Conjuntos Notación de conjuntos Se utilizarán las letras mayúsculas, tales como A, B y C para nombrar conjuntos. Por ejemplo: A 1,2,3 B 2,5,6 C a, e, i, o, u D #,&,*,@ Es bastante corriente dibujar los conjuntos esquemáticamente, una simple curva cerrada representa el conjunto y en su interior se disponen todos los elementos que pertenecen a él. A estos esquemas se les denomina diagramas de Venn. A B C 1 3 2 5 6 a i u D o e @ * & # A cada objeto de un conjunto se le llama elemento de él. Se dice que dicho elemento pertenece al conjunto. Simbólicamente: 3 A significa que " el número 3 es un elemento del conjunto A ", o " 3 pertenece a A " 5 A significa que " el número 5 no es un elemento del conjunto A ", o " 5 no pertenece a A" Conjunto Vacío Un conjunto que carece de elementos se llama conjunto vacío. Pero, existen conjuntos vacíos?. Cómo se podrían determinar? Consideremos el conjunto A formado por todos los triángulos de cuatro lados. Está bien determinado?. Sí! : Podemos saber exactamente si un objeto le pertenece o no. Sabemos que ningún triángulo tiene cuatro lados. Por lo tanto este conjunto no tiene ningún elemento. Es un ejemplo de conjunto vacío. es el símbolo utilizado para nombrar al conjunto vacío = El conjunto B de los números x que cumplen : x + 5 = x + 3, es un conjunto vacío? Sí porque no existe un número que cumpla esa condición. 1
Formas de determinar un conjunto Ya hemos visto dos formas de determinación de conjuntos. Una forma gráfica (llamada: diagramas de Venn) y otra listando todos sus elementos entre corchetes (llamada: por extensión). Veamos algunos inconvenientes de estas formas. Si un conjunto tiene 4789 elementos, su representación por diagramas o extensión es posible, pero poco práctica. Peor aún, si el conjunto que se quiere determinar es infinito, su representación no sería posible. Existe una tercer forma denominada por comprensión que es especialmente adecuada para representar conjuntos infinitos. Qué significa determinar un conjunto por comprensión? Por ejemplo, el conjunto {números pares} está bien determinado porque podemos decidir si un número pertenece o no a él; y además es un conjunto infinito. No se nombran uno a uno sus elementos sino que se da una propiedad común a todos ellos y a ningún otro. Esto es representar un conjunto por comprensión. Hasta ahora se han proporcionado unos pocos ejemplos. En cuál de los ejemplos anteriores, el conjunto está determinado por comprensión? Notación para conjuntos determinados por comprensión Conjunto Nombre P x / x es un número par Toda x tal que (que cumple que) Propiedad, regla o condición Veamos otro ejemplo: Si D es el conjunto de todos los números x tales que x 2 = 4, podemos determinarlo tanto por comprensión como por extensión D x Z / x 2 4 D 2, 2 y representarlo 2-2 D 2
Igualdad de Conjuntos Diremos que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Es decir, A=B, sí y sólo si todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B pertenece a A. Simbólicamente: x para todo elemento x A = B x A x B y B y A si y sólo si implica que Consecuencias de la definición de igualdad de conjuntos son: Si A = B, las letras A y B son nombres distintos para el mismo conjunto. Existe un único conjunto vacío Los conjuntos a, b, c, a, a, b, b, c, c y a, a, c, b, a, c son él mismo conjunto. (Los tres tienen los mismos elementos. Por lo tanto no es útil repetir elementos en la escritura por extensión y tampoco es importante el orden en que se escriben). Inclusión de Conjuntos Considere el siguiente ejemplo: B 2 1 A 4 5 A = 4, 5, 7 3 6 7 B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Todos los elementos de A son también elementos del conjunto B. Diremos que A está incluido en B. También decimos que A es subconjunto o parte de B. En este caso en particular estamos hablando de inclusión estricta. 3
Definición de Inclusión: Amplia y Estricta 1) A está incluido en sentido amplio en B A B x A x B 2) A está incluido en sentido estricto en B A B x A x B y B / y A En ambos casos decimos que A es subconjunto de B. Si todo elemento de A está en B decimos que A está incluido ampliamente en B. Pero, si además, existe algún elemento de B que no esté en A entonces la inclusión será estricta. Ejemplo: A = {x/ x es múltiplo de 6} B = {x/ x es múltiplo de 2} Todo múltiplo de 6 es también un múltiplo de 2 ya que: 6 = 6. n 6 = (2.3). n = 2.( 3.n) = 2.m = 2 (donde n es un natural y por lo tanto m también) Pero no todo múltiplo de 2 es un múltiplo de 6. Por ejemplo 2, 4, 8 etc. Como todo elemento de A está en B y hay elementos de B que no están en A podemos decir que A está estrictamente incluido en B. Notas: A B 1) Inclusión en sentido amplio contempla la posibilidad de que los conjuntos sean iguales. Con lo que podemos concluir cosas como: Todo conjunto está incluido en sí mismo A A Todo conjunto es subconjunto de sí mismo 2) A A El vacío está incluido en cualquier conjunto. El vacío es subconjunto de cualquier conjunto. 4
Método de doble inclusión Si queremos saber si un conjunto A es igual a otro B podemos intentar verificar si uno está incluido en el otro y viceversa. A B quiere decir que todo elemento de A, está también en B B A quiere decir que todo elemento de B, está también en A Por lo tanto, si estás inclusiones se cumplen simultáneamente, quiere decir que A y B tienen los mismos elementos y entonces son iguales. (A B B A ) A B Ejercicios: Indicar si son iguales o no los conjuntos de cada uno de los siguientes pares, explicando brevemente por qué en cada caso: i) A = {x / x es abuelo o abuela de Juan}, B ={x / x es padre o madre de algún tío de Juan}; (Se supone que Juan tiene tíos paternos y maternos). ii) iii) A ={x / x es latinoamericano}. B ={x / x es americano de habla española}; A ={x / x es cuadrilátero de diagonales congruentes}, B ={x / x es rectángulo}; Nota: Si lo que se quiere demostrar es que dos conjuntos son distintos, es suficiente con que una de las dos inclusiones no sea cierta. 5
Ejemplo: Sea A = 3, 0, 5 siguientes es verdadera: -, B = 0, 5, - 3, C = 5 0,. Entonces, cada una de las proposiciones C A C B A B A B Ø A A C ( Se sugiere representar los conjuntos en un diagrama de Venn) Ejercicio: Sea M = - 4, 6, N =6, - 4, y P = 4 -. Indicar si es verdadero (V) o falso (F). (A) (D) M N (B) P N (C) N P N M (E) Ø P (F) M P 6
Operaciones de Conjuntos En aritmética se estudian operaciones entre números, (Adición, Sustracción, etc.). La operación numérica de sumar hace corresponder a cada par de números, a, b, un nuevo número (a+b) que es su suma (resultado de la operación de sumar). También es posible operar con conjuntos. En este caso, el resultado de operar dos conjuntos será un nuevo conjunto. Definiremos algunas de las operaciones posibles: Unión, Intersección, Diferencia, Complemento, Diferencia Simétrica y Producto Cartesiano. 1) Unión Definición: A B x / x A x B Un elemento pertenece a la unión de A y B si está en A o si está en B. Es decir, es suficiente que sea elemento de alguno de los dos. Ejemplos: a) La unión de los conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {a, b, 2}, C = { 3, 4,5} que se anota A BC, es el conjunto {a, b, 1, 2, 3, 4,5} b) La unión de los conjuntos: P de los enteros pares e I de los enteros impares, es el conjunto Z de los números enteros. 7
2) Intersección Definición: A B x / x A x B Se llama intersección de dos conjuntos A y B (y se anota elementos son los que pertenecen a la vez a A y a B. Ejemplos: A B) al conjunto cuyos a) Para la clase de Botánica, cada alumno lleva una flor. Si el conjunto de los que llevan rosas es A = {Carol, Matías, Verónica, Leonardo} y el de quienes llevan flores rojas es B = {Santiago, Carol, Inés, Leonardo, Rossana} Podemos determinar el conjunto de los que llevan rosas rojas? Sí, es el conjunto Con diagramas: A B= { Carol, Leonardo} A Matías Verónica Carol Leonardo Inés Santiago Rossana B b) Si A = {1, 2, 3, 4} y B ={ -1, 3. 5, 4/2), es A B = {2, 3). c) La intersección de A = {1, 2, 3, 4} con el conjunto P de los números pares, es A P = {2, 4}. 8
d) La intersección de los conjuntos A = { x / x es entero y x < 7 }, B = {x / x es entero y 3 < x} es el conjunto AB = {x / x es entero y 3<x<7 } = {4, 5. 6). e) La intersección de dos rectas secantes a y b es un conjunto unitario {P} cuyo único elemento P es el punto generalmente llamado punto de intersección de las rectas. f) La intersección de el conjunto de los números pares con el conjunto de los números impares es el conjunto vacío. 3) Diferencia A B se lee A diferencia B y significa el conjunto cuyos elementos pertenecen a A y no pertenecen a B. Es decir que, para construirlo considero la lista de elementos de A y saco de ella los elementos que pertenezcan también a B. Definición: A B x / x A x B Ejemplos: a) Sean K 3,4,5,6 y T 1,2,3,4 entonces KT 5,6 b) - = (Los reales que no son irracionales son los racionales) 9
4) Complemento En el caso particular en que un conjunto B esté incluido en otro conjunto A ( B A ), al resultado de A B le llamamos complemento de B en A. A este conjunto lo escribimos B ' A B ' A A - B si B A Aún si A es igual a B podemos hablar de complemento de B en A, aunque en este caso sería B '. A Si hablamos del complemento de B pero no en otro conjunto específico A, Estamos nombrando todo elemento que no pertenezca a B. Podemos pensar en un conjunto universal (referencial para el caso considerado) en el cual B está incluido. E : es conjunto universal. En este caso, la zona gris indica todo lo que no es B E - B B B ' x / x B Ejemplo: E= {Barajas Españolas} y B={Bastos} entonces B ={Oros, Espadas, Copas} 10
Leyes de Morgan Sean A E B E i) B' A' B' A (el complemento de la unión es la intersección de los complementos) Para demostrar que ambos conjuntos son iguales emplearemos el método de la doble inclusión. Demostración: (Directo) x x A x A A B ' x A B comp.. x A B Complemento Unión x B x B Intersección (Recíproco) y A' B' Intersección y A x A comp.. y B x B y A B Unión y Complemento A B' ii) B' A B A (el complemento de la intersección es igual a la unión de los complementos) Demostración a cargo del alumno. 11
SUBCONJUNTOS Conjunto de Partes ( ) Se llama conjunto de partes de un conjunto A, al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos (o partes) de A. (A) X / X A NOTA: El conjunto de partes es, entonces, un conjunto de conjuntos. Ejemplo: A a,b,c Algunos subconjuntos son: a ; a,b ; A ; Ø ; etc. Si queremos hacer una lista de todos los subconjuntos se A, podemos recurrir a un diagrama de árbol. En dicho diagrama vamos formando todos los subconjuntos posibles. a b b c a,b,c A c a,b c a,c c a a b b c b,c c c c b c = Ø Entonces: (A) = ; a ; b ; c ; a,b ; b,c ; a,c ; a,b,c Son en total 8 conjuntos. 12
Observaciones: 1) Si A={a,b,c}, (A) tiene 8 elementos i. Las únicas partes o subconjuntos de un conjunto unitario U={a} son el conjunto vacío Ø y el mismo conjunto {a}. Entonces, el conjunto de partes de {a} es U = {Ø, a }. Es decir que elementos. U tiene 2 ii. El conjunto de partes de B={a, b} es B = a ; b ; a,b Ø, y B tiene 4 elementos. En general si el conjunto A tiene n elementos entonces el conjunto (A) tendrá 2 n elementos. 13