PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR Juan Carlos Ramos González Doctor Ingeniero Industrial Raúl Antón Remírez Doctor Ingeniero Industrial Diciembre de 2010

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ÍNDICE Tema 1. Introducción a la transferencia de calor y a la conducción... 1 Tema 2. Conducción unidimensional en régimen estacionario... 7 Tema 3. Conducción bidimensional en régimen estacionario... 15 Tema 4. Conducción en régimen transitorio... 21 Tema 5. Introducción a la convección... 29 Tema 6. Convección forzada en flujo externo... 33 Tema 7. Convección forzada en flujo interno... 37 Tema 8. Convección libre o natural... 41 Tema 9. Introducción a la radiación... 45 Tema 10. Intercambio radiativo entre superficies... 51 i

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PROBLEMAS TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR Y A LA CONDUCCIÓN 1. (2.7 del Incropera; Ley de Fourier) En el sistema mostrado en la figura se produce una conducción de régimen estacionario unidimensional sin generación de calor. La conductividad térmica es 25 W/m K y el espesor L es 0,5 m. T 1 T 2 L x Determine las cantidades desconocidas para cada caso de la tabla siguiente y dibuje la distribución de temperatura indicando la dirección del flujo de calor. Caso T 1 T 2 dt/dx (K/m) 1 q x (W/m 2 ) 1 400 K 300 K 2 100 ºC -250 3 80 ºC 200 4-5 ºC 4.000 5 30 ºC -3.000 Solución: 1) 200 K/m, -5.000 W/m 2 ; 2) 498 K, 6.250 W/m 2 ; 3) -20 ºC, -5.000 W/m 2 ; 4) -85 ºC, -160 K/m; 5) -30 ºC, 120 K/m. 2. (1.13 del Incropera; Convección) Un chip cuadrado isotérmico de lado 5 mm está montado en un sustrato de manera que sus superficies laterales e inferior están bien aisladas, mientras que la superficie frontal se expone a la corriente de un fluido refrigerante a 15 ºC. La temperatura del chip no debe sobrepasar los 85 ºC. Si el fluido refrigerante es aire (h = 200 W/m 2 K), cuál es la potencia máxima admisible del chip? Si el fluido refrigerante es un líquido dieléctrico (h = 3.000 W/m 2 K), cuál es la potencia máxima admisible del chip? Solución: 0,35 W y 5,25 W. 3. (Radiación y balance de energía) Un antiguo alumno de la Escuela que trabaja en la ESA (Agencia Espacial Europea) nos ha transmitido la siguiente cuestión: Una sonda de exploración espacial cuyas placas de energía fotovoltaica tienen una superficie A p y una temperatura de fusión T p = 2.000 K es enviada en dirección al Sol. Calcular el radio de la órbita solar mínima (R o ) a la que se podrá acercar la sonda al Sol. Datos: constante de

Stefan-Boltzmann σ = 5,67 10-8 W/m 2 K 4 ; temperatura de la superficie solar T s = 6.000 K; radio del Sol R s = 7 10 8 m; suponer que tanto el Sol como las placas se comportan como cuerpos negros (ε = α = 1). Solución: R o = R s (T s /T p ) 2. 4. (Convección y radiación) Una persona desvestida tiene una superficie de 1,5 m 2 expuesta a un ambiente y a unos alrededores de 27 ºC. La temperatura de su piel es de 33 ºC y se puede considerar un emisor de radiación perfecto. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 9 W/m 2 K, hállese: a) Las pérdidas de calor por convección y por radiación. b) El gasto energético en kcal/día. Solución: a) q conv = Q & conv = 81 W, q rad = Q & rad = 56,8 W; b) 2.846 kcal/día. 5. (2.6 del Incropera; Ley de Fourier) Para determinar el efecto de la dependencia de la temperatura de la conductividad térmica sobre la distribución de temperatura en un sólido, considere un material para el que esta dependencia puede representarse como k = k o + at donde k o es una constante positiva y a es un coeficiente que puede ser positivo o negativo. Dibuje la distribución de temperatura de régimen estacionario asociada con la transferencia de calor en una pared plana para tres casos que corresponden a a > 0, a = 0 y a < 0. 6. (2.11 del Incropera; Ley de Fourier) En el cuerpo bidimensional que se muestra en la figura se encuentra que el gradiente en la superficie A es T/ y = 30 K/m. Cuánto valen T/ y y T/ x en la superficie B? Solución: T/ y = 0; T/ x = 60 K/m. 7. (1.27 del Incropera; Balance de energía) Una placa de aluminio de 4 mm de espesor se monta en posición horizontal con su superficie inferior bien aislada. Se aplica a su superficie superior un recubrimiento que absorbe el 80% de cualquier radiación solar incidente y tiene una emisividad de 0,25. La densidad y el calor específico del aluminio son 2.700 kg/m 3 y 900 J/kg K, respectivamente. a) Considere las condiciones para las que la placa está a una temperatura de 25 ºC y la superficie superior se expone súbitamente al aire ambiente a T = 20 ºC y a radiación solar que proporciona un flujo incidente de 900 W/m 2. El coeficiente de transferencia 2

de calor por convección entre la superficie y el aire es h = 20 W/m 2 K. Cuál es la velocidad inicial de cambio de la temperatura de la placa? Suponga que no hay alrededores. b) Cuál será la temperatura de equilibrio de la placa cuando se alcancen las condiciones de régimen estacionario? c) Represente mediante Excel una gráfica de la temperatura de régimen estacionario como función de la emisividad para 0,05 ε 1, para tres valores de la absortividad de la placa de 0,5, 0,8 y 1 con el resto de condiciones constantes. Si la finalidad es maximizar la temperatura de la placa, cuál es la combinación más deseable de emisividad y absortividad de la placa? Solución: a) 0,052 K/s; b) T s = 321 K. 8. (1.31 del Incropera; Balance de energía) En una etapa de un proceso de recocido, 1 hoja de acero inoxidable AISI 304 se lleva de 300 K a 1.250 K conforme pasa a través de un horno calentado eléctricamente a una velocidad de v s = 10 mm/s. El espesor y ancho de la hoja son t s = 8 mm y w s = 2 m, respectivamente, mientras que la altura, ancho y largo del horno son H o = 2 m, W o = 2,4 m y L o = 25 m, respectivamente. La parte superior y cuatro lados del horno se exponen al aire ambiental y a alrededores a 300 K, y la temperatura de la superficie del horno, su emisividad y el coeficiente de convección respectivos son T s = 350 K, ε s = 0,8 y h = 10 W/m 2 K. La superficie inferior del horno también está a 350 K y reposa en una placa de cemento de 0,5 m de espesor cuya base está a 300 K. Estimar la potencia eléctrica que se requiere suministrar al horno. Datos: k cemento (a 300 K) = 1,4 W/m K. Propiedades termofísicas del acero inoxidable AISI 304: ρ = 7.900 kg/m 3. T (K) c p (J/kg K) 600 557 800 582 Solución: 841 kw. 9. (2.12 del Incropera; Ley de Fourier) Algunas secciones del oleoducto de Alaska están tendidas sobre tierra, sostenidas por columnas verticales de acero (k = 25 W/m K) de 1 m de longitud y sección transversal de 0,005 m 2. En condiciones normales de operación se sabe que la variación de temperatura de un extremo a otro de la longitud de una columna se rige por una expresión de la forma 3

T = 100 150x + 10x 2 donde T y x tienen unidades de ºC y metros, respectivamente. Las variaciones de temperatura son insignificantes sobre la sección transversal de la columna. Evalúe la temperatura y la rapidez de conducción de calor en la unión columna-ducto (x = 0) y en la interfaz columna-tierra (x = 1). Explique la diferencia en las transferencias de calor. Solución: 18,75 W y 16,25 W. 10. (2.17 del Incropera; Ley de Fourier) Un aparato para medir la conductividad térmica emplea un calentador eléctrico intercalado entre dos muestras idénticas de 30 mm de diámetro y 60 mm de longitud, prensadas entre placas que se mantienen a una temperatura uniforme T o = 77 ºC mediante la circulación de un fluido. Se pone grasa conductora entre todas las superficies para asegurar un buen contacto térmico. Se empotran termopares diferenciales en las muestras con un espaciado de 15 mm. Las caras laterales de las muestras se aíslan para que la transferencia de calor sea unidimensional. a) Con dos muestras de acero inoxidable AISI 316 en el aparato, el calentador toma 0,353 A a 100 V y los termopares diferenciales indican T 1 = T 2 = 25,0 ºC. Cuál es la conductividad térmica del material de la muestra de acero inoxidable y cuál la temperatura promedio de las muestras? Compare los resultados con los valores de la Tabla A.1 del Incropera. b) Calcular la conductividad térmica y la temperatura promedio de una muestra de hierro Armco puesta en lugar de la muestra inferior del acero AISI 316. En este caso el calentador toma 0,601 A a 100 V y los termopares diferenciales indican T 1 = T 2 = 15,0 ºC. c) Cuál es la ventaja de construir el aparato con el calentador intercalado entre dos muestras en lugar de construirlo con una sola combinación muestra-calentador? Cuándo resulta significativo el escape de calor por la superficie lateral de las muestras? Bajo que condiciones esperaría que T 1 T 2? Datos: Propiedades termofísicas del acero inoxidable AISI 316: T (K) k (W/m K) 300 13,4 400 15,2 4

Propiedades termofísicas del Armco: T (K) k (W/m K) 300 72,7 400 65,7 Solución: a) k = 15 W/m K y T = 400 K; b) k = 70 W/m K y T = 380 K. 11. (2.21 del Incropera; Ecuación de calor) En una varilla cilíndrica de 50 mm de diámetro de 7 combustible de un reactor nuclear ocurre generación interna de calor a q& 1 = 5 10 W/m 3, y en condiciones de régimen estacionario la distribución de temperatura es T(r) = a+br 2, donde T está en grados Celsius y r en metros, mientras a = 800 ºC y b = -4,167 10 5 ºC/m 2. Las propiedades de la varilla de combustible son k = 30 W/m K, ρ = 1.100 kg/m 3 y c p = 800 J/kg K. a) Cuál es la velocidad de transferencia de calor por unidad de longitud de la varilla en r = 0 (línea central) y en r = 25 mm (superficie)? 8 b) Si el nivel de potencia del reactor aumenta súbitamente a q& 2 = 10 W/m 3, cuál es la velocidad de cambio de temperatura en el tiempo inicial en r = 0 y en r = 25? Solución: a) 4 q ( r = 0) = 0 y q ( r = 25) = 9,8 10 W/m ; b) 56,8 K/s. r r 12. (2.24 del Incropera; Ley de Fourier, ecuación de calor y balance de energía) Un estanque solar poco profundo con gradiente salino consiste en tres capas fluidas distintas y se utiliza para absorber energía solar. Las capas superior e inferior están bien mezcladas y sirven para mantener las superficies superior e inferior de la capa central a temperaturas uniformes T 1 y T 2, donde T 2 > T 1. Considere condiciones para las que la absorción de la radiación solar en la capa central proporciona una generación no uniforme de calor de la ax forma q& ( x) = Ae, y la distribución de temperatura en la capa central es: A T ( x) = ka 2 e ax + Bx + C Las cantidades A (W/m 3 ), a (1/m), B (K/m) y C (K) son constante conocidas, y k es la conductividad térmica que también es constante. a) Obtenga expresiones para la rapidez a la que se transfiere calor por unidad de área de la capa inferior a la capa central y de ésta a la capa superior. 5

b) Determine si las condiciones son estacionarias o transitorias. c) Obtenga una expresión para la rapidez a la que se genera energía térmica en la capa central, por unidad de área superficial. A al A Solución: a) q x ( x = L) = e Bk; q x ( x = 0) = Bk ; b) Régimen estacionario; c) a a A al E& gen = ( 1 e ). a 6

PROBLEMAS TEMA 2. CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO Pared plana 1. (3.2 del Incropera) La ventana posterior de un automóvil se desempaña mediante el paso de aire caliente sobre su superficie interna. a) Calcular las temperaturas de las superficies interna y externa de una ventana de vidrio de 4 mm de espesor, siendo la temperatura del aire caliente T,int = 40 ºC y su coeficiente de convección h int = 30 W/m 2 K y la temperatura del aire exterior T,ext = - 10 ºC y su coeficiente de convección h ext = 65 W/m 2 K. b) Evalúe cualitativamente la influencia de T,ext y h ext sobre las temperaturas. Datos: k vidrio (a 300 K) = 1,4 W/m K. Solución: a) T int = 7,7 ºC y T ext = 4,9 ºC; b) Ambas disminuyen al aumentar h ext y aumentan al aumentar T,ext. 2. (3.3 del Incropera) En la ventana posterior del automóvil del problema anterior se instala como sistema para desempañar su superficie interior un elemento de calentamiento consistente en una película transparente delgada con resistencias eléctricas. Al calentarse eléctricamente este dispositivo se establece un flujo de calor uniforme en la superficie interna. a) Calcular la potencia eléctrica por unidad de área de ventana necesaria para mantener la temperatura de la superficie interna a 15 ºC cuando la temperatura del aire interior es T,int = 25 ºC y su coeficiente de convección h int = 10 W/m 2 K. El aire exterior está en las mismas condiciones que en el problema anterior. b) Calcular la temperatura de la superficie externa de la ventana. c) Evalúe cualitativamente la influencia de T,ext y h ext sobre la potencia eléctrica. Solución: a) P elec = 1,27 kw/m 2 ; b) T ext = 11,1 ºC; c) P elec aumenta al aumentar h ext y disminuye al aumentar T,ext. 3. (3.15 del Incropera) Una casa tiene una pared compuesta de madera, aislante de fibra y tablero de yeso, como se indica en el esquema. En un día frío de invierno los coeficientes de transferencia de calor por convección son h ext = 60 W/m 2 K y h int = 30 W/m 2 K. El área total de la superficie es de 350 m 2. Datos: Tablero de yeso: k (a 300 K) = 0,17 W/m K. Propiedades termofísicas de la fibra de vidrio: T (K) ρ (kg/m 3 ) k (W/m K) 300 16 0,046 300 28 0,038 300 40 0,035 7

Tablero de madera contraplacada: k (a 300 K) = 0,12 W/m K. a) Determine una expresión simbólica para la resistencia térmica total de la pared incluyendo los efectos de convección. b) Determine la pérdida de calor total de la pared. c) Si el viento soplara de manera violenta elevando h ext a 300 W/m 2 K, cuál sería el porcentaje de aumento relativo de la pérdida de calor? d) Qué resistencia térmica influye en mayor medida sobre la pérdida de calor a través de la pared? Solución: b) 4.214 W; c) 0,45 %; d) La de la fibra de vidrio, que es el aislante y tiene la k menor. Resistencia de contacto 4. (3.25 del Incropera) Un circuito integrado (chip) disipa 30.000 W/m 2 de calor eléctrico. El chip, que es muy delgado, se expone a un líquido dieléctrico en su superficie superior con h ext = 1.000 W/m 2 K y T,ext = 20 ºC. En la superficie inferior se une a una tarjeta de circuitos de espesor L b = 5 mm y conductividad k b = 1 W/m K. La resistencia térmica de contacto entre el chip y la tarjeta es R t, c = 10-4 m 2 K/W. La superficie inferior de la tarjeta se expone al aire ambiente para el que h int = 40 W/m 2 K y T,int = 20 ºC. a) Dibuje el circuito térmico equivalente señalando las resistencias térmicas, las temperaturas y los flujos de calor. b) Cuál es la temperatura del chip para las condiciones de disipación de q c = 30.000 W/m 2? c) Qué influencia tendría en la temperatura del chip el aumentar en un orden de magnitud la conductividad de la tarjeta de circuitos y en disminuir en un orden de magnitud la resistencia térmica de contacto entre el chip y la tarjeta? Solución: b) T c = 49 ºC; c) Prácticamente ninguna. 8

Pared cilíndrica 5. (3.37 del Incropera) Un calentador eléctrico delgado se inserta entre una varilla circular larga y un tubo concéntrico con radios interior y exterior de 20 y 40 mm. La varilla A tiene una conductividad térmica k A = 0,15 W/m K y el tubo B k B = 1,5 W/m K. La superficie externa está en contacto con un fluido a temperatura T = -15 ºC y un coeficiente de convección de 50 W/m 2 K. a) Determine la potencia eléctrica por unidad de longitud de los cilindros que se requieren para mantener la superficie externa del tubo B a 5 ºC. b) Cuál es la temperatura en el centro de la varilla A? Solución: a) 251 W/m; b) 23,4 ºC. 6. (3.44 del Incropera) Una corriente eléctrica de 700 A fluye a través de un cable de acero inoxidable que tiene un diámetro de 5 mm y una resistencia eléctrica de 6 10-4 Ω/m. El cable esté en un medio que tiene una temperatura de 30 ºC y el coeficiente total asociado con la convección y la radiación entre el cable y el medio es aproximadamente 25 W/m 2 K. a) Si el cable está expuesto, cuál es la temperatura de la superficie? b) Si se aplica un recubrimiento muy delgado de aislante eléctrico al cable, con una resistencia de contacto de 0,02 m 2 K/W, cuáles son las temperaturas superficiales del aislante y del cable? c) Si se usa un aislante de conductividad térmica 0,5 W/m K, cuál será el espesor de este aislante que dará el valor más bajo de la temperatura del cable? Cuál es el valor de esa temperatura? Solución: a) T s,cable = 778,7 ºC; b) T s,cable = 1.153 ºC y T s,aislante = 778,7 ºC; c) e = 17,5 mm y T s,cable = 318,2 ºC. 7. (3.45 del Incropera) Un tubo de acero de pared delgada de 0,20 m de diámetro y emisividad 0,8 se utiliza para transportar vapor saturado a una presión de 20 bar (T sat = 485 K) en un cuarto para el que la temperatura del aire y de las paredes es 25 ºC y el coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie externa del tubo es 20 W/m 2 K. a) Cuál es la pérdida de calor por unidad de longitud del tubo expuesto (sin aislante)? b) Calcule la pérdida de calor por unidad de longitud del tubo si se añade una capa aislante de 50 mm de óxido de magnesio que también tiene una emisividad de 0,8. Calcular también la temperatura superficial exterior del aislante. c) El coste asociado con la generación del vapor saturado es de 4 /10 9 J y el del aislante y su instalación de 100 /m. Si la línea de vapor opera 7.500 horas al año, cuánto tiempo se necesita para amortizar la instalación del aislante? Datos: Propiedades termofísicas del óxido de magnesio: T (K) k (W/m K) 310 0,051 365 0,055 420 0,061 Solución: a) 3.702 W/m; b) q 162 W/m y T s,ail,ext 30 ºC; c) 3 meses. 9

Pared esférica 8. (3.56 del Incropera) Una sonda esférica crioquirúrgica se incrusta en tejido enfermo con el propósito de congelarlo y destruirlo. La sonda tiene un diámetro de 3 mm y su superficie se mantiene a -30 ºC cuando se incrusta en tejido que está a 37 ºC. Se forma una capa esférica de tejido congelado alrededor de la sonda con una temperatura de 0 ºC en su superficie de contacto con el tejido normal. Si la conductividad térmica del tejido congelado es 1,5 W/m K y el coeficiente de transferencia de calor por convección entre el tejido congelado y el normal es 50 W/m 2 K, cuál es el espesor de la capa del tejido congelado? Resolución: En primer lugar se expone una manera de obtener una expresión de la resistencia térmica para una esfera. En un elemento diferencial de esfera la aplicación de la conservación de la energía implica que q r = q r+dr, es decir que la transferencia de calor es independiente del radio, para condiciones unidimensionales de régimen estacionario y sin generación interna de calor. La ecuación de Fourier para una esfera hueca cuyas superficies están en contacto con fluidos a temperaturas distintas y en condiciones de régimen estacionario sin generación de calor adopta la forma: dt 2 dt q r = ka = k(4πr ) dr dr donde A = 4πr 2 es el área normal a la dirección de la transferencia de calor. Al integrar la ecuación anterior: qr 4π r 2 = 2 r1 dr r Ts 2 Ts1 k( T ) dt Suponiendo k constante y al resolver para las condiciones de contorno de temperaturas conocidas en las superficies se obtiene: q r 4 k( Ts 1 Ts 2) = π (1/ r ) (1/ r ) La resistencia térmica para conducción adopta, por la tanto, la forma: R t, cond ( T = s1 T q r 1 s2 2 ) 1 1 1 = 4πk r1 r2 1 Y la de convección: R t, conv = 4πr 2 h Una vez visto esto se puede representar el circuito térmico equivalente al enunciado del problema: q T s1 Ts2 T q 1 1 1 4πk r r + e 10 1 4π ( r + e) 2 h

La velocidad de transferencia de calor se puede expresar: T Ts2 Ts2 Ts 1 q = = 1 1 1 1 2 4πh( r + e) 4πk r r + e Al resolver se obtiene la siguiente ecuación en e 2 2 k Ts2 Ts 1 : e + re r = 0 h T T Al resolver se obtiene: e = 5,34 mm. Generación interna de calor 9. (3.73 del Incropera) El aire dentro de una cámara a T,int = 50 ºC se calienta convectivamente con h int = 20 W/m 2 K mediante una pared de 200 mm de espesor que tiene una conductividad térmica de 4 W/m K y una generación de calor uniforme de 1.000 W/m 3. Para prevenir que algo del calor generado se pierda hacia el exterior de la cámara, a T,ext = 25 ºC con h ext = 5 W/m 2 K, se coloca un calentador de listón muy delgado sobre la pared exterior para proporcionar un flujo de calor uniforme, q o. s2 a) Dibuje la distribución de temperaturas en la pared (T-x) para la condición de que no se pierde nada del calor generado dentro de la pared hacia el exterior de la cámara (es decir, quitando el calentador y aislando la superficie externa de la pared). b) Cuáles son las temperaturas en las superficies externa e interna de la pared para esa condición? c) Determine el valor de q o que debe suministrar el calentador de listón de modo que todo el calor generado dentro de la pared se transfiera al interior de la cámara. d) Si la generación de calor en la pared se cortara mientras el flujo de calor del calentador de listón permanece constante, cuál sería la temperatura de la pared exterior en régimen permanente? Solución: b) T(0) = 65 ºC y T(L) = 60 ºC; c) 200 W/m 2 ; d) 55 ºC. 10. (3.83 del Incropera) Un elemento de combustible de reactor nuclear consiste en un núcleo cilíndrico sólido de radio r 1 y conductividad térmica k f. El núcleo de combustible está en buen contacto con un material de encamisado de radio externo r 2 y conductividad térmica k c. Considere condiciones de régimen estacionario para las que ocurre una generación de calor uniforme dentro del combustible a una razón volumétrica q& = e& gen y la superficie 11

externa del encamisado se expone a un fluido refrigerante que se caracteriza por una temperatura T y un coeficiente de convección h. a) Obtenga expresiones para las distribuciones de temperatura en el combustible y en el encamisado, T f (r) y T c (r). b) Considere un núcleo de combustible de óxido de uranio para el que K f = 2 W/m K y r 1 = 6 mm y un encamisado para el que K c = 25 W/m K y r 2 = 9 mm. Si q& = e& gen = 2 10 8 W/m 3, h = 2.000 W/m 2 K y T = 300 K, cuál es la temperatura máxima en el elemento de combustible? c) Evalúe cualitativamente la influencia de h sobre las temperaturas. Es posible mantener la temperatura de la línea central del combustible por debajo de 1.000 K ajustando el flujo de refrigerante y, por tanto, el valor de h? Solución: b) T f (r = 0) = 1.458 K; c) Si h aumenta T f y T c disminuyen. No es posible. Superficies extendidas y aletas 11. (3.109 del Incropera) Varillas de cobre circulares de diámetro D = 1 mm y longitud L = 25 mm se usan para reforzar la transferencia de calor de una superficie que se mantiene a T s1 = 100 ºC. Un extremo de la varilla se une a esta superficie (en x = 0) y el otro (x = 25) se une a una segunda superficie que se mantiene T s2 = 0 ºC. El aire que fluye entre las superficies también está a una temperatura T = 0 ºC y tiene un coeficiente de convección h = 100 W/m 2 K. a) Cuál es la transferencia de calor de una sola varilla de cobre? b) Cuál es la transferencia total de calor de una sección de 1 m x 1 m de la superficie a 100 ºC, si se instala una disposición de varillas separadas entre centros 4 mm? Datos: k cobre (a 300 K) = 401 W/m K. Solución: a) q f = 1,51 W; b) q t = 103,8 kw. 12. (3.114 del Incropera) A menudo se forman pasajes de aletas entre placas paralelas para reforzar la transferencia de calor por convección en núcleos compactos de intercambiadores de calor. Considere una pila de aletas de 200 mm de ancho y 100 mm de profundidad con 50 aletas de 12 mm de longitud. La pila completa está fabricada de aluminio (k = 240 W/m K) de 1 mm de espesor. Las temperaturas máximas permisibles asociadas a las placas opuestas son T o = 400 K y T L = 350 K. El aire que fluye entre las placas tiene una h = 150 W/m 2 K y una T = 300 K. Cuáles son las disipaciones de calor de una aleta y del sistema de aletas en cada una de las placas? 12

Solución: q fo = 114,95 W; q fl = -88,08 W; q to = 5.972,5 W; q tl = -4.291,5 W. 13. (3.131 del Incropera modificado, examen septiembre 2005) Se quiere disipar el calor generado en el interior de un transformador situando en una de sus paredes un dispositivo de aletas rectas. La pared del transformador tiene una conductividad térmica de 5 W/m K y un espesor de 6 mm. Sobre ella se coloca un dispositivo de aletas de sección rectangular de aluminio (k al = 240 W/m K). El soporte del dispositivo de aletas tiene un espesor de 4 mm. Entre la pared del transformador y el soporte de las aletas hay una resistencia de contacto 4 2 de valor R t, c = 10 m K/W. Las aletas tienen una longitud de 25 mm, un espesor de 2 mm y la distancia entre ellas es de 2 mm. El calor generado en el transformador se puede asimilar a un flujo de calor uniforme sobre la pared de valor q i = 10 5 W/m 2. El aire exterior está a 320 K y proporciona un coeficiente de convección de 100 W/m 2 K. Pared del transformador k tra = 5 W/m K R" t,c Soporte de las aletas k al = 240 W/m K q" i T int T al T b t = 2 mm δ = 2 mm 6 mm 4 mm 25 mm h = 100 W/m 2 K T = 320 K 13

a) Dibuje el circuito térmico equivalente entre el interior del transformador y el aire exterior para la parte de pared que le corresponde a una aleta teniendo en cuenta que la dimensión perpendicular al dibujo es muy larga. b) Calcule los valores de las resistencias térmicas que aparecen en el circuito térmico anterior. c) Calcule la temperatura de la superficie interna del transformador, T int. d) Calcule la temperatura de la superficie interna del soporte de aluminio (en contacto con la resistencia de contacto), T al. e) Calcule la temperatura de la base de las aletas, T b. Solución: c) T int = 532,3 K; d) T al = 402,3 K; e) T b = 400,6 K. 14

PROBLEMAS TEMA 3. CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO Factores de forma 1. (4.16 del Incropera) Con las relaciones de resistencia térmica desarrolladas en el tema 3 determine expresiones del factor de forma para las siguientes geometrías: a) Pared plana, capa cilíndrica y coraza esférica. b) Esfera hueca de superficie isotérmica de diámetro D en el interior de un medio infinito. Solución: a) A/L, 2πL/ln(r 2 /r 1 ), 4πr 1 r 2 /(r 2 -r 1 ); b) 2πD. 2. (4.20 del Incropera) Un cable largo de transmisión de energía se entierra a una profundidad (distancia de la tierra a la línea central del cable) de 2 m. El cable está enfundado en un tubo de pared delgada de 0,1 m de diámetro y para hacer al cable superconductor (esencialmente cero disipación de energía), el espacio entre el cable y el tubo está lleno de nitrógeno líquido a 77 K. Si el tubo se cubre con un superaislante (k i = 0,005 W/m K) de 0,05 m de espesor y la superficie de la tierra (k g = 1,2 W/m K) está a 300 K, cuál es la carga de enfriamiento por unidad de longitud de tubo [W/m] que debe suministrar un refrigerador criogénico para mantener el nitrógeno a 77 K? Solución: 9,89 W/m. 3. (4.25 del Incropera) Por un tubo de cobre de pared delgada de 30 mm de diámetro fluye agua caliente a 85 ºC. El tubo está forrado de una capa cilíndrica excéntrica que se mantiene a 35 ºC y mide 120 mm de diámetro. La excentricidad, definida como la distancia entre los centros del tubo y la capa, es 20 mm. El espacio entre el tubo y la capa está lleno de un material aislante que tiene una conductividad térmica de 0,05 W/m K. Calcule la pérdida de calor por unidad de longitud de tubo y compare el resultado con la pérdida de calor para una disposición concéntrica. Solución: 12,5 W/m y 11,33 W/m. Factores de forma con circuitos térmicos 4. (4.28 del Incropera) Un fluido caliente pasa por tubos circulares de una plancha de hierro colado de espesor L A = 60 mm que está en contacto con unas placas de cubierta de espesor L B = 5 mm. Los canales tienen un diámetro D = 15 mm con un espaciado de línea central de L o = 60 mm. Las conductividades térmicas de los materiales son k A = 20 W/m K y k B = 4 75 W/m K, y la resistencia de contacto entre los dos materiales es R t, c = 2 10 m 2 K/W. El fluido caliente está a T i = 150 ºC y el coeficiente de convección es 1.000 W/m 2 K. Las placas de cubierta se exponen al aire ambiental que está a 25 ºC y tiene un coeficiente de convección de 200 W/m 2 K. 15

a) Determine la transferencia de calor de un solo tubo por unidad de longitud de la plancha en dirección normal a la página, q i. b) Determine la temperatura de la superficie externa de la placa de cubierta, T s. c) Comente los efectos sobre q i y T s de un cambio en el espaciado de los canales. Cómo afectaría a q i y T s aislar la superficie inferior? Solución: a) q i = 1.578,6 W/m; b) T s = 90,8 ºC; c) Si L o aumenta, q i aumenta y T s disminuye. Si la superficie inferior está aislada, q i disminuye y T s permanece constante. 5. (4.31 del Incropera) En el Tema 3 se supuso que cuando se une una aleta a un material base, la temperatura de la base no cambia. Lo que en verdad ocurre es que, si la temperatura del material de la base excede la temperatura del fluido, al colocar una aleta disminuye la temperatura de la unión, T j, por debajo de la de la base y el flujo de calor del material de la base a la aleta es bidimensional. Considere condiciones en las que una aleta larga circular de aluminio de diámetro D = 5 mm se une al material de la base cuya temperatura lejos de la unión se mantiene a T b = 100 ºC. Las condiciones de convección en la superficie de la aleta son T = 25 ºC y h = 50 W/m 2 K. 16

a) Calcule la temperatura de la unión y la transferencia de calor cuando el material de la base es (i) aluminio (k = 240 W/m K) y (ii) acero inoxidable (k = 15 W/m K). b) Repita los cálculos anteriores para el caso del aluminio si entre la unión de la aleta y el " 5 material de la base hay una resistencia térmica R = 3 10 m 2 K/W c) Cómo influye el coeficiente de convección en la transferencia de calor? Solución: a) (i) T j = 98 ºC, q f = Q & f = 4,44 W; (ii) T j = 78,4 ºC, q f = 92 ºC, q f = Q & f = 4,08 W; c) Si h aumenta q f aumenta. tc Q & f = 3,24 W; b) T j = 6. (4.32 del Incropera) Se construye un iglú en forma de hemisferio con un radio interno de 1,8 m y paredes de nieve compactada de 0,5 m de espesor. En el interior del iglú el coeficiente de transferencia de calor por convección es 6 W/m 2 K; en el exterior, en condiciones normales de viento, es 15 W/m 2 K. La conductividad térmica de la nieve compactada es 0,15 W/m K. La temperatura de la capa de hielo sobre la que se asienta el iglú es de -20 ºC y tiene la misma conductividad térmica que la nieve compactada. a) Suponiendo que el calor corporal de los ocupantes proporciona una fuente continua de 320 W dentro del iglú, calcule la temperatura del aire interior cuando la del aire exterior es -40 ºC. Considere las pérdidas de calor a través del suelo. b) Cómo afecta a la temperatura interior el que el coeficiente de convección exterior se triplique debido al viento? Y cómo afecta el doblar el espesor de las paredes? Solución: a) T i = 1,2 ºC; b) T i = 0,8 ºC; T i = 20,8 ºC. 7. (4.34 del Incropera) Un dispositivo electrónico en forma de disco de 20 mm de diámetro disipa 100 W cuando se monta sobre un bloque grande de aleación de aluminio (2024-T6) cuya temperatura se mantiene a 27 ºC. En la interfaz entre el dispositivo y el bloque hay " 5 una resistencia de contacto R = 5 10 m 2 K/W. tc 17

a) Calcule la temperatura que alcanzará el dispositivo suponiendo que toda la potencia que genera debe transferirse por conducción al bloque. b) Para aumentar la potencia del dispositivo se instala un sistema de aletas en la parte superior del dispositivo. Las aletas rectas de sección circular (aletas de aguja) están hechas de cobre (k = 400 W/m K) y están expuestas a un flujo de aire a 27 ºC para el que el coeficiente de convección es 1.000 W/m 2 K. Para la temperatura del dispositivo que se calculó en el apartado a), cuál es la potencia de operación permisible? Datos: Propiedades termofísicas de la aleación de aluminio 2024-T6: T (K) k (W/m K) 200 163 300 177 400 186 Solución: a) T d = 57 ºC; b) P eléct. = 138,65 W. Método de las diferencias finitas 8. (4.41 del Incropera) Las superficies superior e inferior de una barra de conducción se enfrían convectivamente por acción de aire a T, pero con h sup h inf. Los lados se enfrían manteniendo contacto con sumideros de calor a T o, a través de una resistencia térmica de contacto R t, c. La barra tiene conductividad térmica k y el ancho es el doble del espesor L. Considere condiciones de estado estacionario para las que se genera calor de manera uniforme a una tasa volumétrica q& debido al paso de una corriente eléctrica. Obtenga las ecuaciones en diferencias finitas para los nodos 1 y 13. 18

9. (4.48 del Incropera) Las temperaturas de estado estacionario (en K) en tres puntos nodales de una varilla rectangular son como se muestra en la figura. La varilla experimenta una rapidez de generación de calor volumétrica uniforme de 5 10 7 W/m 3 y tiene una conductividad térmica de 20 W/m K. Dos de sus lados se mantienen a una temperatura constante de 300 K, mientras que los otros dos están aislados. a) Determine las temperaturas en los nodos 1, 2 y 3 resolviendo el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que forman las ecuaciones nodales. b) Calcule la transferencia de calor por unidad de longitud de la varilla (W/m) a partir de las temperaturas nodales. Compare este resultado con la transferencia de calor calculada a partir del conocimiento de la generación volumétrica de calor y las dimensiones de la varilla. Solución: a) T 1 = 362,4 K; T 2 = 390,2 K; T 3 = 369 K; b) q = 7.502,5 W/m; q = 7.500 W/m. 19

10. (4.52 del Incropera) Una barra larga de sección transversal rectangular tiene 60 mm de ancho, 90 mm de largo, y una conductividad térmica de 1 W/m K. Uno de sus anchos está sometido a un proceso de convección con aire a 100 ºC y un coeficiente de convección de 100 W/m 2 K. El resto de los lados se mantiene a 50 ºC. a) Con un espaciado de malla de 30 mm y mediante el método iterativo de Gauss-Seidel, determine las temperaturas nodales y la transferencia de calor (por unidad de longitud normal a la página) desde el aire a la barra. b) Utilizando Matlab para resolver el sistema de ecuaciones (método de inversión de matrices), repita los cálculos con un espaciado de malla de 15 mm. Solución: a) Empezando desde el lado sometido a convección las temperaturas nodales son: 81,7 ºC, 58,5 ºC y 52,1 ºC; q = 205 W/m; b) Temperaturas de los nodos a lo largo del ancho sometido a convección: 50 ºC, 80,33 ºC, 85,16 ºC, 80,33 ºC y 50 ºC; q = 156,27 W/m. 11. (Basado en Ejemplo 5.1 del Chapman, 5ª edición) Se dispone de una varilla de hierro (k = 50 W/m K) de 1 cm de diámetro y 20 cm de longitud. La varilla se une en un extremo a una superficie calentada a 120 ºC y en el extremo libre se encuentra aislada. Su superficie lateral está en contacto con un fluido a 20 ºC para el que el coeficiente de transferencia de calor por convección es 10 W/m 2 K. a) Determine la distribución de temperaturas en la varilla resolviendo las ecuaciones nodales mediante el método iterativo de Gauss-Seidel y con un x = 5 cm. El número de iteraciones viene dado por un criterio de convergencia en la temperatura del extremo de un 1 %. Es decir, la diferencia relativa de la temperatura en el extremo en dos iteraciones sucesivas ha de ser inferior al 1 %. T E (%) = r T i i 1 extremo extremo i Textremo 20 100 1% b) Determine una aproximación a la pérdida de calor de la varilla a partir de la distribución discreta de temperaturas calculada en el apartado anterior. c) Compare la solución anterior con el calor perdido por la aleta calculado de manera exacta. Solución: a) Comenzando desde la base la distribución de temperaturas es: 120 ºC, 84,8 ºC, 63,6 ºC, 52,8 ºC, 49,9 ºC; b) q faprox. = 3,24 W; c) q f = 3,32 W.

PROBLEMAS TEMA 4. CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN TRANSITORIO Método de la resistencia interna despreciable 1. (5.8 del Incropera) Una bala esférica de plomo de 6 mm de diámetro se mueve aproximadamente a Mach 3. La onda de choque resultante calienta el aire alrededor de la bala a 700 K, y el coeficiente de convección promedio para la transferencia de calor entre el aire y la bala es 500 W/m 2 K. Si la bala sale de la escopeta a 300 K y el tiempo de vuelo es 0,4 s, cuál es la temperatura en la superficie en el momento del impacto? Datos: Propiedades termofísicas del plomo a 300 K: k = 35,3 W/m K; ρ = 11.340 kg/m 3 ; c p = 129 J/kg K. Solución: T = 351 K. 2. (5.10 del Incropera) Una unidad de almacenamiento de energía térmica consiste en un canal rectangular largo, que está bien aislado en la superficie externa y encierra capas alternadas del material de almacenamiento y rejillas para el flujo. Cada capa del material de almacenamiento es una plancha de aluminio de ancho W = 0,05 m que está a una temperatura inicial de 25 ºC. Considere condiciones en las que la unidad de almacenamiento se carga con el paso de un gas caliente a través de las rejillas, suponiendo que la temperatura del gas y el coeficiente de convección tienen valores constantes de T = 600 ºC y h = 100 W/m 2 K a lo largo del canal. Cuánto tiempo se tardará en alcanzar el 75 % del almacenamiento máximo posible de energía? Cuál es la temperatura del aluminio en ese momento? Datos: Propiedades termofísicas del aluminio: ρ = 2.702 kg/m 3. T (K) k (W/m K) c p (J/kg K) 300 237 903 400 240 949 600 231 1.033 Solución: t = 933,5 s 15,55 min y T = 456 ºC. 3. (5.14 del Incropera) La pared plana de un horno se fabrica de acero al carbono simple (k = 60 W/m K; ρ = 7.850 kg/m 3 ; c p = 430 J/kg K) y tiene un espesor de L = 10 mm. Para protegerla de los efectos corrosivos de los gases de combustión del horno, una superficie 21

de la pared se cubre con una película delgada de cerámica que, para un área superficial unitaria, tiene una resistencia térmica de R = 0,01 m 2 K/W. La superficie opuesta está bien aislada de los alrededores. tf Al poner en funcionamiento el horno, la pared está a una temperatura inicial de T i = 300 K y los gases de combustión entran en el horno a T = 1.300 K, con lo que proporcionan un coeficiente de convección de 25 W/m 2 K en la película cerámica. Suponiendo que la película tiene una resistencia térmica interna insignificante, cuánto tiempo tardará la superficie interior del acero en alcanzar una temperatura de T si = 1.200 K? Cuál es la temperatura T so de la superficie expuesta de la película cerámica en ese momento? Resolución: Se dibuja el circuito térmico equivalente del sistema: q T T so T si 1 ha Como entre la pared y el fluido existe una película que aporta una resistencia térmica de contacto, para poder calcular el número de Biot y estudiar si se puede aplicar el método de la resistencia interna despreciable hay que trabajar con el coeficiente global de transferencia de calor, U: 1 1 1 2 UA = U = = = 20 W/m K R t 1 h + R 1/ 25 + 0,01 tf El número de Biot correspondiente será: ULc 20 0,01 Bi = = = 0,0033 k 60 Al ser menor que 0,1 se puede aplicar el método de la resistencia interna despreciable: T si T T T i t = exp τ R tf A 22

τ = R C t c ρvc = UA Tsi T t = τ ln T T i s p = 7.850 0,01 430 20 = 1.687,75 s 1.200 1.300 = 1.687,75 ln = 3.886 s 65 min 300 1.300 A partir del circuito térmico equivalente, la temperatura de la superficie de la película vendrá dada por: ht / + Tsi Rtf h ( T ) = ( ) / Tso Tso Tsi Rtf Tso = = 1.220 K h + 1/ R Efectos espaciales: análisis de semejanza 4. (5.28 del Incropera) Considere la pared unidimensional que se muestra en el dibujo que inicialmente se encuentra a temperatura uniforme T i y se somete de pronto a la condición de frontera de convección con un fluido a T. tf Para una pared en particular, caso 1, la temperatura en x = L 1 después de t 1 = 100 s es T 1 (L 1,t 1 ) = 315 ºC. Otra pared, caso 2, tiene diferentes condiciones de espesor y térmicas como se muestra en la siguiente tabla. Caso L (m) α (m 2 /s) k (W/m K) T i (ºC) T (ºC) h (W/m 2 K) 1 0,10 15 10-6 50 300 400 200 2 0,40 25 10-6 100 30 20 100 Cuánto tiempo tardará la segunda pared en alcanzar 28,5 ºC en la posición x = L 2? Solución: t = 960 s = 16 min. Conducción unidimensional: pared plana 5. (5.32 del Incropera) Considere la unidad de almacenamiento de energía del problema 2, pero con un material de mampostería de k = 0,70 W/m K; ρ = 1.900 kg/m 3 ; c p = 800 J/kg K empleado en lugar del aluminio. Cuánto tiempo se tardará en alcanzar el 75 % del almacenamiento máximo posible de energía? Cuáles son las temperaturas máxima y mínima de la mampostería en ese momento? Solución: t = 1.174 s 19,6 min; T mín (x = 0) = 412 ºC; T máx (x = W/2) = 538 ºC. 23

24 Conducción unidimensional: cilindro 6. (5.45 del Incropera) Una varilla larga de 40 mm de diámetro fabricada de zafiro (óxido de aluminio) e inicialmente a una temperatura uniforme de 800 K, se enfría de súbito con un fluido a 300 K que tiene un coeficiente de transferencia de calor de 1.600 W/m 2 K. Después de 35 segundos la varilla se envuelve en un aislante y no experimenta pérdidas de calor. Cuál será la temperatura de la varilla después de un largo tiempo? Datos: Propiedades termofísicas del óxido de aluminio (zafiro) a T = 600 K: k = 18,9 W/m K; ρ = 3.970 kg/m 3 ; c p = 1.110 J/kg K. Solución: T inf = 510 K. Conducción unidimensional: esfera 7. (5.48 del Incropera) En el tratamiento térmico para endurecer bolas de acero de rodamientos (k = 50 W/m K; ρ = 7.800 kg/m 3 ; c p = 500 J/kg K) se desea aumentar la temperatura de la superficie por un tiempo corto sin calentar de manera significativa el interior de la bola. Este tipo de calentamiento se lleva a cabo mediante la inmersión súbita de la bola en un baño de sal derretida con T = 1.300 K y h = 5.000 W/m 2 K. Suponga que cualquier posición dentro de la bola cuya temperatura exceda 1.000 K se endurecerá. Estime el tiempo que se necesita para endurecer el milímetro externo de una bola de 20 mm de diámetro si su temperatura inicial es de 300 K. Solución: t = 3,4 s. Sólido semiinfinito 8. (5.61 del Incropera) Una grúa para levantar losas adheridas al suelo emplea un bloque de hierro que se mantiene a temperatura constante de 150 ºC mediante un calentador eléctrico empotrado. El bloque de hierro se pone en contacto con la losa para suavizar el adhesivo, lo que permite levantarla posteriormente. El adhesivo entre la losa y el suelo se suavizará lo suficiente si se calienta por encima de 50 ºC durante al menos 2 minutos, pero su temperatura no debe superar 120 ºC para evitar su deterioro. Suponga que la losa y el suelo tienen una temperatura inicial de 25 ºC y propiedades termofísicas equivalentes de k = 0,15 W/m K; ρ c p = 1,5 10 6 J/m 3 K. a) Cuánto tiempo se tardará en despegar una losa de espesor 4 mm empleando el bloque de hierro? La temperatura del adhesivo excederá 120 ºC? b) Si el bloque de hierro tiene un área superficial cuadrada de 254 mm de lado, cuánta energía se eliminará de él durante el tiempo que se tarda en despegar la losa? Solución: a) t = 168,7 s; la temperatura es menor que 120 ºC; b) Q = 56.063,6 J. Conducción multidimensional 9. (5.75 del Incropera) Una punta cilíndrica de cobre de 100 mm de longitud y 50 mm de diámetro está inicialmente a una temperatura uniforme de 20 ºC. Las caras de los extremos se someten de pronto a una intensa rapidez de calentamiento que las eleva a una temperatura de 500 ºC. Al mismo tiempo, la superficie cilíndrica se somete a calentamiento por un flujo de gas con una temperatura de 500 ºC y un coeficiente de transferencia de calor de 100 W/m 2 K. Determine la temperatura en el punto central del cilindro 8 segundos después de la aplicación súbita del calor.

Resolución: En el problema en cuestión la longitud y el diámetro del cilindro son comparables por lo que se tiene una transmisión de calor bidimensional. La expresión de la ecuación de calor para este caso será: 2 1 T T r + 2 r r r x 1 T = α t Se puede demostrar que la solución ha esta ecuación se puede obtener por el método de separación de variables, llegando a la siguiente expresión: T ( x, r, t) T T T i T ( x, t) T = T T i Pared plana T ( r, t) T T T i Cilindro infinito Es decir, la solución bidimensional se expresa como producto de las soluciones unidimensionales correspondientes a una pared plana y a un cilindro infinito. Para las soluciones unidimensionales se emplearán el método de la resistencia interna despreciable (si Bi < 0,1), la solución exacta o la aproximada con el primer término (si Fo > 0,2) según corresponda. En la Tabla 4.2 del Cuaderno de Fórmulas, Tablas y Figuras se presenta un resumen de soluciones para distintos sistemas multidimensionales como productos de las soluciones unidimensionales. Visto esto se resuelve este problema en concreto. Como se pide la temperatura central en t = 8 s, a partir de la ecuación vista antes se tiene que: T (0,0,8) T T T i T (0,8) T = T T i Pared plana T (0,8) T T T i Cilindro infinito A continuación se resuelve cada sistema unidimensional por separado. Se calcula el número de Biot para la conducción a través de una pared plana: Bi pp hl = k c = 25

Como para este caso la temperatura superficial está fijada esto es equivalente a tener una h infinita. Como el número de Biot es mayor que 0,1 no se puede emplear el método de la resistencia interna despreciable. Empleamos la solución aproximada con el primer término. A partir de la Tabla 4.1 del Cuaderno de Fórmulas, Tablas y Figuras se obtienen los coeficientes de la aproximación de un término: ξ 1 = 1,5707 y C 1 = 1,2733. Se buscan las propiedades del cobre para una temperatura media de: 20 + 500 T = = 260 º C = 533 K ρ = 8.933 kg/m 3 ; k = 384 W/m K; c p = 410 J/kg K. 2 αt kt 384 8 Se calcula el número de Fourier: Fo = = = = 0, 304. Como Fo 2 2 2 Lc ρc p Lc 8.933 410 0,05 > 0,2 la aproximación con el primer término es correcta. T ( 0,8) T 2 2 = C1 exp( ξ 1 Fo) = 1,2733 exp( 1,5707 0,304) = 0,601 T T i Pared plana A continuación se resuelve la conducción a través de un cilindro infinito. Se calcula el número de Biot: hro 100 0,025 3 Bicil. = = = 6,51 10 k 384 Por ser menor que 0,1 se puede aplicar el método de la resistencia interna despreciable: T (0,8) T T T i Cilindro infinito t = exp τ τ = R C t c ρvc = ha s p 8.933 0,025 410 = = 100 2 457,8 s T (0,8) T T T i T (0,0,8) T T T i Cilindro infinito = exp 8 = 0,9827 457,8 T (0,0,8) 500 T (0,8) T = = 20 500 T T i Pared plana T (0,8) T T T i Cilindro infinito = 0,601 0,9827 = 0,5906 T (0,0,8) = 216,5 ºC Lo correcto sería volver a calcular las propiedades del cobre para esta temperatura y repetir el problema. Método de las diferencias finitas 10. (5.82 del Incropera) Un cilindro de material plástico (α = 6 10-7 m 2 /s) está inicialmente a una temperatura uniforme de 20 ºC y está bien aislado a lo largo de su superficie lateral y en un extremo. En el tiempo t = 0 se le aplica calor en el extremo izquierdo de manera que T 0 aumenta linealmente con el tiempo a una razón de 1 ºC/s. 26

a) Con el método explícito obtenga las ecuaciones en diferencias finitas para los nodos 1, 2, 3 y 4. b) Con Fo = ½ construya una tabla que tenga como encabezados p, t y las temperaturas nodales de T 0 a T 4. Determine la temperatura de la superficie, T 0, cuando T 4 = 35 ºC. c) Resuelva el problema mediante el método implícito y el método de la inversión de matrices Solución: b) t = 30 s; T 0 (t = 210 s) = 230 ºC. Resolución del apartado c): De las ecuaciones nodales explícitas se pueden deducir las ecuaciones nodales implícitas fácilmente: Nodo 1: p+ 1 p+ 1 p+ 1 1 p+ 1 p p+ 1 p+ 1 p+ 1 p T0 + T2 2T1 = ( T1 T1 ) (1 + 2Fo) T1 + FoT2 = FoT0 T1 Fo p+ 1 p+ 1 p+ 1 p Nodo 2: FoT1 ( 1+ 2Fo) T2 + FoT3 = T2 Nodo 3: p+ 1 p+ 1 p+ 1 p FoT2 ( 1+ 2Fo) T3 + FoT4 = T3 Nodo 4: 2 p+ 1 p+ 1 p FoT3 (1 + 2Fo) T4 = T4 Expresadas en forma matricial: p+ 1 p+ 1 (1 + 2Fo) Fo 0 0 T 1 FoT0 T1 p+ 1 p Fo (1 + 2Fo) Fo 0 T2 T2 = + p+ 1 p 0 Fo (1 2Fo) Fo T3 T3 p+ 1 p 0 0 2Fo (1 + 2Fo) T4 T4 1 [ A ][ T ] = [ C] [ T ] = [ A] [ C] Se inicia un proceso iterativo en que para cada tiempo p hay que evaluar el vector [C] antes de resolver las temperaturas en el tiempo siguiente p+1. Los resultados se pueden expresar en forma de tabla. Con Fo = 0,5 t = 30 s. p 27

p t T 0 T 1 T 2 T 3 T 4 0 0 20 20 20 20 20 1 30 50 2 60 80 3 90 110 11. (5.100 del Incropera) Se sueldan dos barras muy largas en la dirección normal a la página, las cuales tienen las distribuciones de temperaturas iniciales que se muestran en la tabla inferior. En el tiempo t = 0, la cara m = 3 de la barra de cobre hace contacto con la cara m = 4 de la barra de acero AISI 1010. La soldadura actúa como una capa interfacial de espesor insignificante y resistencia efectiva de contacto R, = 2 10-5 m 2 K/W. t c x a) Obtenga la ecuación en diferencias finitas explícita en términos de Fo y Bic =, k R t, c para T 4,2 y determine el criterio de estabilidad correspondiente. b) Si Fo = 0,01, determine T 4,2 un intervalo de tiempo después de que se hace contacto. Cuál es el t? Se satisface el criterio de estabilidad? Datos: Propiedades termofísicas del acero AISI 1010 a 1.000 K: k = 31,3 W/m K; ρ = 7.832 kg/m 3 ; c p = 1.168 J/kg K. Solución: a) Criterio de estabilidad: Fo 1/(4 + 2Bi c ); b) t = 1,17 s; T 4,2 (t = 1,17 s) = 806,3 K; sí se satisface el criterio de estabilidad. 28

PROBLEMAS TEMA 5. INTRODUCCIÓN A LA CONVECCIÓN Coeficientes de transferencia de calor 1. (6.2 del Incropera) Para la convección laminar libre de una superficie vertical caliente, el coeficiente de convección local se expresa como h x = Cx -1/4, donde h x es el coeficiente a la distancia x desde el inicio de la superficie y la cantidad C, que depende de las propiedades del fluido, es independiente de x. Obtenga una expresión para la razón h x / h x, donde h x es el coeficiente promedio entre el inicio (x = 0) y la posición x. Dibuje la variación de h x y h con x. x Solución: h x / h x = 4/3. 2. (6.5 del Incropera) Aire a una temperatura de flujo libre T = 20 ºC está en un flujo paralelo sobre una placa plana de longitud L = 5 m y temperatura T s = 90 ºC. Sin embargo, los obstáculos colocados en el flujo intensifican la mezcla al aumentar la distancia x desde el inicio, y la variación espacial de las temperaturas medidas en la capa límite están correlacionadas por una expresión de la forma T (x, y) [ºC] = 20 + 70 exp(-600xy), donde x e y están en metros. Determine y elabore una gráfica de la forma en que varía el coeficiente de convección local h con x. Evalúe el coeficiente de convección promedio h para la placa. Solución: h x = 600 k x [W/m 2 K] = 15,44 x[w/m 2 K]; h = 38,6 W/m 2 K. Perfiles de la capa límite 3. (6.10 del Incropera) Agua a una temperatura T = 25 ºC fluye sobre una de las superficies de una pared de acero (AISI 1010) cuya temperatura es T s1 = 40 ºC. La pared es de 0,35 m de espesor y la temperatura de la otra superficie es T s2 = 100 ºC. Para condiciones de estado estacionario, cuál es el coeficiente de convección asociado con el flujo de agua? Cuál es el gradiente de temperatura en la pared y en el agua que está en contacto con la pared? Dibuje la distribución de temperaturas en la pared y en el agua contigua. Datos: Propiedades termofísicas del acero AISI 1010: ρ = 7.832 kg/m 3. T (K) c p (J/kg K) k (W/m K) 300 434 63,9 400 487 58,7 Solución: h = 700 W/m 2 K; T pared Tagua = -171,4 K/m; y y Transición de la capa límite y=0 = -17.222,22 K/m. 4. (6.12 del Incropera) Considere un flujo de aire sobre una placa plana de longitud L = 1 m en condiciones para las que ocurre la transición en x c = 0,5 m con base en el número de 29