INTRODUCCIÓN A LOS PROBLEMAS NO LINEALES

INTRODUCCIÓN A LOS PROBLEMAS NO LINEALES RASGOS DISTINTIVOS DE LOS PNL. Forma de un problema de optimización no lineal. Concepto de óptimos locales y globales. Estrategia de los algoritmos de descenso. PROBLEMAS SIN RESTRICCIONES: Ejemplos. Problema de lote óptimo de pedido en un inventario. Ajuste no lineal. PROBLEMAS CON RESTRICCIONES: Ejemplos. Localización de torres de transmisión. Problema de equilibrio de mercados. MIOPD.FIB I.O.E. dística UPC

PPROGRAMACIÓN NO LINEAL SIN RESTRICCIONES CONCEPTOS BÁSICOS. Definición de mínimo local y global Representación a lo largo de una dirección de f. Concepto de dirección de descenso. f. Dif. CONDICIONES DE OPTIMALIDAD Necesarias de 1er orden. Funciones convexas dif. Propiedades básicas. Funciones cuadráticas y funciones 2-dif. Necesarias y suficientes de 2º orden MÉTODO DEL GRADIENTE Y EXPLORACIÓN LINEAL. I.O.E. ca MIOPD. FIB UPC

x 3 B A x 1 VÉRTICE A x 2 MIOPD. I.O.E. FIB de Estadística UPC

C x 3 B VÉRTICE B x 1 x 2 VÉRTICE C ÓPTIMOS ALTERNATIVOS MIOPD. FIB I.O.E. Diplomatura de UPC

x 3 C F Recorriendo las diferentes bases encontraríamos los puntos C, D, E, F. En todos ellos la f.obj. tiene igual valor: z* = 220/15. G E D x 1 Cualquier punto G sobre la cara tendrá igual valor para la f.obj. ( COMPROBADLO) x 2 MIOPD. I.O.E. FIB Diplomatura de UPC

EFICACIA DEL ALGORITMO SÍMPLEX En el ejemplo anterior se examinan sólo 3 de los 9 vértices del poliedro. Hay ejemplos en los que el algoritmo debe examinarlos TODOS (Klee-Minty, 1972). PEOR CASO POSIBLE. x 3 x 1 x 2 MIOPD. FIB I.O.E. Diplomatura de UPC

Introducción a los Problemas No Lineales (P.N.L.) Un P.N.L. es un problema de programación matemática donde la F.O. o alguna restricción és no lineal. Las propiedades y características de estos problemas son distintas a los de P.L. En consecuencia: Los algoritmos de optimización que se utilizan para resolver PNL's son muy diferentes a los utilizados en los P.L. La utilización de "RESOLVEDORES" (Solvers) en lenguajes de modelización como AMPL esconde las diferencias entre P.L. y P.N.L.'s. MIOPD. IE. Diplomatura FIB de UPC

Forma General de un P.N.L Max (Min): f 0 (x 1, x 2,, x n ) s. a: f 1 (x 1, x 2,, x n ) 0 : i f k (x 1, x 2,, x n ) 0 ( i, j) cte. : f m (x 1, x 2,, x n )=0 f j (x 1, x 2,, x n ) diferenciable j x i continua i f x j MIOPD. FIB I.O.E. Diplomatura UPC

PROBLEMA DE OPTIMIZACI ON NO LINEAL SIN RESTRICIONES 43 Min x IR n f(x) f :IR n IR,fdiferenciable f(x) = f x 1. f x n (x)

Curvas de nivel de

44 Definici on de m ınimo local x de f. δ 0 t.q. x, x x 2 δ, δ<δ 0 : CAPÍTULO 1. MODELOS DE TIEMPO DE VIDA f(x) f(x ) Definici on de m ınimo local estricto x de f. δ 0 t.q. x x, x x 2 δ, 0 <δ<δ 0 : f(x) >f(x ) Definici on de m ınimo global x de f. x IR n,f(x) f(x ) Definici on de m ınimo global estricto x de f. x IR n,x x,f(x) >f(x )

Ejemplo: P.N.L. sin restricciones

Min y t

Ejemplo de P.N.L. con restricciones no lineales Una empresa de telefonía móvil suministra servicio a varias ciudades. Quiere mejorar su servicio instalando una nueva torre. La nueva torre tendrá un radio de transmisión de 40 km y aprovechará las torres existentes en las cuatro ciudades. MIOPD. FIB plomatura de Estadística UPC

50 40 C 1 x=5, y=45 30 Nueva Torre x=?, y=? 20 C 2 x=12, y=21 C 3 x=52, y=21 10 0 C 4 x=17, y=5 0 10 20 30 40 50 60 I.O.E. I.O.D. Diplomatura de Estadística UPC

1-x 1 0,5 f(x) 0,5 1 1,5 2 x-1 x/2 NO DIFERENCIABLE!! x

REFORMULACIÓN

(3.d) PROGRAMACIÓN NO LINEAL SIN RESTRICCIONES CONCEPTOS BÁSICOS. Definición de mínimo local y global Representación a lo largo de una dirección de f. Concepto de dirección de descenso. f. Dif. CONDICIONES DE OPTIMALIDAD Necesarias de 1er orden. Funciones convexas dif. Propiedades básicas. Funciones cuadráticas y funciones 2-dif. Necesarias y suficientes de 2º orden MÉTODO DEL GRADIENTE Y EXPLORACIÓN LINEAL. I.O.E. MIOPD. stadística FIB UPC

PROBLEMA DE OPTIMIZACI ON NO LINEAL SIN RESTRICIONES 43 Min x IR n f(x) f :IR n IR,fdiferenciable f(x) = f x 1. f x n (x)

Curvas de nivel de

44 Definici on de m ınimo local x de f. δ 0 t.q. x, x x 2 δ, δ<δ 0 : CAPÍTULO 1. MODELOS DE TIEMPO DE VIDA f(x) f(x ) Definici on de m ınimo local estricto x de f. δ 0 t.q. x x, x x 2 δ, 0 <δ<δ 0 : f(x) >f(x ) Definici on de m ınimo global x de f. x IR n,f(x) f(x ) Definici on de m ınimo global estricto x de f. x IR n,x x,f(x) >f(x )

h(α) z=f(x 1,x 2 ) x d x 2 α x 1

46 h(α) =f(x + αd) es derivable y h(α) =h(0) + h o(α) (0)α + o(α) con lim α 0+ α Por la regla de la cadena: h (0) = d f(x): f(x + αd) =f(x)+α d f(x)+o(α) Direcci on d de descenso (d.d.) para f en x α 0 > 0, t.q. 0 <α<α 0,esf(x + αd) <f(x). Si f es diferenciable en x: (a) d es d.d. en x d f(x) 0. (b) d es d.d. en x d f(x) < 0. CAPÍTULO 1. MODELOS DE TIEMPO DE VIDA =0 Si f(x) 0entonces d = f(x) es d.d. en x para f: d f(x) = f(x) f(x) = f(x) 2 < 0

estrict. convexa f(x,y)=5x 2 +10y convexa x 1 x 2

0 α

COMPORTAMIENTO DEL MÉTODO DEL GRADIENTE (Exploración Lineal exacta) f () T T x = x Qx b x x 0 x 2 x * x 1 E E ( x ) k+ 1 ( x ) k ( A a) ( A a) + 2 2 ( ) ( *) T ( * x x x x x ) k = k Q k, E

h(α) ( h'(0) < 0 ) h(α) α 1ª Regla 2ª Regla α

0 τ 2 1-τ 1

Determinar intervalo de incertidumbre 0 0 τ 1 1-τ

Ejemplo: P.N.L. sin restricciones

Exeini # Carga los vectores t, y n=5 x0ini # Carga la solución inicial en x0 [x,options,f,j]=leastsq('fexe',x0,options,'gexe',t,y,n) t1=0:0.1:8.0 y1=x(1)*exp(x(2)*t1) plot(t,n1,'x',t1,y1) 'fexe.m' function f = FUN(x,t,y,n) for i=1:n f(i) = 0.5*(x(1)*exp(x(2)*t(i)) - y(i) ); end 'gexe.m' function gf = GRADFUN(x, t, y,n) for i = 1:n gf(1,i) = 0.5*exp(x(2)*t(i)); gf(2,i) = 0.5*t(i)*x(1)*exp(x(2)*t(i)); end

Min y t

OBJETIVO: Estudiar las condiciones que verifican los óptimos locales de (P) Notación: MIOPD. FIB UPC

CONDICIONES SUFICIENTES DE K-K-T MIOPD. FIB UPC

MODELO DE EQUILIBRIO DE MERCADOS d 1 d 2 d 3 0 s i 1 2 tij Transporte 1 2 d 1 d 2 Demanda Oferta 3 d 3

( Pero puede existir z j > 0!! )

PROGRAMACIÓN NO LINEAL CON RESTRICCIONES CONDICIONES DE KARUSH-KUHN-TUCKER. Concepto de cono normal del conjunto factible. Condiciones necesarias de 1er orden y regularidad. Caso de problema convexo. Condiciones suficientes. Lagrangiano del problema. Ejemplos. Método de conjuntos activos. Ejemplos. MÉTODO DEL GRADIENTE REDUCIDO. Caso de restricciones lineales. Variables básicas y no básicas. Algoritmo del gradiente reducido. MIOPD. FIB I.O.E. de Estadística UPC

OBJETIVO: Estudiar las condiciones que verifican los óptimos locales de (P) Notación: MIOPD. I.O.E. FIB Diplomatura de UPC

Índices de las restricciones activas: MIOPD. FIB I.O.E. de Estadística UPC

CONDICIONES NECESARIAS DE K-K-T Regularidad en x* : de pleno rango MIOPD. FIB I.O.E. Diplomatura de UPC

y x x *

CONDICIONES SUFICIENTES DE K-K-T MIOPD. I.O.E. FIB de Estadística UPC

62 CAPÍTULO 1. MODELOS DE TIEMPO DE VIDA CONDICIONES DE 1 er ORDEN EN FUNCI ON DEL LAGRANGIANO Para el problema: Min f(x) s.a : h(x) =0v g(x) 0 u Se define el Lagrangiano L(x, v, u) =f(x) v h(x) u g(x) De forma que las condiciones de 1 er orden se expresan:. x L(x, v, u) = f(x) v L(x, v, u) =h(x) =0 u L(x, v, u) =g(x) 0 u g(x) =0, u 0 g x u h x v =0

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En el óptimo se verifica: También en cualquier otro punto; p.ej: (!!!)

MODELO DE EQUILIBRIO DE MERCADOS d 1 d 2 d 3 0 s i 1 2 tij Transporte 1 2 d 1 d 2 Demanda Oferta 3 d 3

( Pero puede existir z j > 0!! )

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PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE MODELOS EN P.N.L. Semana 13. Sesión de teoría. Problemas de transporte. Problemas con demanda estocástica. Equilibrio de mercados. Análisis mediante las condiciones de KKT (Práctica 6) MIOPD. FIB I.O.E. Diplomatura de UPC

y x x *

CONDICIONES SUFICIENTES DE K-K-T MIOPD. FIB I.O.E. de Estadística UPC

MODELO DE EQUILIBRIO DE MERCADOS d 1 d 2 d 3 0 s i 1 2 tij Transporte 1 2 d 1 d 2 Demanda Oferta 3 d 3

MODELO DE EQUILIBRIO DE MERCADOS d j 0 1 2 t1j j d j t2j MIOPD. FIB I.O.E. Diplomatura de UPC

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PRÁCTICA 6 d = Cota superior de la demanda p(d) = p( d - δ ) = q(δ ) p(d) q(δ ) d δ d 1 d 2 d 3 s i 0 δ 1 δ 2 1 d Precio = p(demanda) tij 1 2 d 1 d 2 d d = d +δ Demanda absorbida por el mercado Exceso de demanda 2 δ 3 3 d 3 MIOPD. FIB I.O.E. Diplomatura de UPC

d 1 d 2 d 3 0 s i δ 1 δ 2 1 tij 1 2 d 1 d 2 2 δ 3 3 d 3

set FACT; set MERC; set ARCTR within (FACT cross MERC); set ORIGEN; set ARC_FACT within (ORIGEN cross FACT); set ARC_EXC within (ORIGEN cross MERC); param CTRANS {(i,j) in ARCTR} >=0; param a {j in MERC}>=0; s param b {j in MERC}; i param dmax {j in MERC}>0; d 1 param alfa {i in FACT}>0; 0 param beta {i in FACT}; d 2 d 3 let dtotal:= sum {j in MERC} dmax[j]; node OR {l in ORIGEN} net_out = dtotal; node P {i in FACT}; node MR {j in MERC} net_in = dmax[j]; arc fict {(l,j) in ARC_EXC} >= 0, from OR[l], to MR[j]; arc xij {(i,j) in ARCTR} >= 0, from P[i], to MR[j]; arc si {(i,j) in ARC_FACT} >=0, from OR[i], to P[j]; δ 1 δ 2 1 2 δ 3 tij 1 2 3 d 1 d 2 d 3

minimize F: sum{(i,j) in ARC_FACT} alfa[j]*si[j]+0,5*beta[j]*si[j]^2 + sum{(p,q) in ARCTR} CTRANS[p,q]*xij[p,q]+ sum{(r,s) in ARC_EXC} a[s]*fict[s] + 0,5*b[s]*fict[s]^2; d 1 0 s i δ 1 δ 2 1 tij 1 2 d 1 d 2 d 2 d 3 2 π(s )=α+βs δ 3 3 d 3 q(δ )=a+bδ s δ

set FACT:= P1 P2; set MERC:= M1 M2 M3; set ARCTR:= (P1,M1) (P1,M2) (P1,M3) (P2,M1) (P2,M2) (P2,M3); set ORIGEN:= O; set ARC_FACT:= (O,P1) (O,P2); set ARC_EXC:= (O,M1) (O,M2) (O,M3); param CTRANS:= P1 M1 1 P1 M2 2 P1 M3 1.5 P2 M1 3 P2 M2 2 P2 M3 2.5; param a:= M1 10 M2 12 M3 9; param b:= M1 3 M2 2 M3 4; param dmax:= M1 200 M2 200 M3 200; δ 1 param alfa:= P1 600 P2 600; tij 1 param beta:= P1-0.5 P2-0.5; s i 1 d 1 d 2 d 3 0 δ 2 2 d 1 d 2 2 δ 3 3 d 3

Precio en M1 Precio en M2; no se vende Precio en M3 d 1 d 2 d 3 0 s i δ 1 δ 2 1 15,91 tij 1 2 d 1 d 2 2 61,55 δ 3 3 d 3