TERCER PERIODO TALLER PEDAGÓGICO: Solución problemas - de triángulos rectángulos sencillos y compuestos. Docente: Esp. Manuel Quiroga Herrera. LOGRO: Solucionar problemas de aplicación con el teorema de Pitágoras y las relaciones trigonométricas. ANGULOS DE ELEVACIÓN Y DE DEPRESIÓN Los triángulos rectángulos se utilizan para determinar distancias que no se pueden medir fácilmente en forma directa. En estos casos se utiliza el ángulo formado por la línea de la visual de un observador y la horizontal del punto de observación. De acuerdo hacia donde este dirigida la línea visual se le da un nombre al ángulo. -Angulo de elevación: Es el ángulo formado por la horizontal y la línea visual del observador de un objeto situado por encima de la horizontal. -Angulo de depresión: Es el ángulo formado por la horizontal y la línea visual del observador de un objeto situado por debajo de la horizontal. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS La solución de problemas exige un procedimiento ordenado y exacto que nos lleve a encontrar la respuesta. Los pasos que se deben seguir en la solución de problemas son: - Lectura del enunciado: No se debe hacer una lectura a la ligera del enunciado del problema, sino que debe prestar atención a toda la situación que se plantea, haciendo un gráfico e ilustrando en el los datos del problema y la incógnita que se tiene. Esta etapa se cumple cuando se está en capacidad de repetir el enunciado con la información suficiente. 1
- Análisis del problema: Antes de comenzar a hacer operaciones, se debe reflexionar sobre el proceso matemático que se sigue para encontrar la respuesta. - Planteo y resolución de las operaciones: Cuando se tenga bien claro el camino que nos conduce a la solución del problema, se plantean y se resuelven las operaciones hasta encontrar el valor de la incógnita dada. Algunos problemas se ajustan a la solución de triángulos rectángulos sencillos para poder resolverlos. ACTIVIDAD UNO PROBLEMAS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS SIMPLES (dando la gráfica) 1. Una torre de 50m de alto proyecta una sombra de 60m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento. 50m 60m 2. Un dirigible que está volando a 800m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12 o. A qué distancia del pueblo de halla? 800m 3. Una cometa está unida al suelo por un hilo de 100 m que forma con la horizontal del terreno un ángulo de 60 o. Suponiendo que el hilo está tirante, hallar a que altura sobre el suelo se encuentra la cometa. d 4. Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de elevación de 30 como se muestra en la figura. 60 o A qué distancia (d) se encuentra el avión desde el punto de despegue hasta que alcanza una altura de 1.500 metros? Alternativas A) 750 metros. B) 3.000 metros C) 1.000 metros 2
D) 750 metros. E) 1.500 metros. 5. Si d = 30m y θ = 40 o, hallar la altura h del edificio. INSTITUCIÓN EDUCATIVA GONZALO MEJIA ACTIVIDAD DOS PROBLEMAS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS SIMPLES (sin dar la gráfica) 1. Un leñador ubicado a 200 pies de la base de una secoya, observa que el ángulo entre el suelo y parte superior del árbol es de 60º. Calcula la altura del árbol. 2. Desde un punto al nivel del suelo y a 135 pies de la base de una torre, el ángulo de elevación a la parte más alta de la torre es 57º20. Calcula la altura de la torre. 3. Un cable está sujeto a lo alto de una antena de radio y un punto en el suelo horizontal que está a 40.0 metros de la base de antena. Si el alambre hace un ángulo de 58º20 con el suelo, calcula la longitud del alambre. 4. Un cohete es disparado al novel del mar y sube a un ángulo constante de 75º hasta una distancia de 10 000 pies. Calcula su altitud al pie más cercano. 5. Un constructor desea construir una rampa de 24 pies de largo que se levanta a una altura de 5 pies sobre el nivel del suelo. Calcula el ángulo de la rampa con la horizontal. 6. La torre Eiffel. Cuando se observa la parte más alta de la torre Eiffel desde una distancia de 200 pies de su base, el ángulo de elevación es 79.2º, calcula la altura de la torre. 7. En las llanuras de Salisbury, Inglaterra fue construida utilizando bloques de piedra maciza que pesaban hasta 9.000 libras cada uno. Levantar una sola de estas piedras requería de unas 550 personas, quienes subían la piedra por una rampa inclinada a un ángulo de 9º. Calcula la distancia en que movían una piedra para levantar a una altura de 30 pies. 8. La estructura natural hecha por e hombre, en el mundo, es una torre transmisora de televisión situada en Fargo, Dakota del norte. Desde una distancia de 1 milla a nivel del suelo, su ángulo de elevación es de 21º 20 24. Determina su altura. 9. Una persona que hace volar una cometa sostiene la cuerda a 4 pies sobre del nivel del suelo. La cuerda de la cometa está tensa y hace un ángulo de 60º con la horizontal. Calcula la altura de la cometa sobre el nivel del suelo, si sueltan 500 pies de cuerda. MIREMOS ESTE CASO ESPECIAL (miren que son casos similares) 1. Calcula la altura de la torre si nuestro personaje está a 7 m de la base de la torre, el ángulo con el que está observando la cúspide es de 60 y sostiene el artilugio a una altura de 1,5 m. 3
3. El techo se define en meteorología como la distancia vertical del suelo a la base de las nubes. Para medir el techo se coloca un reflector apuntando verticalmente hacia la nube. La figura muestra un meteorólogo tratando de determinar cual es la altura del techo. a) Si θ = 65, Cuál es la altura del techo? b) Si θ = 71, cuál es la altura del techo? c) Cuál es el ángulo θ si la altura del techo es 392 m.? 2. Arturo esta haciendo volar una cometa de papel y tiene una cuerda 350m de longitud que sostiene a una altura de 1,57 m del terreno-consulte la grafica. 4
a) Si θ=40 o, a que altura sobre el nivel del terreno se encuentra la cometa? b) Cuando el viento tiene su máxima intensidad, Arturo puede volar su cometa formando un ángulo θ =59 o. Cuál será la altura de la cometa? c) Cuál es la máxima altura teórica que podría alcanzar la cometa con 350m de cuerda? Cuál será el valor del ángulo θ en esas condiciones? d) Cuál será el ángulo θ necesario para que la cometa se encuentre volando a una altura de 300m sobre el nivel del piso? PROBLEMAS CON TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS COMPUESTOS Algunos otros problemas se ajustan a la solución de triángulos rectángulos compuestos para su solución. Triángulos rectángulos compuestos, es decir, dos triángulos rectángulos en uno. ACTIVIDAD TRES 1. Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura: Hallar la longitud del cable (la longitud del cable es a + b) 2. Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura: Hallar el valor de c. 3. Dos embarcaciones se encuentran ubicadas distantes de un faro, tal como se muestra en la figura 32º 25º 750 m A B 5
a) Cuál es la altura del faro en la figura? b) Qué distancia separa entre si a las dos embarcaciones? 4. Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. B La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120. Cuánto distan A y B? h A 120 o C H PROBLEMAS DE LA DOBLE OBSERVACIÓN O DOBLE TANGENTE 1. Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30 y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60. NOTA: Hacerlo despejando a para que sea más corto. a x 60 o 30 o 10m 2. Desde un barco se divisa el alto de una montaña bajo una visual que forma con la horizontal un ángulo de 60 o. Si el barco se aleja 100 m, la nueva visual forma un ángulo de 30 o con la horizontal. Calcular la altura de la montaña. h 30 o 60 o B 100m B C 3. Desde lo alto de un edificio que mira al mar, un observador avista una lancha que navega directamente hacia el edificio. Si el observador está a 100 pies snm (sobre el nivel del mar) y el ángulo de depresión de la lancha cambia de 25º a 40º durante el periodo de observación, calcula la distancia que recorre la lancha. 4. Dos barcos salen de puerto al mismo tiempo, uno de ellos en dirección N23ºE a una velocidad de 11 millas por hora y el segundo en dirección 567ºE a 15 millas por hora. Calcula el rumbo del segundo barco con respecto al primero, una hora después. 5. Desde un punto a que está 8.20 metros sobre el nivel del suelo, el ángulo de elevación de la parte alta de un inmueble es 31º20 y el ángulo de depresión de la base del mismo es 12º50. Calcula la altura del edificio 6. Para nueva carretera debe excavarse un túnel bajo la montaña que mide 260 pies de altura. A una distancia de 200 pies de la base de la montaña, el ángulo de elevación es de 36º. De una distancia de 150 pies en el otro lado, el ángulo de elevación es de 47º. Calcula la longitud del túnel al pie más próximo. 6