Circuitos de corriente continua

nidad didáctica 3 Circuitos de corriente continua Qué aprenderemos? Cuáles son las leyes experimentales más importantes para analizar un circuito en corriente continua. Cómo resolver circuitos en corriente continua a partir de su simplificación mediante circuitos equivalentes. Cómo resolver circuitos en corriente continua aplicando las leyes de Ohm y de Kirchhoff. Cuáles son los teoremas fundamentales para circuitos eléctricos.

nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua 65 Recuerda que la corriente continua o cc es aquella corriente unidireccional que mantiene constante su valor en el tiempo y que identificamos con el tipo de corriente producida, por ejemplo, por una pila, una batería o una dinamo. 3.1. 3.1.1. Leyes experimentales más importantes En esta unidad vas a estudiar las distintas herramientas (leyes y teoremas) necesarias para determinar (analizar) las diferentes magnitudes que definen un circuito. Todas estas herramientas se van a explicar con circuitos de corriente continua por ser más fácil su aplicación. na vez estés familiarizado con ellas, pasaremos a aplicarlas a circuitos de corriente alterna, en las NDADES DDÁCTCAS 4 y 5. En este apartado estudiaremos las leyes experimentales más importantes: la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff, para continuar después con la resolución de circuitos de diferente complejidad. Ley de Ohm. Aplicación Como ya vimos en la NDAD DDÁCTCA 1, la ley de Ohm establece la dependencia que existe entre la intensidad, la tensión y la resistencia en corriente continua y se expresaba así:, o alternativamente como: o Es muy importante que te detengas a pensar en qué estás aplicando la ley de Ohm antes de hacerlo, para que lo hagas correctamente. Ejemplo 3.1 La ley de Ohm es básica en el análisis de cualquier circuito eléctrico, puede aplicarse a un circuito completo o a cualquiera de sus partes, y se cumple para todos los componentes. Como las tres magnitudes están relacionadas entre sí, conocidos dos de estos valores, el tercero se determinará aplicando dicha ley. Así pues: Conociendo la tensión en los bornes y el valor de la resistencia, podremos determinar el valor de la corriente que circula. Conociendo la corriente que circula y el valor de la resistencia, podremos determinar el valor de la tensión en los bornes. Conociendo la tensión y la corriente, podremos determinar el valor de la resistencia. Tenemos el componente de la figura siguiente, donde hemos denominado a la resistencia, R1 a la tensión en los bornes de la resistencia e R1 a la corriente que circula por la misma. a) Determina la corriente que circula por la resistencia si es de 100 Ω cuando aplicamos 10 V entre sus bornes. Solución R1 R b) Determina la tensión en los bornes de la resistencia de 100 Ω cuando circula por ella una corriente de 0,1 A. Fig. 3.1. Solución c) Determina el valor de la resistencia si al aplicarle una tensión de 10 V circula por ella una corriente de 0,1 A. Solución

66 nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua 3.1.2. Potencia en corriente continua En este punto vamos a ampliar la definición de potencia eléctrica realizada en la N- DAD DDÁCTCA 1. Potencia instantánea y potencia activa Para que entiendas mejor las siguientes definiciones recuerda que indicamos con letras minúsculas las magnitudes (u, i, p) que varían con el tiempo y que utilizamos las mismas letras pero mayúsculas para indicar los valores medios de estas magnitudes. Potencia instantánea, p(t). En cualquier instante de tiempo, la potencia entregada a cualquier componente es el producto del valor de la tensión en los bornes del componente por la corriente que lo atraviesa en ese mismo instante de tiempo. Se expresa matemáticamente así: p(t) = u(t) i(t) Potencia activa (P). Es aquélla capaz de producir un trabajo, calculada como el valor medio de la expresión de la potencia instantánea. u, i p En el caso de corriente continua (figura 3.2), los valores de tensión y corriente son constantes en el tiempo, es decir: u = e i =, donde e representan, respectivamente, el valor medio de la tensión y de la corriente. Por tanto, la potencia vendrá expresada por: u(t) i(t) p(t) t Recuerda que combinando la expresión de la potencia con la ley de Ohm podemos hallar otras expresiones: Fig. 3.2. Representación gráfica de la evolución en el tiempo de la tensión, la intensidad y la potencia en corriente continua. E Fig. 3.3. Potencia en los elementos que conforman un circuito En la unidad anterior has estudiado que los generadores aportan (suministran) energía al circuito, por ejemplo las pilas y las baterías, y también has visto que todo elemento resistivo (ya sea un resistor o la resistencia de un cable conductor) disipa o transforma en calor la energía, según la ley de Joule. Recuerda que cuando esto sucede y esta transformación no es deseada la llamamos potencia perdida. Supongamos un simple circuito formado por una fuente de alimentación (un generador de corriente continua) y una resistencia. En este circuito vamos a ver qué potencia hay en juego. Potencia generada por una fuente de alimentación ideal, de f.e.m. E. El hecho de que sea ideal significa que no tiene resistencia interna de pérdidas; entonces, la tensión en los bornes es igual a E. Si denominamos a la corriente suministrada, la potencia suministrada o potencia generada tiene el siguiente valor: ; R Potencia consumida por la resistencia. Si es la tensión en los bornes de la resistencia e es la corriente que circula por ella, la potencia consumida o disipada en la resistencia tiene el siguiente valor: P = y también: P = R 2 (ley de Joule) Fig. 3.4.

nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua 67 E r R Potencia generada por una fuente de alimentación real, de f.e.m. E y de resistencia interna r, que suministra una corriente. En este caso siempre será menor que E, si es diferente de cero, pues siempre existirá una caída de tensión en la resistencia r, que representa las pérdidas de la fuente o generador. Potencia generada por la fuente ideal: P = E Potencia disipada o perdida en la resistencia interna: P = r 2 Fig. 3.5. Potencia suministrada por la fuente real: P = Aplicando el principio de conservación de la energía, en todo circuito se puede establecer un balance de potencias de forma tal que la suma de potencias generadas (o suministradas) es igual a la suma de potencias consumidas (o disipadas): Σ potencias generadas = Σ potencias consumidas Ejemplo 3.2 Qué potencia proporciona una batería ideal de 12 V que suministra 2 A? Solución P = E = 12 2 = 24 W Ejemplo 3.3 Qué potencia consume una resistencia de 6 Ω recorrida por una corriente de 2 A? Solución P = R 2 = 6 2 2 = 24 W Ejemplo 3.4 Qué potencia proporciona una batería real de 12 V y resistencia interna de 0,2 Ω que suministra 2 A? Solución Potencia generada: P G = E 2 = 12 2 = 24W Potencia disipada en la resistencia interna: P r = r 2 = 0,2 2 2 = 0,8W Potencia suministrada: Ejemplo 3.5 Cuál es la resistencia que presenta una lámpara de incandescencia de características nominales 24 V, 60 W? Solución Las características nominales 24 V, 60 W nos indican que si alimentamos esta lámpara a 24 V consume 60 W, por lo que podemos determinar la resistencia a partir de la expresión, de donde: P s = P G P r = 24 0,8 = 23,2 W 3.1.3. Leyes de Kirchhoff Las leyes de Kirchhoff son de aplicación generalizada en el análisis de circuitos eléctricos. En este punto nos limitaremos a enunciarlas; más adelante abordaremos la aplicación sistemática de las mismas para la resolución de circuitos. En cualquier circuito eléctrico de cierta complejidad podemos diferenciar entre nudos y mallas. Nudo: se denomina nudo a todo punto donde convergen dos o más de dos conductores. Malla: constituye una malla todo circuito cerrado que puede ser recorrido volviendo al punto de partida sin pasar dos veces por un mismo elemento.

68 nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua Primera ley de Kirchhoff i 2 La primera ley de Kirchhoff (también denominada ley de los nudos o ley de las corrientes) dice que la suma aritmética de todas las corrientes que confluyen en un nudo es cero. O, lo que es lo mismo, la suma de todas las corrientes que llegan a un nudo es igual a la suma de todas las corrientes que salen de éste. n Fig. 3.6. Primera ley de Kirchhoff. Ejemplo 3.6 De forma genérica consideramos que todas las corrientes llegan al nudo. Las corrientes que verdaderamente lleguen al nudo tendrán signo positivo, mientras que las corrientes que salgan del nudo tendrán signo negativo. En el nudo A de la figura siguiente = 10 A e 2 = 6 A, qué valor tiene 3? Qué significa su signo? Solución R 2 2 3 R 4 Según la primera ley de Kirchhoff, podemos establecer lo siguiente: + 2 + 3 = 0 Sustituyendo los valores conocidos e 2, tenemos que la corriente 3 tiene el siguiente valor: 3 = 2 = 10 6 = 16 A Fig. 3.7. El signo negativo nos indica que esta corriente es de sentido opuesto al previamente considerado, por lo que esta corriente no llega al nudo, sino que sale del nudo. Físicamente, la primera ley de Kirchhoff nos dice que en ningún punto del circuito existe acumulación de carga eléctrica. Segunda ley de Kirchhoff La segunda ley de Kirchhoff (también llamada ley de las mallas) dice que la suma aritmética de los voltajes a lo largo de una malla (camino cerrado) es cero. También puede expresarse afirmando que la suma de todas las fuerzas electromotrices en una malla es igual a la suma de las caídas de tensión en la malla. o, lo que es lo mismo, 1 2 3 El signo de cada voltaje de la malla tiene signo positivo si se comporta como generador y negativo si se comporta como carga. Las caídas de tensión (tensión en los bornes de las resistencias) tienen signo negativo. Fig. 3.8. Segunda ley de Kirchhoff.

nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua 69 Actividades 1. Por una resistencia de 10 Ω pasa una corriente de 250 ma. Qué diferencia de potencial existirá entre sus bornes? 2. na fuente con una resistencia interna de 200 mω está entregando 1 A de corriente a una resistencia de 9,8 Ω, a la que está conectada. Qué potencia disipa la resistencia de 9,8 Ω? Qué potencia se disipa (se pierde, en este caso) en la resistencia interna de la fuente? Si la f.e.m. de la fuente es de 10 V, qué potencia genera ésta? Realiza el balance de potencias y comprueba que tus resultados sean correctos. 3. usca en nternet o en el manual de un coche de algún familiar o amigo las características de tensión y potencia de una bombilla de intermitencia. Calcula la corriente que absorbe de la batería cuando está encendida de forma permanente. 4. Determina la resistencia nominal de las cargas siguientes: 5. Calcula la corriente, la tensión y la potencia disipada por un calefactor eléctrico cuyos valores nominales son 24 V, 500 W (aceptando que la resistencia es constante), si lo alimentamos con una fuente de 24 V y una resistencia interna r = 0,05 Ω. 6. ndica todos los nudos que existen en el circuito que se muestra a continuación. R 2 + + R 3 R 4 1 2 Fig. 3.9. 7. En el nudo A, tenemos las corrientes = 1 A, 2 = 3 A, 4 = 5 A e 5 = 2 A. Qué valor posee la corriente 3? Qué indica el signo para cada corriente? Qué corrientes entran y cuáles salen? na lámpara de incandescencia de 12 V y 24 W na lámpara de incandescencia de 12 V y 60 W 2 3 A 4 na lámpara de incandescencia de 24 V y 24 W n calefactor de 24 V y 240 W Fig. 3.10. 5 = 1 A a 3.2. Circuitos equivalentes = 10 V Circuito A La utilización de circuitos equivalentes es uno de los métodos más usuales de análisis y simplificación de circuitos. = 1 A b a Dos o más circuitos eléctricos de dos terminales son equivalentes entre terminales si, al aplicar la misma tensión, por ellos circula la misma corriente, o bien la tensión entre sus terminales es la misma si hacemos pasar a través de ellos la misma corriente. = 10 V Fig. 3.11. Circuitos equivalentes. b Circuito En la figura 3.11, cuando al circuito A, accesible desde dos terminales a y b, se le aplica una tensión de 10 V, la corriente es de 1 A. Aplicamos la misma tensión de 10 V al circuito. Si resulta que la corriente que pasa también es de 1 A y, además, sucede que esto se repite para otros valores de tensión que provocan la misma corriente en los dos circuitos, podremos concluir que el circuito A y el circuito son equivalentes entre los terminales a y b. En los siguientes apartados vamos a ver cómo se resuelven los circuitos básicos constituidos por componentes asociados en serie, en paralelo o de forma mixta, mediante el cálculo de sus circuitos equivalentes.

70 nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua 3.3. Asociación de resistencias En un circuito eléctrico nos podemos encontrar con varias resistencias que pueden aparecer conectadas (asociadas o agrupadas) en serie, en paralelo o de forma mixta. En este apartado estudiaremos cómo debemos identificar estos tipos de asociaciones y cómo hay que sustituirlas por un circuito equivalente de un solo valor de resistencia que permita calcular el circuito de forma más sencilla. Antes, no obstante, veamos qué significa cada uno de estos circuitos. 3.3.1. Asociación de resistencias en serie Recuerda que un circuito en serie es aquél en el que todos los componentes se conectan uno a continuación del otro. Si se conectan varias resistencias en serie, la corriente que circula será la misma por todas ellas y dependerá de la tensión aplicada al conjunto (tensión de la fuente) y de la resistencia total. La circulación de esta corriente provoca una diferencia de potencial en los bornes de cada resistencia, proporcional a su valor y que denominamos tensión parcial o caída de tensión en la resistencia. Como ejemplo, vamos a analizar un circuito formado por tres resistencias en serie (figura 3.12). Para ello, seguiremos el siguiente proceso: dentificamos todos los componentes, corrientes y tensiones. En este ejemplo hemos denominado a la tensión aportada por la fuente, a la intensidad que circula por el circuito (común a todos los elementos),, R 2 y a las resistencias, y 1, 2 y 3 a la caída de tensión en cada una de las resistencias. 1 2 3 R 2 R t Fig. 3.12. Circuito con tres resistencias en serie. Planteamos un circuito equivalente (figura 3.13) formado por una sola resistencia R t y alimentado a la misma tensión, por tanto, recorrido por la misma corriente. Para encontrar el valor de la resistencia equivalente debemos plantear las ecuaciones que rigen ambos circuitos: Ecuaciones del circuito original (figura 3.12). Fig. 3.13. Circuito equivalente al de la figura 3.12. Por la segunda ley de Kirchhoff sabemos que = 1 + 2 + 3 Si aplicamos la ley de Ohm a cada elemento podemos calcular las caídas de tensión en los componentes: 1 = ; 2 = R 2 ; 3 = Ecuaciones del circuito equivalente. Si aplicamos la ley de Ohm (figura 3.13): o bien, Combinando las ecuaciones de ambos circuitos donde e son comunes podemos resolver cualquier problema que se plantee.

nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua 71 Supongamos el caso más habitual: conocemos el valor de la tensión de la fuente y el valor de cada resistencia, y deseamos saber la corriente que circula y el valor de la tensión en cada resistencia. A partir de los pasos anteriores (en muchas ocasiones sólo los realizamos mentalmente): Calcularemos la R t : Sabemos que: R t = + R 2 + = 1 + 2 + 3 Aplicamos la ley de Ohm y sustituimos cada tensión: R t = + R 2 + Simplificando la corriente, que lo multiplica todo, queda: R t = + R 2 + Generalizando: La resistencia equivalente o total de varias resistencias en serie es la suma de resistencias parciales. na vez sabemos la R t podemos calcular la, y una vez conocida dicha corriente podemos determinar la tensión en los bornes y la potencia de cada resistencia. Ejemplo 3.7 En un circuito como el de la figura 3.12, los valores de los componentes son = 120 V, = 10 Ω, R 2 = 20 Ω y = 30 Ω. Sigue el procedimiento indicado para la resolución de circuitos en serie de forma que puedas calcular: a) La resistencia total o equivalente del circuito; b) la corriente que pasa por él; c) las tensiones en los bornes de cada componente; d) la potencia que proporciona la fuente y las consumidas o disipadas por las resistencias. a) Calculamos la resistencia total: R t = + R 2 + = 10 + 20 + 30 = 60Ω b) En el circuito equivalente, aplicamos la ley de Ohm para encontrar la intensidad por el circuito: c) Aplicamos la ley de Ohm a cada resistencia para obtener la tensión en los bornes: 1 = = 2 10 = 20 V; Tensión en los bornes de 2 = R 2 = 2 20 = 40 V; Tensión en los bornes de R 2 3 = = 2 30 = 60 V; Tensión en los bornes de Puedes comprobar que se cumple la ley de tensiones de Kirchhoff: = 1 + 2 + 3 = 20 + 40 + 60 = 120V d) Potencias de cada componente: Fuente: P G = = 120 2 = 240 W que es la potencia suministrada al circuito. : P R1 = 1 = 20 2 = 40 W que es la potencia consumida o disipada por. R 2 : P R2 = 2 = 40 2 = 80 W que es la potencia consumida o disipada por R 2. : P R3 = 3 = 60 2 = 120 W que es la potencia consumida o disipada por. Como comprobación efectuamos un balance de potencias: P G = P R1 + P R2 + P R3 = 40 + 80 + 120 = 240 W

72 nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua Ejemplo 3.8 Calcula la tensión y la corriente suministradas por una batería de 24 V con una resistencia interna de 1 Ω, cuando alimenta una resistencia de 5 Ω. Solución: En primer lugar dibujaremos el modelo de circuito que representa la situación planteada. En este esquema: E = 24 V, r = 1 Ω, R = 5 Ω. r R Se trata de un circuito en serie, directamente: E La tensión en los bornes de la batería será la tensión de la fuente ideal menos la caída de tensión en la resistencia interna: Fig. 3.14. O también, visto desde el lado de la resistencia, la tensión en los bornes de la batería será igual a la tensión en los bornes de la resistencia: 3.3.2. Asociación de resistencias en paralelo o derivación Recuerda que varios elementos están conectados en paralelo si cada uno de los dos extremos de un elemento está conectado a los mismos dos puntos comunes que el resto de los elementos. Si se conectan resistencias en paralelo alimentadas por una fuente, todas tendrán la misma tensión en sus bornes y la corriente total suministrada por la fuente será la suma de la intensidad que circula por cada rama (derivación) del circuito. Como ejemplo, vamos a analizar un circuito formado por tres resistencias en paralelo (figura 3.15). Para ello, seguiremos el siguiente proceso: dentificamos todos los componentes, corrientes y tensiones. En el ejemplo hemos denominado a la tensión aportada por la fuente (común a todos los elementos), a la intensidad suministrada por la fuente,,r 2 y a las resistencias e, 2 e 3 a la corriente que circula por cada una de las resistencias. Fig. 3.15. Circuito con tres resistencias en paralelo. R 2 R t 2 3 Fig. 3.16. Circuito equivalente al de la figura 3.15. Planteamos un circuito equivalente formado por una sola resistencia R t y alimentado a la misma tensión ; por tanto, la fuente suministrará la misma corriente.

nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua 73 Planteamos las ecuaciones que rigen ambos circuitos: Ecuaciones del circuito original. Por la primera ley de Kirchhoff sabemos que: = + 2 + 3 Si aplicamos la ley de Ohm a cada elemento: Ecuaciones del circuito equivalente. Si aplicamos la ley de Ohm al circuito de la figura 3.16 tenemos que: ; o también = R t Combinando las ecuaciones de ambos circuitos donde e son comunes podemos resolver cualquier problema que se plantee. Supongamos el caso más habitual; conocemos el valor de la tensión de la fuente y el valor de cada resistencia, y queremos saber la corriente que suministra la fuente y la que circula por cada resistencia. A partir de los pasos anteriores (en muchas ocasiones sólo los realizaremos mentalmente): Calcularemos la R t : Sabemos que: = + 2 + 3 Aplicando la ley de Ohm y sustituyendo la corriente: Simplificando: Generalizando: La inversa de la resistencia equivalente o total de una agrupación de resistencias en paralelo es la suma de las inversas de las resistencias. En el caso particular de dos resistencias en paralelo tendremos: y en el caso de n resistencias iguales de valor R:

74 nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua Ejemplo 3.9 En un circuito como el de la figura 3.15, los valores de los componentes son = 120 V, = 10 Ω, R 2 = 20 Ω y = 60 Ω. Sigue el procedimiento indicado para la resolución de circuitos en paralelo de forma que puedas calcular: a) La resistencia total o equivalente del circuito. b) La corriente total que pasa por él. c) Las corrientes que pasan por cada componente. d) La potencia que proporciona la fuente y las consumidas o disipadas por las resistencias. a) Calculamos la resistencia total: La resistencia total del circuito es: b) En el circuito equivalente, aplicamos la ley de Ohm para hallar la intensidad por el circuito. La intensidad total (suministrada por la fuente) es: c) Sabiendo que al estar en paralelo todas las resistencias están conectadas a la tensión de la fuente, aplicamos la ley de Ohm a cada resistencia para obtener la corriente que la atraviesa:, 2 e 3 son las intensidades de corriente por las resistencias, R 2 y, respectivamente. Puedes comprobar que se cumple la ley de corrientes de Kirchhoff. En cualquiera de los dos nudos del circuito se verifica que: = + 2 + 3 = 12 + 6 + 2 = 20 A d) Potencias de cada componente: Fuente: P G = = 120 20 = 2400 W, que es la potencia suministrada al circuito. : P R1 = = 120 12 = 1440 W, que es la potencia consumida o disipada por. R 2 : P R2 = 2 = 120 6 = 720 W, que es la potencia consumida o disipada por R 2. : P R3 = 3 = 120 2 = 240 W, que es la potencia consumida o disipada por. Como comprobación efectuamos un balance de potencias: P G = P R1 + P R2 + P R3 = 1440 + 720 + 240 = 2400 W

nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua 75 3.3.3. Asociación de resistencias de forma mixta En un circuito mixto, para determinar la R t se va reduciendo el circuito mediante la asociación de grupos de resistencias. Posteriormente se pueden determinar las tensiones y corrientes por cada resistencia. Como ejemplos analizaremos los casos siguientes: Circuito en paralelo-en serie Circuito en serie-en paralelo Circuito paralelo en serie Comenzamos asignando un nombre a cada tensión y corriente que aparecen en el circuito. 1 a R 2 2 Fig. 3.17. Circuito mixto en paraleloen serie. 3 Agrupamos R 2 y en paralelo y lo llamamos R a ; de esta manera, obtenemos el siguiente circuito equivalente. 1 a R a Fig. 3.18. Circuito equivalente, con la resistencia resultante de R 2 y en paralelo, R a. R t Después agrupamos en serie con R a, y obtenemos R t. Las ecuaciones de los circuitos que nos permiten hallar las magnitudes de resistencias equivalentes, R a y R t, y los valores de tensión y corriente en el circuito son: Agrupaciones de resistencias: ; ; Fig. 3.19. Circuito equivalente con la resistencia total R t. Aplicación de las leyes de Ohm y Kirchhoff:

76 nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua Ejemplo 3.10 En un circuito como el de la figura 3.17, los valores de los componentes son = 120 V, = 8 Ω, R 2 = 20 Ω y = 30 Ω. Sigue el procedimiento indicado para la resolución de circuitos mixtos en paralelo-en serie de forma que puedas calcular: a) La resistencia total o equivalente del circuito. b) La corriente que pasa por él. c) Las tensiones en los bornes de cada componente. d) Las corrientes que pasan por cada componente. e) La potencia que proporciona la fuente y las consumidas o disipadas por las resistencias. a) Primero identificamos las resistencias en paralelo (R 2 y ) y calculamos su resistencia equivalente R a : El circuito equivalente resultante de realizar el paso anterior corresponde al de la figura 3.18, donde = 8 y R a =12 están en serie. Así, la resistencia total del circuito es: b) En el circuito equivalente (como en la figura 3.19) aplicamos la ley de Ohm para hallar la intensidad por el circuito. La intensidad total (suministrada por la fuente) es: c) tilizando el primer circuito equivalente (figura 3.18) y sabiendo que la corriente será la misma para y R a, podemos aplicar la ley de Ohm para calcular la tensión en los bornes de cada resistencia: Tensión en los bornes de Comprobamos que se cumpla la ley de tensiones de Kirchhoff: Tensión en los bornes de R 2 y d) Si volvemos a considerar el circuito original (figura 3.17) y sabemos que la tensión en los bornes de R a es la misma que la de R 2 y, podemos calcular las corrientes por R 2 y aplicando la ley de Ohm a cada resistencia. ntensidad por R 2 ntensidad por Comprobamos que se cumpla la ley de las corrientes de Kirchhoff: = 2 + 3 = 3,6 + 2,4 = 6 A e) Potencias de cada componente: Fuente: P G = = 120 6 = 720 W, que es la potencia suministrada al circuito. : P R1 = 1 = 48 6 = 288 W, que es la potencia consumida o disipada por. R 2 : P R2 = a 2 = 72 3,6 = 259,2 W, que es la potencia consumida o disipada por R 2. : P R3 = a 3 = 72 2,4 = 172,8 W, que es la potencia consumida o disipada por. Como comprobación efectuamos un balance de potencias: P G = P R1 + P R2 + P R3 = 288 + 259,2 + 172,8 = 720 W

nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua 77 Circuito serie en paralelo Comenzamos asignando un nombre a cada tensión y corriente que aparecen en el circuito. 1 2 R 2 Fig. 3.20. Circuito mixto en paraleloen serie. 2 Agrupamos y R 2 en serie y lo denominamos R a ; así, obtenemos el siguiente circuito equivalente: R a Fig. 3.21. Circuito equivalente, con la resistencia resultante de y R 2 en serie, R a. 2 R t Después agrupamos R a en paralelo con, y obtenemos el circuito de la figura 3.22. Las ecuaciones de los circuitos que nos permiten encontrar las magnitudes de resistencias equivalentes, R a y R t, y los valores de tensión y corriente en el circuito son: Agrupaciones de resistencias: Fig. 3.22. Circuito equivalente con la resistencia total R t. Aplicación de las leyes de Ohm y Kirchhoff: Ejemplo 3.11 En un circuito como el de la figura 3.20, los valores de los componentes son = 120 V, = 10 Ω, R 2 = 20 Ω y = 60 Ω. Sigue el procedimiento indicado para la resolución de circuitos mixtos en serie-en paralelo de forma que puedas calcular: a) La resistencia total o equivalente del circuito. b) La corriente total que pasa por él. c) Las corrientes que pasan por cada componente. d) La tensión en los bornes de cada componente. e) La potencia que proporciona la fuente y las consumidas o disipadas por las resistencias. a) dentificamos las resistencias en serie ( y R 2 ) y calculamos su resistencia equivalente R a. El circuito equivalente resultante de realizar el paso anterior corresponde al de la figura 3.21, donde R a = 30 Ω y = 60 Ω están en paralelo. Así, la resistencia total del circuito es:

78 nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua b) En el circuito equivalente (como en la figura 3.22) aplicamos la ley de Ohm para hallar la intensidad por el circuito. La intensidad total (suministrada por la fuente) es: c) tilizando el primer circuito equivalente (figura 3.21) y sabiendo que la tensión es la misma para y R a, podemos aplicar la ley de Ohm para calcular la intensidad de corriente que pasa por cada resistencia. ntensidad por R a (por y por R 2 ) ntensidad por Comprobamos que se cumpla la ley de las corrientes de Kirchhoff: d) Si volvemos a considerar el circuito original (figura 3.20) y sabemos que la intensidad de la corriente es la misma por R a que por y R 2, podemos calcular las tensiones en y R 2 aplicando la ley de Ohm a cada resistencia. Tensión en los bornes de Comprobamos que se cumpla la ley de las tensiones de Kirchhoff: Tensión en los bornes de R 2 e) Potencias en los componentes: Fuente: : R 2 : : Como comprobación efectuamos un balance de potencias: Actividades 8. Calcula la resistencia equivalente de las agrupaciones de resistencias siguientes: a) b) 10 Ω c) d) 10 Ω 15 Ω 20 Ω 25 Ω 15 Ω 20 Ω 25 Ω 10 Ω 15 Ω 20 Ω 10 Ω 15 Ω 25 Ω 20 Ω 25 Ω Fig. 3.23. 9. Disponemos de tres resistencias de 1 Ω.Determina los valores de resistencia que podemos obtener mediante agrupaciones de una, dos o las tres resistencias. 10. Disponemos de 4 resistencias de 100 Ω, 220 Ω, 270 Ω y 10 Ω. Si las conectamos en serie a una pila de 9 V, calcula: a) la resistencia equivalente al conjunto; b) la corriente que suministrará la pila al circuito, y c) la caída de tensión en los bornes de cada componente.

nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua 79 3.4. 3.4.1. Asociación de condensadores Al igual que las resistencias, en un circuito los condensadores también pueden aparecer asociados en serie o en paralelo. También en este caso veremos cómo hay que resolver estos circuitos aplicando las leyes y los principios que hemos estudiado. Asociación de condensadores en serie Como en el caso de las resistencias, un circuito con varios condensadores asociados en serie es aquél en el que todos ellos se conectan uno a continuación del otro. Así, en la figura 3.24 podemos observar un circuito con tres condensadores conectados en serie. + 1 2 3 + C 1 C 2 C 3 C eq Fig. 3.24. Asociación de condensadores en serie. En este circuito queremos hallar la capacidad del condensador equivalente (a partir del estudio del circuito original). En este tipo de asociación, la carga eléctrica adquirida por cada uno de los condensadores es la misma e igual a la carga adquirida por el condensador equivalente: Aplicamos la segunda ley de Kirchhoff: Recordando el concepto de capacidad, que es la carga que acumula el condensador entre la tensión en sus bornes ( ), podemos expresar la tensión en los bornes nes de loscondensadores de la siguiente forma: Simplificando: Generalizando: La inversa de la capacidad equivalente o total de una agrupación de condensadores en serie es la suma de las inversas de las capacidades de cada condensador. i = 1, 2, 3,...

80 nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua 3.4.2. Asociación de condensadores en paralelo o derivación Como podemos deducir, un circuito con varios condensadores asociados en paralelo es aquél en el que todos los condensadores se conectan de forma que cada uno de los dos extremos de un condensador está conectado a los mismos dos puntos comunes que el resto de los elementos. Podemos observar una agrupación de tres condensadores en paralelo en la figura 3.25. + + C 1 C 2 C 3 C eq Fig. 3.25. Circuito con tres condensadores en paralelo. En este tipo de asociación, la carga eléctrica adquirida por el condensador equivalente es la suma de la adquirida por cada uno de los condensadores en paralelo: La tensión en cada condensador es la misma,, y a partir del concepto de capacidad ( ), podemos expresar la carga como el producto de la capacidad por el voltaje en los bornes del componente: Simplificando: Generalizando: La capacidad equivalente o total de una agrupación de condensadores en paralelo es la suma de las capacidades de cada condensador. i = 1, 2, 3,... Ejemplo 3.12 Calcula la capacidad equivalente de las agrupaciones de condensadores siguientes: a) 10 µf 20 µf 30 µf Solución a) Al tratarse de una asociación de tres condensadores en serie tendremos: b) 10 µf 20 µf b) Al tratarse de una asociación de tres condensadores en paralelo tendremos: 30 µf Fig. 3.26

nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua 81 Actividades 11. Disponemos de 4 condensadores de 2,2 mf, 680 µf, 0,470 mf y 100 µf. Calcula el valor de la capacidad equivalente si se conectan en paralelo. Si los cuatro, en paralelo, se conectan a una batería de 5 V, qué carga acumulará el conjunto una vez estén cargados? Qué carga tendrá cada uno? 12. La pila que se conecta a los dos condensadores en serie de la actividad anterior tiene una resistencia interna de 0,4 Ω. Cuál es la constante de tiempo del sistema? 13. Disponemos de 2 condensadores de 680 µf y 100 µf. Si se conectan en serie, cuál será la capacidad del conjunto? Si se conectan a una pila de 1,5 V, cuando se hayan cargado, qué carga acumulará el conjunto? Qué carga acumulará cada uno de ellos? Qué tensión existirá en los bornes de cada condensador? r 1 E 1 r 2 E 2 r 3 E 3 3.5. 3.5.1. Asociación de generadores Si queremos incrementar el valor de tensión o aumentar la intensidad de la corriente que nos proporciona un único generador, podemos optar por asociar varios de ellos, ya sea en serie o en paralelo. Asociación de generadores en serie Cuando conectamos en serie (una a continuación de otra) varias pilas o baterías, la fuerza electromotriz (f.e.m.) resultante es la suma de las fuerzas electromotrices de cada una de las pilas o baterías. En cuanto a la resistencia interna resultante, será la suma de las resistencias internas de cada pila o batería de la asociación en serie. La f.e.m. equivalente del conjunto es: E = E 1 + E 2 + E 3 +... + E n r La resistencia equivalente o total es: E Fig. 3.27. Asociación de generadores en serie. r 1 E 1 r 2 E 2 r 3 E 3 Fig. 3.29. Asociación de generadores en paralelo. 3.5.2. r = r 1 + r 2 + r 3 +...+ r n Fig. 3.28. La asociación en serie de pilas o baterías persigue incrementar el valor de tensión manteniendo el valor de corriente que es capaz de suministrar una sola pila o batería. Asociación de generadores en paralelo La conexión de pilas o baterías en paralelo exige que todas sean idénticas. Así, la f.e.m. del conjunto será la misma que la de cualquiera de las pilas o baterías, y la resistencia equivalente o total será la de cualquiera de las pilas dividida por el número de pilas o baterías asociadas. La f.e.m. equivalente del conjunto es: E = E r 1 = E 2 = E 3 =...= E n La resistencia equivalente o total es: Fig. 3.30. La asociación en paralelo de pilas o baterías persigue aumentar la corriente que se puede proporcionar, manteniendo la tensión. E

82 nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua Ejemplo 3.13 Calcula el equivalente de las agrupaciones de pilas a y b. Qué corriente pasará por la resistencia R? Qué corriente circula por cada pila? Solución r = 0,1 Ω E = 12 V r = 0,1 Ω E = 12 V R = 1 Ω a) Se trata de una asociación de baterías en serie. Por lo tanto, la fuente equivalente de tensión es la siguiente: y La corriente que circula es común a todos los elementos (fuentes y resistencia) y la calculamos aplicando la ley de Ohm: r = 0,1 Ω r = 0,1 Ω R = 1 Ω b) Se trata de una asociación de baterías (iguales características) en paralelo. En consecuencia, la fuente equivalente de tensión es: E = 12 V E = 12 V y Fig. 3.31. Calculamos la corriente que circula por la resistencia aplicando la ley de Ohm: Y cada una de las baterías suministra la mitad de la corriente, que será: Actividades 14. Determina la fuente de tensión equivalente de las siguientes agrupaciones de baterías, donde cada batería es de E = 1,5 V y r = 0,12 Ω. a) E r E r E r b) E r c) E r E r E r E r E r E r E r E r E r E r E r Fig. 3.32. 15. En el montaje de la figura, calcula el generador equivalente. Determina la potencia disipada en la resistencia y la potencia suministrada por cada fuente. E = 24 V r 1 = 0,2 Ω r 2 = 0,2 Ω R = 10 Ω E r 1 r 2 R E Fig. 3.33.

nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua 83 3.6. Aplicación de las leyes de Kirchhoff La técnica de simplificar los circuitos de forma progresiva mediante la agrupación en serie o en paralelo de fuentes de tensión (pilas y baterías) o bien de resistencias no siempre es posible. La aplicación sistemática de las ecuaciones de Kirchhoff combinada con la ley de Ohm nos permitirá resolver este tipo de circuitos independientemente de su complejidad. 3.6.1. Nudos, ramas y mallas Aunque hayamos visto el enunciado de las leyes de Kirchhoff y definido lo que es un nudo y una malla, es necesario aclarar y ampliar estos conceptos. Nudos R 2 A R 2 4 3 1 3 2 Definimos los nudos como la conexión de dos o más conductores. Sin embargo, para aplicar las leyes de Kirchhoff nos interesarán los nudos en los que coincidan tres o más conductores. En adelante, cuando hablemos de nudos nos referiremos a esta nueva definición. Tomemos como ejemplo ilustrativo el circuito de la figura 3.34. En ella se indican todos los nudos, pero de éstos los que nos interesaran son los indicados en color rojo (A y ). Fig.3.34. Circuito de ejemplo para aplicar las leyes de Kirchhoff. Así pues, para aplicar Kirchhoff, podemos decir que existen dos nudos, A y. R 2 A 3 Fig. 35. Nudos A y del circuito de la figura 3.34. R 2 4 3 3 2 Ramas Constituyen una rama todos los elementos (resistencias, fuentes, etc.) comprendidos entre dos nudos adyacentes. Evidentemente, la intensidad de la corriente que circula por una rama será la misma en cada uno de los elementos que integran dicha rama. En nuestro ejemplo existen tres ramas. R 2 R 4 2 3 Fig. 3. 36. Ramas del circuito de la figura 3.34. 1 3 2

84 nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua Mallas Como ya hemos visto, constituye una malla todo circuito cerrado que puede ser recorrido volviendo al punto de partida, sin pasar dos veces por un mismo elemento. Observa que en este caso cada elemento puede ser recorrido por una corriente diferente. En nuestro ejemplo existen tres mallas. R 2 R 2 2 R 4 3 R 4 2 2 2 1 3 3 2 2 2 1 2 Fig. 3. 37. Mallas del circuito de la figura 3.6.2. 3.34. Ecuaciones R 2 A R 2 4 3 Fig. 3.38. Corrientes en el nudo A. Para los nudos y las mallas anteriores se pueden plantear ecuaciones de nudos y ecuaciones de mallas. Ecuaciones de nudos Mediante la aplicación de la primera ley de Kirchhoff, podemos establecer una ecuación para cada nudo. Así, aplicadas al circuito de la figura 3.34, tenemos: Para el nudo A: + 2 + 3 = 0 Para el nudo : + ( 2 ) + ( 3 ) = 0 ; o directamente: 2 3 = 0 3 3 2 Fig. 3.39. Corrientes en el nudo. Ecuaciones de mallas Mediante la aplicación de la segunda ley de Kirchhoff, podemos establecer una ecuación para cada malla. Para aplicar estas ecuaciones será preciso asignar un sentido convencional de circulación de corriente positiva para cada malla, y considerar positivas las intensidades y f.e.m. que concuerdan con dicho sentido convencional y negativas las que no concuerdan. R 2 R 2 2 R 4 3 R 4 2 2 2 a 1 3 b 3 2 c 1 2 2 2 Fig. 3.40. Tensiones y corrientes en las mallas. Aplicándolo al ejemplo, donde todas las mallas son recorridas en sentido horario, tendremos: Malla a. Es recorrida en sentido horario. Respecto a las fuerzas electromotrices: 1 actúa como generador y, por tanto, le corresponde signo positivo, mientras que 3 actúa como carga y, en consecuencia, tiene signo negativo.

nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua 85 Respecto a las caídas de tensión: y R 2 son recorridas por una corriente que coincide con el sentido de valoración de la malla y, por tanto, otorgamos signo positivo a las dos, mientras que R 4 es recorrida por una corriente en sentido contrario al de valoración de la malla, por lo que hablamos de caída de tensión con signo negativo. Malla b y malla c. Aplicamos el mismo criterio. Como resultado obtenemos las ecuaciones siguientes: Malla a: Malla b: Malla c: 3.6.3. 1 3 = + R 2 3 R 4 3 2 = 3 R 4 2 1 2 = + R 2 2 Resolución de circuitos El planteamiento para resolver circuitos con las leyes de Kirchhoff es el siguiente: Las incógnitas serán las corrientes por cada rama. Conocidas las corrientes se puede determinar el potencial en cualquier nudo del circuito, así como las potencias generadas y consumidas. El procedimiento que debemos aplicar es el siguiente: Sobre el esquema del circuito por calcular, identificamos cada una de las corrientes de rama y les atribuimos arbitrariamente un sentido de circulación. Arbitrariamente significa que podemos decidir el sentido que nos plazca. Eso sí, a partir de este momento, quedará fijado para el resto del procedimiento y condicionará su aplicación. Formulamos una ecuación por cada incógnita. Si el circuito tiene n nudos utilizamos n 1 ecuaciones de nudos; las demás ecuaciones necesarias serán ecuaciones de mallas. Resolvemos el sistema de ecuaciones. Conocidos los componentes del circuito y conocidas las corrientes de malla, podemos calcular cualquier otra incógnita fácilmente. Ejemplo 3.14 R 2 A 2 Queremos calcular el circuito de la figura 3.41 para los valores siguientes: 1 = 5 V, 2 = 10 V, 3 = 15 V, = 10 Ω, R 2 = 15 Ω, = 20 Ω y R 4 = 5 Ω. a 3 R 4 b Tenemos tres corrientes de rama y, por tanto, tres incógnitas. Fig. 3.41. 1 3 2 Nudo A Malla a Malla b Existen dos nudos, por lo que tendremos una ecuación de nudo (2-1), y las dos restantes serán ecuaciones de mallas (3-1). Tomando el nudo A y las mallas a y b tendremos: + 2 + 3 = 0 1 3 = + R 2 3 R 4 5 15 = 10 + 15 5 3 3 2 = 3 R 4 2 15 10 = 5 3 20 2

86 nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua Deberemos resolver este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: + 2 + 3 = 0 (1) 25 5 3 = 10 (2) 5 3 20 2 = 5 (3) Se puede resolver por diversos métodos, obteniendo el valor de, 2 e 3. Por ejemplo: Despejamos de (1): (4) Sustituimos en (2): Despejamos 2 : (5) Sustituimos en (3): Simplificamos: ; Despejamos 3 : Sustituimos en (5): Y finalmente en (4): El signo negativo de e 2 nos indica que estas corrientes circulan realmente en sentido contrario al inicialmente establecido. Ejemplo 3.15 Disponemos de una resistencia de 1 Ω alimentada por dos baterías en paralelo; las dos baterías son de 12 V con resistencias internas de 0,1 Ω y de 0,2 Ω, respectivamente. Calcula: a) La corriente suministrada por cada batería y la corriente disipada por la resistencia R. b) La tensión en los bornes de la resistencia. c) La potencia suministrada por cada batería y la potencia disipada por la resistencia. En primer lugar dibujaremos el modelo de comportamiento eléctrico (modelo circuital), que representa la situación planteada, donde: E =12 V, r 1 = 0,1 Ω, r 2 = 0,2 Ω y R = 1 Ω. E A r 1 r 2 2 a b R E a) Corriente suministrada por cada batería y corriente disipada por la resistencia R. Aplicaremos las leyes de Kirchhoff. Al tener tres incógnitas necesitamos tres ecuaciones; como tenemos dos nudos, una ecuación será de nudo y las dos restantes serán de malla; las ecuaciones resultantes son éstas: = + 2 E E = r 1 r 2 2 = + 2 0,1 0,2 2 = 0 (1) (2) Fig. 3. 42. E = r 2 2 + R 1 + 0,2 2 = 12 (3) De (2): (4)

nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua 87 Sustituyendo en (1): Y sustituyendo en (3): = 2 2 + 2 = 3 2 3 2 + 0,2 2 = 3,2 2 = 12 De donde: Corriente suministrada por la batería 2 Valor que llevado a (4): = 2 2 = 3,75 2 = 7,50 A Corriente suministrada por la batería 1 Y finalmente en (1): = + 2 = 3,75 = 11,25A Corriente disipada en la resistencia R. b) Tensión en los bornes de la resistencia: V = R = 1 11,25 = 11,25 V c) Potencia suministrada por cada batería y potencia disipada por la resistencia: atería 1 atería 2 Resistencia P G1 = V = 11,25 7,50 = 84,37 W P G2 = V 2 = 11,25 3,75 = 42,19 W P R = V = 11,25 11,25 = 126,56 W Actividades 16. En el circuito siguiente, aplica las leyes de Kirchhoff para determinar la intensidad de la corriente por cada elemento, las tensiones en cada resistencia y la potencia que disipan. Todas las fuentes de tensión están entregando corriente? 1 k 1 1 k 3 2 10 V 5 V 20 V A R 2 Fig. 3.42. 2 k 10 k 3.7. 3.7.1. Teoremas fundamentales para circuitos eléctricos Teorema de Thévenin El teorema de Thévenin establece que un circuito lineal (cualquiera de los vistos hasta ahora) con dos terminales de salida, A y, puede sustituirse por un circuito equivalente formado por una fuente de tensión Th (tensión de Thévenin) en serie con una resistencia R Th (resistencia de Thévenin). Donde: Th es la tensión entre los terminales A y cuando éstos se encuentran en circuito abierto. R Th es la resistencia equivalente entre los terminales A y cuando éstos se encuentran en circuito abierto, con lo que se anulan las fuentes independientes de tensión.

88 nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua Para anular una fuente de tensión ésta se sustituye por un conductor (se cortocircuita la fuente). a a R Th Th b b Fig. 3.44. Teorema de Thévenin. Con el teorema de Thévenin se consigue sustituir un circuito más o menos complejo por uno equivalente mucho más sencillo. La principal aplicación de este teorema la encontramos cuando debe resolverse el circuito original para diferentes cargas, ya que resulta mucho más simple la resolución del circuito equivalente. Ejemplo 3.16 Disponemos de una fuente de alimentación formada por dos baterías de f.e.m. y resistencia interna E 1, r 1 y E 2, r 2, respectivamente, que alimentan una carga situada a una distancia importante, por lo que se considera que los cables de alimentación presentan una resistencia R s. a) Dibuja el esquema eléctrico de la situación propuesta. b) Halla el equivalente de Thévenin en los bornes de la carga, si E 1 = 13 V, r 1 = 0,5 Ω, E 2 =11 V, r 2 = 0,5 Ω y R s = 0,75 Ω. c) Calcula la corriente y la tensión en los bornes de la carga para los casos siguientes: R carga = 1 Ω, 5 Ω, 10 Ω, 100 Ω, (circuito abierto) Solución a) Esquema eléctrico de la situación propuesta (figura 3.45). R s A r 1 r 2 b) Equivalente de Thévenin, si E 1 = 13 V, r 1 = 0,5 Ω, E 2 =11 V, r 2 =0,5 Ω y R s = 0,75 Ω (figura 3.46). E 1 E 2 Fig. 3.46. Fig. 3.45. A A R s R Th r 1 r 2 Th E 1 E 2

nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua 89 Comenzamos calculando la tensión de Thévenin. A r 1 r 2 R s A Recordando que V Th es la tensión entre los terminales A y cuando éstos se encuentran en circuito abierto, la tensión buscada V A (bornes A-) es la misma que V AÕ (bornes A - ), pues con el circuito abierto no circula corriente por R s y, por tanto, no hay ninguna caída de tensión en esta resistencia. E 1 E 2 Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla formada por las dos fuentes del circuito y recorrida en sentido horario obtenemos: E 1 E 2 = (r 1 + r 2 ) Fig. 3.47. De donde: A Por tanto: th = V A = E 1 r 1 = 13 0,5 2 = 12 V R s O también: th = V A = E 2 + r 2 = 11 + 0,5 2 = 12 V r 1 r 2 Ahora calcularemos la resistencia de Thévenin recordando que R Th es la resistencia equivalente entre los terminales A y cuando éstos se encuentran en circuito abierto, con lo que se anulan las fuentes independientes de tensión o de corriente. La resistencia buscada es la equivalente del circuito mostrado en la figura 3.48, es decir, r 1 y r 2 en paralelo entre sí y en serie con R s, cuyo valor será: Fig. 3.48. c) Cálculo de la corriente y la tensión en los bornes de la carga para los casos siguientes: R carga = 1 Ω, 5 Ω, 10 Ω, 100 Ω, (circuito abierto) R Th A El circuito que hay que resolver es el equivalente de Thévenin presentado en la figura 3.49, con Th =12 V, R Th =1 Ω y donde la carga es el valor propuesto en el enunciado. Th R Al estudiar cinco casos deberemos resolver el circuito en cinco ocasiones. Las ecuaciones que resuelven el circuito equivalente de Thévenin son: ; A = R carga Fig. 3.49. o bien: A = Th R Th Los resultados se exponen en la siguiente tabla: R carga 1 Ω 5 Ω 10 Ω 100 Ω (A) 6 2 1,091 0,1188 0 A (V) 6 10 10,91 11,88 12

90 nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua 3.7.2. Principio de superposición El principio de superposición establece que en cualquier circuito lineal (cualquiera de los vistos hasta ahora) que contenga varias fuentes de tensión (pilas o baterías), el voltaje en cada nudo y la corriente en cada rama es la suma de todos los voltajes o corrientes individuales causados por cada fuente, actuando individualmente, es decir, con todas las demás fuentes de tensión sustituidas por cortocircuitos. Ejemplo 3.17 En el circuito de la figura siguiente, vamos a determinar la tensión y la intensidad de corriente en la resistencia. A R 2 1 = 12 V, 2 = 24 V, = 1 Ω, R 2 = 2 Ω, = 4 Ω Vamos a realizarlo de dos maneras: aplicando las leyes de Kirchhoff y mediante el principio de superposición. 2 1 2 a 3 b Fig. 3.50. Solución 1. Aplicación de las leyes de Kirchhoff Ley de corrientes nudo A + 2 3 = 0 Ley de tensiones malla a + 3 = 1 Ley de tensiones malla b R 2 2 + 3 = 2 sustituyendo los valores y resolviendo: = 1,714A 0; 2 = 5,142A ; 3 = 3,428A y A = 3 = 4 3,428 = 13,71 V Solución 2. Aplicación del principio de superposición a) Sólo con la fuente 1 : Calculamos R 2 en paralelo con (R 2 // ): A R 2 T 1 R3 Calculamos la resistencia total: Con la ley de Ohm, calculamos T : Fig. 3.51. Considerando la resistencia equivalente de R 2 // (R 2 en paralelo con ) y conociendo T, podemos calcular Aa : Aplicando la ley de Ohm a, tenemos la R3a :

nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua 91 b) Sólo con la fuente 2 : Calculamos en paralelo con ( // ): A R 2 T Calculamos la resistencia total: R3 2 Con la ley de Ohm, calculamos T : Fig. 3.52. Considerando la resistencia equivalente de // y conociendo T, podemos calcular Ab : Aplicando la ley de Ohm a la, tenemos la R3a : c) Aplicamos el principio de superposición para calcular la respuesta global: 3.7.3. Teorema de la máxima transferencia de potencia En una fuente de alimentación la potencia transferida a la carga depende de la resistencia de salida de la fuente y de la resistencia de la propia carga. El teorema de la máxima transferencia de potencia establece que en un circuito con terminales A y (fuente de alimentación) la máxima potencia transferida a una carga se produce cuando la resistencia de la carga es equivalente a la resistencia de salida del circuito (resistencia de Thévenin). R c = R Th El valor de la potencia máxima que se transfiere se puede determinar a partir de la siguiente expresión: O también:

92 nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua Ejemplo 3.18 Queremos determinar la máxima potencia que puede extraerse de una fuente cuya tensión en vacío es de 100 V y cuya resistencia interna es de 1 Ω. Solución Th = 100 V R Th = 1 Ω Actividades 17. Calcula el circuito equivalente de Thévenin en los bornes a y b del montaje siguiente: = 24 V =2 kω R 2 =1 kω =3 kω 19. Calcula la corriente que circula por la resistencia de 4 Ω. tiliza el principio de superposición. 1 Ω 12 V 1 Ω 15 V 1 Ω 24 V 4 Ω 1 R 2 A Fig. 3.55. Fig. 3.53. 18. Calcula el circuito equivalente de Thévenin en los bornes A y del montaje siguiente: 20. na batería de 12 V tiene una resistencia interna de 1 Ω. Realiza una tabla en la que figure la potencia entregada a la carga para los siguientes valores de resistencia de carga: 0 Ω, 0,5 Ω,1 Ω, 10 Ω, 10 MΩ. A 1 k 1 k 1 10 V 2 20 V 2 k R 2 Fig. 3.54.

nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua 93 Experiencias Experiencia 1 Circuito en serie 1. Seleccionamos tres resistencias con los siguientes valores nominales: = 100 Ω, R 2 = 150 Ω, = 100 Ω. 2. Conectamos las tres resistencias en serie y medimos la resistencia total de la asociación utilizando un ohmímetro. Debe recordarse que esta medida se efectúa sin conectar la fuente de alimentación, ni amperímetros ni voltímetros. R Total = 3. Completamos el montaje de la figura siguiente: V 1 V 2 V 3 R 2 V = 4. Aplicamos una tensión de 10 V y tomamos nota de los valores obtenidos reflejándolos en la tabla siguiente: R Total V 1 V 2 V 3 10 V 0 0 0 0 0 20 V 5. Repetimos el paso anterior aplicando en esta ocasión una tensión de 20 V. 6. Completamos la tabla siguiente con los valores teóricos obtenidos previamente al desarrollo de la experiencia. R Total V 1 V 2 V 3 10 V 0 0 0 0 0 20 V 7. Comprobamos la validez de los datos experimentales.

94 nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua Experiencia 2 Circuito mixto 1. Seleccionamos cinco resistencias con los siguientes valores nominales: = 200 Ω, R 2 = 100 Ω, = 1 kω, R 4 = 2 kω, R 5 = 3 kω. 2. Conectamos los grupos de resistencias en paralelo y medimos la resistencia total de cada asociación; posteriormente conectamos los dos grupos en serie y medimos la resistencia total del montaje. //R 2 = //R 4 //R 5 = R Total = 3. Completamos el montaje de la figura siguiente: V a 2 R 2 3 4 5 V b R 4 R 5 4. Aplicamos una tensión de 10 V y tomamos nota de los valores obtenidos reflejándolos en la tabla siguiente. 0 0 0 0 0 0 V a V b 2 3 4 5 10 V 0 0 0 0 0 20 V 5. Repetimos el paso anterior aplicando en esta ocasión una tensión de 20 V. 6. Completamos la tabla siguiente con los valores teóricos obtenidos previamente al desarrollo de la experiencia. V a V b 2 3 4 5 10 V 0 0 0 0 0 20 V 7. Comprobamos la validez de los datos experimentales.

nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua 95 Experiencia 3 Leyes de Kirchhoff 1. Realizamos el montaje de la figura y medimos los valores de las intensidades en cada rama del circuito, prestando atención a la polaridad de los aparatos de medida que conectamos según el sentido de la corriente previsto. E 3 10 V D 25 Ω R 2 75 Ω A R 4 50 Ω 75 Ω 4 5 100 V 50 V 2 C 2. Completamos la tabla siguiente: Experiencia Teórico 2 3 4 5 3. Comprobamos que se cumpla la primera ley de Kirchhoff en cada uno de los nudos. Nudo A Nudo Nudo C 4. Medimos la diferencia de potencial existente en los bornes de cada uno de los elementos del circuito respetando la polaridad indicada y completamos la tabla. V DA V A V AC V EA V E V C V DC 5. Comprobamos que se cumpla la segunda ley de Kirchhoff en cada una de las mallas; recordemos que V A = V A. Ejemplo: en la malla DACD se ha de cumplir que V DA + V AC + V CD = 0, o bien que V CD = V DA + V AC. Malla DACD Malla AEA Malla ACA Malla DACD Malla AECA Malla DAECD

96 nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua Experiencia 4 Teorema de Thévenin 1. Comenzaremos montando y simulando el circuito original con la finalidad de comprobar, posteriormente, la equivalencia entre este montaje y el equivalente de Thévenin que determinaremos a lo largo de la experiencia. Tomamos nota de la intensidad y la tensión en las cargas. V 1 24 V R 2 2 Ω 2 Ω 1 Ω A Carga 2 Ω V carga = carga = 2. Para determinar experimentalmente la tensión de Thévenin, en el montaje original desconectamos la carga y en su lugar colocamos un voltímetro. La tensión de Thévenin (tensión con el circuito abierto) se corresponde con la lectura del voltímetro. R 2 A V 1 24 V 2 Ω 2 Ω 1 Ω V Th = 3. Podemos medir la resistencia de Thévenin en el montaje siguiente, donde se ha suprimido la fuente de tensión. La medida la efectuamos con un ohmímetro. R 2 A 2 Ω 2 Ω 1 Ω R Th = 4. Hacemos el montaje del circuito equivalente de Thévenin, alimentando la misma carga, y comprobamos la igualdad de tensión y corriente en la carga respecto al circuito original. R Th A V carga = V Th carga = 5. Realizamos de manera simultánea los dos circuitos: el original y su equivalente. Comprobamos que para cualquier carga, la lectura de tensión y corriente es la misma en los dos circuitos; completamos la tabla siguiente: R carga (Ω) V carga carga Observaciones 0 Cortocircuito 5 15 20 Circuito abierto

nidad didáctica 3. Circuitos de corriente continua 97 Autoevaluación 1. Se denomina corriente continua a: a) Toda corriente eléctrica b) na corriente eléctrica bidireccional c) na corriente eléctrica unidireccional de valor constante 2. La ley de Ohm relaciona: a) Tensión, corriente y potencia b) Tensión, corriente y resistencia c) Potencia, corriente y resistencia 3. La Ley de Joule relaciona: a) Tensión, corriente y potencia b) Tensión, corriente y resistencia c) Potencia, corriente y resistencia 4. Si aumentamos la resistencia de un componente alimentado a una tensión constante: a) Aumentará la corriente que circula. b) Disminuirá la corriente que circula. c) Se mantendrá constante la corriente que circula. 5. Si aumentamos la tensión de alimentación de una resistencia de valor constante: a) Aumentará la corriente que circula. b) Disminuirá la corriente que circula. c) Se mantendrá constante la corriente que circula. 6. Para una tensión dada, por ejemplo 12 V, la resistencia nominal de una lámpara de incandescencia: a) Aumenta al aumentar la potencia nominal de la lámpara. b) Disminuye al aumentar la potencia nominal de la lámpara. c) Es independiente de la potencia nominal de la lámpara. 7. Si asociamos resistencias en serie, podemos afirmar que: a) La resistencia total obtenida será superior a cualquiera de las resistencias conectadas. b) La resistencia total obtenida será inferior a cualquiera de las resistencias conectadas. c) La resistencia total obtenida será superior o inferior a cualquiera de las resistencias conectadas, dependiendo del valor de éstas. 8. Si asociamos resistencias en paralelo, podemos afirmar que: a) La resistencia total obtenida será superior a cualquiera de las resistencias conectadas. b) La resistencia total obtenida será inferior a cualquiera de las resistencias conectadas. c) La resistencia total obtenida será superior o inferior a cualquiera de las resistencias conectadas, dependiendo del valor de éstas. 9. Si disponemos de tres resistencias de 10 Ω, cómo podemos obtener una resistencia total de 15 Ω? a) Conectando una en paralelo con las otras dos en serie. b) Conectando una en serie con las otras dos en paralelo. c) No podemos obtener este valor de resistencia. 10. Si asociamos condensadores en serie, podemos afirmar que: a) La capacidad total obtenida será superior a cualquiera de las capacidades conectadas. b) La capacidad total obtenida será inferior a cualquiera de las capacidades conectadas. c) La capacidad total obtenida será superior o inferior a cualquiera de las capacidades conectadas, dependiendo del valor de éstas. 11. Si asociamos condensadores en paralelo, podemos afirmar que: a) La capacidad total obtenida será superior a cualquiera de las capacidades conectadas. b) La capacidad total obtenida será inferior a cualquiera de las capacidades conectadas. c) La capacidad total obtenida será superior o inferior a cualquiera de las capacidades conectadas, dependiendo del valor de éstas. 12. El teorema de Thévenin nos permite, respecto de dos terminales, hallar: a) La resistencia equivalente b) La fuente de tensión equivalente c) La resistencia y la fuente de tensión equivalentes 13. El principio de superposición se aplica para: a) Calcular la resistencia equivalente, cuando no puede aplicarse la simplificación por asociación de resistencias. b) Calcular la fuente de tensión equivalente, cuando existen varias fuentes de tensión. c) Resolver de forma sencilla (desde el punto de vista matemático) circuitos con varias fuentes de tensión. 14. Las leyes de Kirchhoff se aplican: a) Solamente a circuitos de corriente continua b) Solamente a circuitos con varias fuentes de tensión c) A cualquier circuito eléctrico 15. na batería de 12 V suministra una corriente de 2 A y la tensión en sus bornes es de 11 V. Cuál es el valor de su resistencia interna? a) 2 Ω b) 1 Ω c) 0,5 Ω 16. na batería de 12 V suministra una corriente de 2 A y la tensión en sus bornes es de 11 V. Cuál es el valor de su resistencia de carga? a) 11 Ω b) 6 Ω c) 5,5 Ω