La Lección de Hoy es Distancia entre dos puntos El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante CGT.5.G.1 La formula de la distancia dada a dos pares es: d= (x 2 -x 1 ) 2 + (y 2 -y 1 ) 2 De es igual a la raíz cuadrada de equis dos menos equis uno multiplicado al cuadrado mas ye dos menos ye uno multiplicado al cuadrado. Es la diferencia entre la raíz de X y la raíz de Y. Ahora que sabemos la formula de una distancia, vamos a aplicarla a algunos problemas; En el 1 er Problema necesitamos saber la distancia entre dos puntos, tenemos lo siguientes pares que son: (3,6) y (5,8) tres, seis, y cinco, ocho. Nuestro primer par es (x 1, y 1 ) el segundo par es (x 2, y 2 ). Ahora podemos usar la formula de la distancia para encontrar la distancia entre estos dos puntos. d= (x 2 -x 1 ) 2 = (y 2 - y 1 ) 2 Aquí solo sustituiríamos el par (3,6) con (x1, y1). Donde vemos el par (5,8) sustituiremos por (x 2, y 2 ). d= (5-3) 2 = (8-6) 2 Aquí tendremos la distancia es igual a la raíz cuadrada de (5-3) 2 + (8-6) 2 esta es la distancia, pero podemos Simplificar, seria cinco menos tres es dos, y ocho menos seis también es dos. d= (2) 2 + (2) 2 Tenemos dobles de dos al cuadrado, pero también podemos simplificar, seria cuatro. d= 4=4 Ahora tendríamos, distancia es igual a la raíz cuadrada de cuatro más cuatro.
d= 8 Que es igual a ocho. Esta es la distancia entre estos dos puntos. Pero este es Geometría y podemos simplificar raíz cuadrada y la raíz de 8 8 se reduce, y usaremos Factorización de números primos. Quiere decir llevar al ocho y preguntarnos Cuál es el número menor que va en ocho? En este caso es dos. Dos va entre ocho, Cuántas veces? Es cuatro veces. Cuatro es el factor, de nuevo Cuál es el número menor que ira entre cuatro? Seria dos, de nuevo Cuántas veces? Dos veces, esta es nuestra primera factorización. 2 8 Entonces ocho sería lo mismo que decir dos multiplicado por dos, 2 4 multiplicado por dos. 2 Ahora este es la raíz cuadrada. Entonces necesitaríamos un número para factorizar el radical. Tenemos dos grupos de dos y otros dos sobrantes. Quiere decir d= 8, puede escribirse simplemente d= 2 2 (de es igual a dos raíz cuadrada de dos). Entonces la distancia entre los puntos (3,6) y (5,8) es: d= 2 2 dos raíz de dos. Ahora que sabemos sobre la formula de una distancia y recordamos como reducir fracciones y radicales vamos a tratar otro ejemplo. Utilizaremos estos pares negativos (-6,-2) y (7,4) negativo seis, negativo dos, y siete, cuatro. De nuevo el primer par es (x 1, y 1 ) y el segundo par es (x 2, y 2 ). Esta se relaciona de nuevo a la formula de una distancia, entonces sustituiremos en la formula: d= (x 2 -x 1 ) 2 = (y 2 -y 1 ) 2 Donde vemos (x 2 -x 1 ) vamos a sustituir (-6,-2), donde vemos (y2-y1) sustituimos (7,4). Tendremos:
d= (7- -6) 2 + (4- -2) 2 la distancia es igual a la raíz cuadrada de siete menos, negativo seis al cuadrado, mas cuatro menos negativo dos al cuadrado. En matemáticas cada vez que vemos dos negativos, uno al lado del otro lo reemplazamos con positivo. No hay excepción a esta regla es nuestro paso. d= (7+6) 2 + (4+2) 2 Ahora a simplificar, siete más seis es trece, cuatro más dos es seis. d= (13)2 + (6)2 Ahora, buscaremos la raíz cuadrada, que posiblemente ya lo sabrás, o usarías la calculadora. No importa que uses simplemente simplifica estos radicales. d= 169 + 36 Tendremos que la raíz de trece es igual a 169, mas la raíz de seis al cuadrado es igual a 36. Ahora sumaremos estos dos, 169 +36 es igual a 205. Esta es la distancia, es la raíz cuadrada de 205. d= 205 Podremos reducir este? Cual sería el número menor que iría entre 205? Es cinco. Cuántas veces? 41 veces. Ahora tenemos un pequeño problema, 41 es un numero primo. Entonces, Tenemos un grupo de dos números que se asemejan a estos, infortunadamente NO. La raíz cuadrada de 205 no reduce. Entonces 205 es la distancia entre negativo seis, negativo dos y siete, cuatro. Vamos a tratar un problema más, para estar seguro que entendemos. Tenemos dos pares (1,2) y (-3,4) de nuevo los primeros pare son (x 1, y 1 ) los segundo pares son (x 2, y 2 ). Ahora los relacionamos con la formula de la distancia.
Cada una de las variables con el numero uno lo sustituimos con el par (1,2) y cada variable que tiene el numero dos lo sustituiremos por (-3,4). d= (x 1 -x 2 ) 2 + (y 1 -y 2 ) 2 Entonces si sustituimos estos valores en la formula de una distancia tenemos: d= (-3-1) 2 + (4-2) 2 La distancia es igual a la raíz cuadrada de negativo tres, menos uno al cuadrado, mas, cuatro menos dos al cuadrado. Ahora, simplificaremos dentro de los paréntesis; negativo tres menos unos es cuatro, y cuatro menos dos es dos. Aquí hay algo que debemos mencionar antes de seguir la - 4 es un problema que se les presentan a muchas personas. La ponen en la calculadora, o solo saben la respuesta de memoria, sin tomar en cuenta el paréntesis. En la calculadora si tú escribes solo -4 la respuesta será -16, y es por el orden de operaciones. Necesitamos tener cuidado cuando tenemos exponentes con números negativos debemos asegurarnos de usar los paréntesis. Necesitamos tener la respuesta correcta. Si usamos la raíz cuadrada de este número (-4) 2 es igual a (positivo) +16 y (2) 2 es= 4. d= 16+4 Ahora sumamos y tendremos la distancia es la raíz cuadrada de 20 d= 20 De nuevo, si podemos reducir tenemos el 20 y nos preguntaremos Cuál numero más pequeño que va en 20? Es dos, y dos va en dos Cuántas veces? 10 veces, ahora Cuál es el número menor que va en diez, aparte de uno? Es dos, de nuevo va en 10, Cuántas veces? cinco veces. Esta es la raíz cuadrada que quiere decir, necesitamos dos números similares para sacar algo del radical y tenemos un par de dos. Esto quiere decir d= 20 lo reducimos a distancia es igual a dos raíz de cinco d= 2 5 y esta es la distancia entre los puntos (1,2) y (-3,4).
Ahora vamos a hacer otro ejemplo, un poco diferente, no voy a dártelo con pares sino verbalmente. Tenemos, El punto A se encuentra en (0,4) y el punto B se encuentra en (1,6). Cuál es la longitud de AB, a la centésima más cercana? Inmediatamente cuando ves la palabra longitud tienes que pensar en la distancia porque longitud es distancia. Entonces, buscamos la distancia y la redondearemos. Para encontrar una distancia se necesitan dos puntos. Estos son (0,4) Y (1,6). Ahora usaremos la formula de una distancia. d= (x 2 -x 1 ) 2 + (y 1 -y 2 ) 2 Recuerda en tener cuidado en sustituir (x 1 -y 1 ) y el otro orden de pares (x 2 -y 2 ) es muy importante, que el par (0,4) lo sustituyas en (x 1 -y 1 ), y el segundo orden de par (1,6) en el lugar de (x 2 -y 2 ). Vamos a sustituirlos en la ecuación de la formula de una distancia. Tenemos: d= (1-0) 2 = (6-4) 2 De es igual a la raíz cuadrada de uno menos cero al Cuadrado, mas, seis menos cuatro al cuadrado. Ahora simplificamos, uno menos cero es uno y seis menos cuatro es dos. Entonces buscamos la raíz cuadrada de estos números, d= 1+4 La raíz cuadrada de uno es uno. La raíz cuadrada de dos es cuatro. Ahora sumaremos estos números y uno más cuatro es cinco. D= 5 la raíz de cinco NO reduce, pero en este problema no nos preguntan si reduce o no. Nos dice que redondees a la centésima más cercana. Como lo hacemos? Usaremos nuestra calculadora y si buscas la raíz cuadrada de 5 en la calculadora y la redondeas dos espacios después del punto decimal que es donde la centena más cercana esta. Vamos a tener aproximadamente 2.24, esta es la distancia entre (0,4) y (1,6) y así es como utilizamos la formula de una distancia dando dos puntos.