Cálculo I Funciones Lineal, Cuadrática, Exponencial Eduardo Saavedra A. October 12, 2006 1
1. Investigaciones cardiovasculares han mostrado que a un nivel de colesterol superior a 210, cada aumento del 1% por encima de este nivel aumenta el riesgo en un 2%. Se encontró que para un grupo de edad particular el riesgo coronario en un nivel de 210 de colesterol es de 0.160 y a un nivel de 231 el riesgo es de 0.192. (a) Encuentre una ecuación lineal que exprese el riesgo R en términos del nivel de colesterol C. (b) Cuál es el riesgo para un nivel de colesterol de 260? a)para comenzar, como nos dicen que es una Ecuación lineal, debemos buscar una función de la forma y = m x + n, como tenemos de incógnitas a m y n primero obtendremos la pendiente m, la cual se define: m = y 2 y 1 x 2 x 1 Identificando los pares coordenados, en el eje y tenemos el Riesgo (R),y en el eje x el nivel de colesterol(c): - El riesgo en un nivel de 210 de colesterol es de 0.160 - Y a un nivel de 231 el riesgo es de 0.192 Por lo tanto: P 1 : (x 1, y 1 ); P 2 : (x 2, y 2 ) P 1 : (231, 0.192); P 2 : (210, 0.160) Entonces m = 0.160 0.192 210 231 m = 0.0015 Con m en la función R(C) = m C + n tenemos R(C) = 0.0015 C + n, Debemos sacar n, lo cual es fácil si tenemos los puntos dados anteriormente, sustituyendo el punto P1 en la ecuacion incluyendo a m : 0.192 = 0.0015 231 + n; Despejando n obtenemos: n = 0.16. 2
Finalmente la ecuación resultante es: R(C) = 0.0015 C 0.16 b) Teniendo la ecuación si nos preguntan por el riesgo dandonos el nivel colesterol, simplemente sustituimos en la ecuación lineal R(C) = 0.0015 C 0.16 El riesgo para un colesterol de 260 es de: R = 0.0015 260 0.16 R = 0.23619 3
2. El departamento de salud estima que el número de personas que consumen cocaína ha ido aumentando en una proporción lineal. El número estimado de drogadictos en 1980 fue de 950000 y en 1985 fue de 1025000. (a) Determine la función lineal que relacione la cantidad de drogadictos en términos del tiempo medido en años (t = 0 para 1980) (b) Interprete el significado de la pendiente (c) Si el número de drogadictos sigue creciendo, Cuándo llegará a 1250000? a)al igual que en el ejercicio anterior: Definimos los puntos coordenados como P i : (t, D), es decir los puntos estan con respecto al tiempo eje x y respecto a la cantidad de drogadictos en el eje y. P 1 : (1980, 950000); P 2 : (1985, 1025000) Pero por el enunciado nos dicen que 1980 es t=0, por ende 1985 es t=5, así... P1:(0, 950000); P2:(5, 1025000). Siendo una representación de ecuación lineal, tenemos: D = t m + n Donde a m la obtenemos: m = 1025000 950000 5 0 m = 15000 Luego para n sustituimos en la ecuación incluyendo a m el punto P1: D = t 15000 + n 950000 = 0 15000 + n n = 950000 Finalmente la ecuación queda de la forma D = t 15000 + 950000 b) La pendiente indica la cantidad de de drogadictos que se agregan por cada año, es decir drogradictos/año 4
c) Para que llegue a 1250000 debemos sustituir en la ecuación la cantidad de drogradictos para obtener el tiempo t: 1250000 = t 15000 + 950000 t = 20 Es decir que para el año 2000 se prevee que la cantidad de drogadictos aumente a 1250000. 5
3. La tasa de crecimiento de los peces depende de la temperatura del agua en la cual habitan. Para los peces de un cierto lugar, la tasa de crecimiento G (en porcentaje por dia) está dada por la función: G(T ) = 0.0346(T 23) 2 0.0723(T 23) + 3.77 (a) Encuentre la temperatura del agua que genera la máxima tasa de crecimiento. (b) Cuando la temperatura del agua es de 15C Cuál es la tasa de crecimiento? (c) A qué temperatura los peces dejan de crecer? a)primero debemos desarrollar la ecuación de tal manera que quede expandida, esto lo haremos para identificar mas f cilmente los coeficientes (a,b y c) de la ecuación cuádratica. Haciendo el desarrollo correspondiente, llegamos a: G(T ) = 0.0346t 2 + 1.5193t 12.8705 Bien como sabemos que la forma de la ecuación cuadr tica es una parabola, abierta hacia arriba o abajo dependiendo del signo del coeficiente a, deducimos que esta abierta hacia abajo (concavidad hacia abajo) es decir posee un máximo, este máximo es posible calcularlo mediante la ecuación del vertice: ( V ertice : b ) 2a, c b2, Como nos interesa lo que ocurre en el eje x simplemente usamos 4a el vertice para la coordenada x (Temperatura): b 2a 1.5193 2 ( 0.0346) = 21.96 La máxima tasa de crecimiento ocurre a una temperatura de 21.96 C b)si la temperatura es de 15C entonces la tasa de crecimiento es: G(15) = 0.0346 15 2 + 1.5193 15 12.8705 = 2.134 c) Los peces deberían dejar de crecer cuando la tasa de crecimiento es 0, entonces en la ecuación 6
podemos hacer lo siguiente: 0 = 0.0346t 2 + 1.5193t 12.8705; Lo cual debemos resolver por la formula de la ecuación de segundo grado, ello nos otroga 2 temperaturas, estas son: T 1 = 11.46 y T 2 = 32.45 Es decir que los peces dejan de crecer cuando estan a 11.46 C o a 32.45 C 7
4. Se ha descubierto que los niveles de contaminación en los primeros 6 meses de 2001 ha variado de acuerdo a la funcion y = x 2 + 6x donde x representa el mes esperado. (a) Determine el mes en que el nivel de contaminación fue máximo. (b) Según la información dada En qué mes no hubo contaminación? (c) Grafique la situación planteada. a)al igual que en el ejercicio anterior el vertice es, en, x : b 2a : donde b = 6 y a = 1: 6 2( 1) = 3 Entonces el mes en que el nivel de contaminación fue el máximo es el 3 b)para saber en que mes no hubo contaminacion hacemos y=0; entonces: 0 = x 2 + 6x, Factorizando: 0 = x(x 6) Bien, los resultados de esa factorización es x 1 = 0 y x 2 = 6 Por ende en el mes 6 y 0 no habían índices de contaminación c) Gráficar: Para gráficar busquemos los vertices de la ecuación: ( b ) 2a, c b2 = (3, 9) 4a Luego busquemos las intersecciones con el eje x(y=0): 0 = x 2 + 6x x 1 = 0 y x 2 = 6 Y ahora para el eje y(x=0): y = 0 2 + 6 0 = 0 Con estos 3 puntos podemos gráficar de manera optima: 8
28. El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un comportamiento dado por la función f(t) = 250 1 + e 2t la que representa la cantidad de personas que la adquieren en un determinado tiempo t. (a) Si el tiempo es medido en semanas, cuantas han sido contagiados en tres semanas? (b) Cual es la cantidad de contagiados en tres meses? (c) En que tiempo se han contagiado aproximadamente 30 personas a) Si el tiempo esta medido en semanas, simplemente hacemos t=3 y la ecuación debería entregarnos la cantidad de contagios, entonces: f(3) = 250 250 = f(3) 249 1 + e 2 3 1 + e 6 b)asumimos que el t esta medido en semanas, los 3 meses tranformados a semanas (naturales) serian 4 semanas * 3 meses= 12 semanas, es decir debemos evaluar f(t) en 12: f(12) = 250 250 = f(12) 250 1 + e 2 12 1 + e 24 c)ahora por otro lado nos preguntan el tiempo en que se contagian 30 personas, logicamente si queremos obtener el tiempo ella es nuestra incógnita!, por ende f(t)=30: 30 = 250 1 + e 2t 30 (1 + e 2t ) = 250 30 + 30 e 2t = 250 e 2t = 220 30 ln e 2t = ln 220 30 // ln(x) 9
2t = ln 220 30 ( [220 ] 1 ) 2 t = ln 30 t = 0.9962 Tiempo negativo? Algo anda mal con el enunciado del ejercicio, de todas maneras ese sería el resultado final. 10
50. La concentración de un medicamento en un órgano al instante t ( en segundos ) está dada por x(t) = 0.08 + 0.12e 0.02t donde x(t) son gramos/centímetros cúbicos (gr/cm3) (a) Cuál es la concentración pasado 1 minuto? (b) Cuánto tiempo tardará en alcanzar 0.18 gr/cm3 de medicamento en el órgano? a) Debemos fijarnos bien que nos preguntan por la concentración pasado 1 minuto, siendo que t esta en SEGUNDOS. Por intuición simplemente sabemos que un minuto equivale a 60 segundos, es asi como: x(60) = 0.08 + 0.12e 0.02 60 x(60) 0.116 La concentración después de 1 minuto es de 0.116 (gr/cm3) b) Ahora debemos imponer la cantidad de medicamento en el organo, esto sería que la función es igual a 0.18, entonces: 0.18 = 0.08 + 0.12e 0.02t 0.18 = 0.08 + 0.12e 0.02t 0.10 = 0.12e 0.02t 0.83 = e 0.02t // ln(x) ln 0.83 = ln e 0.02t 0.19 = 0.02t t 9.5 El tiempo transcurrido para que se encuentren 0.18 (gr/cm3) de medicamento en un órgano es de 9.5 segundos 11
43. Una cierta sustancia radiactiva decrece según la fórmula q(t) = q 0 e 0.0063t donde q 0 es la cantidad inicial de sustancia y t el tiempo en días. Determine después de cuánto tiempo la cantidad de sustancia será la mitad de la inicial. Nos proponen obtener cuando la cantidad es la mitad de la cantidad inicial, si sabemos que la cantidad inicial es q 0, entonces la mitad de la cantidad inicial es q 0 /2. Con este importante dato vamos a la ecuación: q(t) = q 0 e 0.0063t, y q(t) debe ser igual a q 0 /2. ln ( [1 2 q 0 2 2 = q 0e 0.0063t 1 2 = e 0.0063t // ln(x) ln 1 2 ln 1 ) 2 ] 1 0.0063 = ln e 0.0063t = 0.0063t = t t 110 Entonces después de 110 dias la cantidad de sustancia es la mitad que la inicial. 12