GRAFICAS DE CONTROL. Angel Francisco Arvelo L.

GRAFICAS DE CONTROL Angel Francisco Arvelo L. Caracas, Marzo de 2006

1 ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN Angel Francisco Arvelo Luján es un Profesor Universitario Venezolano en el área de Probabilidad y Estadística, con más de 40 años de experiencia en las más reconocidas universidades del área metropolitana de Caracas. Universidad Católica Andrés Bello : Profesor Titular Jubilado 1970 a 2003 Universidad Central de Venezuela: Profesor por Concurso de Oposición desde 1993 al presente Universidad Simón Bolívar: Profesor desde 2005 al presente Universidad Metropolitana: Profesor desde 1973 a 1987 Universidad Nacional Abierta: Revisor de contenidos, desde 1979 hasta 2004 Sus datos personales son : Lugar y Fecha de Nacimiento: Caracas, 16-02-1947 Correo electrónico: angelf.arvelo@gmail.com Teléfono: 58 416 6357636 Estudios realizados: Ingeniero Industrial. UCAB Caracas 1968 Máster en Estadística Matemática CIENES, Universidad de Chile 1972 Cursos de Especialización en Estadística No Paramétrica Universidad de Michigan 1982 Doctorado en Gestión Tecnológica: Universidad Politécnica de Madrid 2006 al Presente El Profesor Arvelo fue Director de la Escuela de Ingeniería Industrial de la Universidad Católica Andrés Bello (1974-1979), Coordinador de los Laboratorios de esa misma Universidad especializados en ensayos de Calidad, Auditor de Calidad, y autor del libro Capacidad de Procesos Industriales UCAB 1998. En numerosas oportunidades, el Profesor Arvelo ha dictado cursos empresariales en el área de Estadística General y Control Estadístico de Procesos. Otras publicaciones del Prof. Arvelo, pueden ser obtenidos en la siguiente página web: www.arvelo.com.ve

2 PROLOGO El uso de métodos estadísticos en la gestión de calidad esta universalmente aceptado y reconocido, por todas las instituciones y organismos que certifican la calidad, tanto en la producción de bienes como en la prestación de servicios. Así por ejemplo, las normas ISO en todas sus versiones, hacen referencia en varias de sus cláusulas, al uso de procedimientos de muestreo en el aseguramiento de la calidad, tanto en la recepción de materias primas, como en el control del proceso. La recopilación de todos estos procedimientos constituye una disciplina conocida como Control Estadístico de Procesos ó por sus siglas en inglés SPC (Statistical Process Control), de obligatorio estudio en todas las especialidades de Ingeniería. Algunas de sus aplicaciones son las siguientes: 1. Gráficas de control, que se utilizan para detectar oportunamente fluctuaciones irregulares que pudiera presentar un proceso. 2. Muestreo para la aceptación, que se utiliza para decidir acerca del ingreso de lotes de materias primas que llegan a un proceso. 3. Diseño de Experimentos, que se utiliza para identificar las variables más influyentes dentro de un proceso. 4. Análisis de Regresión, que se utiliza para pronosticar los valores de calidad del producto terminado, en función de las variables controlables del proceso. 5. Análisis de Confiabilidad, que se utiliza para el establecimiento de garantías, y para decidir acerca de las políticas de mantenimiento a seguir. En Venezuela, su uso no es reciente, y las normas de calidad venezolanas también sugieren el empleo de métodos estadísticos, tal como se evidencia en la norma COVENIN ISO9001: 1995. Sin embargo, a pesar de lo difundido de los métodos, y de su elevado grado de aceptación, ellos presentan desde el punto de vista teórico un punto débil, que consiste en apoyarse en ciertos supuestos de distribución para modelar el comportamiento del proceso, especialmente el supuesto de normalidad.

3 Obviamente estos supuestos constituyen una limitación al aplicarlos, pues en caso de no verificarse, la validez del método queda seriamente afectada, al igual que las conclusiones que de él se deriven. Muchas son las industrias que aplican los procedimientos de control estadístico de procesos, sin verificar previamente los supuestos teóricos que los soportan. Esta realidad plantea a juicio del autor, un objeto de investigación acerca de las consecuencias que el incumplimiento de los supuestos exigidos puede ocasionar en la gestión de la calidad, y también sobre la factibilidad de desarrollar otros métodos alternativos que puedan ser aplicados, en aquellas situaciones que así lo requieran. En los últimos años, los métodos estadísticos han tenido un fuerte avance en un área conocida como Estadística no-paramétrica, debido a que esta disciplina proporciona una serie de procedimientos que se denominan libres de distribución, que como lo indica el nombre, proporcionan una metodología general que no requiere supuestos iniciales sobre el tipo de distribución que sigue la variable en estudio. Cuando estos métodos comenzaron a ser divulgados, aproximadamente a comienzos de 1980, fueron fuertemente criticados por el hecho de requerir tamaños de muestra mucho más grandes que los métodos convencionales, lo que obviamente ocasiona un incremento en el costo de los estudios que los aplican. Con el transcurso del tiempo, los métodos no-paramétricos comenzaron a tener una mayor aceptación, pero casi exclusivamente en el área de las ciencias sociales, y en las ciencias del comportamiento; ya que allí se pudo demostrar que los supuestos de distribución y muy en particular el de normalidad, resultaban muy débiles para analizar datos que guarden relación con la conducta humana. En el área tecnológica, la difusión y aplicación de los métodos no-paramétricos ha sido muy escasa, y los datos provenientes de procesos industriales aún siguen siendo analizados bajo los supuestos clásicos, que los consideran como provenientes de una población que sigue una distribución estadística predeterminada, generalmente la normal, mejor conocida como Campana de Gauss. :

4 Este trabajo pretende hacer una recopilación de los diferentes gráficos de control que existen, a fin de que el usuario conozca el alcance, limitación y aplicación de cada uno de ellos. En futuro, el autor proyecta realizar una investigación acerca de la posible aplicación que pudieran tener los procedimientos no paramétricos en la construcción de estos gráficos de control, y seleccionar aquellos que puedan ser aplicables en la gestión de calidad. Para ello resulta indispensable conocer los objetivos que persiguen los procedimientos estadísticos convencionales para la gestión de la calidad, y analizar cuales de ellos pudieran ser sustituidos por procedimientos no paramétricos. Una vez identificados los procedimientos no paramétricos que pudieran ser aplicados en la gestión de calidad, se hace necesario compararlos con sus equivalentes convencionales, a fin de analizar sus ventajas y desventajas. Esta comparación deberá tomar en consideración aspectos tales como el tamaño de muestra requerido por cada uno de los dos procedimientos, sus niveles de riesgo, y su sencillez de aplicación a nivel industrial. Probablemente esta comparación requerirá aplicar cálculo de probabilidades para medir el riesgo de los procedimientos propuestos, o muy seguramente tendrá que ser hecho mediante técnicas de simulación.

5 GRAFICAS DE CONTROL El control estadístico distingue entre dos causas de variación dentro de un proceso; aquellas que no pueden ser identificadas y corregidas que se denominan causas fortuitas o aleatorias, y otras que pueden plenamente identificadas y que se deben al proceso en sí, las cuales se denominan causas asignables. Cuando el proceso opera sólo bajo la acción de causas fortuitas, se dice que se encuentra en el estado de control estadístico, o simplemente bajo control. Las gráficas de control ayudan a identificar y a eliminar las causas asignables, de manera de asegurar que el proceso se encuentra bajo control. La construcción de estas gráficas requieren que las muestras sean tomadas en forma de subgrupos racionales, en donde la probabilidad de variación dentro de una misma muestra sea mínima, mientras que de una muestra a otra sea máxima. Las variaciones dentro de una misma muestra se deben a causas aleatorias, mientras las de una muestra a otra a causas asignables. Si llegara a ocurrir un desajuste que ocasione un cambio en la forma de operación del proceso, el gráfico debería detectarlo tan pronto como sea posible, y dar una señal fuera de control. Obviamente, cuanto más rápido se detecte el desajuste, más eficiente es la gráfica de control utilizada. El número de muestras o subgrupos que se necesitan para obtener la primera señal fuera de control resulta ser una variable aleatoria denominada longitud de la corrida, y su valor esperado conocido como longitud media de la corrida o por sus siglas en inglés ARL (Average Run Length), es una medida muy utilizada para evaluar el desempeño de la gráfica. Cuanto menor sea el ARL de una gráfica de control mejor es su desempeño, pues es capaz de detectar más rápidamente un desajuste. Un gráfico de control también es susceptible de emitir una falsa alarma, que equivale a cometer Error del Tipo I en una prueba de hipótesis, y dar una señal fuera de control cuando en realidad el proceso se encuentra controlado. Las gráficas de control son usualmente comparadas sobre la base de su probabilidad de cometer Error del tipo I, y de su ARL.

6 I1 CONSTRUCCION DE UNA GRAFICA DE CONTROL Es frecuente que para construir una gráfica de control se deba asumir alguna distribución paramétrica para modelar el comportamiento de las causas fortuitas, y ésta se suele llamar la distribución subyacente. Lo más común es suponer que las causas fortuitas ejercen su efecto según una Distribución Normal. Esta realidad limita el uso de la gráfica de control, sólo a aquellas situaciones donde se satisfacen tales supuestos de distribución. Muchos autores han escrito sobre el uso de gráficas de control basadas en normalidad cuando éste supuesto no se cumple. Shewhart (1939; p.12,54) Ferrel (1953), Tukey (1960; p. 458), Langenberg e Iglewicz (1986), Jacobs (1990), Alloway y Raghavachari (1991) Yourstone y Zimmer (1992), Woodall y Montgomery (1999) y Woodall (2000). Adicionalmente, otros autores Noble(1951), Tuckey (1960; p. 458), Lehmann (1983; p.365) y Gunter (1989) entre otros, proponen el uso de gráficas de control que no dependan del supuesto de normalidad o de alguna otra distribución paramétrica específica; y proporcionan una amplia argumentación que justifica su desarrollo y aplicación. En la construcción de un gráfico de control intervienen los siguientes elementos: 1. El parámetro a controlar, que representa un valor poblacional cualitativo o cuantitativo, que por alguna razón se desea mantener estable dentro del proceso. Este parámetro usualmente designado como θ puede ser predeterminado o histórico, en cuyo caso se suele designar como θ, y corresponde al promedio histórico durante un tiempo de observación conocido como período base. La media del proceso, su mediana, su desviación estándar y la fracción de defectuosos suelen ser los parámetros a controlar más comunes, dando lugar así a diferentes tipos de gráficas. 2. El estadístico de control, que representa un valor muestral que se utiliza como estimador del parámetro poblacional a controlar.

7 Es práctica común seleccionar un estimador ˆθ que tenga la propiedad de ser insesgado, es decir: E( ˆθ ) = θ, lo que define la llamada línea central del gráfico. 3. Los límites de control, que representan las bandas,.una inferior (L.I.C) y otra superior (L.S.C), entre las cuales debe caer el estadístico de control, para considerar que el proceso se encuentra bajo control estadístico. Para encontrar estos límites de control existen fundamentalmente dos criterios: a) El criterio tres-sigmas, según el cual estos límites se hallan a tres desviaciones estándar por encima y por debajo del valor esperado del L.S.C =θ+ 3 Var( θˆ ) estimador, es decir: L. I.C 3 Var( ˆ =θ θ) b) El criterio probabilístico, que consiste en determinar un intervalo que tenga una probabilidad mínima de 0,99 de contener el valor del estadístico de control. P ( L.I.C ˆθ L.S.C) 0,99 Este último criterio, mas comúnmente utilizado en los países europeos, exige que se conozca la distribución exacta del estadístico de control ˆθ. Una vez calculados los límites de control, se procede a construir la gráfica y a representar sobre ella los valores de ˆθ correspondientes al período base. En caso de que todos los puntos obtenidos caigan dentro de los límites de control, estos pasan a ser definitivos; si algunos se salen, es necesario investigar la causa asignable que actuó, eliminar los puntos, y recalcular los nuevos límites. Según el Western Electric Handbook (1956), además de un punto fuera de los límites de control, existen otros síntomas que pueden revelar que el proceso se encuentra fuera de control, tales como:

8 Dos de tres puntos consecutivos fuera de los límites de advertencia dos sigmas. Cuatro de cinco puntos consecutivos ubicados a una distancia de una sigma o mas de la línea central. Ocho puntos consecutivos del mismo lado de la línea central. Siete puntos consecutivos en forma ascendente o descendente. Una información mas detallada sobre este tema, y los principios teóricos que sustentan la construcción de las gráficas de control, puede encontrarse en el texto: Indroduction to Quality Control 5 th Edition, por Douglas Montgomery, John Wiley & Sons (2005), o en cualquiera de sus ediciones previas que han sido traducidas al castellano por la Editorial Limusa Wiley Mexico Cap.4 3ª Edición México. (2005) 2 EVOLUCION DE LAS GRAFICAS DE CONTROL El primero en aplicar técnicas estadísticas al problema del control de calidad fue el Dr. Walter A. Shewhart, quien en los Laboratorios de la Bell Telephone escribió en Mayo de 1924 un memorando, donde hizo el primer esbozo de lo que hoy se conoce como Gráficos de Control de Shewhart. Posteriormente en 1931, el Dr. Shewhart escribió una obra titulada Economic Control of Quality of Manufactured Products, y en 1939 Statistical Method from the view point of Quality Control, donde fijó las normas para posteriores aplicaciones de los métodos estadísticos en el control de procesos. Estas obras de reconocido valor histórico, fueron posteriormente reeditadas en 1989, y en ellas establece el principio básico de variabilidad dentro de un proceso, según el cual: La calidad medida de un producto manufacturado, está siempre sujeta a una cierta cantidad de variación como resultado del azar. Algún sistema de causas casuales estable es inherente a cualquier esquema particular de producción y de inspección. La variación dentro de este patrón estable, es inevitable. Las razones de las variaciones externas a este patrón estable pueden ser descubiertas y corregidas. Bajo el pensamiento de Shewhart fueron desarrolladas las primeras gráficas de control, con el propósito de descubrir causas asignables. Entre estas, las más importantes son:

9 La Gráfica X, R: Esta es una gráfica de control por variables, que utiliza a la media de la muestra X como estadístico de control para la media del proceso, y al rango de la muestra R como estadístico de control para la desviación estándar del proceso. Es muy utilizada por la sencillez de cálculo en R, y su uso sólo se recomienda cuando el tamaño de los subgrupos n es pequeño (n 10). Los límites de control vienen dados por las siguientes expresiones: L.S.C = X + A 2R L.S.C = D4R Para X : Línea Central = X Para R Central = R : L.I.C = X A2R L.I.C = D3R Los coeficientes A 2, D 3 y D 4 son funciones de n, se deducen bajo el supuesto de normalidad, y se leen en tabla especialmente elaborada para la construcción de gráficas de control por variables que puede ser encontrada, al igual que más detalles sobre esta gráfica y las siguientes, en la misma referencia bibliográfica citada anteriormente Indroduction to Quality Control 5 th Edition, por Douglas Montgomery, John Wiley & Sons (2005), o en cualquiera de sus ediciones previas que han sido traducidas al castellano por la Editorial Limusa Wiley Mexico Cap.4, 3ª Edición México. (2005) La Gráfica X, S: Esta es también una gráfica de control por variables, que utiliza a la media de la muestra X para controlar a la media del proceso, pero en lugar del rango de la muestra R, utiliza a la desviación estándar muestral S, para controlar a la desviación estándar del proceso. Se recomienda su uso cuando el tamaño de los subgrupos n es mayor que 10 (n>10).debido a que en estos casos S es un estimador mucho más eficiente que R para la desviación estándar poblacional. Los límites de control vienen dados por las siguientes expresiones: Para X : L.S.C = X + A 3S Línea Central = X L.I.C = X A3S Para S L.S.C = B4S Central = S : L.I.C = B3S

10 Al igual que la anterior, estas dos gráficas como casi todas las de Swehart suponen que las muestras han sido tomadas como subgrupos racionales., y en ellas los límites de control son obtenidos con el criterio tres sigmas bajo el supuesto de normalidad. Gráfica de control para observaciones individuales: Es también una gráfica por variables que se aplica cuando no existe oportunidad de conformar subgrupos racionales, y en consecuencia la muestra es de tamaño n = 1. Tal es el caso por ejemplo, del envasado de líquidos o de cremas que previamente han sido debidamente homogeneizadas, y por lo tanto todas aquellos envases que provengan de un mismo lote presentan las mismas propiedades en el momento de su envasado. En situaciones como esta, la variabilidad se presenta entre los diferentes lotes, pero no entre las unidades de un mismo lote; y basta con medir el valor de la característica de calidad en una unidad, para conocer la de todo el lote. En estos casos, sobre la gráfica de control lo que se representa es el valor X de esa característica de calidad medida sobre una única pieza, y el subgrupo racional se forma al considerar el valor de la medición en un lote con la del próximo, para formar un subgrupo de tamaño 2. Suponiendo normalidad sobre X y aplicando el criterio tres sigmas, se R L.S.C = X + 3 d 2 obtienen los siguientes límites de control para X : Línea Central = X R L.I.C =X 3 d 2 Donde d 2 = 1,128 que es el valor correspondiente para subgrupos de tamaño 2, y R es el rango móvil promedio. Gráfica P: Esta es una gráfica por atributos que busca controlar la fracción de piezas no conformes que fabrica un proceso. Se fundamenta en la aproximación normal a la Distribución Binomial, utiliza como estadístico de control a ˆp proporción muestral de no conformes, y

11 mediante la aplicación del criterio tres sigmas presenta los siguientes límites de control para ˆp : L.S.C = P + 3 Central = P L.I.C = P 3 P(1 P) n P(1 P) n P representa el promedio histórico de la proporción de no conformes, y n el tamaño del subgrupo racional. Grafica NP: Esta es también otra gráfica por atributos que tiene el mismo objetivo de la anterior, con la diferencia de que utiliza como estadístico de control al número X de no conformes presentes en el subgrupo racional. Los límites de control para X por criterio tres sigmas y utilizando la aproximación normal a la binomial son: L.S.C = n P + 3 n P(1 P) Central = n P L.I.C = n P 3 n P(1 P) Dado que la distribución exacta de X es conocida cuando el proceso está bajo control, pues sigue una Binomial con parámetros n y P ; en esta gráfica es posible obtener los límites de control con criterio probabilístico, que usualmente resultan más estrechos que con criterio tres sigmas. Gráfica C : Es una gráfica por atributos utilizada para controlar el número C de defectos presentes en una unidad de muestreo. Supone que la distribución de C es una Poisson, y mediante la aplicación del criterio tres sigmas, los límites de control para C son: L.S.C = C + 3 C Central = C L.I.C = C 3 C C representa el promedio histórico del número de defectos, y bajo el supuesto de la distribución de Poisson, es posible también obtener límites probabilísticos. Gráfica U : Es una gráfica por atributos, conocida también bajo el nombre de Gráfica de defectos por unidad

12 Se utiliza como alternativa del gráfico C cuando la unidad de muestreo esta C formada por n unidades de producción, y se define U =. n Los límites de control para U resultan: U L.S.C = U + 3 n Central = U U L.I.C = U + 3 n U representa el promedio histórico del número de defectos por unidad. Es de hacer notar que en todos los gráficos de Shwehart el tamaño n del subgrupo racional pudiera ser variable, lo que ocasionaría limites de control variables, situación ésta de escaso valor práctico. Uno de los inconvenientes que presentan las gráficas de control de Shwehart es que en tales diagramas se utiliza solamente la información contenida en el último punto graficado, y se omite toda la información suministrada por la sucesión completa de puntos anteriores. (Véase Douglas Montgomery Control Estadístico de la Calidad, Cap. 8, 2005). Esta situación ocasiona que las gráficas de Shwehart sean relativamente insensibles frente a ligeros corrimientos del parámetro. Para solucionar este problema se han incorporado otros criterios, tales como las pruebas para corridas y los ya citados en el Western Electric Handbook, cuya intención es incorporar información contenida en el conjunto completo de puntos. Sin embargo, el uso de estas reglas adicionales de decisión además de dificultar la administración de las gráficas, incrementa considerablemente el riesgo de Error tipo I o falsa alarma, lo cual es indeseable por el alto costo que ocasiona y por su efecto desmoralizador. Para resolver este problema, han sido diseñadas otros tipo de gráficas de control, ya no de tan sencilla construcción, pero que con la ayuda de los recientes programas para el Control Estadístico de Procesos, su uso ha ido en notorio ascenso.

13 Esta nueva categoría de gráficas ha sido llamada graficas de control con memoria, también se apoyan el algún supuesto de distribución, y las más importantes son las siguientes: Gráficos CUSUM: Este gráfico cuyo nombre deriva de sus siglas en inglés cumulative sum o en castellano diagrama de control de suma acumulativa, fue propuesto por primera vez por Page (1954), y ha sido objeto de estudio por diversos autores, véase Ewan (1963) y Lucas (1976). Se utiliza para controlar la media de un proceso en un valor nominal µ o, y para ello existe una sucesión de muestras de tamaño n cada una, y cuyas medias muestrales son X 1,X 2,,Xm. El gráfico convencional de Shwehart tomaría individualmente cada una de estas medias muestrales, y de caer todas dentro de los límites de control para X, concluiría que el proceso está bajo control. El gráfico CUSUM utiliza la sucesión completa, y para ello parte el siguiente razonamiento: Para cada muestra calcula su desvío respecto al valor nominal Xi µ o. Si el proceso estuviese realmente centrado en µ o, algunos desvíos resultarían positivos, otros negativos, y su suma acumulada debería tender a cero. Por este motivo, toma como estadístico de control a la suma acumulada hasta la e-mésima muestra definida por: i= m S = (X µ ), la cual debería, en caso de m i o i= 1 que el proceso esté bajo control, aproximarse a cero en la medida en que m aumente. Si la media del proceso llegara a sufrir un desajuste, se presentará un desequilibrio entre los desvíos positivos y los negativos, y la suma acumulada se incrementará positivamente si el deslizamiento es hacia un valor mayor que µ o, o negativamente en caso contrario. La siguiente gráfica muestra un gráfico CUSUM en donde la media del proceso a partir de la muestra N o 16, ha sufrido un presunto deslizamiento hacia un valor mayor que el nominal, y la suma acumulada ha comenzado a crecer indefinidamente.

14 El principal problema que tropezó este gráfico inicial CUSUM fue la ausencia de unos límites de control para la suma acumulada que permitieran detectar cuando el proceso se ha desajustado. La solución de este problema condujo a dos variantes del gráfico conocidas como el CUSUM algorítmico y la plantilla o mascarilla V. Para construir estos gráficos, es necesario definir un valor k llamado valor de referencia, que representa el mayor deslizamiento en la media del proceso que podría tolerarse, y a partir del cual la suma acumulada se considera significativa y en consecuencia el proceso fuera de control. El valor de k también depende de la probabilidad con que se quiera detectar un deslizamiento, y su metodología de cálculo es distinta en el CUSUM algorítmico y para la plantilla V. El CUSUM algorítmico, considera dos sumas acumuladas, la de los desvíos positivos llamada C + -, i y la de los negativos C i y la gráfica de control toma la siguiente apariencia:

15 mientras que en el de la plantilla V esta otra: El procedimiento para construir esta mascarilla V fue desarrollado por Johnson y Leone (1978), y para una explicación detallada sobre su construcción véase: Control de Calidad y Estadística Industrial. Duncan Cap. 22 (1990). La mascarilla V se centra en el punto O correspondiente a la suma acumulada de desviaciones hasta la última muestra y a partir de allí, se trazan sus brazos. Si todos los puntos correspondientes a las sumas acumuladas anteriores caen dentro de los brazos, el proceso se considera dentro de control. Debido a la dificultad de los cálculos requeridos para su construcción, la mascarilla V tuvo poca difusión en sus comienzos; pero con la aparición de

16 los recientes programas estadísticos, su uso ha comenzado a tener gran aceptación. También existen gráficas CUSUM destinadas a controlar la variabilidad del proceso, las cuales también suponen normalidad. Hawkins (1993) hizo un estudio comparativo entre los gráficos de Shwehart con límites tres sigmas y los gráficos CUSUM, basando su comparación en el ARL de cada una. Concluye que cuando el proceso esta bajo control ambas gráficas dan aproximadamente la misma probabilidad de error tipo I y un ARL aproximadamente igual; mientras que para procesos fuera de control, el ARL varía considerablemente de una gráfica a otra, y presenta tablas comparativas como la siguiente, donde se aprecia que el ARL del gráfico CUSUM resulta por lo general significativamente menor que el de la gráfica Shwehart, frente a una misma magnitud δ del deslizamiento en la media del proceso. δ CUSUM Shwehart 0 500 500 0,5 30 214,5 1 10,5 65,2 1,5 5,4 18,2 2 3,4 7,35 3 2,6 2 ARL(δ) para gráficos CUSUM y Shwehart Comparables δ representa la magnitud relativa del deslizamiento en la media del proceso expresada en términos de σ desviación estándar poblacional Gráficas EWMA: Estás graficas con memoria, propuestas por primera vez por Roberts (1992) derivan su nombre de Exponencially Weighted Moving Average, se utiliza principalmente para observaciones individuales, y parten de la idea de darle un mayor peso a las observaciones más recientes con el propósito de hacerlo más sensible frente a cambios en el proceso. La versión más importante de las gráficas EWMA, es la que se utiliza para controlar la media del proceso en un valor especificado µ o, que usa como estadístico de control a Z i definido como el promedio ponderado entre la última observación X i y el valor anterior de ese mismo estadístico; es decir: Z i = λx i + (1-λ) Z i-1 ; siendo Z o = µ o, y 0 < λ 1.

17 Si se aplica sucesivamente esta fórmula para Z i-1, Z i-2 etc., puede verse fácilmente que Z i resulta un promedio exponencialmente ponderado entre todas las observaciones, en donde la más reciente resulta con una ponderación mayor, y las más antiguas con otra mucho menor. j= i 1 j i i=λ λ i j λ µ 0 j= 0 Z (1 ) X + (1- ) El factor de ponderación λ refleja la importancia que se le esta dando a la observación mas reciente, y es práctica común seleccionar 0,05 λ 0,25. Bajo el supuesto de normalidad, los límites de control con criterio tres sigmas resultan ser: λ 2i L.S.C =µ 0 + 3 σ 1 (1 λ ) 2 λ Central = µ 0 λ 2i L.I.C = µ 0 + 3σ 1 (1 λ) 2 λ ; lo que revela límites de control variables, que a medida que va creciendo el número de observaciones, e i crece tienden a estabilizarse, y alcanzar unos límites permanentes L.S.C =µ 0 + 3σ representados por la expresiones: Central = µ 0 L.I.C = µ 0 + 3σ gráfica con la siguiente apariencia: λ 2 λ λ 2 λ ; dando lugar a una

18 Este gráfico EWMA también puede usarse con subgrupos racionales de tamaño n, en cuyo caso será necesario sustituir X i por expresiones anteriores. X i,y σ por σ n en las Existen también gráficos EWMA para controlar la variabilidad del proceso en un valor especificado σ 0, y en ellos se toma como estadístico de control al error cuadrático medio ponderado exponencialmente ( EWMS) definido como: S =λ(x µ ) + (1 λ )S 2 2 2 i i 0 i 1 Los límites de control para S i se obtienen a partir de una Distribución Chi- Cuadrado con aproximadamente probabílistico del 99% resultan: 2 λ ν= λ grados de libertad, que con criterio L.S.C = σ L.I.C = σ0 0 χ χ 2 0.005; ν ν 2 0.995; ν Para procesos en donde se requiere un control por atributos, la Graficas EWMA también ofrece una alternativa cuando el parámetro a controlar es el número de defectos, el cual se quiere mantener controlado en un valor µ o. En este caso, al igual que en la gráfica C de Shwehart, se supone que el número de defectos sigue una Distribución Poisson, El valor del EWMA se mantiene al igual que antes: Z i = λx i + (1-λ) Z i-1 ; siendo X i el número de defectos encontrados en la i-ésima unidad inspeccionada, Z o = µ o, y 0 < λ 1. ν Los límites de para Z i en este caso son: λµ o 2 L.S.C =µ 0 + A 1 (1 λ ) 2 λ Central = µ 0 λµ o 2 L.I.C =µ 0 A 1 (1 λ) 2 λ A es un coeficiente que se selecciona en función de la Probabilidad de Error I.

19 GRAFICAS DE CONTROL CON PROMEDIOS MOVILES. Este otro tipo de gráficas de control sólo toma en cuenta un cierto número w de las observaciones más recientes omitiendo todas las anteriores. Si se tiene una sucesión de valores individuales X 1, X 2, X 3,.., X n, el promedio móvil correspondiente para cada observación se obtiene promediando aritméticamente esta observación con la w -1 anteriores, es decir: X + X + X + + X Mi = w i i 1 i 2 i w+ 1 Para las primeras w-1 observaciones no es posible calcular el promedio móvil mediante esta fórmula pues no se cuenta con w observaciones anteriores, y sólo para ellas el promedio móvil se calcula promediando la totalidad de las X1+ X2 + X3 + + Xi anteriores: Mi = ; i w-1 i Suponiendo que independencia entre las observaciones, y que el proceso sigue una Distribución Normal con media µ o cuando se encuentra bajo control y con varianza σ 2, es fácil deducir que los límites de control tres sigmas son: Para las primeras w-1 observaciones: Central = µ =µ L.S.Ci =µ 0 + 3 i L.I.C i 0 3 i 0 σ ; i w-1 σ Para todas las siguientes: Central = µ =µ L.S.C =µ 0 + 3 w L.I.C i 0 3 w 0 σ σ En la mayoría de los casos prácticos se selecciona w = 5, y la apariencia de la gráfica es como sigue:

20 Estudios hechos por simulación, han demostrado que la gráfica de control con promedios móviles es más efectiva que la de Shwehart para detectar corrimientos leves en la media del proceso. Una variante de este tipo de gráficas consiste en calcular el promedio móvil en forma ponderada, concediéndole un mayor peso a la última observación, y una ponderación menor a las anteriores. I.3 GRAFICAS DE CONTROL MULTIVARIANTES Todas las gráficas anteriormente descritas se utilizan para el control de una variable de calidad en forma aislada. En la mayoría de los casos prácticos, la calidad de un producto la definen varias variables de forma simultánea, de manera que si alguna de ellas no cumple con sus requisitos de calidad, el producto es no conforme en su totalidad. Cuando se lleva una gráfica de control propia para cada una de las variables, no sólo se pueden llegar a inferencias erróneas respecto del proceso, si no también se incrementa considerablemente el riesgo de Error Tipo I o falsa alarma, pues si cada gráfica tiene una probabilidad α de cometer error tipo I, la probabilidad de que alguna de ellas lo cometa es 1-(1-α) n, suponiendo que las n variables a controlar son independientes. Si las variables a controlar no son independientes, este riesgo resulta difícil de cuantificar.

21 Las gráficas de control multivariantes se comenzaron a desarrollar por primera vez en 1947 con el propósito de controlar varias variables en forma simultánea, y hoy en día tienen una gran importancia en el control moderno de procesos, ya que los procedimientos de inspección automáticos permiten fácilmente medir un gran número de variables dentro de un producto manufacturado. La más conocida de estas gráficas es la T 2 de Hotelling, que supone una distribución normal multivariante para el conjunto de variables en estudio, y exige que se conozca tanto el vector de medias como la matriz de varianzas y covarianzas. La gráfica tiene como objetivo el control simultaneo de las medias de todas las variables en los valores dados por el vector de medias. Para el caso de dos variables, el estadístico de control es el valor de una chicuadrado con dos grados de libertad, definido por la expresión: n χ = σ (X µ ) +σ (X µ ) 2 σ (X µ )(X µ ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 2 2 2 σ1σ 2 σ12 Para aceptar que el proceso se encuentra bajo control, el valor de este estadístico χ 2 deberá ser menor o igual que el único límite de control superior χ 2 α, dado por la distribución chi-cuadrado con 2 grados de libertad y un nivel de significación α a la derecha. Este hecho sirve como punto de partida para la construcción de la gráfica de control, pues la expresión en el corchete representada en un plano cartesiano con ejes X 1 y X 2 es una elipse con centro en (µ 1, µ 2 ) Si el punto muestral (X 1,X 2) cae dentro de la región encerrada por la elipse, el proceso se considera bajo control, caso contrario fuera de control. La forma de esta elipse depende de las varianzas y de la correlación entre las variables. En caso de que X 1 y X 2 sean independientes la covarianza entre ellas σ 2 12 = 0, y la elipse resulta con ejes paralelos a los ejes coordenados, pero si no lo son entonces σ 2 12 0 y la elipse resulta con ejes oblicuos cuya inclinación depende de la magnitud de la correlación entre las variables, y de su signo.

22 Gráfico de Control Bidimensional para dos variables independientes Gráfico de Control Bidimensional para dos variables con correlación positiva En caso de que las variables a controlar sean tres ó mas, el cálculo del estadístico de control χ 2 debe hacerse mediante la siguiente expresión matricial: n(x ) Σ (X ) 2-1 χ = µ µ donde n representa el tamaño muestral, µ el vector de medias bajo control, X el vector de medias muestrales y Σ la matriz de varianzas y covarianzas. En este caso, los grados de libertad coinciden con el número de variables consideradas p, y el gráfico de control toma la apariencia de un gráfico convencional de Shwehart, sin línea central y con un único límite de control superior, en donde se representa el valor del estadístico de control χ 2 obtenido en las sucesivas muestras. Cuando los parámetros poblaciones no son conocidos, es necesario hacer una estimación previa de ellos, el estadístico de control cambia ligeramente, y pasa a llamarse la T 2 de Hotelling definido por expresión: S 2-1 T = n(x X) (X X)

23 donde X y S son las estimaciones del vector de medias µ y de la matriz Σ de varianzas y covarianzas respectivamente. Al igual que el anterior, el gráfico de control T 2 de Hotelling presenta un solo límite superior de control sin línea central, y sobre él se representan los sucesivos valores de T 2 para las diferentes muestras examinadas. Cuando se presentan puntos fuera de control en gráficos multivariantes, la interpretación es mucho mas difícil que en el caso univariante, pues no se puede identificar la variable que ha ocasionado esta situación. Algunos autores sugieren complementar con gráficos individuales para cada una de las variables a fin de facilitar esta identificación. Este procedimiento además de largo puede fallar, especialmente cuando la señal fuera de control no se debe a una sola de las variables, si no a la interacción entre varias de ellas. Otro procedimiento útil para analizar un punto fuera de control es descomponer el valor de la T 2 de Hotelling en distintas componentes que reflejen la acción de cada una de las variables. ( véase referencias bibliográficas anteriores).. Hayter y Tsui (1994) desarrollaron también un procedimiento basado en intervalos de confianza simultáneos, que permite identificar las causas que originaron la señal fuera de control. GRAFICAS MCUSUM y MEWMA: Las gráficas χ 2 y T 2 descritas anteriormente al igual que las de Shwheart no tienen memoria, pues solo consideran la información contenida en la última muestra procesada. Las MCUSUM y MEWMA son gráficas con memoria que pueden considerarse una extensión multivariante de las CUSUM y EWMA respectivamente. La gráfica MCUSUM utiliza la información contenida en todas las variables consideradas reduciéndolas a un único escalar que las resume y representa, y posteriormente a este escalar le aplica un gráfico CUSUM univariante, (Veáse Pignatello y Runger (1990). La gráfica MEWMA aplica un procedimiento similar, con la diferencia de que a éste escalar utilizado como estadístico de resumen para todas las variables consideradas, le aplica posteriormente un gráfico EWMA univariante.

24 Prabhu y Runger (1996) demostraron que el gráfico MEWMA presenta un ARL mucho menor que otros procedimientos multivariantes, y por lo tanto es capaz de detectar mucho más rápidamente corrimientos en la media de alguna de las variables involucradas. Cabe agregar como comentario final que estos gráficos multivariantes son considerados como paramétricos, pues parten de supuestos de normalidad y dependen de la elección subjetiva de ciertos parámetros que afectan su estructura. Una limitación adicional que presentan estos métodos es que no consideran autocorrelación entre las variables. Para considerar el efecto de la autocorrelación están siendo desarrollados en la actualidad varios métodos para el control estadístico de procesos, principalmente basados en el análisis de series temporales. Otra de las técnicas que ha encontrado una gran aplicación en este campo es el del análisis de componentes principales que permite reducir el número de variables a considerar, al sustituir varias de ellas por otra que sea combinación lineal de éstas, sin que eso ocasione una excesiva pérdida de información.

25 EJERCICIOS PROPUESTOS Los siguientes ejercicios están diseñados para el curso de Control Estadístico de la Calidad que el Prof. Arvelo dicta en la Universidad Central de Venezuela, y complementan a los que se proponen al final de cada capítulo del texto Control Estadístico de la Calidad de Douglas Montgomery. EJERCICIOS SOBRE REVISION DE INFERENCIA Y DISTRIBUCIONES Texto: Control Estadístico de la Calidad Douglas Montgomery Editorial Limusa Wiley, 3ª Edición Ejercicios de Revisión Capítulos 2 y 3: Los siguientes ejercicios complementan a los que se encuentran en los referidos capítulos del texto, que también deben ser resueltos en su totalidad. 1º) El contenido de jabón en unas cajas sigue una distribución normal. Si el 80% de las cajas contienen menos de 429,20 gramos de jabón, y el 90% de las cajas contienen más de 418,60 gramos: a) Determine la media y la desviación típica de la distribución. b) Cual es el porcentaje de cajas cuyo contenido se encuentra en el intervalo (420 ± 5 ) gramos? Solución: a) µ =425 grms, σ =5 grms b) 47,72 %. 2º) Una pieza debe caer dentro de la especificación (200 ± 4) mm., para que sea considerada como buena. Las piezas que caen por debajo del límite inferior de la especificación, son consideradas como defectuosas y deben ser desechadas; mientras que, las que caen por encima del límite superior de la especificación, pueden ser corregidas, y llevadas a los límites de la especificación. Para producir estas piezas, se dispone de una máquina que las fabrica según una Distribución Normal, con media 200 mm., y desviación típica de 5 mm. El costo de producción para una pieza es de Bs. 7, y el costo de la corrección es de Bs.2 ; mientras que el precio de venta de la pieza, es de Bs. 15. a) Cual es el ganancia esperada en la producción de una pieza?. b) Cual es la probabilidad de que en un lote de 10 piezas, alguna caiga fuera de los límites de especificación? Solución : a) Bs. 4,40 b) 0,9960 3º) El proceso de llenado de unas botellas de refresco, sigue una distribución normal con media 220 cc a) Determine la desviación típica del proceso, si el 8% de las botellas resultan con un contenido inferior a 200 cc. b) Cual es la probabilidad de que una botella resulte con un contenido superior a 250 cc.?. Solución: a) 14,23 cc b) 0,0174

26 4º) El consumo diario de un cierto producto sigue una distribución gamma con media 6 y varianza 18. Cuál es la probabilidad de que en un día, el consumo sea más de 9?. Solución: 0,1991 5 ) La distribución de Weibull corresponde a una variable aleatoria con función β β 1 x γ δ β x γ de densidad: f(x) = e ; x γ δ δ en donde β > 0, δ > 0 y - < γ < son parámetros, que se denominan de forma, de escala y origen respectivamente. Suponga que la vida de una componente sigue una Distribución de Weibull con parámetros: γ = 0, δ= 1000 horas, β = ½. Calcule la probabilidad de que una componente sobreviva las 4000 horas de uso. Solución: 0,1353 6 ) El contenido de refresco en una botella sigue una Distribución Normal con media 200 cc y desviación típica 20 cc. Al final del proceso de producción existe un dispositivo de control que rechaza las botellas con un contenido inferior a 180 cc. a) Qué porcentaje de la producción resultará rechazada? b) Cuál es la probabilidad de que una botella que aprobó el control, contenga más de 210 cc? Solución: a) 15,87 % b) 0,3667 7 ) La duración de unas pilas sigue una Distribución Normal con media 20 horas. Se sabe que el 80% de estas pilas sobrepasan las 15 horas de funcionamiento. Un radio lleva 4 pilas conectadas en serie, es decir, que si falla alguna, entonces falla el radio. a) Cuál es la probabilidad de que el radio falle antes de las 18 horas de uso?. b) Por cuánto tiempo podría garantizarse la operación del radio, para tener probabilidad 0,95, de cumplir con lo garantizado?. Solución: a) 0,8393 b) 6,70 horas aproximadamente 8º) El proceso de llenado de ciertas cajas sigue una Distribución Normal, y se exige que la desviación típica no exceda de 25 gramos. Con el objeto de mantenerlo controlado, se toman muestras periódicas de 12 cajas, y si la desviación típica de la muestra es de 30 gramos ó más, se detiene el proceso. a) Cual es el nivel de significación de esta prueba?. b) Si el proceso se desajusta, y pasa a llenar las cajas con una desviación típica de 40 gramos. Cuál es la probabilidad de que la prueba no lo detecte? 9º) El contenido de unas cajas de cereal sigue una Distribución Normal con una desviación típica de 25 gramos. Una muestra aleatoria de 36 cajas arrojó una media de 500 gramos. Con qué nivel de confianza puede decirse que el contenido medio de todas las cajas de cereal, está entre 495 y 505 gramos. Solución: 76,99 %

27 10 ) El siguiente diagrama de tallo y hoja representa el resultado de una muestra de 40 estudiantes, al medir el peso de cada uno de ellos: Frecuencia Tallo Hoja 3 4 o 678 1 5 * 4 4 5 o 5579 9 6 * 022233344 7 6 o 5556688 7 7 * 0111334 5 7 o 56678 2 8 * 14 2 8 o 69 Asumiendo normalidad, encuentre intervalos del 99% de confianza para la media y para la desviación estándar de la población. 11º) En el pasado un cierto proceso industrial producía un 6% de piezas defectuosas. Después de introducir ciertos cambios, se encuentra que en una muestra de 300 piezas, solo hay 10 defectuosas. Puede afirmarse a un nivel de significación del 5%, que los cambios han sido efectivos para mejorar la calidad del proceso? 12º) Los siguientes datos representan la resistencia en Kg /cm 2, de cierto tipo de concreto según sea el tipo de arena usada en su fabricación : Arena de grano ordinario : 208 203 229 215 220 223 233 228 209 Arena de grano fino : 208 181 207 173 165 190 181 184 212 A un nivel de significación del 5%, se puede concluir que el tipo de arena es un factor influyente en la calidad del concreto?. Solución: t = 4,531. Si es significativamente influyente 13º) Un fabricante de radios recibe periódicamente de su proveedor un lote de pilas alcalinas, el cual examina por muestreo. Este fabricante exige que la duración promedio de estas pilas sea de 50 horas como mínimo. Una muestra aleatoria dio el siguiente resultado: Duración (Horas) 46-48 48-50 50-52 52-54 Frecuencia 2 3 4 1 Asumiendo normalidad en la duración de las pilas. a) Aconsejaría Ud., a un nivel de significación del 5%,que se acepte el lote?. b) Al mismo nivel de significación anterior. Aceptaría Ud., la hipótesis de que la desviación típica en la duración de estas pilas es de 1 hora como máximo? 14º) Un fabricante de equipos electrónicos, desea someter a dos empresas proveedores de transistores a una prueba comparativa rápida. De 80 transistores de la primera empresa, 25 fallan en la prueba; mientras que de 50 transistores de la segunda empresa, 21 fallan en la misma prueba. A un nivel de significación del 5%. Podría decirse que existe diferencia significativa,entre las calidades de las dos empresas proveedoras de transistores?. 15º) Se afirma, que al añadir un cierto aditivo en el proceso de fabricación de una sustancia química, se logrará un producto más homogéneo; es decir, que

28 dicha aditivo reducirá las fluctuaciones que se presentan en el ph del producto final, sin alterar su ph medio. Para probar tal afirmación, se realiza un experimento que consiste en preparar muestras del producto, con y sin el aditivo; obteniéndose los siguientes resultados: Con el aditivo Sin el aditivo Tamaño de la muestra 10 8 ph medio 7.8 8.0 Desviación típica muestral en el ph 0.21 0.32 A un nivel de significación del 5%, y asumiendo que el ph de las sustancias químicas, con y sin el aditivo, siguen en cada caso una distribución normal independientes, pruebe las siguientes hipótesis: a) El aditivo hace que el ph de la sustancia, sea más homogéneo. b) El aditivo no afecta al ph medio de la sustancia. 16º) Se toman 10 parcelas de terreno de igual área, se dividen por la mitad, y se siembran de arroz. Una de las mitades se abona con un cierto fertilizante y la otra no. Al final de la cosecha, se observa el rendimiento obtenido en cada parcela: Parcela Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Con fertilizante 6.0 5.8 6.5 6.2 5.7 6.3 5.7 6.0 6.0 5.8 Sin fertilizante 5.7 5.7 5.6 5.6 5.9 5.8 6.0 5.5 5.7 5.5 Asumiendo normalidad en el rendimiento de las parcelas: Puede afirmarse a un nivel de significación del 5%, que el uso del fertilizante, incrementa el rendimiento medio de las parcelas?. 17º) El proceso de producción de una cierta pieza mecánica sigue una Distribución Normal, y se exige por razones de precisión, que la desviación típica del proceso no exceda de 0,10 centímetros. El proceso va a ser controlado mediante muestras periódicas de tamaño 20, y se quiere que la probabilidad de detenerlo innecesariamente sea de apenas 0,01. i= 20 Una muestra aleatoria de 20 piezas arroja: ( X X) 2 = 0,225. Qué recomendaría Ud. : continuar o detener el proceso?. 18º) Una muestra de cuerdas fabricadas con un cierto material, arrojó la siguiente resistencia a la tensión: Resistencia Frecuencia 80-100 4 100-120 8 120-140 9 140-160 3 160-180 1 a) Obtenga un intervalo del 95 % de confianza para la resistencia media de estas cuerdas. b) Obtenga un intervalo del 95 % de confianza para su desviación típica. c) A un 5% de significación, pruebe la hipótesis de que la resistencia media de estas cuerdas es de 135 por lo menos. Asuma normalidad en la resistencia de las cuerdas. i= 1 i

29 19 ) La vida de una componente sigue una distribución exponencial con media 10 horas. Se dispone de 30 componentes que serán usadas una tan pronto falle la anterior. a) Calcule la confiabilidad para un servicio de 335 horas. b) Cuántas componentes se necesitan para que la confiabilidad sea de 0,99 por lo menos?. Solución : a) 0,25 20 ) Una orden de producción establece que las especificaciones para una pieza deben ser de ( 20.00 ± 1.00 ) mm. El ingeniero de producción debe decidir entre dos máquinas para ejecutar esta orden. La siguiente tabla da los parámetros de producción para cada máquina y sus costos: Media ( mm) Desviación típica (m m) Costo ($ / pieza) Máquina A 19,95 0,85 1,00 Máquina B 20,02 0,50 1,20 Si la pieza es defectuosa, el fabricante pierde el costo de producirla; y si resulta conforme a las especificaciones la puede vender en $ 1,80 Cuál de las dos máquinas debe elegir para producir las piezas?. Solución: Conviene la máquina B porque da una ganancia esperada mayor. $ 0,52 para B y $ 0, 37 para A. 21 ) Un fabricante anuncia que la resistencia media a la compresión de unos bloques marca "A", excede a la media de otros bloques marca "B" en 12 Kgs/cm 2, como mínimo. Para demostrarlo, ensaya bajo condiciones similares 21 bloques marca "A" y 31 bloques marca "B". La muestra de los bloques marca "A",arrojó una resistencia media a la compresión de 86,7 Kgs/cm 2, con una desviación típica muestral de de 6,28 Kgs/cm 2, mientras que la muestra de los bloques marca "B" dió una resistencia media de 77,8 Kgs/cm 2, con una desviación típica muestral de 5,61 Kgs/cm 2. Asumiendo que la resistencia de los bloques de cada una de las marcas, se distribuye normalmente e independencia. a) Pruebe a un nivel de significación del 5%, si las varianzas en las resistencias de las dos marcas son iguales. b) Pruebe a un nivel de significación del 5%,la afirmación enunciada por el fabricante.. 22 ) Un Ingeniero Industrial afirma que si una cierta operación se efectúa por un cierto método, se logrará una economía en tiempo de 10 segundos en promedio, por lo menos. Se realizan observaciones de tiempos sobre grupos diferentes de obreros, por los dos procedimientos, el convencional y el propuesto por él, obteniendo: Método convencional (seg.) : 180,1 176,3 183,6 185,4 179,2 Método propuesto (seg.):173,4 170,7 175,4 169,6 170,1 168,4 172,9 Asumiendo que el tiempo de ejecución por ambos métodos, sigue cada uno, una Distribución Normal, y a un nivel de significación del 5%: a) Puede afirmarse que sus varianzas son iguales?.