PRÁCTICA N 2 SISTEMAS DE NUMERACIÓN

PRÁCTICA N 2 SISTEMAS DE NUMERACIÓN Ejercicio 1. Diseñar una planilla EXCEL que tome como dato de entrada un número entero y devuelva la representación en base 2. Testearla con los números 23, 245, 673, 34627. Mejorarla de tal manera que permita ingresar la base de numeración en forma manual. Ejercicio 2. Usar la planilla del ejercicio anterior para representar en base 7 los números 43, 154, 7659. Ejercicio 3. La intención de este ejercicio es hallar la representación en base 2 del número (21302313) 4. Para ello proponemos lo siguiente. (a) Hallar la representación decimal del número y luego obtener la representación en base 2. Convencerse de que este es el camino evidente. Prestar atención a la cantidad de operaciones necesarias para dar con el resultado. (b) Reemplazar cada dígito por los dos dígitos de su desarrollo binario (así, el dígito 1 debe ser reemplazado por los dígitos 01). Verificar que el número obtenido coincide con el hallado en (a). Verificar, asimismo, que la cantidad de operaciones es significativamente menor. (c) Explicar el motivo por el cual la técnica empleada en el punto (b) es válida. Para ello sugerimos escribir la sumatoria que permite reconstruir el número y usar que 2 2 = 4. El ejercicio anterior sugiere una técnica para obtener el cambio de base cuando la base dada es una potencia de la base requerida. Más aún, aplicando el mecanismo en reversa podemos pasar de una base a otra que sea una potencia de la primera. Ejercicio 4. Hallar los siguientes desarrollos Del número (5601123) 8 en base 2. Del número (7845) 9 en base 3. Del número (12100212021) 8 en base 16. Ciertamente, si queremos cambiar de base pero las bases no están relacionadas a través de una potencia el método desarrollado en los ejercicios anteriores deja de funcionar. No obstante, tal método es un caso particular de otro que desarrollamos en el ejercicio siguiente. Ejercicio 5. Hallar la representación decimal del número (245243) 7. Implementar en una planilla EXCEL el algoritmo ingenuo asociado con el pasaje por la expresión polinomial. Prestar atención a la cantidad de operaciones necesarias. Verificar la siguiente igualdad. ( (2 7 + 4) 7 + 5) 7 + 2) 7 + 4) 7 + 3 = 2 7 5 + 4 7 4 + 5 7 3 + 2 7 2 + 4 7 (2.1) Usar la expresión (2.1) para diseñar un algoritmo e implementarlo en una planilla EXCEL la expresión decimal del número (245243) 7. Usar la expresión (2.1) para hallar la representación en base 3 del número (245243) 7. 1

Observación 2.1 En los ejercicios anteriores no se trata tanto de obtener el resultado (la representación en otra base) como de analizar la complejidad es decir, la cantidad de operaciones del mecanismo involucrado en el cálculo. Ejercicio 6. Cuántos dígitos tiene la representación en base 3 del número 9856473? Ejercicio 7. Cuántos dígitos tiene la representación en base 7 del número 374625328? Ejercicio 8. Cuántos dígitos tiene la representación en base 13 del número 374625328? Observación 2.2 En los dos últimos ejercicios el número es el mismo, sin embargo sus representaciones son bien diferentes. Con estos ejercicios y con esta observación queremos ilustrar la diferencia que existe entre un «objeto» y su «representación». Ejercicio 9. Diseñar una planilla EXCEL que tome como dato de entrada una fracción p/q, y devuelva el desarrollo decimal de p/q en base 10, testearla con los números 2 3, 3 25, 5 12 y 1 7. Ensayar las siguientes variantes: Utilizando la función RESIDUO. Utilizando únicamente las operaciones elementales: suma y producto. Ejercicio 10. Mejorar la planilla del ejercicio anterior para ingresar manualmente la base de numeración. Ejercicio 11. Para las siguientes fracciones 1 5, 3 7, 23 64, 67 250, 27 314, 13 63 Usando las planillas diseñadas en los ejercicios anteriores hallar su desarrollo decimal en base 10. Indicar para cada una de las fracciones cómo es el desarrollo decimal. Dar condiciones sobre la fracción que permitan decidir si el desarrollo decimal en base 10 es finito, periódico puro, o periódico mixto. Ejercicio 12. Rehacer el ejercicio anterior pero tomando B = 2 como base de numeración. 2.1. Primalidad Ejercicio 13. Verificar que si d es un divisor común de m y n, entonces: d divide a m n; d divide a m + n y d divide a r; donde r es el resto en la división entre m y n. Concluir que dos números consecutivos son coprimos. El ejercicio anterior sugiere un método para calcular el máximo común divisor entre dos números que se conoce como algoritmo de Euclides, cuya descripción esquemática, esto es, sin atender a la sintaxis del software empleado, es como sigue: Datos de entrada a, b N. 2

Hallar r = r(a, b), el resto en la división entera de a por b. Tomar el par (b, r) como nuevos datos de entrada (esto deja preparado el proceso de retroalimentación, conocido como «bucle».) Repetir el paso anterior Antes de pasar a la implementación EXCEL hagamos una observación técnica. Observación 2.3 En todo bucle, debe darse un criterio de parada para que la máquina no quede circulando «ad-infinitum». Cabe señalar que en la lógica aristotélica ( aún vigente!) no se aceptan argumentos de longitud infinita. Ejercicio 14. Usar la función RESIDUO para implementar el algoritmo de Euclides en una planilla EXCEL. Testearla con los valores a = 154 y b = 60. Repetir el bucle hasta que se observe algo. Probar con otros valores de a y b y verificar que las repeticiones terminan siempre con un mensaje de error. Leer el mensaje de error, explicar por qué aparece y ubicar el resultado buscado: esto es, ubicar entre todos los valores calculados el máximo común divisor d = d(a, b). Para lo cual conviene probar con números cuya descomposición en primos sea conocida. Ejercicio 15. Mejorar el algoritmo anterior para evitar el mensaje de error. Por ejemplo, rediseñar la rutina para que una vez alcanzado el máximo común divisor sea éste el valor repetido. Testearlo con los números elegidos en el ejercicio anterior y contar la cantidad de pasos necesarios para conseguir el resultado. Ejercicio 16. Sabemos que el máximo común divisor depende sólo de los números y no de sus posiciones relativas. Tomar los números a = 60 y b = 154 y verificar que el resultado obtenido es el mismo. Explicar, a partir del algoritmo, por qué esto ocurrirá siempre. Ejercicio 17. Testear el algoritmo mejorado del Ejercicio 15 con los números a = 55 y b = 34. Contar la cantidad de pasos necesarios para que el algoritmo termine y compararlo con el ejemplo anterior. Observación 2.4 Los números elegidos en el ejercicio anterior no son arbitrarios, se trata del noveno y octavo números de Fibonacci. Para recordar de qué se trata proponemos. Ejercicio 18. Los números de Fibonacci se definen a partir de la fórmula F N+2 = F N+1 + F N con F 0 = 1 y F 1 = 1. Diseñar una planilla EXCEL que produzca los números de Fibonacci y obtener los 20 primeros: F 0,, F 19. Ejercicio 19. En el Ejercicio 17 comparar la cantidad de pasos con el orden que ocupa el mayor de los números. Arriesgar la cantidad de pasos que son necesarios para obtener el máximo común divisor entre F 18 yf 17. Testear el algoritmo con esos datos para verificar la conjetura. Ejercicio 20. Usar los resultados parciales del Ejercicio 14 para obtener dos números m, n Z que verifiquen la identidad (154 60) = m 154 + n 60. Para eso proponemos implementar en una planilla EXCEL el algoritmo siguiente, expresado esquemáticamente: 3

Obtener, en cada etapa, la expresión a q b = r b (a), donde q y r son el cociente y el resto de la división respectiva. Partir de la última expresión anterior al mensaje de error y reemplazar regresivamente por aquello que corresponda hasta obtener la identidad buscada. Ejercicio 21. Primos de Fermat. Los números P k = 2 (2k) + 1 se llaman números de Fermat. Cuando resultan primos se los llama primos de Fermat. Utilizar el sexto caso de factoreo para verificar que el número 2 n + 1 puede factorizarse cuando el exponente n es divisible por algún primo impar. Concluir que 2 n + 1 es primo sólo si n = 2 k. Verificar que F k es primo para k = 0,, 4. Consideremos el sexto número de Fermat P 6. Hallar la cantidad de dígitos que tiene su desarrollo decimal en base 10 e investigar si se trata de un número primo. Observación 2.5 Puede probarse que los números P n y P m son coprimos cuando n y m son distintos. Dado que todo número mayor que 1 admite un primo que lo divide, la co-primalidad de P n y P m ofrece una demostración de la existencia de infinitos primos. 2.2. El Factorial de un número. 1º parte. El factorial de un número natural se define como el producto de todos los números naturales que hay entre 1 y el número, así 4! = 1 2 3 4. La intención de esta sección es presentar algunos experimentos que pongan de manifiesto el tamaño de estos números, pero vinculado con la cantidad de ceros en los que termina su desarrollo decimal. El problema concreto de hallar la longitud del factorial, y de hallar alguna expresión asintótica (la fórmula de Stirling), lo dejamos para el capítulo siguiente. Ejercicio 22. Usar la función FACT y verificar que FACT(21) no es múltiplo de 3. Concluir que el número impreso en pantalla no coincide con el valor exacto. De hecho, comparar con el valor de FACT(20), observar que FACT(21) termina en un cero más, y explicar el motivo por el cual esto no puede pasar. (Lo que nos ofrece una nueva pista de que FACT(21) no coincide con el valor exacto. Ejercicio 23. Buscar el primer número N para el cual FACT(N) produce desborde por exceso. Por supuesto, ahora surge la pregunta cómo conseguimos N! para valores grandes de N? Antes de ocuparnos de este problema veamos algunos problemas asociados. Comenzaremos por hallar la cantidad de dígitos en los que termina el desarrollo decimal de N! Ejercicio 24. Utilizar la función FACT para calcular el factorial de todos los números entre 1 y 60. Contar a mano la cantidad de ceros en los que termina el número impreso en pantalla. Contar la cantidad de dígitos que tienen los números obtenidos. Prestar atención al patrón visual de ceros finales de los resultados y relacionar con el Ejercicio 22. Ciertamente, sabemos que el ejercicio anterior propone un algoritmo que tiene dos dificultades serias: para valores grandes, la máquina desborda, pero aún para valores pequeños (como el 21) la cantidad final de ceros del resultado no coincide, necesariamente, con el valor correcto. Así las cosas, cómo podremos contar la cantidad exacta de ceros en los que termina el 4

desarrollo decimal de N!? La respuesta la construiremos a partir de la siguiente observación: 6! = 720 termina en 1 cero porque 10 1 es la mayor potencia de 10 que divide a 6! en forma exacta. Esto significa que si queremos saber en cuántos ceros termina el desarrollo decimal de N! tenemos que saber cuál es la potencia de 10 que aparece en la factorización en primos de N! Pero, sabiendo que 10 = 2 5 y que este número es el producto N! = N (N 1) 2, bastará con saber cuántas veces aparecen el 2 y el 5 como factores de los números situados entre 2 y N. Con esto ponemos de manifiesto que, en general, uno arranca con un problema concreto (calcular la cantidad de ceros en los que termina el desarrollo decimal de N!), y dispone de un recurso informático (EXCEL en este caso), el problema entonces se convierte en diseñar un algoritmo que consiga el objetivo empleando el recurso disponible. Así, para hallar un tal algoritmo tendremos, entre otras cosas, que: resolver a mano algunos casos sencillos, conocer cuáles son las limitaciones del recurso informático, apelar a las propiedades numéricas pertinentes, etc. Ejercicio 25. Tomar algunos casos concretos, digamos N = 26 y N = 72, y analizar el problema de contar cuál es la potencia con la que aparecen el 2 y el 5 en la factorización en primos de los respectivos factoriales. Una vez resuelto ese problema, verificar que el 2 siempre aparece más veces que el 5 y concluir que basta con saber cuál es la potencia del 5. Ejercicio 26. Diseñar una planilla EXCEL que tome como datos de entrada un número cualquiera y devuelva la potencia de 5 en el desarrollo en factores primos del factorial. Probarla con los números 21 (comparar con el resultado del Ejercicio 22), 26 (comparar con el resultado manual del ejercicio anterior), 37, 45, 53, 60. Probarlo con los números 2345 y 71549. Ejercicio 27. Aprovechar los resultados obtenidos en el ejercicio anterior para explicar el patrón de ceros observado en el Ejercicio 24. Ejercicio 28. Usando el algoritmo diseñado en el Ejercicio 26 resolver las siguientes cuestiones. Hallar el primer número cuyo factorial termina en exactamente 3 ceros. Hallar todos los números cuyos factoriales terminan exactamente en 6 ceros. Existe algún número cuyo factorial termine exactamente en 5 ceros? Hallar un número cuyo factorial termine como mínimo en 72 ceros. Hallar el menor de todos ellos existe alguno que termine exactamente en 72 ceros? Usar las ideas de los ejercicios anteriores para resolver el siguiente problema general. Ejercicio 29. Dados un número N y un número primo p hallar la potencia máxima de p que divide a N!, esto es, hallar la potencia a la que aparece p en la factorización en primos de N! Resolver el problema con p = 2 y los valores de N utilizados en los ejercicios anteriores. Verificar que la potencia obtenida para p = 2 es mayor que la correspondiente a p = 5. 5