Trabajo Práctico Cálculo de Vigas. 1 Introducción 1.1 Estructuras isostáticas e hiperestáticas; cálculo de los diagramas de características en vigas, momento flector y esfuerzo de corte Como se explicó en las 2 últimas clases teóricas, las vigas en hormigón armado generalmente son continuas, resultando de este modo un sistema hiperestático.
Una viga simplemente apoyada, como vieron en Estructuras I, se pueden resolver utilizando las 3 ecuaciones de equilibrio de la estática, pues tienen sólo 3 incógnitas, que son las 3 reacciones de vínculo. (RX1, Ry1, Ry2). En cambio una viga continua, como la de la figura, tiene 8 incógnitas (las 8 reacciones de vínculo), luego su resolución es muchísimo más laboriosa, debiéndose recurrir, además de las ecuaciones de la estática, a las relaciones de deformación que presentan los elementos del sistema, lo cual nos obliga a conocer para su resolución las dimensiones y tipo de material de las barras que componen el sistema. Para la resolución del hiperestático vamos a recurrir al programa Robot Structural Analisys Professional 2011, de Autodesk, tal como se explicó en las 2 últimas clases teóricas 1.2 Dimensionamiento a flexión 1.2.1 Comportamiento del hormigón
Luego el momento flector positivo( que en las vigas continuas se produce en el centro del tramo) el hormigón armado lo toma con un par de fuerzas, una de compresión arriba (cbu en el gráfico subsiguinte) y otra de tracción abajo ( Tu en el gráfico). Cbu = Tu = M/z
Siendo M el momento flector y z la distancia entre Cbu y Tu Si el momento flector es negativo (hecho que en las vigas continuas se produce en los apoyos), la viga recibe una solicitación de flexión arriba, que se toma mediante armadura, y una solicitación de compresión abajo, que lo toma con el hormigón. 1.2.2 - Forma de la sección, ancho colaborante de una losa. Sea una viga de sección rectangular, como la del esquema. En el tramo, el momento flector positivo se toma mediante la armadura principal, que se coloca abajo, y la cabeza de compresión, arriba, de ancho b. Este ancho b es igual a la luz de la viga dividido 3 si es una viga interior (losa de los 2 lados) y la luz dividido 6 si es una viga interior (losa de un solo lado), en el caso de una viga simplemente apoyada.
Si se trata de una viga continua, en vez de la luz de la viga se utiliza la distancia entre puntos de momento nulo, que vale Lo = 0,80 x L en tramo externo de viga continua Lo = 0,60 x L, en tramo interno de viga continua Lo = L en viga simplemente apoyada b = Lo/3, si la viga tiene losa de los 2 lados b = Lo/6, si la viga tiene losa de 1 sólo lado. Siendo L la luz entre apoyos del tramo de viga considerado Y b el ancho colaborante de la losa, que forma la cabeza de compresión Ejemplo, ancho colaborante en el tramo viga 2 (interior)
Ejemplo, ancho colaborante en el tramo viga 1( interior) En los apoyos, en todos los casos la viga funciona como rectangular, pues la losa no colabora por producirse la compresión abajo. 1.2.3 Cálculo de una sección de viga a flexión a) Si la sección es en el apoyo el ancho de la cabeza de compresión b es igual al ancho de la viga (en nuestro ejercicio, 15 cm para las vigas interiores y 25 cm para las de borde). Si la sección es en el tramo (momento positivo) calculamos el ancho de la cabeza de compresión como se vió en el punto anterior. b) Calculamos el coeficiente adimensional Kh mediante la fórmula
Donde Ms = Momento flector en la sección considerada h = altura útil de la sección, que es la distancia entre la armadura inferior y la fibra superior de la viga, podemos tomar h = d 3 cm, siendo d el canto de la viga{ b = ancho de la cabeza de compresión, calculada en a). c) En la tabla adjunta, entrando con la resistencia especificada del hormigón, que fijamos en 210 KG/cm2, hallamos el coeficiente adimensional Kh*, que para esa resistencia es 5,40. Si el valor de kh, hallado en el punto anterior es mayor que Kh*, la sección de hormigón verifica, si fuese menor tenemos que aumentar la sección. ( por ejemplo, en el caso que kh fuese 6,9, la sección verifica a la flexión )
d) Calculamos la armadura principal mediante la fórmula Donde As = armadura necesaria Ms = Momento flector h = altura útil de la sección. Ks lo obtenemos de la tabla Kh (por ejemplo si kh = 6,0, Ks = 0,48)
2 Desarrollo del Trabajo Práctico 2.1 Tema a resolver Los alumnos, de acuerdo al N de su grupo, calcularán 1 viga del ejemplo adjunto. La viga N 2 se resuelve, en esta guía, a modo de ejemplo. Grupo Viga a resolver 1 1 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 1 9 3 10 4 11 5 12 6 13 7 2.2 Planteo - Planteo del Trabajo Práctico Se trata de una planta en hormigón armado compuesta de 9 losas cruzadas que descargas en 8 vigas continuas, las que a su vez son sostenidas por 16 columnas. Ver esquemas subsiguientes. Esta planta mide 18 metros en la dirección x (horizontal en el plano del papel) y 15 metros en la dirección y (vertical en el plano del papel) y está situada a un altura de 4 metros ( z = 4 m ). Las dimensiones de la viga son exteriores son de 15 x 75 cm y de las vigas interiores son de 25 x 75 cm.
Las columnas de esquina (reciben 2 vigas) miden 25 x 25 cm, las laterales que reciben 3 vigas miden 30 x 30 cm y las interiores, que reciben 4 vigas, miden 40 x 40 cm. Las 9 losas soportan una carga uniforme de 1,50 t/m2. Las 8 vigas soportan, además de la carga de las losas, una carga debido a peso propio y muros de 0,90 t/m
El sistema se resolvió usando el Software Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2011. Se adjunta resultados donde figuran para cada 1 de las 8 vigas, los diagramas de Momento flector y esfuerzo de corte. Como ejemplo se dimensiona a flexión la viga continua 2. 2.3 - Resolución Ejemplo 2.3.1 Diagrama de momentos flectores En la página 10 de la salida de computadora adjunta al final de esta guía, figura el diagrama de momentos flectores de la viga continua 2. En este diagrama está marcado el máximo negativo, que se produce en el apoyo derecho y tiene un valor de 28,26 tm y el máximo positivo, que se produce en el tramo central, y tiene un valor de 17,01 tm
2.3.2 - Dimensionamiento de los apoyos a) Determinación del ancho de la cabeza de compresión b En los apoyos el ancho de la cabeza de compresión es igual al ancho de la viga, en el caso de la viga 2 : b = 25 cm. b) Hallar el coeficiente adimensional Kh* Donde Ms = Momento flector en la sección considerada = 28,26 tm h = altura útil de la sección, h = d 3 cm, siendo d el canto de la viga h = 75 cm 3 cm = 72 cm b = ancho de la cabeza de compresión, en a) se determinó que es 0,25 m. Reemplazando en la fórmula resulta Kh = 6,77 c) En la tabla adjunta, entrando con la resistencia especificada del hormigón, que fijamos en 210 KG/cm2, hallamos el coeficiente adimensional Kh*, que para esa resistencia es 5,40. Como el valor de kh de 6,77, hallado en el punto anterior es mayor que Kh*, la sección de hormigón verifica.
d) Calculamos la armadura principal mediante la fórmula Donde As = armadura necesaria Ms = Momento flector = 28,26 tm h = altura útil de la sección = 72 cm Ks lo obtenemos de la tabla. Kh = 6,77 aproximadamente 6,9, luego, Ks = 0,48. Reemplazando en la fórmula de la armadura necesaria As = 18,24 cm2.
Colocamos 2 hierros de 16 mm de diámetro, de sección unitaria 2 cm2, total 4 cm2 más 3 hierros de 25 cm de diámetro de sección unitaria 5 cm2 y sección total 15 cm2, resultando entre los 5 hierros una sección total de 19 cm2. 2.3.3 Dimensionamiento del tramo. a) Determinación del ancho de la cabeza de compresión b En una viga interior, tramo del medio, el ancho de la cabeza de compresión es igual a b = Lo/3 Lo = Lx 0,6 Siendo Lo = luz entre apoyos de la sección considerada = 700 cm. Lo = 700 cm x 0,60 = 420 cm b = 420 cm/3 = 140 cm b) Hallar el coeficiente adimensional Kh* Donde Ms = Momento flector en la sección considerada = 17,01 tm
h = altura útil de la sección, h = d 3 cm, siendo d el canto de la viga h = 75 cm 3 cm = 72 cm b = ancho de la cabeza de compresión, en a) se determinó que es 1,40 m Reemplazando en la fórmula resulta Kh = 20,6 c) En la tabla adjunta, entrando con la resistencia especificada del hormigón, que fijamos en 210 KG/cm2, hallamos el coeficiente adimensional Kh*, que para esa resistencia es 5,40. Como el valor de kh de 20,6, hallado en el punto anterior es mayor que Kh*, la sección de hormigón verifica.
d) Calculamos la armadura principal mediante la fórmula Donde As = armadura necesaria Ms = Momento flector = 17,01 tm h = altura útil de la sección = 72 cm Ks lo obtenemos de la tabla. Kh = 20,6 aproximadamente 23, luego, Ks = 0,43. Reemplazando en la fórmula de la armadura necesaria As = 10,15 cm2.
Colocamos 4 hierros de 20 mm de diámetro, de sección unitaria 3,14 cm2, 12,64 cm2.
TITULO DEL PROYECTO Trabajo Practico Vigas Estructuras II 2013 Autor: Ingeniero Alejandro María Albanese
Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2011 Autor : Ing. Alejandro María Albanese Archivo : Vigas.rtd Trabajo Practico Vigas Estructuras II 2013 Vista 3D 3 Planta 4 nudos y barra 4 planta 4 cargas 5 planta 0 nudos 6 Dados - Nudos 7 Dados - Barras 8 Diagramas viga 1 9 Diagramas viga 2 10 Diagramas viga 3 11 Diagramas viga 4 12 Diagramas viga 5 13 Diagramas viga 6 14 Diagrams viga 7 15 Diagramas viga 8 16 Fecha : 19/08/13 Página : 2
Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2011 Autor : Ing. Alejandro María Albanese Archivo : Vigas.rtd Trabajo Practico Vigas Estructuras II 2013 Vista 3D Fecha : 19/08/13 Página : 3
Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2011 Autor : Ing. Alejandro María Albanese Archivo : Vigas.rtd Trabajo Practico Vigas Estructuras II 2013 Planta 4 nudos y barra Fecha : 19/08/13 Página : 4
Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2011 Autor : Ing. Alejandro María Albanese Archivo : Vigas.rtd Trabajo Practico Vigas Estructuras II 2013 planta 4 cargas Fecha : 19/08/13 Página : 5
Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2011 Autor : Ing. Alejandro María Albanese Archivo : Vigas.rtd Trabajo Practico Vigas Estructuras II 2013 planta 0 nudos Fecha : 19/08/13 Página : 6
Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2011 Autor : Ing. Alejandro María Albanese Archivo : Vigas.rtd Trabajo Practico Vigas Estructuras II 2013 Dados - Nudos Nudo X (m) Z (m) Apoyo - código Apoyo 1 0.0 0.0 ffflll Rotula 2 5.00 0.0 ffflll Rotula 3 12.00 0.0 ffflll Rotula 4 18.00 0.0 ffflll Rotula 5 0.0 0.0 ffflll Rotula 6 5.00 0.0 ffflll Rotula 7 12.00 0.0 ffflll Rotula 8 18.00 0.0 ffflll Rotula 9 0.0 0.0 ffflll Rotula 10 5.00 0.0 ffflll Rotula 11 12.00 0.0 ffflll Rotula 12 18.00 0.0 ffflll Rotula 13 0.0 0.0 ffflll Rotula 14 5.00 0.0 ffflll Rotula 15 12.00 0.0 ffflll Rotula 16 18.00 0.0 ffflll Rotula 17 0.0 4.00 18 5.00 4.00 19 12.00 4.00 20 18.00 4.00 21 0.0 4.00 22 5.00 4.00 23 12.00 4.00 24 18.00 4.00 25 0.0 4.00 26 5.00 4.00 27 12.00 4.00 28 18.00 4.00 29 0.0 4.00 30 5.00 4.00 31 12.00 4.00 32 18.00 4.00 Fecha : 19/08/13 Página : 7
Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2011 Autor : Ing. Alejandro María Albanese Archivo : Vigas.rtd Trabajo Practico Vigas Estructuras II 2013 Dados - Barras Barra Nudos Nudo 2 Sección Material Longitud (m) Gama (Deg) 1 17 20Viga 15 x 7 HORMIGON 18.00 0.0 Viga de hormigó 2 21 24Viga 25 x 7 HORMIGON 18.00 0.0 Viga de hormigó 3 25 28Viga 25 x 7 HORMIGON 18.00 0.0 Viga de hormigó 4 29 32Viga 15 x 7 HORMIGON 18.00 0.0 Viga de hormigó 5 17 29Viga 15 x 7 HORMIGON 15.00 0.0 Viga de hormigó 6 18 30Viga 25 x 7 HORMIGON 15.00 0.0 Viga de hormigó 7 19 31Viga 25 x 7 HORMIGON 15.00 0.0 Viga de hormigó 8 20 32Viga 15 x 7 HORMIGON 15.00 0.0 Viga de hormigó 18 1 17 C 25 x 25 HORMIGON 4.00 0.0 Viga de hormigó 19 2 18 C 30 x 30 HORMIGON 4.00 0.0 Viga de hormigó 20 3 19 C 30 x 30 HORMIGON 4.00 0.0 Viga de hormigó 21 4 20 C 25 x 25 HORMIGON 4.00 0.0 Viga de hormigó 22 5 21 C 30 x 30 HORMIGON 4.00 0.0 Viga de hormigó 23 6 22 C 40 x 40 HORMIGON 4.00 0.0 Viga de hormigó 24 7 23 C 40 x 40 HORMIGON 4.00 0.0 Viga de hormigó 25 8 24 C 30 x 30 HORMIGON 4.00 0.0 Viga de hormigó 26 9 25 C 30 x 30 HORMIGON 4.00 0.0 Viga de hormigó 27 10 26 C 40 x 40 HORMIGON 4.00 0.0 Viga de hormigó 28 11 27 C 40 x 40 HORMIGON 4.00 0.0 Viga de hormigó 29 12 28 C 30 x 30 HORMIGON 4.00 0.0 Viga de hormigó 30 13 29 C 25 x 25 HORMIGON 4.00 0.0 Viga de hormigó 31 14 30 C 30 x 30 HORMIGON 4.00 0.0 Viga de hormigó 32 15 31 C 30 x 30 HORMIGON 4.00 0.0 Viga de hormigó 33 16 32 C 25 x 25 HORMIGON 4.00 0.0 Viga de hormigó Tipo Fecha : 19/08/13 Página : 8
Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2011 Autor : Ing. Alejandro María Albanese Archivo : Vigas.rtd Trabajo Practico Vigas Estructuras II 2013 Diagramas viga 1 Valores Barra / Punto (m) FZ (T) MY (Tm) Valor actual 4.44-0.30 para la barra: 1 en el punto: x=0.0 (m) 1 / inicio 4.44-0.30 1 / auto x=5.00 (-) -9.05-11.81 1 / auto x=5.00 (+) 10.26-12.14 1 / auto x=12.00 (-) -11.04-14.86 1 / auto x=12.00 (+) 11.06-14.79 1 / fin -6.34-0.66 Fecha : 19/08/13 Página : 9
Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2011 Autor : Ing. Alejandro María Albanese Archivo : Vigas.rtd Trabajo Practico Vigas Estructuras II 2013 Diagramas viga 2 Valores Barra / Punto (m) FZ (T) MY (Tm) Valor actual 7.24-0.57 para la barra: 2 en el punto: x=0.0 (m) 2 / inicio 7.24-0.57 2 / auto x=5.00 (-) -15.63-21.54 2 / auto x=5.00 (+) 18.91-23.07 2 / auto x=12.00 (-) -20.38-28.22 2 / auto x=12.00 (+) 19.82-27.67 2 / fin -11.08-1.49 Fecha : 19/08/13 Página : 10
Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2011 Autor : Ing. Alejandro María Albanese Archivo : Vigas.rtd Trabajo Practico Vigas Estructuras II 2013 Diagramas viga 3 Valores Barra / Punto (m) FZ (T) MY (Tm) Valor actual 7.25-0.56 para la barra: 3 en el punto: x=0.0 (m) 3 / inicio 7.25-0.56 3 / auto x=5.00 (-) -16.00-22.43 3 / auto x=5.00 (+) 19.78-24.14 3 / auto x=12.00 (-) -21.39-29.76 3 / auto x=12.00 (+) 20.61-29.12 3 / fin -11.41-1.56 Fecha : 19/08/13 Página : 11
Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2011 Autor : Ing. Alejandro María Albanese Archivo : Vigas.rtd Trabajo Practico Vigas Estructuras II 2013 Diagramas viga 4 Valores Barra / Punto (m) FZ (T) MY (Tm) Valor actual 4.45-0.30 para la barra: 4 en el punto: x=0.0 (m) 4 / inicio 4.45-0.30 4 / auto x=5.00 (-) -9.42-12.72 4 / auto x=5.00 (+) 11.13-13.19 4 / auto x=12.00 (-) -12.04-16.38 4 / auto x=12.00 (+) 11.85-16.26 4 / fin -6.67-0.71 Fecha : 19/08/13 Página : 12
Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2011 Autor : Ing. Alejandro María Albanese Archivo : Vigas.rtd Trabajo Practico Vigas Estructuras II 2013 Diagramas viga 5 Valores Barra / Punto (m) FZ (T) MY (Tm) Valor actual 2.77-0.11 para la barra: 5 en el punto: x=0.0 (m) 5 / inicio 2.77-0.11 5 / auto x=4.00 (-) -6.83-8.24 5 / auto x=4.00 (+) 8.88-8.63 5 / auto x=10.00 (-) -9.64-10.91 5 / auto x=10.00 (+) 9.01-10.72 5 / fin -4.86-0.37 Fecha : 19/08/13 Página : 13
Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2011 Autor : Ing. Alejandro María Albanese Archivo : Vigas.rtd Trabajo Practico Vigas Estructuras II 2013 Diagramas viga 6 Valores Barra / Punto (m) FZ (T) MY (Tm) Valor actual 4.30-0.19 para la barra: 6 en el punto: x=0.0 (m) 6 / inicio 4.30-0.19 6 / auto x=4.00 (-) -11.30-14.17 6 / auto x=4.00 (+) 15.37-15.48 6 / auto x=10.00 (-) -16.65-19.33 6 / auto x=10.00 (+) 15.20-18.64 6 / fin -8.05-0.77 Fecha : 19/08/13 Página : 14
Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2011 Autor : Ing. Alejandro María Albanese Archivo : Vigas.rtd Trabajo Practico Vigas Estructuras II 2013 Diagrams viga 7 Valores Barra / Punto (m) FZ (T) MY (Tm) Valor actual 4.26-0.18 para la barra: 7 en el punto: x=0.0 (m) 7 / inicio 4.26-0.18 7 / auto x=4.00 (-) -11.34-14.34 7 / auto x=4.00 (+) 15.56-15.70 7 / auto x=10.00 (-) -16.84-19.53 7 / auto x=10.00 (+) 15.23-18.78 7 / fin -8.02-0.77 Fecha : 19/08/13 Página : 15
Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2011 Autor : Ing. Alejandro María Albanese Archivo : Vigas.rtd Trabajo Practico Vigas Estructuras II 2013 Diagramas viga 8 Valores Barra / Punto (m) FZ (T) MY (Tm) Valor actual 2.72-0.11 para la barra: 8 en el punto: x=0.0 (m) 8 / inicio 2.72-0.11 8 / auto x=4.00 (-) -6.87-8.41 8 / auto x=4.00 (+) 9.07-8.84 8 / auto x=10.00 (-) -9.82-11.10 8 / auto x=10.00 (+) 9.04-10.88 8 / fin -4.83-0.37 Fecha : 19/08/13 Página : 16