a un 50% de los alumnos matriculados, se obtuvieron sólo 111 respuestas, de las cuales 105 eran válidas, lo que supone únicamente un 25% del total de matriculados. Este bajo porcentaje se debe probablemente a que la encuesta fue realizada cerca del final del curso, fechas en las cuales la asistencia a clase se ve notablemente mermada. Aunque los resultados exhaustivos de la encuesta no se incluyen en este documento, pueden ser consultados en su totalidad en la página web http://www.upct.es/~dmci. Del análisis de estos datos resaltamos las siguientes conclusiones. Algo más del 50% de los alumnos de COU y LOGSE han acudido a las clases de nivelación en alguna ocasión, mientras que en el caso de los alumnos procedentes de FP esta proporción se eleva por encima del 85%. En su conjunto, cerca de un 50% del alumnado no asiste nunca a las clases y en torno a un 20% asiste con regularidad. Todos de los alumnos de FP consideran que sus conocimientos matemáticos previos son insuficientes para enfrentarse a la asignatura; dos de cada tres alumnos de LOGSE son de la misma opinión. En el caso de los alumnos procedentes de COU, no existe una opinión mayoritaria al respecto. Habiendo preguntado a los alumnos la razón principal de su asistencia a las clases de nivelación, tres de cada cuatro alumnos repetidores reconocen haber adquirido insuficientes conocimientos previos de matemáticas; dos de cada tres alumnos procedentes de LOGSE y FP se encuentran en la misma situación. En cuanto a los alumnos de COU, un alto porcentaje alega haber olvidado sus conocimientos matemáticos. En general, la valoración acerca de la organización temporal, los contenidos y el número de horas de las clases de nivelación es muy positiva. De media un 80% de los encuestados considera las clases de nivelación como una experiencia positiva y opina que deben mantenerse en próximos cursos.

Estos porcentajes son aún mayores para repetidores, alumnos procedentes de FP o que asisten con asiduidad a las clases. Es interesante resaltar que a pesar de que los propios alumnos reconocen sus carencias y dificultades en la asignatura de matemáticas y que valoran como positivas y necesarias las clases de nivelación, la asistencia a éstas es muy baja (tan sólo un 20% de los encuestados asiste con frecuencia). Teniendo en cuenta, además, que el nivel de aprobados del primer parcial de la asignatura no superó el 10% de los matriculados, se desprende de estos datos un alto nivel de indiferencia del alumnado con respecto a la asignatura. 4. PERSPECTIVAS DE FUTURO Tanto de la experiencia del profesorado como de la consulta efectuada a los alumnos se deduce que la práctica realizada ha sido no sólo positiva para el alumnado, sino también necesaria para gran parte de éste, por lo que será mantenida en los próximos cursos e incluso se podría considerar ofrecer estas clases como asignatura optativa o de libre configuración, como ya fue sugerido por García Hernández (2001). Sin embargo, se están estudiando algunas modificaciones que ayuden a mejorar su eficacia, una de las cuales es la creación de nuevos modelos de agrupamiento que contemplen las distintas necesidades de los alumnos. Entre estas nuevas formas de agrupamiento en consideración se encuentran las siguientes: a) Incorporar las clases de nivelación dentro del horario de las clases regladas, manteniendo su voluntariedad, lo que creemos incrementaría la asistencia de los alumnos a éstas. b) Establecer, según la procedencia, distintas programaciones de nivelación, lo que permitiría una mayor homogeneización de los grupos. c) Diseñar una evaluación inicial y a partir de ella formar grupos, que probablemente fuesen más homogéneos que los logrados con la opción anterior. Por otra parte, al desaparecer el COU al final del curso 2000-2001, la normativa vigente impide el acceso a estudios de ciclo corto con el Bachillerato LOGSE y sin la prueba de acceso a la universidad superada, lo que podría ayudar a eliminar parte de la heterogeneidad aludida. Además, el Ministerio de Educación ha publicado un Documento de Bases de lo que será la denominada Ley de Calidad de la Enseñanza, donde se pone de manifiesto una elección más temprana de itinerarios formativos para el alumnado de la enseñanza no universitaria y condiciona la obtención del Título de Bachiller a la superación de una Prueba General al finalizarlo, hechos que sin duda favorecerán una mayor homogeneidad de conocimientos del alumnado que acceda a la universidad.

5. APÉNDICE En este epígrafe se presentan, respectivamente, los temarios de la asignatura Matemáticas para Empresa y de las clases de nivelación impartidas en la Facultad de Ciencias de la Empresa. Matemáticas para la Empresa TEMA 1. Espacios vectoriales. 1.1. Definición y propiedades. 1.2. Combinación lineal. 1.3. Dependencia e independencia lineal. 1.4. Sistema de generadores. Base. 1.5. Subespacios vectoriales. 1.6. Producto escalar. Norma. Ortogonalidad. TEMA 2. Aplicaciones lineales. Diagonalización. Formas cuadráticas. 2.1. Definición de aplicación lineal. Propiedades. 2.2. Valores y vectores propios. 2.3. Diagonalización. 2.4. Formas cuadráticas. TEMA 3. Funciones de varias variables. 3.1. Funciones escalares y funciones vectoriales. 3.2. Límites y continuidad. 3.3. Derivabilidad y diferenciabilidad. 3.4. Marginalidad y elasticidad. 3.5. Funciones implícitas y homogéneas. TEMA 4. Optimización de funciones de varias variables. 4.1. Extremos libres. 4.2. Extremos condicionados. TEMA 5. Cálculo integral. 5.1. Integrales impropias de 1ª especie. Criterios de convergencia. 5.2. Integrales dobles. TEMA 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias. 6.1. Definición y solución de una ecuación diferencial. 6.2. E.D.O. de primer orden. E.D.O. de orden n. Clases de nivelación Bloque I. Repaso para Álgebra Lineal (10 semanas). TEMA 1. Vectores. (1 semana) 1.1. Vectores libres: coordenadas, dirección, módulo y sentido. 1.2. Dependencia e independencia lineal de vectores.

TEMA 2. Ecuaciones y sistemas de segundo grado. (1 semana) 2.1. Ecuaciones de segundo grado y reducibles a segundo grado. 2.2. Ecuaciones irracionales. 2.3. Sistemas de ecuaciones no lineales. TEMA 3. Polinomios. (2 semanas) 3.1. Operaciones con polinomios. 3.2. Divisibilidad de polinomios. 3.3. Factorización de polinomios. TEMA 4. Matrices. (2 semanas) 4.1. Matrices: conceptos básicos y operaciones. 4.2. Matriz inversa. 4.3. Rango de una matriz. TEMA 5. Determinantes. (1 semana) 5.1. Definición y propiedades. 5.2. Regla de Sarrus. TEMA 6. Sistemas de ecuaciones lineales. (3 semanas) 6.1. Ecuaciones equivalentes. Sistemas equivalentes. 6.2. Matriz de los coeficientes y matriz ampliada. 6.3. Sistemas homogéneos. 6.4. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones. Bloque II. Repaso para Análisis Matemático (20 semanas). TEMA 1. Los números reales. (1 semana) 1.1. Intervalos y entornos. Valor absoluto. 1.2. Potencias de exponente racional. Operaciones con radicales. TEMA 2. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones. (1 semana) 2.1. Inecuaciones. Inecuaciones lineales con una y dos incógnitas. Inecuaciones de segundo grado. 2.2. Sistemas de inecuaciones lineales con una y dos incógnitas. TEMA 3. La recta en el plano. (1 semana) 3.1. Definición. Inclinación y pendiente. 3.2. Las distintas ecuaciones de la recta en el plano. TEMA 4. Lugares geométricos. Cónicas. (1 semana) 4.1. Definición. Mediatriz de un segmento. 4.2. Circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. 4.4. La esfera.

TEMA 5. Funciones. (2 semanas) 5.1. Dominio y recorrido. 5.2. Propiedades de las funciones. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas. Simetría. Funciones pares e impares. Acotación. 5.3. Clases de funciones: polinómicas, racionales e irracionales. TEMA 6. Funciones exponencial y logarítmica. (2 semanas) 6.1. Función exponencial. Aplicaciones. 6.2. Ecuaciones y sistemas exponenciales. 6.3. Logaritmo de un número. Propiedades. 6.4. Función logarítmica. Propiedades. 6.5. Ecuaciones y sistemas logarítmicos. TEMA 7. Límites de funciones. Continuidad. (2 semanas) 7.1. Límites laterales y límite de una función en un punto. 7.2. Límite de una función en el infinito. 7.3. Continuidad de una función en un punto. Tipos de discontinuidades. 7.4. Indeterminaciones. 7.5. Cálculo de límites. TEMA 8. Derivadas de funciones. (3 semanas) 8.1. Definición e interpretación geométrica. 8.2. Función derivada. 8.3. Reglas para el cálculo de derivadas. 8.4. Derivación implícita. 8.4. Regla de L Hôpital. TEMA 9. Máximos y mínimos. Representación de funciones. (3 semanas) 9.1. Monotonía de una función. 9.2. Máximos y mínimos relativos de funciones. 9.3. Concavidad y convexidad. 9.4. Puntos de inflexión. 9.5. Cortes con los ejes. 9.6. Asíntotas. 9.7. Simetrías. 9.8. Representación gráfica de una función. TEMA 10. Integrales. (4 semanas) 10.1. Primitiva de una función. Integral indefinida. 10.2. Integrales inmediatas. 10.3. Cálculo de integrales: cambios de variable, partes y racionales. 10.4. Área encerrada bajo una curva. 10.5. Integral definida. Propiedades. Regla de Barrow. 10.6. Cálculo de áreas de recintos planos.

6. REFERENCIAS Fernández Geniz, P., Gómez Domínguez, D., Masero Moreno, I. y Zapata Reina, A. (2001). Reflexiones sobre la adecuación de los conocimientos previos de los alumnos al temario de matemáticas de la Escuela de Empresariales. Acta de Jornadas de la IX reunión de ASEPUMA. García Hernández, J.M. (2001). Sobre la opción cursada en los estudios previos y su incidencia en las notas obtenidas en Matemáticas de la LADE. Acta de Jornadas de la IX reunión de ASEPUMA. Jiménez, M. y Areizaga, A. (2001). Reflexiones acerca de los obstáculos que aparecen, en la enseñanza de las matemáticas, al pasar del Bachillerato a la Universidad. Acta de Jornadas de la IX reunión de ASEPUMA. Piaget, J. (1979). Los datos genéticos. Tratado de lógica y conocimiento científico. Tomo III: Epistemología de la Matemática. Ed. Paidos, Buenos Aires. Orden de 19 de noviembre de 1985 por la que se autoriza la realización de las experiencias que se definen en Centros ordinarios de Enseñanzas Medias. B.O.E. de 4 de diciembre de 1985. Orden de 21 de octubre de 1986 por la que se define y aprueba la experiencia relativa al segundo ciclo de enseñanza secundaria. B.O.E. de 6 de noviembre de 1986. Orden de 3 de septiembre de 1987 por la que se modifican las Órdenes de 22 de marzo de 1975 y de 11 de septiembre de 1976, en los apartados relativos al Curso de Orientación Universitaria. B.O.E. de 14 de septiembre de 1987. Real Decreto 1005/1991, de 14 de junio, por el que se regulan los procedimientos para el ingreso en los Centros Universitarios. B.O.E. de 26 de junio de 1991. Real Decreto 1700/1991, de 29 de noviembre, por el que se establece la estructura del Bachillerato. B.O.E. de 2 de diciembre de 1991. Real Decreto 1178/1992, de 2 de octubre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas del Bachillerato. B.O.E. de 21 de octubre de 1992. Real Decreto 1179/1992, de 2 de octubre, por el que se establece el currículo del Bachillerato. B.O.E. de 21 de octubre de 1992.