Producos dervados sobre benes de consumo Francsco Venegas Marínez, Salvador Cruz Ake n Resumen: Ese rabajo de nvesgacón desarrolla un modelo de equlbro general con expecavas raconales en empo connuo úl para la deermnacón de precos de conraos forward, conraos fuuros, bonos cupón cero y opcones europeas (de compra y vena) sobre benes de consumo. Para ello, el modelo consdera un ndvduo represenavo en una economía con dos benes, los cuales son producdos con ecnologías esocáscas. Por úlmo, el modelo propueso perme examnar esraegas para obener ganancas especulavas medane el uso de dferenes producos dervados. n Absrac: hs paper develops a connuous-me general equlbrum model wh raonal expecaons useful for he deermnaon of prces of forward and fuure conracs, zero coupon bonds and European (calls and pus) opons on consumpon goods. o reach hs end, he model consders a represenave ndvdual n an economy wh wo goods, whch are produced by usng sochasc echnologes. Fnally, he proposed model allows consderng sraeges amed n obanng speculave gans by usng dfferen dervave producs. n Palabras clave: General equlbrum, sochasc opmal conrol, prcng dervaves on commodes. n Clasfcacón jel: E3, C6, G2, G3. n Fecha de recepcón: 4/06/2009 Acepacón: 04/05/200 Escuela Superor de Economía, IPN, Correo elecrónco: fvenegas@yahoo.com.mx; salcake@yahoo.com, respecvamene. Agradecemos los comenaros de los árbros anónmos.
26 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 n Inroduccón Un snnúmero de nnovacones fnanceras sobre producos dervados, parcularmene oblgacones de deuda respaldadas por dversos colaerales con la opcón de recompra, y un crecmeno nusual de los monos de operacón de esos nsrumenos exacerbaron la crss mundal de prncpos de 2008 al generar una burbuja especulava; el resulado, una debacle fnancera para la economía más grande del mundo, lo cual sn duda endría efecos negavos sobre sus socos comercales y especalmene para Méxco, en donde las secuelas se dejan ver en muchos fundamenales de la economía mexcana. Los mercados de producos dervados sobre benes ambén han mosrado un rápdo crecmeno en el mundo. La operacón en esos mercados esá más lgada a la especulacón que a la coberura y sus poencales efecos sobre la economía real deberían ser esudados con más cauela. Es mporane desacar que, en la gran mayoría de producos dervados sobre benes, la enrega nunca es hecha; por lo regular, las poscones son cerradas anes del vencmeno o, ben, s llegan al vencmeno, sólo se lqudan dferencas, esando presene en la mayoría de los casos la nencón de obener ganancas especulavas. Sn duda, las práccas en esos mercados deberían ser reguladas de manera más efcene a fn de evar caásrofes como las generadas, recenemene, por dervados exclusvamene fnanceros. El crecmeno que los mercados de dervados de benes (o dervados de físcos como una posble raduccón de commodes dervaves) han endo en el mundo es mpresonane y se muesra en las Gráfcas y 2. Dcho crecmeno se debe en gran medda a la flexbldad que esos nsrumenos proporconan a sus usuaros para enrar o salr rápdamene del mercado. Asmsmo, esos nsrumenos presenan un alo grado de lqudez, es decr, un vendedor cas sempre encuenra un comprador y vceversa, De gual forma, los dervados de físcos enen un alo nvel de apalancameno, eso es, la nversón ncal es pequeña comparada con el valor del ben subyacene. Es mporane desacar que el mercado esadoundense de dervados de físcos ha endo un mporane crecmeno en las dos úlmas décadas; como se puede aprecar en el Cuadro, El Grupo CME (Chcago Mercanle Exchange) es el mercado más grande del mundo y en él se coza y negoca una gran dversdad de conraos fuuros y opcones de benes (v.g. rgo, arroz, maíz, sorgo, soya, olvo, canola, café, jugo de naranja, ocno, ganado vvo, leche en polvo, algodón, manequlla, ec.). Una de las prncpales causas del crecmeno de ese mercado es que el resgo crédo de esos nsrumenos es mínmo debdo a la asocacón
Producos dervados sobre benes de consumo n 27 Gráfca Valor del mercado mundal de dervados de físcos, 998-2009 (mllones de dólares) 2500000 2000000 500000 000000 500000 0 998 999 2000 200 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 oal Fuene: Bank for Inernaonal Selemens (200). Gráfca 2 Valor del mercado mundal de dervados de físcos por po (mllones de dólares) 9000000 8000000 7000000 6000000 5000000 4000000 3000000 2000000 000000 0 998 999 2000 200 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 oal compra opcones oal vena opcones Fuene: Bank for Inernaonal Selemens (200) oal Forwards
28 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 Cuadro Volumen de fuuros y opcones de físcos y fnanceros Bolsas de dervados de físcos en Esados Undos de Amérca (mllones de conraos) Fuuros Opcones Año Físcos Fnanceros Físcos Fnanceros 99 98.6 62.8 6.9 43.4 992 02.6 86.8 9.7 49.9 993.3 24.2 20.7 56.2 994 28. 282.9 22. 77. 995 26. 283.3 22.2 73.2 996 38.7 255.4 29.9 70.5 997 4.9 275.3 30.3 74.8 998 52.6 320.8 34.9 83. 999 6.9 345.9 37.7 97.5 2000.3 367.2 4.7 03.2 200 28. 39.3 47. 27. 2002 26. 47.2 5.2 56.7 2003 38.7 476. 54.9 7.5 2004 4.9 490. 57.3 98.9 2005 76.2 526.8 76.7 23.4 2006 89.8 623.8 8.2 247.9 2007 203.7 70.2 0.8 276.2 2008 379.3 78.9 6.2 327.9 Fuene: CFC (Commody Fuures radng Commsson) de 99 a 998. Fuene 2: Valores esmados con daos de CFC, CME (Chcago Mercanle Exchange) y BIS (Bank for Inernaonal Selemens). Noa : Los dervados fnanceros ncluyen dvsas, bonos, accones, asas de nerés, índces bursáles, swaps de asas de nerés y de dvsas, noas esrucuradas, ec. Noa 2: Los dervados fnanceros ncluyen cereales (rgo, arroz, maíz, sorgo, ec.), oleagnosas (grasol, olvo, canola, ec), jugo de naranja, ocno, ganado vvo, leche en polvo, algodón, soya, manequlla, meales (oro, plaa, cobre, ec.) y energécos (peróleo crudo, gas naural, elecrcdad, ec.). de la bolsa de dervados de físcos con una cámara de compensacón y lqudacón. Las bolsas nernaconales de físcos de mayor crecmeno en el mundo se muesran en el Cuadro 2. La presene nvesgacón perme un mejor enendmeno sobre la deermnacón de precos de conraos forward, fuuros, bonos (cupón cero) y opcones (europeas) de compra y vena sobre benes. Con el fn de deermnar los precos de los conraos forward y fuuros, se desarrolla un modelo de equlbro general con expecavas raconales
Producos dervados sobre benes de consumo n 29 Cuadro 2 Bolsas nernaconales de físcos de mayor crecmeno CME (EE UU) CHUBU (Japón) OCOM (Japón) ASXD (Ausrala) BM&F (Brasl) Fuene: Elaboracón propa. Chcago Mercanle Exchange Commody Exchange Nagoya oko Commody Exchange Ausralan Sock Exchange Dervaves Bolsa de Mercadoras e Fuuros en empo connuo en una economía con dos benes, con consumdores déncos en gusos y doacones y con una ecnología que presena rendmenos consanes a escala. El modelo propueso presena y explca en forma precsa y conssene por qué esos conraos son dferenes, cómo se relaconan enre sí y cómo se relaconan con oros precos de la economía, al como los precos de conado ( spo ). Asmsmo, el modelo explca congruenemene cómo el resgo de mercado se refleja en los precos de los producos dervados. El modelo deermna endógenamene precos de los menconados conraos ulzando un marco de equlbro general en el que las preferencas, doacones e nformacón de los agenes económcos, así como la ecnología de produccón se especfcan exógenamene. En consecuenca, los precos de equlbro esán drecamene relaconados con las preferencas y con los parámeros asocados al proceso de produccón esocásca denro de la economía. El modelo exende varos resulados dsponbles en la leraura con un únco ben. Específcamene se generalzan los modelos de nercambo puro de Rubnsen (976), Lucas (978), Johnsen (978), Brock (982), Presco y Mehra (980) y Cox, Ingersoll y Ross (985). Es mporane desacar que en el modelo propueso, un consumdornversonsa que pensa que el preco del ben subyacene aumenará, con la nencón de obener una gananca especulava, oma una poscón larga en producos dervados para comprar una undad del ben subyacene a un preco preesablecdo en una fecha fuura predeermnada (el vencmeno del conrao). Una propuesa dferene a la de esa nvesgacón para deermnar precos consse en buscar el preco relavo enre dos benes. Eso es llamado un equlbro parcal, un modelo ben conocdo de ese po es el modelo de valuacón de opcones europeas de Black y Scholes (973). Menras que esa propuesa no puede relaconar los precos con las preferencas y con la produccón esocásca en una economía, sí perme deermnar mporanes relacones sobre los precos relavos o los rendmenos de acvos. Al respeco, Breeden
30 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 (979), (980) y Grauer y Lzenberger (979) examnaron la esrucura relava de los rendmenos de las accones con procesos esocáscos. Ora aproxmacón que explora la relacón exsene enre dervados y eoría de juegos se puede enconrar, por ejemplo, en Monruccho y Semeraro (2006) y Grenader (2000). Aunque esa novedosa relacón ha desperado recenemene mucho nerés, el objevo del presene rabajo esá más ben alneado con los modelos de equlbro general que ulzan procesos esocáscos, parcularmene el movmeno Brownano (o proceso de Wener) para examnar el comporameno de varables fnanceras y económcas relevanes, en ese conexo se señalan, por ejemplo, las nvesgacones de: Meron (97) y (973), Cox, Ingersoll y Ross (985) y Venegas-Marínez (200), (2006a), (2006b), (2008b), (2009) y (200). La presene nvesgacón esá organzada como sgue. En la sguene seccón se lleva a cabo una breve descrpcón de producos dervados sobre benes. En la seccón ercera se descrben las preferencas de los consumdores, su nformacón y sus doacones, asmsmo se especfcan las posbldades de produccón y de nversón. En la cuara seccón se esablece la resrccón presupuesal del consumdor represenavo y se planea el problema de decsón de un consumdor raconal, adverso al resgo, sobre consumo y porafolo a lo largo de su vda. En la quna seccón se caracerza el equlbro general, en el cual se deermnan los precos que connuamene ponen en equlbro a los mercados. La úlma seccón conene los prncpales resulados del presene rabajo de nvesgacón. En esa seccón se esablecen las prncpales relacones funconales de los precos de equlbro, los dealles écncos se rasladan a un apéndce. 2 Asmsmo, se deermnan los precos de bonos cupón cero y de opcones europeas sobre una undad del ben de consumo. Las esraegas para especular con un porafolo de nversón generalzan la propuesa por Cox, Ingersoll y Ross (98). Se muesra cómo se pueden ulzar conraos fuuros para replcar los pagos a parr de un conrao forward sobre un número aleaoro de undades de un ben. Un apéndce conene los dealles analícos sobre las condcones necesaras y sufcenes del problema de opmzacón que resuelven los agenes. n Descrpcón de producos dervados sobre benes Anes de enrar de lleno en la descrpcón del modelo para la deermnacón endógena de los precos de esos conraos a ravés de un modelo de 2 Esán dsponbles preva solcud a los auores o, ben, pueden ser consulados en el so de nerne de EconoQuanum, hp://econoquanum.cucea.udg.mx/?page_d=3.
Producos dervados sobre benes de consumo n 3 equlbro general, es ndspensable defnr con precsón los conraos forward, fuuros, bonos y opcones sobre benes, desacando las smludes y dferencas. Conraos forward sobre benes Un conrao forward es un acuerdo enre dos pares (reforzado legalmene con la enrega de garanías por ambas pares) que oblga a una de las pares a comprar y a la ora a vender una undad de un ben a un preco predeermnado en una fecha fuura preesablecda. El preco al cual se llevará a cabo la operacón de compra-vena de dcha undad es llamado preco de enrega y ése se esablece (en los érmnos del conrao) cuando el acuerdo se frma y no se puede cambar a lo largo de la vda del conrao. Esos conraos son exclusvos de los mercados sobre mosrador, ambén llamados mercados OC (por las ncales en nglés de Over-he-Couner markes ). Los conraos forward son acuerdos hechos a la medda en cuano a necesdades específcas de las pares: po de ben, amaño del conrao, fecha de vencmeno y lugar y condcones de enrega. Un conrao forward se frma en dos anos, uno para cada una las pares. S, anes del vencmeno, el preco del ben esá por arrba del preco pacado, enonces la poscón larga puede vender su conrao (su ano); en caso conraro, la poscón cora podrá hacerlo. Para ambas pares, la posbldad de enconrar compradores dependerá de la demanda por ese po de conraos. Es mporane aclarar que s una poscón cora vende su conrao, el conrao no ncluye al ben; en consecuenca, s un ndvduo compra el conrao de una poscón cora y dcho ndvduo llega a la fecha de vencmeno, ése endrá que comprar el ben para enregarlo a la poscón larga; a menos que se especfque en el conrao sólo el pago de dferencas. Como puede observarse, el valor de un conrao forward camba enre el empo en que se paca y la fecha de vencmeno. En el momeno en que el conrao se frma, ése carece de valor, pero nmedaamene después, en cuano el preco del subyacene se mueve, el conrao adquere un valor dferene de cero que se puede negocar en el mercado. Los conraos forward pueden ser ulzados ano para especulacón como para coberura. En el prmer caso, un agene que cree que el preco del ben subyacene aumenará puede especular omando una poscón larga en un conrao forward sobre dcho ben. Smlarmene, un agene que pensa que el preco del ben dsmnurá puede especular omando una poscón cora en un conrao forward sobre dcho ben. Exse una dferenca mporane enre especular comprando o vendendo conraos
32 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 forward sobre el ben y especular comprando o vendendo el ben. Cuando se compran benes en el mercado de conado, se requere de un pago ncal en efecvo gual al valor del ben. Sn embargo, s se ulza un conrao forward sobre el msmo ben, no se requere de algún pago ncal. Por lo ano, especular ulzando conraos forward proporcona al agene ceras venajas. Obvamene, el uso de conraos forward para coberura se puede planear de manera smlar, sendo las nencones del agene lo que hace la dferenca. Por ejemplo, s un producor requere comprar, en una fecha fuura, un nsumo en moneda exranjera y eme que el po de cambo se ncremene, puede buscar, en el presene, una conrapare que volunaramene acuerde un po de cambo (que cubra al producor sobre fuuros ncremenos en la dvsa) para llevar a cabo la operacón de compra de la dvsa en la fecha de nerés. Conraos fuuros sobre benes Los conraos a fuuro, conraos fuuros o, smplemene, fuuros, al gual que los conraos forward, son acuerdos que oblgan a una de las pares a comprar y a la conrapare a vender un acvo (fnancero) a un preco preesablecdo en una fecha fuura. Sn embargo, a dferenca de los conraos forward que se negocan sobre mosrador, los conraos fuuros se cozan y operan en una bolsa de fuuros. 3 Ese po de conraos ene caraceríscas esandarzadas, prncpalmene, en lo que se refere al amaño 4 y a la fecha de vencmeno. Para reforzar el cumplmeno de los conraos, cada una de las pares enrega una candad (margen) a un ercero, la cámara de compensacón y lqudacón, para asegurar el cumplmeno de las oblgacones adqurdas. Los conraos fuuros son mpersonalzados, es decr, las dos pares que nervenen en el conrao no se conocen enre sí, ya que la cámara de compensacón acúa como conrapare de odas las pares. La cámara de compensacón ambén lquda daramene los conraos, maneja los márgenes y admnsra el resgo de ncumplmeno, a cambo de una comsón. Es mporane desacar que la candad que cada una de las pares enrega a la cámara recbe el nombre de margen o aporacón ncal para dsngurlo del concepo de garanía, ya que ese úlmo se refere a la enrega de un colaeral de por lo menos el valor del acvo objeo del conrao. Por lo aneror, la dferenca de forma enre los conraos forward y los conraos fuuros es la esandarzacón de los úlmos. La dferenca 3 Un mercado reconocdo por las auordades fnanceras y organzado y especalzado para ese po de ransaccones. 4 El amaño de los conraos ya ha sdo esandarzado a una undad de un ben.
Producos dervados sobre benes de consumo n 33 de fondo es que los conraos fuuros se lqudan daro (por una cámara de compensacón), menras que los conraos forward se lqudan hasa el vencmeno. El proceso de lqudacón dara es equvalene a pacar odos los días un conrao forward, de al manera que un conrao fuuro es la suma de conraos forward daros. La dsncón enre los pagos de los conraos forward y conraos de fuuros fue esudada por Black (976). Al respeco, Jarrow y Oldfeld (98) explcaron aún más esa dsncón y mosraron que cuando la asa de nerés es consane a odos los plazos, los precos de los conraos forward y los conraos fuuros concden. Por úlmo observe que, a dferenca de los conraos forward, en donde sólo se nercamba el ben por efecvo en la fecha de vencmeno, en los conraos fuuros cada día (hábl) se revsa s preco del ben esá por arrba (debajo) del preco pacado, en cuyo caso la poscón larga (cora) recbe la dferenca. Ese procedmeno de lqudacón dara se conoce como mark-o-marke. En conclusón, los precos de los conraos forward y fuuros dferen enre sí porque promeen dferenes pagos, ya que los úlmos conllevan un proceso de lqudacón dara. Bonos cupón cero sobre benes Un bono cupón cero sobre un ben es una promesa de pago (mpersonalzada) en la que el emsor se compromee a enregar ncondconalmene una undad de un ben en una fecha fuura, la cual será referda como vencmeno del íulo. El neresado en adqurr ese pagaré enrega una candad ncal (en érmnos de benes) en una fecha preva al vencmeno. Cabe desacar que el propearo de ese po de nsrumenos se encuenra expueso al resgo de ncumplmeno por pare del emsor. Sn embargo, en odo lo que sgue de la presene nvesgacón se supondrá que odos los bonos sobre benes son lbres de resgo crédo. Asmsmo, s el enedor de un bono cupón cero requere lqudez anes del vencmeno y desea vender ese cerfcado, enonces esará sujeo al resgo de mercado. Por supueso, s se espera a la fecha de vencmeno para recbr el ben en cuesón, el resgo de mercado será nexsene. Conraos de opcón sobre benes Un conrao de opcón de compra es un acuerdo enre dos pares (reforzado legalmene), una de las cuales adquere el derecho (a cambo de una prma), mas no la oblgacón, de comprar una undad de un ben a un preco predeermnado en una fecha fuura preesablecda. El vendedor manene sempre la oblgacón de vender s el comprador desea ejercer su derecho (opcón) de comprar.
34 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 Smlarmene, en conrao de opcón de vena es un acuerdo enre dos pares, una de las cuales adquere el derecho, mas no la oblgacón, de vender un acvo, ben o servco a un preco predeermnado en una fecha fuura preesablecda. El comprador manene la oblgacón de comprar s el vendedor desea ejercer su derecho (opcón) de vender. Esos conraos se pueden negocar en los mercados sobre mosrador (mercados OC) o en bolsas de opcones; en esos úlmos, sólo las poscones coras (vendedores de derechos de compra y vena) enregan márgenes a la cámara de compensacón. Asmsmo, la cámara de compensacón lleva a cabo el proceso de lqudacón dara. Como en el caso de los conraos forward o fuuros, los conraos de opcón (de compra o vena) ambén pueden ser ulzados ano para especulacón como para coberura. Observe que, en un conrao de opcón, sólo la poscón larga (comprador del derecho de comprar o vender) puede vender su conrao s el preco del ben esá por arrba del preco de ejercco (para una opcón de compra) o s el preco del ben esá por debajo del preco de ejercco (para una opcón de vena). No exse ncenvo (raconal) alguno para que un ndvduo compre el conrao de opcón de una poscón cora. Por ejemplo, en el caso de un vendedor de una opcón de compra, s el preco del ben se fuera por debajo del preco de ejercco, la poscón cora no podría vender el ben subyacene al preco de ejercco, ya que la poscón larga no ejercería su derecho de comprar. Por úlmo, s el enedor del derecho sólo puede ejercerlo en la fecha de vencmeno se dce que la opcón es europea; s el enedor del derecho lo puede ejercer en cualquer momeno enre las fechas de nco y vencmeno se dce que la opcón es amercana. La presene nvesgacón se concenrará en opcones del po europeo. n Descrpcón de la Economía Consdere una economía que produce dos benes y que esá poblada por dos consumdores con preferencas y doacones déncas. El supueso de que los consumdores sean déncos es mucho menos resrcvo de lo que parece ser, desde el puno de vsa de un planeador cenral (un presdene o un prmer mnsro) no exse dsncón enre sus gobernados cuando se raa de maxmzar la sasfaccón de la poblacón. El agene represenavo desea maxmzar su uldad oal esperada a lo largo del empo: ρ( s ) () E u c s e ds F [ ] 0
Producos dervados sobre benes de consumo n 35 donde c = ( c, c 2 ) represena el consumo en el empo de los dos benes exsenes en la economía, ρ es la asa subjeva de descueno y E es el operador esperanza condconal en oda la nformacón dsponble, expresada en F 0. Con el fn de obener solucones analícamene raables se supondrá que la funcón de uldad sasface u[ c] = ln( c ) + ln( c ). De esa manera, el agene represenavo 2 es adverso al resgo. Asmsmo, observe que, bajo esa forma funconal, los agenes son adversos al resgo. Ambos consumdores enen doacones guales de los benes. Supongamos que Y = ( Y, Y2 )' es el vecor de agregados de cada ben en el empo ; enonces Y = ( y j, y j)' donde y j ( ) represena la doacón del ben que ene el consumdor j, donde =, 2 y j =, 2. En vrud de que la ecnología de produccón presena rendmenos consanes a escala, cada consumdor endrá, respecvamene, θy ( ) y ( θ ) Y 2, 0 < θ <, y dado que los agenes son déncos se debe omar θ = / 2. Por úlmo, el consumdor raconal ene que decdr qué candad de su doacón consumr y qué candad nverr; por lo que es posble defnr a y = K + c, donde K represena la candad oal de la doacón nverda por cada consumdor, nuevos benes desnados a la produccón, en el proceso de produccón del ben. Por ora pare, cada ben es producdo por uno y sólo un proceso producvo donde el nsumo necesaro para la produccón del ben es el msmo ben. Los procesos de produccón esán dados por una versón esocásca de la ecnología y = AK, donde A represena el produco margnal (esocásco) del capal. En vrud de que la ecnología es homogénea de grado uno en K(), se manene el supueso de rendmenos consanes a escala. El proceso producvo de los benes de consumo esá dado por la sguene ecuacón dferencal esocásca = +, (2) d y AK d AK dz y donde y () represena el nvel de produccón de cada ben A=A() es el coefcene esocásco del progreso ecnológco que deermna el rendmeno margnal del produco; K es el capal nverdo en el proceso de produccón del ben, es decr, la produccón oal desnada a la nversón por pare del consumdor ípco; y dz y es un proceso de Wener o movmeno Brownano, el cual se dsrbuye como una varable aleaora normal con E[dz y ] = 0 y Var[d z y ] = d. Por lo aneror, la ecnología es esocásca e ndependene de las decsones omadas por el consumdor. Asmsmo, se supone que
36 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 = + (3) d A µ d s dz, A donde el parámero de endenca (físca) µ represena el rendmeno margnal medo esperado del produco y s es la volaldad nsanánea del proceso producvo. La economía esá enonces caracerzada por el vecor de varables ecnológcas A() y el vecor de nveles de produccón y(). De hecho, es convenene reescrbr (2) y (3) en noacón vecoral, de al forma que: d y = AK d + AK d z, d A = µ d + sdz. Ese ssema de ecuacones dferencales esocáscas defne el proceso de produccón de la economía en cuesón. Se supone la exsenca de mercados compevos para cada uno de los benes o de los conraos para comprar (o vender) en el fuuro dchos benes con el fn de deermnar los precos en el equlbro. En vrud de que las varables de esado resumen el conocmeno del consumdor acerca de la economía, odos los precos de equlbro pueden ser expresados úncamene como funcones de esas varables de esado. Sea π = ( y, A, ) el preco en el empo de algún ben o conrao defndo anerormene. Por el lema de Iô (véanse, por ejemplo, Venegas-Marínez (2008a), Fredman (975) o Flemng y Rshel (975) sobre el lema de Iô), la dnámca de π sasface: ( y A ) d π = Lπ d + π AK + π s dz, donde L es el operador dferencal (de cambo margnal en el preco π = ( y, A, ) defndo por A y L + 2 2 AK + AK AK y + A ( ) 2 2 2 2 µ j = = = j= y y j 2 2 2 + S S j + 2 A A = j= j ( AK ) S, y A 2 2 2 j = j= j
Producos dervados sobre benes de consumo n 37 con π π π y = y, y, π π π A =, A A, AK = ( A K, A K )' 2 2 2 2 y s = ( s, s2 )'. Como una convencón en la noacón, se defnen para cualquer preco π los operadores b π y s π dados, respecvamene, por (4) β L π π y (5) σ π π + y AK π As enonces b p es la asa de cambo esperada nsanánea en π y σ π σ π ' es la varanza nsanánea del cambo en π. Debdo a que el modelo esá desnado a calcular el preco relavo spo de los benes y el preco de dos pos generales de conraos defndos anerormene, se supone que exsen mercados spo compevos en los que los benes dsponbles son comercalzados connuamene (los mercados nunca cerran). El ben uno es arbraramene escogdo como el ben numeraro, así que su preco en el empo, denoado por P, es dénco a para odo. El preco relavo spo en el empo del oro ben es denoado por P2. Por el Lema de Iô, la dnámca de P esá dada por = + = (6) dp β d σ d z para, 2, P P donde b P y s P se deermnan después de susur P = π en (4) y (5), respecvamene. S ahora se reescrbe (6) bajo noacón vecoral, se ene que (7) d P = β d + σ d z, donde P = P, P2 ', βp = βp, β P2 ' y σ σ, σ '. P P = P P P2 Los consumdores ambén pueden crear y comercalzar conraos en mercados compevos, los cuales enen un número de lqudacones especfcadas como funcón del esado de la economía ( y( s), A( s)) para s [, ], donde el perodo enre y es el empo de vda del conrao. Se consderan, prmero, dos pos de conraos, los cuales son connuamene comercalzados. Los conraos del prmer po enen un
38 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 valor de mercado dferene de cero y enen su lqudacón sólo en el empo de maduracón,. Se drá, en lo que sgue, que esos conraos sólo realzan pagos en la fecha de vencmeno. Ejemplos de ese po de conraos son los bonos cupón cero sobre benes (promesas fuuras para enregar un ben) y los conraos forward que pagan una undad de un ben al vencmeno. Los conraos del segundo po enen un valor de mercado cero en odos los perodos del empo, pero esos conraos enen lqudacones connuas. Se drá que ese po de conraos realzan pagos connuos. Un ejemplo es el conrao de fuuros, el cual ene un valor cero al nco, pero sus propearos obenen (o pagan) la dferenca enre los precos fuuros y pacados a cada nsane del empo. El preco del bono de descueno unaro, B (, ), es el preco que deberá ser pagado en el empo, en érmnos del ben numeraro, por la enrega de una undad del ben numeraro en un empo fuuro. El bono de descueno unaro ene asocada una asa de nerés lbre de resgo de ncumplmeno e nsanánea, r, de al forma que r = B (, ) /. Se supone que los consumdores pueden presar y pedr presado el ben numeraro a una asa de nerés lbre de resgo (de ncumplmeno) r. Los conraos forward ya fueron anerormene defndos. Denoe por el empo de vencmeno, el empo acual y F (, ) el preco forward (preco juso de enrega) por una undad del ben. Asmsmo, se denoa por V( s,, F (, )) el valor de mercado en el empo s de un conrao forward pacado al preco forward F (, ). Dado que el conrao forward ene un valor de mercado cero cuando es frmado, se ene que V(,, F (, )) = 0. Observe que en la fecha de vencmeno se cumple que V(,, F (, )) = P ( ) F (, ), lo cual deermna las ganancas (o pérddas) a parr de la compra de una undad del ben al preco F (, ) cuando el preco spo es gual a P ( ). Un úlmo po de conraos con pago en el vencmeno es una opcón europea sobre un ben, es decr, la opcón sólo puede ser ejercda en el vencmeno. El enedor de ese conrao sobre el ben ene la opcón de comprar, es decr, ene el derecho, mas no la oblgacón, de comprar una undad del ben en un empo fuuro predeermnado,, a un preco de ejercco especfcado, D, en el empo, que será pagado hasa sempre y cuando se ejerza la opcón. Se denoará por G(,, D ) el preco (o prma) de una opcón sobre un ben, cozada en el empo, la cual expra en el empo >. El únco po de conraos de pagos connuo que se consdera, en esa nvesgacón, es un conrao fuuro. En ese caso, denoará el empo presene, la fecha de vencmeno, y f (, ) el preco fuuro del
Producos dervados sobre benes de consumo n 39 ben. En empo connuo, el conrao fuuro es frmado a cada nsane en el empo,, al nuevo preco fuuro f (, ) y, por lo ano, sempre ene un valor de mercado gual a cero. Las lqudacones connuas se deermnan por los cambos nsanáneos en el preco del fuuro. Sn pérdda de generaldad, se supone que sólo hay un conrao con pago al vencmeno con un valor de mercado denoado por v y un conrao con pago connuo, el cual ene un valor de mercado cero pero presena una lqudacón esocásca df sobre cada nervalo de empo d. Por el lema de Iô, la dnámca de v sasface (8) dv = β d + σ dz, ν v donde b v y s v se encuenran susuyendo v = π en (4) y (5), respecvamene. Smlarmene, las lqudacones esocáscas se deermnan medane (9) d f = β d + σ dz, v f f f donde b f y s f se obenen una vez más usando (4) y (5). La prncpal dferenca enre esos dos pos de conraos es que un conrao de pagos connuos no requere de una nversón ncal, sn embargo, presena lqudacones connuas de carácer esocásco, menras un conrao de pago al vencmeno ene, en general, un valor de mercado dferene de cero, pero provee una únca lqudacón en la fecha de vencmeno. n El problema de opmzacón del consumo Frene al conjuno de oporundades de produccón e nversón descro en la seccón aneror, el consumdor debe asgnar, en cada momeno, proporcones de su rqueza enre nverr en las ecnologías de produccón y los dos conraos anerormene defndos, enendo ambén que escoger un vecor de consumo, c(). Sea w() la rqueza del consumdor en el empo, es decr, el valor de mercado de odos los benes y conraos manendos por el consumdor. Sea m() el número de conraos con pago al vencmeno y n() el número de conraos con pagos connuos manendos por el consumdor (con valor de mercado cero). Por lo ano, la rqueza nverda por pedr presado o presar a una asa lbre de resgo esá dada por (0) w P' y mv.
40 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 El cambo en la rqueza del consumdor en el empo es la suma de sus ganancas (o pérddas) debdo a la nversón en la produccón, conraos con pago en el vencmeno, conraos con pagos connuos o pedr presado (o presar) a una asa de nerés consane a odos los plazos y lbre de resgo de ncumplmeno. De esa manera, el cambo margnal en la rqueza sasface, por el lema de Iô: () dw = d ( P' q) + mdv + ndf + w P' q mv r d = P' dq + q ' dp + dp dq + mdv + nd f + w P' q mv rd. El produco neror en la expresón aneror es al que dp dq r σ G ' d P dp dq = r ( σ G ' d P ) (esa noacón se refere al produco puno o neror). Por lo ano, (2) dw = β d + σ dz, donde (3) β = P' g c q ' β r σ G ' m β rv nβ y w + + + ( ) + + r ( w P' q), W P P V f (4) σ = P' G + q ' σ + mσ + nσ f. W P V En la ecuacón (2), b W es la asa de cambo esperado nsanánea en la rqueza y s W s W ' es la varanza (marz de varanzas-covaranzas) de ese cambo. El consumdor (raconal) desea maxmzar su uldad esperada, en (), a lo largo del empo sujeo a su resrccón presupuesal, dada en (2). De hecho, ya que él oma las funcones de los precos P, v, f y r como dadas, así como las dnámcas del esado de la economía, represenadas por las ecuacones (4) y (5). La eoría esándar de conrol ópmo (véase, por ejemplo, Venegas-Marínez (2008a)) esablece que s las funcones { K }, m( w, y, A), n( w, y, A), c( w, y, A) y J( w, y, A) sasfacen la ecuacón de Hamlon-Jacob-Bellman para ese problema, enonces m, n y c son decsones ópmas y J es la funcón ópma de uldad (uldad ndreca, benesar económco o funcón de valor). Eso es, J( w, y, A) es la uldad oal esperada por el consumdor a lo largo w =
Producos dervados sobre benes de consumo n 4 de su vda generada a parr de su rqueza cuando el esado es gual a (y, A) y sgue ese msmo curso en el fuuro. La ecuacón de Hamlon- Jacob-Bellman para el problema de un consumdor raconal es: (5) 0 u c ρj LJ β J J σ σ ' 2 = max { } + + + k, m, n, c + σ s' J + σ H ' J }. w wa w wy w w ww w w En ese caso, s = ( s, s2 )', H = ( A K, A K ) 2 2, J = ( 2 J / w A, 2 J / w A )' wa y J = ( 2 J / wy w y, 2 J / w y )'. En el apéndce se proporconan 2 las condcones necesaras y sufcenes (de prmer y segundo orden) del problema de opmzacón del consumdor raconal. Las condcones de prmer orden enen algunas mplcacones para las demandas por acvos de los consumdores en un equlbro. Su demanda por un acvo reflejará no sólo su rade-off nsanáneo enre resgo y rendmeno, sno ambén el uso de los acvos como esraega de especulacón aprovechando los cambos en el conjuno de oporundades de nversón. Por lo ano, es posble obener un modelo de deermnacón de precos de acvos de capal con una Bea de acuerdo con Breeden (979) o un modelo de deermnacón de acvos de capal mulfacor como los de Meron (973) o Rchard (978) y (979). 2 n Equlbro de mercado En la seccón aneror se vo que, dadas las funcones de precos y las dnámcas del esado de la economía, cada consumdor deermna su consumo ópmo y decde cuáno nverr (decsones de porafolo) al resolver la ecuacón (5). En esa seccón se especfcan las condcones para el equlbro de mercado, las cuales permrán deermnar las funcones de precos con las dnámcas del esado de la economía omadas como dadas por los consumdores. Hay dos pos de condcones que defnen el equlbro de mercado, que se descrben a connuacón. El prmer conjuno de condcones para el equlbro de mercado es que los mercados connuamene se vacían en el sendo ordnaro de que la ofera se guala con la demanda. Esas condcones de equlbro se cumplen auomácamene en esa economía porque odos los consu-
42 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 mdores son déncos. Por lo ano, cada consumdor debería nverr la msma proporcón q gual del sock agregado de los benes en odo empo, es decr, (6) q = η y, donde η es la consane de proporconaldad. En vrud de que los consumdores son déncos, la demanda de equlbro por conraos con pago al vencmeno y el mercado de bonos para presar o pedr presado a la asa lbre de resgo sasfacen: (7) m = 0, (8) n = 0, y (9) w = P' q. Las ecuacones (6)-(9) mplcan que, en equlbro, oda la rqueza se manene en los socks (acervos) de benes, es decr, (20) η w = P' y. Ora condcón para el equlbro de mercado es que los consumdores enen expecavas raconales. Por eso se enende que las funcones de precos y las dnámcas del esado de la economía obendas por los consumdores al resolver (5), juno con la resrccón presupuesal, son las funcones observadas de precos, las cuales esán consderadas en la agregacón de las decsones ópmas de los consumdores. Se ha supueso de anemano que los consumdores conocen las dnámcas de las varables de esado de la ecnología, ( y, A( )), dadas la ecuacón (4). La agregacón de la dnámca del sock de rqueza de los consumdores, dada en la ecuacón (3), debe ser gual a la dnámca del sock agregado. Un equlbro con expecavas raconales facla la búsqueda de las funcones de precos P, v, f y r, así como un valor de la funcón J y los conroles ópmos { K }, m, n y c, los cuales sasfacen smuláneamene las ecuacones (5)-(9). En el apéndce se proporconan las fórmulas para las funcones de precos de equlbro. En la sguene seccón se aplcan dchas fórmulas para enconrar los precos de los bonos a descueno sobre benes (una-
Producos dervados sobre benes de consumo n 43 ro), conraos forward y opcones sobre benes. ambén se caracerza el preco de equlbro de los conraos fuuros. n Precos de equlbro de los dervados En esa seccón se presenan las fórmulas generales para deermnar los precos de equlbro de benes y de conraos sobre benes. En el apéndce, en las Proposcones y 2, respecvamene, se obenen las fórmulas para los conraos con pago al vencmeno y los conraos con pagos connuos. Esos resulados se aplcan a connuacón para obener los precos de los conraos en cuesón. Los precos de odos los conraos sobre benes que se deermnarán en esa seccón, excepo por los precos de los fuuros, son aplcacones de una fórmula general para enconrar el valor presene de un flujo resgoso de benes. La fórmula general para los conraos es obenda en la Proposcón del Apéndce. A connuacón se esablece una versón resumda de ese resulado: eorema. S α ( ) = α ( y( ), A( )) denoa una candad (posblemene aleaora) del ben para ser recbdo en el empo al preco P (), el valor de mercado en el empo de a esá dado por: e c v c P = ρ E α ρ e F. Observe que v () es mplícamene una funcón del esado acual (y(), A(), ) pero esa dependenca ha sdo suprmda por convenenca de noacón. La proposcón en el apéndce esablece que el valor presene del flujo aleaoro de un ben en el empo se encuenra a parr de los sguenes pasos. Prmero se convere la candad aleaora, α (), al empo, del ben en una amorzacón aleaora del ben al mulplcarlo por P (). Después se ransforma la amorzacón aleaora del ben numeraro en el empo al mulplcarlo por la asa margnal de sus- ucón del ben uno enre los empos y, u [ c( )] e ρ ( ) / u [ c]. Por úlmo, se ransforma la amorzacón del ben numeraro en el empo aleaoro a una candad deermnsa al omar la esperanza condconal en nformacón relevane en. La proposcón exende los modelos de: Nelsen (974), Rubnsen (976), Johnsen (978), Rchard (978) y (979), y Cox, Ingersoll y Ross (985).
44 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 El preco de equlbro en el empo de un bono a descueno, que paga una asa lbre de resgo (de ncumplmeno) sobre una undad del ben con vencmeno en el empo, con preferencas logarímcas, esá dado por: e c (22) B c P (, ) = ρ F. e E ρ Eso se sgue de la Proposcón con α. En el apéndce ambén se muesra que (23) P c c 2 Así, el preco spo en el empo del ben es, por supueso, la asa margnal de susucón enre el ben y el ben uno, el ben numeraro. S se hace uso de (23), se puede reescrbr (22) como: e c (24) B (, ) = ρ F. e E ρ c La expresón aneror proporcona la asa margnal de susucón esperada enre el ben al empo y el ben al empo. En el caso especal del ben numeraro se ene que P ( ), así que la ecuacón (22) se ransforma en ρ e c (25) B F (, ) =. e E ρ c ( ) Esa fórmula descrbe el preco del bono real de descueno en el ben numeraro y, por lo ano, puede ser usado para deermnar la esrucura de plazos de las asas de nerés. De hecho, esa solucón generalza lo enconrado por Cox, Ingersoll y Ross (985) en una economía de un solo ben. Observe que s la funcón de uldad es lneal, se ene que = B, e ρ. Es decr, el preco del bono sobre el ben numeraro se descuena con la asa subjeva de descueno del consumdor represenavo. En lo que sgue, la aencón se concenrará en los conraos forward. El valor de equlbro de un conrao forward sobre el ben pacado en
Producos dervados sobre benes de consumo n 45 el empo cuando el preco forward es F (, ), con empo de madurez y cozado al empo s, donde s, esá dado por { )} ρ e c (26) V ( s,, F (, )) = E P F, ρs ( e c ( ) = B s, F, B s,. F s Lo aneror se sgue a parr de la Proposcón con α ( ) P( ) = P ( ) F (, ), la dferenca enre el preco spo y el preco fuuro del ben. El valor del conrao en el empo puede ser posvo, cero o negavo según P () sea mayor, menor o gual que F (,). En equlbro, el valor de un nuevo conrao forward debería ser cero, es decr, V (,, F (, )) = 0. Eso mplca que (27) F, B, / B,. = Una vez más, la fórmula para el preco forward, en equlbro, ene una nerpreacón nuva: el valor es gual al coso en el empo de una undad del ben para ser enregada en el empo, pero con pagos dferdos hasa el empo. Por úlmo, observe que s se susuye (27) en (26), se ene que V ( s,, F (, )) = B ( s, )[ F ( s, ) F (, )], lo cual proporcona el valor de un conrao forward obendo en Jarrow y Oldfeld (98) ulzando un argumeno de arbraje. Es posble ambén obener una expresón alernava para los precos forward ulzando la asa de nerés forward observada en el empo, R f (, s), en érmnos del ben numeraro. En ese caso, B, puede ser expresado en érmnos de la asa de nerés forward como: f (28) B, exp R, s s. d Lo aneror se puede precsar de la sguene manera. S se consdera un movmeno Brownano W 0, defndo sobre un espaco fjo de [ ]
46 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 W ( ) probabldad con su flracón aumenada, Ω, F, F, P 0, donde la flracón F represena la nformacón dsponble en cada ns- 0, ane, y se supone que la dnámca de la asa forward, R f (, s), se especfca exógenamene por una ecuacón dferencal esocásca con un solo facor de ncerdumbre: f d R (, ) α, d β, dw, = + en donde las funcones α y β enen que sasfacer, cas seguramene con respeco de P w, las sguenes propedades: 0 k k α s, ds < y 0 k k ( s ) β, 2 ds <, /, y, /,, enonces se puede escrbr (28) con la garanía de que la negral allí defnda permanezca fna. En ese caso, se deermna endógenamene el proceso B(, ) que haga conssenes los supuesos enre la ecuacón dferencal esocásca que goberna la dnámca de R f (, s) y la ecuacón de valor del bono (28). Ahora ben, s se susuyen (22) y (28) en (27), se encuenra que los precos forward sasfacen: 0 0 para k = 0,, en cuyo caso α ( s ) α ( s ) 0 0 β ( s ) β ( s ) e c (29) F c P R f s s (, ) = ρ E s exp (, ρ ) e d F. Por lo ano, los precos forward dependen de las asas forward de nerés. La expresón dada por la ecuacón (29) es parcularmene úl para comparar los precos fuuros y los precos forward. El preco fuuro de equlbro cozado en un conrao de fuuros en el empo para el ben y con un empo de enrega, esá dado por 5 5 Cox, Ingersoll y Ross (985) ambén presenan una fórmula para el preco fuuro sobre un bono a descueno.
Producos dervados sobre benes de consumo n 47 c (30) f c P f r s (, ) = R (, s) E exp s d. Esa fórmula ambén se obene en el apéndce. En la expresón (30), r s es la asa nsanánea de nerés lbre de resgo (de ncumplmeno) del ben numeraro. 6 Esa asa y su uncdad se defnen más precsamene como sgue. Sea { W } 0 un movmeno Brownano (proceso de Wener) defndo sobre un espaco fjo de probabldad ( Ω, F, P ) W y sea F = { F } 0 su flracón aumenada, la cual represena la nformacón del mercado dsponble hasa el empo. Se supone que la dnámca esocásca de la asa cora, r, es conducda por una ecuacón dferencal esocásca de la forma: dr = µ ( r, ) d + σ( r, ) dw, donde µ( r, ) y s( r, ) son procesos adapados a la flracón F. Como puede observarse, el proceso { W } 0 modela el resgo de mercado. Con el propóso de asegurar que la ecuacón dferencal esocásca que conduce la dnámca de la asa nsanánea de nerés enga una solucón únca, se requere que µ( r, ) y s( r, ) sasfagan la condcón global de Lpschz, a saber, µ ( x, ) µ ( y, ) K x y para oda [ 0, ) y x, y, donde K es una consane ndependene de x y y, además de la condcón de crecmeno 2 2 2 µ ( x, ) + σ ( x, ) K( + x ) para oda [ 0, ) y x. Asmsmo, para que la meda y la varanza del proceso del proceso de r esén ben defndas, se requere que se sasfagan las sguenes condcones de negrabldad, cas dondequera con respeco de P W dadas por: 0 2 µ ( r, ) d < y σ ( r, ) d <. 6 Sundaresan (980) escoge una clase parcular de funcones de uldad y funcones de produccón y dervados acercándose a las solucones de la forma de (29) y (30). French (98) compara precos forward y precos fuuros observados bajo el supueso de que la uldad margnal de la rqueza es consane. 0
48 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 Bajo las condcones anerores, exse un únco proceso r con meda y varanza fnas, condconales en la nformacón en F. Las ecuacones (29) y (30) proveen el conrase en cuano a por qué los precos forward y los precos fuuros, en general, dferen. Al empo, el preco forward es el valor presene de un número conocdo, f exp{ R, s ds} = / B,, de undades del ben para ser enregadas en el empo. El preco del fuuro es el valor presene de un s número aleaoro, exp{ r ds}, de undades del ben para ser enregadas en el empo. Por lo ano, el preco del conrao fuuro represena una especulacón smulánea ano en el preco spo del fuuro como del número de undades para ser enregadas, lo cual a su vez es deermnado por la asa de fuuros nsanánea de nerés. En conrase, los precos de los conraos forward represenan una especulacón sobre el preco del fuuro spo. De hecho, el preco fuuro, f (, ), es gual al preco forward, φ (, ), para la enrega de una candad aleaora, exp{ r ds}, del ben. Para ver eso, consdere un conrao forward s frmado en el empo <, y que en el empo enrega exp{ r ds} undades del ben. Observe que la candad exp{ r ds} es ndependene del ben sobre el cual el conrao se frmó y se conoce en el empo. Ese conrao forward no requere de pagos en el empo, pero especfca el preco por undad del ben, φ (, ), para ser pagado en el empo. Para mosrar que φ (, ) = f (, ), prmero observe que los benefcos, Π (, ), realzada en el empo de una poscón larga en un conrao forward frmado en el empo son (3) Π (, ) = exp r s ds P,. φ Dado que, en ese caso, no se requere una nversón ncal, se debería ener un equlbro cuando el valor presene de los benefcos en el empo sea cero. S se usa α ( ) P = Π (, ) en la Proposcón y se mulplca por u [ c]exp{ ρ ( )}, la uldad margnal del ben numeraro desconada subjevamene, se obene s s
Producos dervados sobre benes de consumo n 49 (32) 0 = E Π, c F. La ecuacón aneror dce que el preco forward, φ (, ), se deermna de al manera que la uldad margnal esperada de recbr un bene- fco, Π (, ), sea gual a P φ (, ) sobre exp{ rs ds} undades del ben. Asmsmo, a parr de la ecuacón (32), se encuenra que (33) φ E P exp r s F s c ( ) d (, ) = E exp r ds F s c. De la msma forma, en el Apéndce, ecuacón (A.6), se muesra que ρ e (34) = E c r s F ρ s e c ( ) exp d. La ecuacón aneror dce que el valor presene de las ganancas en el empo de una nversón de una undad del ben numeraro en rollngover bonos de descueno nsanáneo, del empo al empo debe ser uno. S se susuye (34) en (33), se sgue que (35) φ ρ, e c ρ s e c P exp ( ) r s E d = Al comparar (30) con (35), se ene que φ F. (, ) f (, ) =. S se ulza una esraega de porafolo smlar a la que en un prncpo usaron Cox, Ingersoll y Ross (98), se muesra que sn nversón en el empo, se pueden usar conraos fuuros para replcar las amorzacones en el empo, Π (, ), de los conraos forward descros anerormene. S se consdera un plan, el cual será llamado plan forward,
50 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 de una poscón larga en una candad exp{ rs ds} de conraos de fufuros con vencmeno en el empo, para cada empo enre y. Ese plan genera en cada empo una amorzacón nsanánea τ s. La renversón connua de las amorzacones exp{ r ds} d f τ, pasadas y del nerés acumulado se lleva a cabo a una asa de nerés nsanánea lbre de resgo, r. En ese caso, Π (,τ ) denoa el valor de ese plan en el empo. Evdenemene, ya que no fue requerda la nversón, se ene que Π (, ) = 0. El cambo en el valor nsanáneo, d Π (,τ ), es la suma de las ganancas de los conraos de fuuros y del nerés sobre Π (,τ ), de al forma que τ (36) dπ (, τ ) = exp r ds d f τ, Π, τ r τ s + dτ. La solucón de la ecuacón (36), con Π τ (, ) = 0, esá dada por τ (37) Π (, τ ) = exp r s f τ, f, s d +. Por lo ano, en el empo =, las ecuacones (3) y (37) proporconan expresones déncas para Π (, ), ya que f P (, ) =. Noe que el plan forward para nverr en un conrao fuuro y un conrao τ s forward sobre exp{ r ds} undades de un ben cubre las amorzacones de manera dénca en el empo. Eso proporcona la clave para nerprear los precos fuuros. Cuando la asa nsanánea spo r es deermnsa, los precos forward y los precos de los fuuros concden, es decr, F f (, ) =,. Ese resulado exende el rabajo de Jarrow y Oldfeld (98), en donde se muesra que F f (, ) =, cuando r es consane. Por úlmo, se deermna la fórmula del preco (prma) de una opcón sobre un ben. El preco de equlbro, G D (,, ), de una opcón sobre un ben con preco de ejercco D esá dado por
Producos dervados sobre benes de consumo n 5 c ρ( ) (38) G (,, D ) = e E max P ( ) D, F c ( ) { 0}. { = Eso se sgue a parr el eorema con α P max P D,0}. Inuvamene, el preco de la opcón es el valor desconado de los pagos que serán recbdos en el empo. El facor de descueno es, una vez más, la asa margnal de susucón del consumo del ben numeraro en el empo y el ben numeraro en el empo (véase, al respeco, Venegas-Marínez, 2005). Por úlmo, observe que s la funcón de uldad es lneal y r es la asa de nerés lbre de rego de ncumplmeno y σ es la volaldad nsanánea de P, la cual se supone consane, enonces ρ (39) G PΦ d D e Φ d = 2 donde la funcón Φ(d) es la funcón de dsrbucón acumulada de una varable aleaora normal esándar, Z ~ N 0,, es decr, 2 d ε 2 (40) Φ( d) = Ρ Z d e Φ d Z = d ε =, 2π y (4) d d P, ;, D, r, σ = = P 2 D + + ln ρ σ 2 σ, P 2 D + ln ρ σ 2 ( ) (42) d = d P D r 2 2 (, ;,,, σ ) = =, d σ P σ 2 D 2 + ln ρ σ ( ), r, σ ) = = d σ σ la cual concde con la fórmula radconal obenda por Black-Scholes en (973), en donde la asa de descueno es la asa subjeva.
52 n EconoQuanum Vol. 6. Núm. 2 n Conclusones En vrud de que, en odo el mundo, los mercados de producos dervados sobre benes han mosrado ncremenos susancales en el mono de sus operacones y la operacón en esos mercados esá lgada a la generacón de ganancas, es ndspensable analzar, con más cauela, sus poencales efecos sobre la economía real. Un buen comenzo para ese análss es conar con una explcacón de la deermnacón de precos de producos dervados sobre benes, desacando cómo esos dervados se relaconan enre sí y cómo se relaconan con oros precos de la economía. Mucha nvesgacón se ha realzado sobre valuacón de producos dervados fnanceros y muy poco se ha esudado sobre dervados de benes. En ese rabajo se ha desarrollado un modelo de equlbro general con expecavas raconales en empo connuo que proporcona una fórmula general del valor presene de un flujo resgoso de benes. La aplcacón de dcha fórmula a varas suacones ha permdo la deermnacón de precos de conraos forward, conraos fuuros, bonos cupón cero y opcones europeas (de compra y vena) sobre benes de consumo. Las dnámcas esocáscas de las dferenes varables fnanceras y económcas (endógenas y exógenas) que se consderan en la economía bajo esudo han sdo modeladas a ravés del movmeno Brownano (o proceso de Wener). Es mporane desacar que el modelo propueso perme examnar esraegas de especulacón con dsnos producos dervados. Por úlmo se debe menconar que el modelo se puede generalzar en dferenes dreccones, por ejemplo, la nclusón de salos en los precos de los benes y la consderacón de valores exremos en dchos salos. n Bblografía Bank for Inernaonal Selemens (200). hp://www.bs.org/sascs/ derdealed.hm Black, F. (976). he Prcng of Commody Conracs. Journal of Fnancal Economcs, Vol. 3, No. -2, pp. 67-79. Black, F. y M. Scholes (973). he Prcng of Opons and Corporae Lables, Journal of Polcal Economy, Vol. 3, No. 8, pp.637-659. Breeden, D.. (979). An Ineremporal Asse Prcng Model wh Sochasc Consumpon and Invesmen Opporunes, Journal of Fnancal Economcs, Vol. 7, No. 3, pp. 265-296. Breeden, D.. (980). Consumpon Rsks n Fuures Markes, Journal of Fnance, Vol. 35. No. 2, pp. 503 520.