Tema 5 Vectores en el espacio. Combinación lineal de vectores. Dados los vectores: u (,,), v,6, 4, w (,0, ) a) Expresa u como combinación lineal de v y de w. b) Es posible expresar w como combinación lineal de u y de v? c) Son linealmente dependientes o independientes u, v y w? a) u mv nw (,,) m(,6, 4) n(,0,) ; m n m 6m 4m n n n n 0 El vector u se puede expresar como combinación lineal de v y de w así: u v 0w. Resolveremos el sistema de ecuaciones. Para ello, pincharemos en la pestaña Operaciones y luego en Resolver sistema, indicamos el número de ecuaciones y rellenamos dichas ecuaciones, pulsamos el botón igual y obtenemos la solución Figura. b) w pu qv (,0,) p(,,) q(,6, 4) p q : 0 p 6q p 4q Estas dos primeras ecuaciones son incompatibles. Como este sistema no tiene solución, no es posible expresar w como combinación lineal de u y v.
Matemáticas II Tema 5.. Haremos lo mismo que en el apartado anterior. Plantearemos el sistema de ecuaciones para intentar obtener la solución, pero como veremos no hay ninguna posible: Figura.. Dependencia lineal. a) Halla el valor de k para el cual los vectores u (,, ), v 0,,, w(, k,) son linealmente dependientes. b) Obtén, en ese caso, una relación de dependencia entre u, v y w. a) Varios vectores son linealmente dependientes cuando alguno de ellos puede ponerse como combinación lineal de los demás. En este caso, el rango de la matriz que orman será menos que. M 0 Para que ran ( A), debe ser M 0 : M k k 0 k k Si k = -, los vectores u, v y w son linealmente dependientes. Para cualquier otro valor de k son linealmente independieres.. Escribiremos la matriz M. A continuación, calculamos el determinante de esta matriz, y a continuación igualamos este a, obteniendo que para k=- los vectores son linealmente dependientes:
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura. b) n m u mv nw (,, ) m (0,,) n(,,) : m n u v w n m n. Obtendremos los valores de n y m resolviendo el sistema de ecuaciones: Figura 4.. Base y coordenadas. Sean e, e, e tres vectores linealmente independientes de. Son también linealmente independientes los vectores siguientes? u = e - e v = e + e w = e - e + e
Matemáticas II Tema 5. Los vectores e, e, e orman una base de. Las coordenadas de u, v y w en esa base son: u (,0, ) v (0,, ) w (,, ) Estudiamos la dependencia lineal de u, v y w. 0 0 0 ; Los vectores u, v y w son linealmente independientes.. Calcularemos el determinante de la matriz resultante de los tres vectores: Figura 5. 4. Producto escalar. Encuentra los vectores unitarios de que son perpendiculares a v (,0, ) y orman un ángulo de 60º con w (,, ). Sea u =(x, y, z,) el vector buscado, que debe cumplir: u v u v 0 x, y, z,0, x z 0 0 ( u, w) 60º u v u w x y z ; Ya que u w y 4
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato x z 0 z x u x y z tenemos que resolver el sistema: x y z y x y z x Hay soluciones: u (,, ) y u (,, ). Resolvemos el sistema de ecuaciones que se nos plantea, obteniendo las dos soluciones dierentes: Figura 6. 5. Módulo de un vector. En un vértice de un cubo se aplican tres uerzas dirigidas según las diagonales de las tres caras que pasan por dicho vértice. Sus módulos son,, respectivamente. Halla el modulo de la resultante. Queremos hallar R = : sabemos que v v v. por tanto: R = = = + + + + + = = 4 = 9 5
Matemáticas II Tema 5. (*) cos60º (*) cos60º (*) cos60º 6 (*) El ángulo que orman las diagonales de dos caras consecutivas de un cubo de 60º, ya que, uniendo sus extremos, se obtiene un triangulo lo equilátero. R 4 9 6 5 R 5.. Para este ejercicio, Wiris nos será muy útil para hacer los siguientes cálculos: Figura 7.. Luego haremos las demas operaciones hasta obtener el resultado: Figura 8. 6
Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato 6. Producto mixto. Halla el valor de m para que los vectores u (, 5, ), v(,, ) y w(,4, m) determinen un paralelepípedo de volumen u. 5 El volumen se obtiene con el producto mixto: u, v, w m 4 4 m Volumen = m 4 m 4 m Hay soluciones: 5 m 4 m. Para resolver este ejercicio calcularemos el determinante, tal y como ya lo hicimos anteriormente: Figura 9.. Por último, obtenemos las soluciones de igualar el determinante a y -: 7
Matemáticas II Tema 5. Figura 0. 8