bloque 3 Las matemáticas nos auxilian en el estudio de los fenómenos físicos y de otras disciplinas, muchos de los cuales pueden ser modelados con ecuaciones no lineales. A la par se han podido diseñar máquinas cada vez más perfectas que son pieza clave en la detección de catástrofes naturales. 146
Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que los alumnos: 1. Interpreten y representen, gráfica y algebraicamente, relaciones lineales y no lineales. 2. Utilicen adecuadamente la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 3. Resuelvan problemas geométricos que implican el uso del teorema de Tales. 4. Conozcan las condiciones que generan dos o más figuras homotéticas, así como las propiedades que se conservan y las que cambian. 147
Sugerencias didácticas Lea a los alumnos las siguientes expresiones: a) En el plan A el costo de la renta del auto está en función del número de días. b) En el plan B el costo de la renta del auto está en función del número de días y de los kilómetros recorridos. Pídales que señalen las variables dependientes e independientes en cada una de ellas; los alumnos ya deben poder identificarlas, pero si no es así, déles una breve explicación. Tema 1 Álgebra y geometría; geometría y álgebra El viaje a Yucatán La familia Mendizábal quiere rentar un auto para un viaje que realizará y la compañía de alquiler le ofrece estos dos planes: Plan A (P A ): una cuota de $850 al día, en la que no cobra los kilómetros recorridos. Plan B (P B ): una cuota de $730 al día, en la que cobra $1.50 por kilómetro recorrido. Qué plan le conviene más a la familia Mendizábal? Por qué? De qué depende el precio que pagará? Si n denota el número de en el plan A, qué relación hay entre P A y n? Si la familia Mendizábal elige el plan A y alquila el coche por nueve días, cuánto tendrá que pagar? Además del número n de días, de qué depende el precio en el plan B? Denota por k el número de recorridos. Completa la siguiente igualdad que modela el plan B: P B De acuerdo con el plan B, si la familia alquila el auto durante dos días y si recorre 120 km, cuánto tendrá que pagar? 124 Bloque 3 cantidades que varían en función de otras Soluciones Pliego 08.indd 124 7/4/08 17:54:41 Página 124 El viaje a Yucatán No se sabe qué plan le conviene a la familia Mendizábal. Se debe conocer el número de días y de kilómetros que van a recorrer. El precio que pagarán dependerá de los kilómetros y los días de viaje. Si n denota el número de días, la relación que hay entre el plan A (P A ) y n es: P A = 850n La familia Mendizábal deberá pagar 850 9 = $7 650 al alquilar el coche por 9 días en el plan A. En el plan B el costo también depende de cuántos kilómetros recorran. k denota el número de kilómetros. El plan B se puede expresar como: P B = 730n + 1.5k La familia deberá pagar: 730(2) + 1.5(120) = $1 640 por 2 días y 120 kilómetros usando el plan B. 148
La familia Mendizábal pretende realizar el siguiente recorrido por la península de Yucatán: 1er. Día Mérida 2do. Día Chichén Itzá, dormir en Valladolid 3er. Día Ek-Balam, dormir en Mérida 4to. Día Uxmal, dormir en Uxmal 5to. Día Ruta Puc, dormir en Mérida 6to. Día Celestún, dormir en Celestún 7mo. Día Regreso a Mérida 3.1 Palenque, zona arqueológica, chiapas, México. Pida a los alumnos que expresen el área de un círculo en función de su diámetro. Los alumnos deben recordar que un diámetro equivale a dos radios; la solución, por lo tanto, es: A = d 2 = d 2, en donde d = diámetro. 4 Propóngales otros ejemplos en los que puedan manipular las variables en las funciones. 2 De acuerdo con este itinerario, qué plan le aconsejarías a la familia Mendizábal? Busca en un mapa las distancias que la familia recorrerá según el itinerario y realiza los cálculos siguientes: Plan A Número de días: Costo total: Plan B Primero, indaga en qué consiste la ruta Puc, cuál es su recorrido y qué longitud tiene; luego, investiga las siguientes distancias: Mérida-Chichén Itzá Chichén Itzá-Valladolid Valladolid-Ek-Balam Ek-Balam-Mérida Mérida-Uxmal Uxmal-Ruta Puc Ruta Puc-Mérida Mérida-Celestún Total Kilómetros recorridos cantidades que varían en función de otras 125 Pliego 08.indd 125 7/4/08 17:54:46 Página 125 Depende directamente del kilometraje recorrido, por ello, primero se deben conocer las distancias entre los lugares visitados. El total de días son 7. El costo total en el plan A es de 850(7) = $5 950. La Ruta Puc es un recorrido que incluye varios sitios arqueológicos: Uxmal, Kabah, Sayil, X-Lapac, Labná, Grutas de Lol-Tun. En total son 65 kilómetros de recorrido. Kilómetros recorridos Mérida-Chichén Itzá 113 Chichén Itzá-Valladolid 40 Valladolid-Ek-Balam 24 Ek-Balam-Mérida 154 Mérida-Uxmal 70 Uxmal-Ruta Puc 16 Ruta Puc-Mérida 80 Mérida-Celestún 78 Total 575 + 65 = 640 149
Sugerencias didácticas Si el tiempo y las características del grupo lo permiten, realice una breve descripción de los lugares y marquen el recorrido en un mapa de la República Mexicana utilizando el cañón en la sala de medios. Plantee y resuelva la siguiente ecuación para determinar en qué condiciones se igualan los costos por día de los dos planes: Plan B = Plan A 730n + 1.5k = 850n como n = 1 730 + 1.5k = 850 1.5k = 120 k = 80 Para hacer un buen cálculo debes aumentar 10% al total, ya que no están considerados los desplazamientos en las ciudades. El total de kilómetros es Ahora calcula el costo del plan B. Después de hacer los cálculos anteriores, qué plan le recomendarías a la familia Mendizábal? Si de los siete días, la familia Mendizábal solamente va un día a Chichén Itzá y otro a Uxmal, y si los demás días se la pasa en Mérida, qué plan le aconsejarías? Los costos por día de cada plan, en qué situación coinciden? _ Si en un viaje de siete días la familia Mendizábal recorre 559 km, qué plan es más conveniente para ella? Y si recorre 561 km? El DOBlaDO Si doblas una hoja de papel por la mitad y si la cortas por el doblez, obtienes dos pedazos, como se observa en la siguiente imagen: Cápsula al escribir un número como una potencia se dice que ese número estará en forma exponencial. 8 = 2 3 2 3 es la forma exponencial de 8. Si doblas cada uno de los dos pedazos a la mitad y los cortas, cuántos obtienes? Usa una potencia para escribir el resultado de los cortes. 2. 126 bloque 3 cantidades que varían en función de otras Soluciones Pliego 08.indd 126 7/4/08 17:54:51 Página 126 Agregamos 10% al total y obtenemos 704 kilómetros de recorrido. Con este recorrido, el costo del plan B es: P B = (730)(7) + (704)(1.5) = $6 166 Después de hacer los cálculos, lo aconsejable es adquirir el plan A. El plan A es mejor. De Mérida a Chichén Itzá son 113 km y de Mérida a Uxmal son 70; en total 183 km, más 10% adicional, 201.30. El costo en el plan A es: P A = 850(2) = 1 700 y en el plan B es: P B = 730(2) +1.5(201.30) = 1 761.95 Los costos por día de cada plan coinciden cuando la familia recorre 80 km en un día. Si la familia viaja 559 kilómetros, se aconseja usar el plan B. Si la familia viaja 561 kilómetros, lo mejor es usar el plan A. El doblado Se obtienen 4 pedazos. El resultado de los cortes se puede escribir como 2 2. 150