UNERSDAD DE ANTABRA DEARTAMENTO DE NGENERÍA EÉTRA Y ENERGÉTA OEÓN: EETROTENA ARA NGENEROS NO ESEASTAS ORRENTE ATERNA MONO Y TRFÁSA Miguel Angel Rodríguez ozueta Doctor ngeniero ndustrial
OBSERAONES SOBRE A NOMENATURA En este texto, siguiendo la nomenclatura habitual en Electrotecnia, se ha utilizado la letra j para designar a la unidad imaginaria, 1, en los números complejos. En muchos textos matemáticos el lector puede observar que se emplea la letra i para designar a 1. 010, Miguel Ángel Rodríguez ozueta Universidad de antabria (España) Departamento de ngeniería Eléctrica y Energética Está permitida la reproducción total o parcial de este documento con la condición inexcusable de citar su autor y su carácter gratuito. Este documento puede descargarse gratuitamente desde esta Web: http://personales.unican.es/rodrigma/primer/publicaciones.htm
ÍNDE ORRENTE ATERNA MONO Y TRFÁSA. ORRENTE ATERNA MONOFÁSA onceptos básicos........ 1 Magnitudes básicas....... Elementos pasivos........ Generadores o fuentes....... Topología de redes.... 7 Acoplamiento de resistencias....... 8 Magnitudes alternas...... 9 Representación fasorial..... 10 omportamiento de los elementos pasivos en c.a. Resistencia. nductancia. ondensador. ircuito serie R--. mpedancia..... 1 a potencia en corriente alterna.... 15 os tres significados del ángulo.... 16 Mejora del factor de potencia....... 17. ORRENTE ATERNA TRFÁSA EUBRADA ircuito trifásico independiente.... 18 Sistema trifásico equilibrado........ 18 onexión estrella equilibrada....... 0 onexión triángulo equilibrado........ 1 Expresión fasorial de las tensiones y corrientes de sistemas trifásicos equilibrados.... a potencia en sistemas trifásicos equilibrados.... 4 Mejora del factor de potencia en trifásica..... 5 Medida de la potencia en trifásica. Método de los dos vatímetros... 6 entajas de la c.a. trifásica frente a la monofásica... 6 ANEXO: RESUMEN DE OTENA EN.A. MONOFÁSA... 7 --
ONETOS BÁSOS onvenios de signos para tensiones y corrientes en generadores y receptores as leyes de los circuitos eléctricos se establecieron mucho antes que la teoría electrónica de la materia. Esto hizo que en estas leyes se partiera del supuesto de que la corriente eléctrica era debida al movimiento de cargas eléctricas 1 positivas. Hoy en día se sabe que, en realidad, las corrientes se deben al movimiento de electrones, es decir, de cargas negativas. No obstante se siguen empleando estas leyes tal como se establecieron en su momento, ya que se obtienen resultados correctos. Fig. 1: ircuito básico de corriente alterna or lo tanto, se parte de que la corriente eléctrica en un circuito circula tal como se indica en la Fig. 1. Esto es, se utilizan estos convenios de signos para tensiones y corrientes: En los receptores o cargas la corriente es debida a la acción del campo eléctrico y se dirige desde el lado de mayor potencial eléctrico al de menor. Es decir, del lado del signo + al lado del signo - de la tensión. En los generadores o fuentes la corriente debe ser impulsada contra el campo eléctrico para cerrar su recorrido a través del circuito. Esto se realiza a expensas de una energía de otro tipo -mecánica, química, etc.- que es absorbida por el generador para transformarla en energía eléctrica. Esto hace que en el interior de los generadores la corriente vaya desde del lado del signo - al lado del signo + de la tensión. 1 En este texto el término carga tiene dos significados completamente distintos y el lector deberá establecer cuál es el significado correcto según el contexto en el que se utilice: or un lado, las cargas eléctricas (positivas y negativas) son las creadoras de los campos eléctricos y también sobre las que estos campos ejercen fuerzas. or otro lado, en una instalación o en un circuito eléctrico se denominan cargas o receptores eléctricos a aquellos elementos que consumen potencia eléctrica. Fuerza electromotriz (f.e.m.) En la Fig. 1 se muestra un circuito eléctrico elemental. En él la diferencia de potencial v AB provoca que por fuera del generador se produzca un movimiento de cargas eléctricas positivas (en teoría de circuitos se supone que la corriente eléctrica es el movimiento de cargas positivas) desde el extremo A, de mayor tensión, al extremo B, de menor tensión. ero, para poder mantener una corriente i en el circuito es preciso que en el interior del generador las cargas positivas se muevan desde B hacia A. ara ello es necesario que en el generador se Fig. 1: ircuito básico de corriente alterna aporte una energía externa que se va a transformar en energía eléctrica; es decir, la energía que se introduce al generador se aporta a las cargas positivas que son empujadas de B a A. Esto hace que el extremo A se cargue positivamente y el B negativamente, lo que permite mantener la tensión v AB que empujará otra vez las cargas desde A a B por fuera del circuito. A la energía por unidad de carga suministrada por el generador se le denomina fuerza electromotriz (f.e.m.) y se mide en voltios. a f.e.m. de un generador tiene el mismo valor que la tensión entre sus bornes (v AB ) cuando no circula corriente (i 0); es decir, cuando el generador se encuentra en circuito abierto. Nótese que la f.e.m., a pesar de su nombre, no es una fuerza sino una energía (por unidad de carga). -1-
MAGNTUDES BÁSAS (1) onvenio de signos: - En el interior de una carga (o receptor) la corriente circula desde el punto de mayor tensión al de menor tensión eléctrica. - En el interior de un generador la corriente circula desde el punto de menor tensión al de mayor tensión eléctrica. ntensidad de corriente, i: - ariación de carga con el tiempo en la sección transversal del conductor: d q i d t Se mide en Amperios Tensión o diferencia de potencial entre A y B, v AB - Trabajo realizado por el campo eléctrico para mover la unidad de carga positiva desde A hasta B: d w v AB AB d q Se mide en oltios MAGNTUDES BÁSAS () otencia eléctrica, p: - Trabajo realizado por unidad de tiempo: p d w d t AB p d w d q v i AB d q d t En una carga o receptor: p > 0 : potencia consumida p < 0 : potencia generada ey de Ohm: En una resistencia la tensión y la corriente están relacionadas por esta ley: v R i En un generador: p > 0 : potencia generada p < 0 : potencia consumida --
EEMENTOS ASOS * Un elemento pasivo es un elemento que disipa o almacena energía eléctrica, pero no la genera. * os elementos pasivos son los receptores o cargas de un circuito eléctrico. * Hay tres tipos de elementos pasivos: - Resistencia: Disipa energía eléctrica. Se representan por los símbolos siguientes (se prefiere el primero, que también se usará más adelante para representar impedancias). Se caracteriza por su resistencia R. - Bobina o inductancia: Almacena energía magnética. se representa mediante los símbolos siguientes ( se prefiere el primer símbolo): Se caracteriza por su coeficiente de autoinducción o inductancia. - ondensador: Almacena energía eléctrica. Su símbolo es: Se caracteriza por su capacidad. GENERADORES O FUENTES * Un generador o fuente es un elemento que suministra energía eléctrica a un circuito. Un generador convierte otro tipo de energía en energía eléctrica. * Un generador de tensión es un generador que proporciona energía eléctrica a una determinada tensión. a corriente dependerá de la carga que alimente. - Generador de tensión ideal: Su tensión en bornes es independiente de la corriente. - Generador de tensión real: Su tensión en bornes depende de la corriente. * Un generador de corriente es un generador que proporciona energía eléctrica con una determinada corriente. a tensión dependerá de la carga que alimente. - Generador de corriente ideal: a corriente que suministra es independiente de la tensión en bornes. - Generador de corriente real: a corriente que suministra depende de la tensión en bornes. --
GENERADOR DE TENSÓN DEA DE.. GENERADOR DE TENSÓN REA DE.. -4-
GENERADOR DE ORRENTE DEA DE.. GENERADOR DE ORRENTE REA DE.. -5-
EUAENA DE GENERADORES * Un generador de corriente ideal no se puede sustituir por uno de tensión equivalente. Un generador de tensión ideal no se puede sustituir por uno de corriente equivalente. * Un generador de corriente real se puede sustituir por uno de tensión equivalente sin que el resto del circuito note la diferencia. * Un generador de tensión real se puede sustituir por uno de corriente equivalente sin que el resto del circuito note la diferencia. EUAENA DE GENERADORES REAES EN.. a misma resistencia R en los dos generadores equivalentes. g R g g g R -6-
TOOOGÍA DE REDES Nudo: unto de unión de o más elementos (A, B,,... ) Rama: Elemento o grupo de elementos entre nudos Red plana: a que se puede dibujar en un plano sin que se cruce ninguna rama. azo: onjunto de ramas que forman una línea cerrada, de forma que si se quita una rama del lazo, el camino queda abierto. Malla: azo que no contiene a otro en su interior (a, b, c,...) -7-
AOAMENTO DE RESSTENAS (1) Serie: R eq R + R + R 1 aralelo: 1 R eq 1 R 1 + 1 R + 1 R AOAMENTO DE RESSTENAS () Estrella-Triángulo. Teorema de Kenelly -8-
MAGNTUDES ATERNAS En esta figura: v > 0 ( π/6 rad) ; i <0 ( -π/4 rad) v i M M os os ( ωt + v ) M os ( ωt + π / 6) ( ωt + ) os ( ωt π / 4) i M Desfase o diferencia de fase: π / 6 π / 4 5π / rad v i ( ) 1 ulsación: π ω π f rad/s T alor eficaz: 1 T T 0 i dt (or ser funciones senoidales: M ; M ) -9-
RERESENTAÓN FASORA - Sea la magnitud sinusoidal: y( t) Y cos( ω t + ) y - A y(t) se le puede asociar un vector Y, (fasor), así: - Si este fasor girase con velocidad angular constante ω, su argumento en el instante t sería: ω t + y uego, la proyección horizontal de este fasor, girando con velocidad ω, es igual al valor instantáneo de y(t) dividido por. - ara manipular el fasor Y se usarán números complejos: Y Y y Y e j y Y ( cos + j sen ) y y ( j 1 ) -10-
on la escala de tiempos t: i v os os os ( ωt + ) ( ωt + i ) ( ωt + ( ) ) v v on la escala de tiempos t : i ( ω t + ) v os os os v ( ω t + i) ( ω t + ( ) ) v DAGRAMAS FASORAES on la escala de tiempos t on la escala de tiempos t Usando como fasor de referencia -11-
ROEDADES DE OS FASORES y y 1 + y Y Y 1 + Y * * y y 1 y Y Y 1 Y * d x y Y j ω X d t * y x dt Y X / j ω j X / ω * y k x Y k X * y x / k Y X / k -1-
RESSTENA (R) v e i están en fase ( 0): ey de Ohm: v R i R NDUTANA () uando circula una corriente i por una bobina se genera un campo magnético que origina los flujos Φ 1, Φ,..., Φ N en sus espiras. os enlaces de flujo ψ de la bobina son ψ Φ (Wb) 1 + Φ + + ΦN a inductancia de la bobina es ψ i (H) a corriente se retrasa 90º con respecto a la tensión: v ey de Faraday: d ψ v d t X j X d i d t X ω : Reactancia inductiva (Ω) -1-
ONDENSADOR () a capacidad de un condensador es uego: i q (F) v d q q i dt d t v q 1 i dt a corriente se adelanta 90º con respecto a la tensión: X j X X 1/ω : Reactancia capacitiva (Ω) RUTO SERE R - - v v + v + v + + R R [ R + j ω j ω ] Z (ey de Ohm en c.a.) mpedancia: Z R + X R + j X Z (Ω) 1 Reactancia: X j X X + X j ω (Ω) ω 1 Admitancia: Y (siemens, mho, Ω -1 ) Z -14-
A OTENA EN ORRENTE ATERNA (1) v os ω t ; i os ( ω t ) p ( ω ) v i + os t os otencia activa (W, kw) A OTENA EN ORRENTE ATERNA () cos : otencia activa (W, kw) ; sen : otencia Reactiva (var, kvar) ( > 0 en inductancias; < 0 en capacidades) p [ ( 1 + cos ω t ) ] + [ sen ω t ] potencia activa instantánea (1) + potencia reactiva instantánea () -15-
A OTENA EN ORRENTE ATERNA () OTENA ATA: os (W) OTENA REATA: Sen (var) EN MEDANAS: OTENA AARENTE: S (A) OTENA OMEJA: S + j (A) FATOR DE OTENA (f.d.p.): cos S + tg S Z R S + j S * X OS TRES SGNFADOS DE ÁNGUO -16-
MEJORA DE FATOR DE OTENA (1) MEJORA DE FATOR DE OTENA () ( ) ' tg tg ' 1 / X X X X ω ( ) f π ω (En estas expresiones se utiliza el valor absoluto de ) -17-
RUTO TRFÁSO NDEENDENTE SSTEMA TRFÁSO EUBRADO (1) RN FN 90º ; SN FN 0º ; TN FN 150º + + 0 ; Z Z Z Z RN SN TN R S T Ω R, S, T Fases N Neutro -18-
SSTEMA TRFÁSO EUBRADO () 10º ; 0º RS RN SN ST SN TN TR TN RN 10º ; FN ; RS + ST + TR 0 SSTEMA TRFÁSO EUBRADO () (π/ rad 10º) v v RS TR cos ( ωt + π / ) ; v cos ( ωt) cos ST ( ωt π / ) cos ( ωt + 4π / ) -19-
SSTEMA TRFÁSO EUBRADO (4) Sistema trifásico equilibrado de tensiones o de intensidades * onjunto de tres tensiones o de tres intensidades, respectivamente, de igual valor eficaz y desfasadas entre sí 10º. * ada una de las tres tensiones o intensidades se llama fase. * a suma de las tres fases de un sistema trifásico equilibrado de tensiones o de intensidades vale siempre cero. Sistema trifásico equilibrado de impedancias * onjunto de tres impedancias idénticas. * ada una de las tres impedancias se llama fase. Sistema trifásico a tres hilos: Sistema trifásico en el que el generador y la carga se conectan mediante tres conductores de fase. Sistema trifásico a cuatro hilos: Sistema trifásico en el que el generador y la carga se conectan mediante tres conductores de fase más el conductor neutro. Tensiones simples: Son las tensiones entre fase y neutro ( RN, SN y TN ) cuyo valor eficaz es FN. Tensiones compuestas o de línea: Son las tensiones entre fases ( RS, ST y TR ) cuyo valor eficaz es. ntensidades de línea: Son las intensidades ( R, S e T) que circulan por los conductores de fase que conectan el generador con la carga. Su valor eficaz es. ONEXÓN ESTREA EUBRADA alores de fase en estrella: FN Z / Z RN SN R 90 A ; S 0 A Z Z TN T 150 A ; N R + S + T 0 A Z FN -0-
ONEXÓN TRÁNGUO EUBRADO (1) alores de fase en triángulo: ; ( ) ONEXÓN TRÁNGUO EUBRADO () Z RS ST RS 10 A ; Z Z ST A TR TR 10 A ; RS + ST + TR 0 Z -1-
ONEXÓN TRÁNGUO EUBRADO () R RS TR ; S ST RS ; T TR ST cos 0º En la conexión triángulo y las corrientes de línea se retrasan 0º con respecto a las de fase ONEXÓN TRÁNGUO EUBRADO (4) desfase entre RS e RS desfase entre RN e R En sistemas trifásicos equilibrados, tanto para estrella como para triángulo, el ángulo es el ángulo de desfase entre una tensión fase-neutro y la intensidad de línea correspondiente --
EXRESÓN FASORA DE TENSONES Y ORRENTES: Referencia ST RS 10º ST 0º 10º TR RN FN 90º 0º R S T SN TN FN FN 90º 150º 0º 150º EXRESÓN FASORA DE TENSONES Y ORRENTES: Referencia SN RS 150º ST 0º 90º TR RN FN 10º SN FN 0º 10º R S T TN FN 10º 10º --
A OTENA EN.A. TRFÁSA (1) (EN SSTEMAS EUBRADOS) En c.a. trifásica la potencia es igual a la suma de la de sus tres fases. En el caso de sistemas equilibrados todas las fases consumen por igual y la potencia es igual a veces la de una fase. OTENA ATA () En función de los valores de fase: cos En función de los valores de línea: * Estrella ( / ; ): ( ) cos / cos * Triángulo ( ; / ): ( ) cos / cos cos (Fórmula válida tanto para la conexión estrella como para la conexión triángulo en sistemas equilibrados) A OTENA EN.A. TRFÁSA () (EN SSTEMAS EUBRADOS) OTENA REATA (): sen sen OTENA AARENTE (S) Y FATOR DE OTENA (os ): S + S cos + -4-
A OTENA EN.A. TRFÁSA () (EN SSTEMAS EUBRADOS) OTENA OMEJA (S): Fórmula general: * j S + (ero: * S ) ara impedancias: Z S R X OTENA NSTANTÁNEA (p): a potencia instantánea del conjunto de las tres fases es constante e igual a la potencia activa. MEJORA DE FATOR DE OTENA ( ) ' tg tg ' X X X X 1 ω ω * Estrella ( / ): Y ω ω * Triángulo ( ): Y ω ω (En estas expresiones se utiliza el valor absoluto de ) -5-
MEDDA DE A OTENA * Un vatímetro monofásico mide la potencia activa de una carga monofásica. onsta de un circuito amperimétrico y de otro voltimétrico. * En circuitos trifásicos de tres hilos se puede medir la potencia activa mediante dos vatímetros monofásicos conectados según la conexión Aron: ( 1 o pueden tener signo negativo) a potencia activa consumida por la carga trifásica, sea ésta equilibrada o no, vale: 1 + on cargas equilibradas este método también permite la medida de la potencia reactiva : ( ) 1 ENTAJAS DE A.A. TRFÁSA FRENTE A A MONOFÁSA * En trifásica con un 50% más de material conductor ( hilos frente a ) que la monofásica se transmite un 7% más de potencia. ( Monofásica: cos ; Trifásica: cos ) * En trifásica la potencia instantánea p es constante, mientras que en la monofásica p varía periódicamente. Esto hace que en trifásica el flujo de potencia sea más regular. * os motores trifásicos son más baratos y eficientes que los monofásicos. -6-
A OTENA EN.A. MONOFÁSA RESUMEN a potencia instantánea p que se transmite de un generador a un receptor o carga es igual al producto de la onda de tensión v por la onda de intensidad i. Es una onda de frecuencia doble a la de la tensión y la corriente y cuyo valor medio es la potencia activa. Es positiva cuando la potencia va desde el generador -que la produce- a la carga -que la consume- y es negativa en el caso contrario. a potencia instantánea p es igual a la suma de la potencia activa instantánea y de la potencia reactiva instantánea. a potencia activa instantánea también es una onda de frecuencia doble a la de la tensión y la corriente. Nunca cambia de signo y su valor medio también es igual a la potencia activa. Esta es la potencia se corresponde con la energía que realmente es suministrada por el generador y consumida por la carga. En el caso de receptores pasivos, la potencia activa se consume en las resistencias, pero no en los condensadores ni en las bobinas. a potencia reactiva instantánea también es una onda de frecuencia doble a la de la tensión y la corriente y su valor medio es nulo. Esta potencia sólo existe si en el circuito hay elementos capaces de almacenar energía; bien en forma de campo magnético (bobinas, caracterizadas por su coeficiente de autoinducción ), o bien en forma de campo eléctrico (condensadores, caracterizados por su capacidad ). Estos elementos consumen energía del generador durante medio ciclo de la onda de potencia, almacenándola en forma de campo (eléctrico o magnético). En el siguiente medio ciclo devuelven la energía almacenada previamente, suministrándola hacia el generador. Estos flujos de energía del generador a la carga y de la carga al generador, dan lugar a una potencia que cambia de signo en cada semiciclo de la onda de potencia y cuyo valor medio es nulo; pues, al final tanta energía se consume como se devuelve después. Esta es la potencia reactiva instantánea. -7-
El comportamiento de las bobinas y de los condensadores con respecto a la potencia reactiva es diferente. Durante el medio ciclo en el que una bobina consume energía del generador y la almacena como campo magnético es cuando un condensador está enviando hacia el generador la energía eléctrica que ha almacenado previamente. Y viceversa, en el otro medio ciclo la bobina envía energía hacia el generador y el condensador consume energía que le suministra el generador y la almacena en forma de campo eléctrico. a potencia activa es el valor medio de la potencia instantánea p (y, también, de la potencia activa instantánea). Es positiva si la potencia va desde el generador (que la produce) hacia la carga (que la consume) y negativa en caso contrario. Se mide en W, kw o MW. a expresión general que permite calcularla es: cos En el caso de elementos pasivos, la potencia activa es debida sólo a las resistencias y también se puede calcular así: a potencia reactiva es el valor máximo de la potencia reactiva instantánea y sólo existe si hay bobinas y/o condensadores. De forma arbitraria a se le da signo positivo cuando la carga es inductiva y negativo cuando es capacitiva. Se mide en var, kvar o Mvar. a expresión general que permite calcularla es: R sen En el caso de elementos pasivos, la potencia reactiva también se puede calcular así: X -8-
a potencia aparente S se define de forma matemática así: Se mide en A, ka o MA. S + a potencia compleja S se define de forma matemática como un número complejo cuya parte real es y cuya parte imaginaria es : S + j S Se mide en A, ka o MA. Su módulo es la potencia aparente. En el caso de elementos pasivos, la potencia compleja también se puede calcular así: S En la expresión anterior aparece el valor eficaz de la corriente i (es decir, el módulo del fasor de corriente ) elevado al cuadrado. No se trata, pues, del cuadrado de. Aunque S es un número complejo, no es un fasor, pues no representa a una función sinusoidal (a diferencia de o de ). Es simplemente una magnitud definida de forma matemática que resulta cómoda para manejar conjuntamente las potencias activa y reactiva. El factor de potencia (f.d.p.) cos es coseno del ángulo de desfase (ver la diapositiva: os tres significados del ángulo ) y se puede obtener a partir de las potencias activa, reactiva y aparente así: cos S as potencias activa, reactiva, aparente, compleja y el factor de potencia, así como, las expresiones que los relacionan quedan reflejados de forma visual y compacta en el triángulo de potencias. Z + S * -9-