Potenciales trabajos fin de grado, tesis de master y tesis doctorales 2012-2013 Tesis de master y doctorales realizándose actualmente 2011-2012 Contiene: 1. Potenciales trabajos fin de Grado 2012-2013 (requiere aprobación dpto y facultad) 2 2. Tesis de Máster 2 2.1. Potenciales Tesis de Máster ofertadas para 2012-2013 (requiere aprobación dpto y facultad)........ 2 2.2. Tesis de Máster realizándose actualmente 2011-2012.............................. 3 3. Tesis Doctorales 4 3.1. Líneas ofertadas para Tesis Doctorales 2012-2013................................ 4 3.2. Tesis Doctorales realizándose actualmente 2011-2012.............................. 4 1 de 5
1. Potenciales trabajos fin de Grado 2012-2013 (requiere aprobación dpto y facultad) A. Avilés.- Fenómenos extraños en la recta real Descripción: Se estudiarían algunas construcciones conocidas de subconjuntos de R o de funciones reales con propiedades patológicas. B. Cascales.- El teorema de representación conforme de Riemann Descripción: Se demostrará que para los abiertos simplemente conexos de C (distintos de C) se puede construir una biyección holomorfa sobre el disco unidad D(0, 1) (Teorema de Riemann). Una vez demostrado el teorema de Riemann se estudiarán reforzamientos del mismo y se analizarán fórmulas concretas para biyecciones holomorfas entre abiertos concretos (transformaciones de Möbius, fórmulas de Schwarz-Christoffel). B. Cascales Aplicaciones del teorema del punto fijo: fractales Descripción: Se estudiarán varias demostracions del teorema del punto fijo de Banach. Se estudiaran el hiperespacio de los compactos de R n y los fractales deterministas como puntos fijos de funciones en el hiperespacio. Se utilizara el ordenador para programar el cálculo de fractales sencillos. J. Rodríguez (con A. Avilés) El teorema de Dirichlet Descripción: Este resultado clásico (1837) afirma que si a, b N cumplen mcd(a, b) = 1, entonces la sucesión {a + bn : n N} contiene infinitos números primos. El objetivo de TFG sería desarrollar la demostración de este teorema utilizando herramientas de la teoría de números algebraicos y el análisis complejo. M. Raja (con A. Avilés y G. Vera) Inversión local de aplicaciones diferenciables. Descripción: Se estudiará el teorema de la aplicación abierta en R n, relajando la hipótesis sobre diferenciabilidad con continuidad. M. Raja (con G. Vera) em Teoremas de la función inversa y de la función implícita en espacios de Banach. J. Orihuela (con A. Pallarés) George Cantor, el constructor del paraiso. Descripción: Análisis de la vida y obra del matemático George Cantor, sin duda uno de los diez grandes de la historia de la matemáticas. El alumno estudiará datos relevantes en su vida y obra, analizando la enorme repercusión que tuvo y hoy sigue teniendo en el desarrollo de la matemática. La hipótesis del continuo es solo la punta del iceberg de una mente maravillosa consagrada al desarrollo de las matemáticas. J. Palláres (con J. Orihuela) John von Neumann, el matemático del siglo 20. Descripción: Análisis de la vida y obra del matemático John von Neumann. El alumno estudiará datos relevantes en su vida y obra, analizando la enorme repercusión que tuvo y hoy sigue teniendo en el desarrollo de la matemática, como por ejemplo, formulación de la mecánica cuántica, teoría de juegos, ciencias de la computación, etc. 2. Tesis de Máster 2.1. Potenciales Tesis de Máster ofertadas para 2012-2013 (requiere aprobación dpto y facultad) A. Avilés.- El teorema l 1 de Rosenthal 2 de 5
Descripción: Se estudiará este importante teorema que afirma que dada una sucesión acotada en un espacio de Banach, o bien contiene una subsucesión débil-cauchy, o bien contiene una subsucesión equivalente a la base del espacio l 1. B. Cascales.- Ultrafiltros Descripción: Los ultrafiltros proporcionan una potente herramienta tanto en análisis matemático, como en otras parcelas de las matemáticas. Se propone analizar el uso de ultrafiltros en numerosas cuestiones importantes de la topología, teorría de la medida y análsis funcional. J. Rodríguez (con A. Avilés) El teorema de dicotomía de Fremlin Descripción: Sea (Ω, Σ, µ) un espacio de medida σ-finito y perfecto. Toda sucesión (f n) de funciones reales medibles en Ω cumple una de las dos alternativas siguientes: (f n) tiene una subsucesión que converge en µ-c.t.p. (f n) tiene una subsucesión sin puntos de aglomeración medibles en R Ω. Este profundo resultado de Fremlin (1975) tiene consecuencias muy interesantes sobre la medibilidad de funciones separadamente continuas, integración de funciones con valores en espacios de Banach, etc. El objetivo del TFM sería desarrollar la demostración del teorema y presentar algunas aplicaciones del mismo. J. Orihuela (con J. Mira) El teorema fundamental de los mercados financieros. Descripción: En esta línea de trabajo el alumno deberá profundizar en alguna de las versiones del teorema que caracteriza un modelo de mercado financiero a través de la condición de no arbitraje. El principio de no arbitraje resulta imprescindible, por ejemplo, para la resolución que de la ecuación de Black-Sholes. Dicha ecuación cambió el mundo financiero desde los años 70 y hoy sigue siendo motor de los mercados para muchas transacciones financieras. Los teoremas de Harrison, Pliska, Dalang, Morton, Willenger, Kreps, Delbaen y Schachermayer en esta dirección podrán ser objeto de estudio y profundización por parte del alumno. Esta tesis de máster se ofrece bien a un nivel más básico (estudio concreto de un artículo o capítulo de libro) o bien como un estudio más intenso que pueda llevar a una buena preparación para el inicio a la investigación. J. Rodríguez (con B. Cascales) El teorema de Komlós Descripción: Sean (Ω, Σ, µ) un espacio de medida y (f n) una sucesión en L 1 (µ) que está acotada respecto de 1. Entonces existen una subsucesión (g n) de (f n) y una función g L 1 (µ) tales que h 1 + h 2 + + h n g = lím n n µ-c.t.p. para toda subsucesión (h n) de (g n). El objetivo del TFM sería desarrollar la demostración de este celebrado teorema de Komlós (1967) y estudiar sus extensiones al caso de funciones vectoriales. J. Rodríguez (con B. Cascales) El teorema de convexidad de Lyapunov Descripción: En 1940 Lyapunov demostró que si µ : Σ R n es una medida numerablemente aditiva y no atómica definida en una σ-álgebra Σ, entonces el conjunto {µ(a) : A Σ} R n es compacto y convexo. Este teorema es un resultado fundamental en la teoría de las medidas vectoriales y tiene aplicaciones en campos como el cálculo de variaciones, la teoría de control o la matemática económica. El objetivo del TFM sería desarrollar las distintas demostraciones del teorema y presentar algunas aplicaciones del mismo. 2.2. Tesis de Máster realizándose actualmente 2011-2012 A. Avilés.- Espacios de Banach universales Tesinando: Fulgencio López Serrano. Descripción: Un espacio de Banach X es universal para una clase C, si X está en C y todo espacio de C es 3 de 5
isomorfo a un subespacio de X. En este trabajo se considera el problema de la existencia de espacios universales para ciertas clases. A. Avilés.- Subespacios de ceros de polinomios Tesinando: José Vidal Núñez. Descripción: Dado un polinomio P definido en un espacio de Banach X, se considera el problema de cuán grandes son los subespacios de X en los que el polinomio se anula. B. Cascales y M. Raja El teorema de representación de Riesz. Tesinando: Claudia Patricia Zepeda. Descripción: Se estudian distintas versiones y aplicaciones del resultado que permite representar los funcionales lineales y continuous definidos en un espacio de funciones continuas como integrales. 3. Tesis Doctorales 3.1. Líneas ofertadas para Tesis Doctorales 2012-2013 - Medida e integración vectorial. El doctorando abordaría problemas situados en la frontera entre la teoría de los espacios de Banach y la teoría de la medida. Dentro de este contexto quedan muchas cuestiones abiertas, planteadas por reconocidos especialistas, sobre los temas siguientes: σ-álgebras en espacios de dimensión infinita, medidas vectoriales, extensiones de las integrales de Riemann y Lebesgue para funciones vectoriales, espacios de funciones integrables, integración de funciones multivaluadas, etc. - Gaps multiples y teoría de Ramsey. Se trata de una línea de investigación reciente, relacionada con la teoría de conjuntos, la combinatoria en árboles y la topología infinito-dimensional. -Espacios de Asplund, funciones meseta diferenciables y particiones de la unidad de clase C 1. Un problema esencial para la teoría de espacios de Banach sin resolver todavía es el dilucidar si de la existencia de una norma Fréchet diferenciable sobre X puede o no deducirse la existencia de particiones de la unidad de clase C 1 subordinadas a cualquier cubrimiento por abiertos en X. En esta tesis propondremos a un alumno avanzado caminos para acercarnos a la comprensión de la citada cuestión y de problemas con ella relacionados ampliamente estudiados en la última década. 3.2. Tesis Doctorales realizándose actualmente 2011-2012 A. Avilés y B. Cascales Espacios C p (K) y sus subespacios Doctorando: David Guerrero (Becario FPI - UMU). Descripción: Estudio de la topología de convergencia puntual en un espacio de funciones continuas sobre un compacto, tratando de determinar qué subespacios puede contener. B. Cascales y A. J. Guirao Bishop-Phelps-Bollobás property Doctorando: Olena Kozhushkina (Teaching Assistant Kent State Univesity, OH, USA. Descripción: Se estudian técnicas de análisis complejo (transformaciones conformes, teorema de Riemann, álgebra del disco) y topología (lema de Uryshon, fragmentabilidad) que se utilizan para demostrar resultados de optimización de operadores entre espacios de Banach, como el sigueinte: muchos operadores T entre espacios de Banach pueden aproximarse por otros operadores S que alcanzan la norma con la propiedad adicional de que los puntos donde T casi alcanza su norma y S alcanza la suya también están próximos. J. Orihuela, M. Raja y C. Zanco Topological Techniques in Renorming Theory. Doctorando: Simone Ferrari UMU-Milan) Descripción: Las propiedades de renormammiento estrictamente convexo, de Kadec y uniformemente convexo 4 de 5
se estudian a través de nuevas técnicas topológicas, analizando los resultados de transferencia no lineal para las mismas. 5 de 5