Introducción a los sistemas disipativos y prueba del Teorema de pequeña ganancia

Transcripción

1 Introducción a los sistemas disipativos y prueba del Teorema de pequeña ganancia Gabriel Tucci Scuadroni Profesor: Álvaro Giusto 14 de diciembre de 2002 Control Robusto Ingeniería Electrica Universidad de la República Montevideo - Uruguay.

2 Índice 1 Índice 1. Introducción 2 2. Motivación 2 3. Sistemas dinámicos disipativos Ejemplo de sistema disipativo Estabilidad 7 5. Caracterización de los sistemas lineales disipativos Sistemas lineales e invariantes en el tiempo Interconexión de sistemas pasivos Conclusiones 13

3 2 Motivación 2 1. Introducción La primera parte de este artículo trata de la teoría general de los sistemas dinámicos disipativos. El modelo matemático utilizado es el de espacios de estados y la propiedad de disipatividad está dada en términos de una desigualdad que involucra una función de almacenamiento y una función de suministro. Luego se estudia la estabilidad de estos sistemas y se prueba que un punto en el espacio de estados donde la función de almacenamiento alcanza un mínimo define un punto de equilibrio estable y la función de almacenamiento es una función de Lyapunov para este punto de equilibrio. En todo lo anterior se siguen los pasos de Willems [Wi]. Posteriormente se caracteriza la propiedad de disipatividad en los sistemas lineales e invariantes en el tiempo. A estos, sistemas lineales invariantes en el tiempo, en el caso particular de que la tasa de suministro sea w = u y se los denominara sistemas pasivos. Luego, se hizo un pequeño trabajo de investigación en el cual redescubrí el Teorema de Pequeña Ganancia, teorema conocido desde la década del 60, en el cual se aporta una demostración alternativa basada en los sistemas disipativos para el caso lineal e invariante en el tiempo. 2. Motivación Los sistemas disipativos son de particular interés en la física y en la ingeniería. La hipótesis de disipatividad, que distingue estos sistemas de los sistemas dinámicos en general, resulta en una restricción fundamental en su posible dinámica. Ejemplos típicos de sistemas disipativos son las redes eléctricas en donde parte de la energía eléctrica es disipada en las resistencias en forma de calor, sistemas mecánicos viscosos y sistemas termodinámicos en los cuales la segunda ley de la termodinámica postula una forma de disipación dando lugar a un incremento de la entropía.

4 3 Sistemas dinámicos disipativos 3 3. Sistemas dinámicos disipativos En esta sección daremos las definiciones básicas de sistemas dinámicos disipativos y se enunciaran algunos teoremas que nos darán condiciones necesarias y suficientes para que un sistema dinámico sea disipativo. Definición 3.1. Dado Σ un sistema dinámico. Una función w : U Y R se dice que es una tasa de suministro (supply rate) sii para todo (t 1, t 0 ) R y para todo u U y y Y se cumple que w(t) := w(u(t), y(t)) satisface que: t1 es decir, w es localmente integrable. t 0 w(t) dt < + (1) Definición 3.2. Un sistema dinámico con una tasa de suministro w se dice que es disipativo si existe una función S : X R + llamada función de almacenamiento (storage function) tal que para todo (t 1, t 0 ) R + 2 y para todo estado x 0 y entrada u U se cumple que: t1 S(x 0 ) + w(t)dt S(x 1 ) (2) t 0 donde x 0 es un estado inicial y x 1 = φ(t 1, t 0, x 0, u) 2. Observación 3.3. Vale la pena observar que la definición anterior implica que C w(t) 0 para toda trayectoria cerrada C en el espacio de estados. Definición 3.4. Dado un sistema dinámico con una tasa de suministro w, se define la función S a llamada almacenamiento disponible (available storage) a la función S a : X R {+, } definida por: S a (x) = t1 sup w(t)dt x t donde x denota el supremo sobre todos los caminos que empiezan en x en tiempo 0 y donde el supremo es tomado sobre las entradas u U. Observación 3.5. Tomando t 1 = 0 deducimos que S a (x) 0. Teorema 3.6. Dado un sistema dinámico Σ con función de suministro w este es disipativo si y solo si S a es finita para todo estado x. Además, si Σ es disipativo con función de almacenamiento S se cumple que 0 S a S y S a es una posible función de almacenamiento. 1 R + 2 = {(a, b) R2 : a b} 2 La función φ es la función de transición de estados. Para familiarizarse con la notación utilizada en los sistemas dinámicos ver [Wi]

5 3 Sistemas dinámicos disipativos 4 Este teorema nos da un método general para verificar si un sistema dinámico es disipativo o no. Además, este procedimiento no requiere conocimiento de las funciones de almacenamiento. En este sentido es un test de entrada/salida. Ahora introduciremos el concepto de alcanzabilidad y controlabilidad, conceptos que juegan un rol fundamental en la teoría de control moderna. Definición 3.7. Un sistema dinámico se dice alcanzable desde x 1 si x X existe t 1 0 y u U tal que: x = φ(0, t 1, x 1, u). Se dice que el sistema es controlable a x 1 si x X existe t 1 0 y u U tal que: x 1 = φ(t 1, 0, x, u). Observación 3.8. Dado un sistema dinámico disipativo (Σ, w, S), vamos a asumir que existe un estado x tal que S(x ) = min x X S(x) y que S(x ) = 0. Definición 3.9. Dado un sistema dinámico disipativo (Σ, w, S) definimos la función suministro requerido S r (required supply) como la función S r : X R {+, } dada por: 0 S r (x) = inf w(t)dt x x t 1 donde x = φ(0, t 1, x, u). Observación Para que S r esté bien definida es necesario que el sistema sea alcanzable desde x. Teorema Dado un sistema (Σ, w) alcanzable desde x 1. Es disipativo si y solo si existe una constante K tal que: 0 inf x 1 x w(t)dt K t 1 para todo x X. 0 Además, S a (x 1 )+inf x 1 x t 1 w(t)dt es una posible función de almacenamiento. 2. Un sistema dinámico disipativo (Σ, w, S) tal que S(x ) = 0. Entonces, S r (x ) = 0 y 0 S a S S r. Además, si el sistema es alcanzable desde x se cumple que S r < + y S r es una posible función de almacenamiento. Observación Consideremos un sistema dinámico disipativo (Σ, w, S) tal que sea alcanzable desde x 1 y controlable a x 1. Entonces es trivial ver que se satisface : t1 S(x 1 ) + sup x x 1 0 w(t)dt S(x) S(x 1 ) + inf x 1 x 0 t 1 w(t)dt (3)

6 3 Sistemas dinámicos disipativos 5 Para resumir, hasta ahora hemos probado que las funciones de almacenamiento de un sistema dinámico disipativo satisfacen a priori la desigualdad S a S S r. Por supuesto que no cualquier función que satisfaga esta desigualdad va a ser una posible función de almacenamiento. Aunque, el siguiente teorema nos da una propiedad interesante de convexidad. Teorema Dado un sistema disipativo (Σ, w, S), el conjunto de las funciones de almacenamiento forma un conjunto convexo. Es decir, que ts a +(1 t)s r es una función de almacenamiento con t [0, 1] Definición Un sistema dinámico (Σ, w, S) se dice que es sin pérdida (lossless) si se cumple que para todo (t 1, t 0 ) R + 2, x 0 X y u U S(x 0 ) + El siguiente teorema es inmediato. t1 t 0 w(t)dt = S(x 1 ). Teorema Dado un sistema dinámico (Σ, w, S) sin pérdida tal que S(x ) = 0. Si el espacio de estados es alcanzable desde x. Entonces S a = S r y S(x) = 0 t 1 w(t)dt con t 1 0 y u U tal que x = φ(0, t 1, x, u) y S(x) = con t 1 0 y u U tal que x = φ(t 1, 0, x, u) Ejemplo de sistema disipativo t1 0 w(t)dt Consideremos el circuito RLC de la Figura. Tomamos la tensión y corriente en la fuente como entrada u y salida y. Entonces, el producto uy es el flujo de potencia a la red. Tomando como variables de estado la corriente en la inductancia, x 1, y la tensión en el capacitor, x 2, el modelo de estados es: Lx 1 = u R 2 x 1 x 2 Cx 2 = x 1 1 x 2 R 3 y = x R 1 u La energía almacenada en el sistema es V (x) = 1 2 Lx Cx2 2. Como la red es pasiva, la energía que entra a la red en un período [0, t] debe ser mayor o igual que el aumento de energía almacenada en la red durante ese período, es decir t 0 u(s)y(s)ds V (x(t)) V (x(0))

7 3 Sistemas dinámicos disipativos 6 Si la desigualdad anterior vale con mayor estricto, la diferencia entre la energía entrante y la almacenada por la red es la energía disipada en los componentes resistivos de la red. Podemos también escribir la ecuación anterior en forma instantánea como u(t)y(t) V (x(t)). Para la red RLC, podemos llegar a la desigualdad anterior directamente planteando la derivada de V (x) sobre las trayectorias del sistema, es decir: V (x) = Lx 1 x 1 + Cx 2 x 2 = x 1 (u R 2 x 1 x 2 ) + x 2 (x 1 1 x 2 ) R 3 = x 1 u R 2 x R 3 x 2 2 = (y 1 R 1 u)u R 2 x R 3 x 2 2 Y por lo tanto = uy 1 R 1 u 2 R 2 x R 3 x 2 2 uy = V (x) + 1 R 1 u 2 + R 2 x R 3 x 2 2 Los términos cuadráticos no negativos representan la tasa de disipación, es decir la diferencia entre uy y V.

8 4 Estabilidad 7 4. Estabilidad En esta sección examinaremos las propiedades de estabilidad de los sistemas dinámicos disipativos. Y como es de esperar, solo algunas condiciones que involucran a la función de suministro y al sistema serán necesarias para que la propiedad de disipatividad implique la propiedad de estabilidad en un punto de equilibrio que es mínimo de la función de almacenamiento. Nuestras hipótesis de trabajo van a ser las siguientes sobre el sistema dinámico a consideración. 1. El sistema es aislado, es decir, el espacio de entradas consiste de un único elemento. Para preservar la estacionaridad nosotros asumimos que este elemento es una función constante u(t) = u. 2. El punto x es un estado de equilibrio. 3. El espacio de estados es un espacio normado. 4. La función φ(t, t 0, x 0, u ) es continua para t t La función w(u, r(x, u )) 0 para todo estado en un entorno de x. Definición 4.1. Dado un sistema Σ. Un estado x se dice estable, si dado ɛ > 0 existe δ(ɛ) > 0 tal que si x 0 x < δ entonces φ(t, t 0, x 0, u ) x < ɛ para todo t 0. Un método muy útil para probar la estabilidad es por medio de las funciones de Lyapunov. La noción de función de Lyapunov es introducida en la siguiente definición. Definición 4.2. Dado un sistema dinámico Σ, una función V : X R se dice que es una función de Lyapunov en un entorno del punto de equilibrio x si: 1. V es continua en x. 2. El punto x es un mínimo local fuerte de V. Es decir, existe una función continua α : R + R + con α(σ) > 0 si σ > 0 tal que V (x) V (x ) α( x x ) para todo x en un entorno de x. 3. V es monótona nocreciente a lo largo de las soluciones en un entorno de x, es decir, que V (φ(t, t 0, x 0, u )) es monótona nocreciente. Es un resultado muy conocido que un punto de equilibrio es estable si existe una función de Lyapunov en un entorno de ese punto. Para ver la demostración de estos resultados ver [V] [S]. Teorema 4.3. Un punto de equilibrio x de un sistema dinámico disipativo (Σ, w) es estable si la función S es continua y alcanza un mínimo local fuerte en x. Además, S es una función de Lyapunov en un entorno de x.

9 4 Estabilidad 8 Demostración. Alcanza con probar que S(φ(t, t 0, x 0, u )) es monótona no creciente en t = t 0 si x 0 x es pequeña. S(φ(t, t 0, x 0, u )) = S(x) S(x 0 ) + t t 0 w(t)dt, pero w(t) 0 entonces t t 0 w(t)dt 0 y por lo tanto S(x) S(x 0 ).

10 5 Caracterización de los sistemas lineales disipativos 9 5. Caracterización de los sistemas lineales disipativos Un caso particular de sistemas disipativos son los sistemas lineales e invariantes en el tiempo que son disipativos con respecto a la función de suministro w = u y, a estos los llamaremos sistemas pasivos. En esta sección daremos algunas características de estos sistemas y probaremos algunos resultados importantes de estos. Formalizando el comentario anterior tenemos que: Definición 5.1. Un sistema es pasivo si para toda entrada u y salida y se cumple que: + 0 u(t)y(t)dt = y, u 0. Definición 5.2. Un sistema se dice estrictamente pasivo con respecto a la salida (OSP) si existe un ɛ tal que: y, u ɛ y 2. Definición 5.3. Un sistema se dice estrictamente pasivo con respecto a la entrada (ISP) si existe un ɛ tal que: y, u ɛ u 2. Observación 5.4. Los sistemas OSP y ISP son sistemas dinámicos disipativos con respecto a las funciones de suministro w = u y ɛ y 2 y w = u y ɛ u 2 respectivamente Sistemas lineales e invariantes en el tiempo Consideremos un sistema lineal e invariante en el tiempo con entrada u y salida y. Entonces + y, u = y(t)u(t)dt = 1 + Y (iw)u( iw)dw 2π = 1 2π + 0 G(iw)U(iw)U( iw)dw = 1 π + 0 Re(G(iw)) U(iw) 2 dw Entonces es claro que para que un sistema sea pasivo lo que tiene que ocurrir es que el sistema sea estable y que Re(G(iw)) 0 para toda frecuencia. Y para que el sistema sea estrictamente pasivo con respecto a la entrada lo que tiene que ocurrir es que el sistema sea estable y que Re(G(iw)) ɛ. El sistema es estrictamente pasivo con respecto a la salida si es estable y existe ɛ tal que Re(G(iw)) ɛ G(iw) 2. Ejemplo El sistema G(s) = 1 s+1 2. El sistema G(s) = 1 s es pasivo y no OSP ni ISP. es pasivo y OSP pero no ISP.

11 5 Caracterización de los sistemas lineales disipativos Interconexión de sistemas pasivos Proposición 5.6. Si el sistema S 1 es pasivo y el sistema S 2 es estrictamente pasivo con respecto a la entrada, entonces el sistema en lazo cerrado es estrictamente pasivo respecto a la salida. Demostración. Sabemos por hipótesis que e 1, y 0 y que y, e 2 ɛ y 2.Entonces tenemos que r, y = r e 2, y + e 2, y = e 1, y + e 2, y ɛ y 2, de lo que se deduce que el sistema en lazo cerrado es estrictamente pasivo. Teorema 5.7 (Teorema de Pasividad). Consideremos el sistema que se obtiene de interconectar los sistemas H 1 y H 2 como muestra la figura. Si H 1 es estrictamente pasivo con respecto a la entrada y H 2 pasivo, entonces el sistema en lazo cerrado es estable. Demostración. H 1 es estrictamente pasivo, entonces existe un ɛ tal que Re(H 1 (iw)) ɛ para todo w. De lo que se deduce que Por otro lado, H 2 es pasivo, entonces π 2 < arg(h 1) < π 2. π 2 arg(h 2) π 2.

12 5 Caracterización de los sistemas lineales disipativos 11 Y por lo tanto π < arg(h 1 H 2 ) < π entonces el diagrama de Nyquist de H 1 H 2 no rodea al -1 y por lo tanto el sistema en lazo cerrado es estable. Teorema 5.8 (Teorema de la pequeña ganancia). Dado un sistema como muestra la figura, donde H 1 es un sistema estable tal que sup H 1 (iw) < 1 para toda frecuencia y H 2 otro sistema estable tal que H 2 (iw) 1 y H 2 (iw) 1 3. Entonces el sistema en lazo cerrado es estable. Demostración. Consideremos los sistemas S 1 = 1 H 1 1+H 1 y S 2 = 1 H 2 1+H 2. Por las hipótesis del teorema se puede deducir fácilmente que S 1 y S 2 son sistemas estables. Por otro lado, Re(S 1 (iw)) = Re( (1 H 1)(1 + H 1 ) 1 + H 1 2 ) = 1 H H 1 2 luego debido a que sup H 1 (iw) < 1, existe un ɛ tal que 1 H H 1 ɛ y por lo tanto el 2 sistema S 1 es estrictamente pasivo respecto a la entrada. Análogamente se prueba que el 3 esta última hipótesis no es estrictamente necesaria pero por simplicidad la incluimos

13 5 Caracterización de los sistemas lineales disipativos 12 sistema S 2 es pasivo. Ahora utilizando el Teorema de pasividad tenemos que el sistema en lazo cerrado de la interconexión de S 1 y S 2 es estable. Entonces S(s) = es un sistema estable y por lo tanto el sistema es estable. S 1 (s) 1 + S 1 S 2 (s) = 1 + H 2(s) H 1 (s) H 1 H 2 (s) 2(1 + H 1 H 2 (s)) H(s) = H 1 (s) 1 + H 1 H 2 (s)

14 Referencias Conclusiones En la primera parte de este trabajo hemos desarrollado en líneas generales y muy básicamente la teoría de los sistemas dinámicos disipativos. El modelo utilizado fue en el espacio de estados y fueron traducidas estas propiedades a los sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Estas ideas luego fueron aplicadas a la interconexión de sistemas y probamos en particular el Teorema de Pasividad. Posteriormente, realizamos un pequeño trabajo de investigación del que pudimos redescubrir el Teorema de la Pequeña Ganancia apartir de los resultados de los sistemas disipativos. Referencias [Wi] Jan C. Willems, Dissipative Dynamical Systems, Part I: General Theory. [V] V. Arnold, Ordinary differential equations. [S] J.Sotomayor, Equacoes diferenciais ordinarias, IMPA.