Potencial eléctico Intoducción. Tabajo y enegía potencial en el campo eléctico Potencial eléctico. Gadiente. Potencial de una caga puntual: Pincipio de supeposición Potencial eléctico de distibuciones de caga eléctica. Supeficies euipotenciales. ILIOGRFÍ: -Tiple. "Física". Cap. 23. Reveté. -Seway. "Física". Cap. 20. McGaw-Hill. Miguel Ángel Monge egoña Savoini Depatamento de Física
FÍSIC II Potencial electostático 1. Tabajo y enegía en pesencia de campos E Cuando en una egión del espacio donde hay un campo eléctico situamos un objeto con una caga eléctica, este expeimenta una fueza, F= E. Si deseamos move dicha caga de un punto a oto del espacio habá ue ealiza un tabajo. Esto es igual ue cuando en pesencia del campo gavitatoio se desea move un objeto de masa m. En geneal, calcula el tabajo W paa desplaza una caga eléctica en pesencia de un campo eléctico E es taea complicada. Peo, se simplifica al tene en cuenta ue el campo eléctico, igual ue el campo gavitatoio, conseva la enegía: El campo eléctico es un campo consevativo. Esto pemite calcula W necesaio paa desplaza una caga de un punto a un punto como la difeencia de enegía, ΔU, de dicha caga en ambos puntos. Vaiación de enegía W F( ) d U U( ) U( ) Tabajo paa i de a Ecuación geneal paa calcula W Difícil de calcula< E F Enegías potenciales en los puntos inicial y final E Miguel Ángel Monge / egoña Savoini
FÍSIC II 2. Potencial electostático Potencial electostático Como la elación ente la fueza electostática y el campo eléctico en ue se mueve la caga es: F E( ) Intoduciendo esta elación en la definición anteio del tabajo: W F ( ) d E ( ) d E ( ) d U Se define una nueva magnitud física denominada potencial electostático V() ceado po las cagas elécticas ue poducen el campo eléctico E como: U E( ) d V ( ) V ( ) E( ) d En el SI la unidad de medida del potencial electostático es el voltio: V J C / V voltios Miguel Ángel Monge / egoña Savoini
FÍSIC II 2. Potencial electostático Potencial electostático sí definido, la enegía potencial ue tiene una caga eléctica en un punto del espacio po esta sometida a un campo eléctico E es: U( ) V ( ) Po tanto el tabajo necesaio paa desplaza la caga de un punto a un punto del espacio seá: E W V( ) V ( ) Relación ente las líneas de campo y el potencial eléctico: F E Si dejamos en libetad una caga de pueba inicialmente en eposo en el seno de un campo eléctico, se acelea en el sentido de dicho campo y en la diección de las líneas de fueza. El hecho de ue se acelee hace ue vaíe su enegía cinética (aumentando) disminuyendo su enegía potencial. Esto uiee deci ue las líneas de campo señalan en la diección en la ue disminuye el potencial eléctico. V altos + E V bajos Miguel Ángel Monge / egoña Savoini
FÍSIC II 3. Potencial electostático: Tabajo y enegía Potencial electostático Las ideas fundamentales son: La inteacción electostática, igual ue la gavitatoia, conseva la enegía. El tabajo necesaio pa a lleva una caga de un punto a oto es igual a difeencia de enegías de la caga en y en : U W W V V( ) V( ) E El potencial eléctico es una nueva magnitud física ue nos pemite calcula la enegía potencial ue una caga tiene po encontase en campo eléctico: Enegía Potencial ( ) U( ) V ( ) Miguel Ángel Monge / egoña Savoini
FÍSIC II Potencial electostático 3. Potencial electostático de una caga puntual Es sencillo obtene la expesión del potencial electostático ceado po una caga puntual a pati del campo eléctico ue poduce. E o V ( ) V ( ) Paa ello calculamos el tabajo ue se ealiza paa lleva ota caga de pueba 0 de un punto a oto : V ( ) V ( ) E( ) d Si intoducimos la expesión del campo eléctico ceado po la caga puntual, la integal es sencilla: 1 4 2 d 0 4 1 0 Tomando como oigen de potenciales el infinito, podemos identifica el punto = y = : Miguel Ángel Monge / egoña Savoini V ( ) 1 4 0 Fijase en ue es la distancia de la caga ue poduce el potencial, al punto donde se calcula.
FÍSIC II Potencial electostático 3. Potencial electostático de una caga puntual Expesión geneal del potencial electostático ceado po una caga puntual: o 1 1 V ( ) Una caga situada en el punto dado po el vecto posición 1 cea un potencial eléctico en un punto del espacio dado po: V ( ) Pincipio de supeposición: 1 4 0 1 El potencial eléctico ceado po N cagas elécticas i, en un punto del espacio, es la suma del potencial ceado po cada una de ellas en el punto. N 1 i V ( ) 4 0 i1 i 1 1 1 2 i 2 P i i Miguel Ángel Monge / egoña Savoini
FÍSIC II Potencial electostático Ejemplo 1: Calcule el potencial eléctico poducido en el punto =(0,4) m po la pesencia de dos cagas puntuales 1 =9 nc y 2 =-18 nc en los puntos (0,0) y (0,1) m. Solución en los poblemas planteados. Intenta solucionalo sin mia el esultado Miguel Ángel Monge / egoña Savoini
FÍSIC II 4. Potencial y campo electostático Potencial electostático Matemáticamente, la elación ente el campo eléctico y el potencial electostático es mediante una integal de línea, como ya hemos visto: V ( ) E( ) d plicando conocimientos avanzados de calculo a la expesión anteio, se puede demosta ue: El campo eléctico es un campo consevativo : Se dice ue deiva de una función potencial escala, de foma ue se cumple demás se cumple: La fueza electostática es una fueza cental: La diección de los vectoes fueza pasan po un punto fijo llamado Cento o Polo del Campo y cuyo módulo sólo es función de la distancia al cento. Miguel Ángel Monge / egoña Savoini U U U E( ) V ( ) i j k x y z
FÍSIC II 4. Potencial y campo electostático Potencial electostático Como el campo eléctico es consevativo, el tabajo ealizado se coesponde con la vaiación de enegía. Si solo hay enegía potencial: W F( ) d U U( ) U( ) Enegía Potencial f i i f Po tanto, lo anteio (se consevativo implica ue): U U U F U ( ) i j k x y z El citeio de signos es: E F o d 1.- Si W positivo implica ue el campo eléctico ealiza el tabajo de foma al lleva la caga desde el punto inicial al final. 2.- Si es negativo, una fueza extena debeá apota esa enegía paa ealiza el tabajo. E o Miguel Ángel Monge / egoña Savoini
FÍSIC II Potencial electostático 4. Potencial electostático de distibuciones de caga Hemos visto ue paa un sistema fomado po N cagas puntuales, el potencial eléctico ceado po ellas en un punto P del espacio, cuya posición está dada po el vecto, es: 1 1 2 2 P i i N N i i i1 4 0 i1 i V ( ) V ( ) Paa una distibución continua de cagas podemos usa el mismo pocedimiento aplicado paa el calculo de campo E de una distibución continua. Dividimos la distibución en tozos difeenciales de caga d, y sumamos el potencial ceado po cada d en el punto P del espacio, cuya posición está dada po el vecto, donde se desea conoce el valo de V: 1 d V ( ) P V ( ) dv 1 4 o d Q Miguel Ángel Monge / egoña Savoini
FÍSIC II Potencial electostático 4. Potencial electostático de distibuciones de caga Ota foma de obtene V es a pati de su definición. Po tanto hay dos fomas euivalentes de calcula el potencial eléctico V de una distibución de caga: I Conocido el campo eléctico ceado po la distibución: V ( ) V ( ) E d II Si conocemos la distibución de caga: V ( ) dv 1 4 o d Miguel Ángel Monge / egoña Savoini
FÍSIC II Potencial electostático 4. Potencial electostático de distibuciones de caga Ejemplo 2: Calcula el potencial eléctico en todos los puntos del espacio ceado de una coteza esféica muy delgada de caga total Q y adio R. R Solución en los poblemas planteados. Intenta solucionalo sin mia el esultado Miguel Ángel Monge / egoña Savoini
FÍSIC II 5. Supeficies euipotenciales Potencial electostático Vamos a supone ue en una egión del espacio existe un campo eléctico, epesentado po sus líneas de campo. El tabajo necesaio paa desplaza una caga de pueba, o, una distancia infinitesimal seá el poducto escala: En téminos de incementos V E d W F d Si movemos una caga eléctica pependiculamente a E no se ealiza tabajo. El tabajo máximo es cuando la caga se mueve en la diección paalela al campo eléctico E. pependicula a E V 0 paalelo a E E V constante Vaiación máxima de potencial V F 0 E Vaiación máxima de potencial Miguel Ángel Monge / egoña Savoini
FÍSIC II 5. Supeficies euipotenciales Potencial electostático Supeficie euipontecial: Es el luga geomético de todos los puntos ue se encuentan al mismo potencial. Cumplen la condición de encontase en un plano pependicula al campo eléctico El tabajo desaollado paa move una patícula de un punto a oto punto a lo lago de una supeficie euipotencial es nulo, ya ue V V W lo lago de una supeficie euipotencial V V W 0 o lo lago de una línea euipotencial el potencial eléctico es constante. V=cte E Línea euipotencial V F 0 E Vaiación máxima de potencial Miguel Ángel Monge / egoña Savoini
FÍSIC II 5. Supeficies euipotenciales Las supeficies/líneas euipotenciales cumplen: El potencial es constante en todos los puntos de la supeficie. El vecto gadiente es otogonal a supeficie/línea euipotencial. E V( x, y, z) cte V V i Vi El gadiente y son otogonales 0 Caga eléctica + Línea de Campo E Potencial electostático Vectoes campo eléctico El vecto gadiente va de menoes a mayoes valoes de V. E V j V V ( V j Vi ) 0 i Miguel Ángel Monge / egoña Savoini V 1 V 2 V 0 V N Línea euipotencial
FÍSIC II 5. Supeficies euipotenciales Potencial electostático Supeficie euipotencial Campo eléctico Campo poducido po un hilo infinito Campo poducido po una caga puntual Campo poducido po un dipolo Miguel Ángel Monge / egoña Savoini
FÍSIC II 5. Supeficies euipotenciales Potencial electostático Ejemplo 3: Si el potencial eléctico en una egión del espacio está dado po: 1 1 1 V ( ) - 2 2 2 2 x x y z calcule el campo eléctico, y epesenta las líneas euipotenciales de 4 V, 2 V, 0 V y -2 V así como el campo eléctico. Solución en los poblemas planteados. Intenta solucionalo sin mia el esultado Miguel Ángel Monge / egoña Savoini