PROPORCIONALIDAD. TEOREMA DE THALES. TRIGONOMETRÍA RAZONES Y PROPORCIONES: Una razón es el cociente indicado entre dos cantidades. La razón entre a y b, donde b 0 se indica b a a se denomina ANTECEDENTE y b se denomina CONSECUENTE. Cuatro cantidades a, b, c, d, en ese orden forman una proporción si se cumple que a c b 0 y d 0 b d Se lee: a es b como c es a d a y d se llaman extremos; b y c se llaman medios Propiedad fundamental de las proporciones: En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. En a c símbolos: a b b c b d 7 Un ejemplo numérico: 7 TEOREMA DE THALES: Si tres o más paralelas son cortadas por dos transversales, la razón de las longitudes de los segmentos determinados en una de ellas, es igual a la razón de las longitudes de los segmentos correspondientes determinados en la otra E F A a a A//B //C//D B b b E y F son transversales bc cd a' b' b' c' c' C c c D d d Consecuencias del teorema de Thales: Toda recta paralela al lado de un triángulo, que corte a los otros dos lados o sus prolongiones, determina sobre éstos segmentos proporcionales. m a nc bm bn
RAZONES TRIGONÓMETRICAS: Triángulos rectángulos: un triángulo rectángulo es aquel que tienen un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados, catetos. Razones trigonómetricas: Se llaman razones trigonométricas a aquellas que relionan las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con los ángulos agudos del mismo. Para cada uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, uno de los catetos es el adyente y el otro es el opuesto. Las razones trigonométricas se definen de la siguiente manera: Seno de un ángulo: es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. cat.opuesto Sen x sen αˆ y sen βˆ hipotenusa Coseno de un ángulo: es la razón entre el cateto adyente y la hipotenusa. cat.adyente Cos x cos αˆ y cos βˆ hipotenusa Tangente de un ángulo: es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyente. cat. opuesto Tg x tg αˆ y tg βˆ cat. adyetne Si lo que se conoce es el ángulo, para calcular las razones trigonométricas se utiliza la calculadora científica y dichos valores se obtienen de la siguiente manera: Para calcular el seno de 0 : Secuencia de las teclas: sin 0 En el visor aparecerá 0,5; este es el valor del seno de 0 Para calcular el coseno de 5 : Secuencia de las teclas: cos 5 En el visor aparecerá 0,7070678. se redondea a las milésimas y el valor del coseno de 5 será 0,707. Si se conoce la razón trigonométrica y se quiere ser el valor del ángulo: El seno de un ángulo desconocido es 0,9: Secuencia de las teclas: shift sin 0. 9,,,
En el visor aparecerá 9 0 6,09. Se redondea los segundos y finalmente se considera el siguiente valor: 9 0 6. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS: Resolver un triángulo rectángulo significa hallar el valor de los tres lados y el valor de los dos ángulos agudos. Para ello se utiliza el teorema de Pitágoras, las razones trigonómetricas, y la propiedad de los ángulos agudos (en todo triángulo rectángulo, los ángulos agudos son complementarios) Dado un ángulo agudo y uno de sus lados: â 50 Para calcular bˆ debe aplicarse la propiedad de los ángulos agudos: a Datos cm a ˆ + bˆ 90 bˆ 90 aˆ 90 50 bˆ 0 Para calcular el lado, debe aplicarse la razón trigonométrica que relione los dos datos con el lado: c b cos â cm cm 6,cm cos aˆ cos50 0,6 Para calcular el lado debe razonarse de la misma manera: tg aˆ tgaˆ tg50 cm,9 cm, 768cm Dados dos lados: mr 0cm Para calcular el lado mp, debe aplicarse el Teorema de Pitágoras: r Datos rp cm mr rp + mp ( ) ( ) mp mp mr rp mp cm 0 cm 00cm 6cm mp 9, 65cm m p Para calcular el rˆ, debe aplicarse una razón trigonométrica que relione los datos dados con el ángulo: rp cm cos r ˆ cos rˆ cos rˆ 0, rˆ 66 5' 9' ' mr 0cm Para calcular el mˆ, debe razonarse de la misma manera: rp cm Sen m ˆ senmˆ senmˆ 0, mˆ '' ' mr 0cm
Actividades ) Completar con ó, según corresponda: 7... b) 0,9 9... c)... 7 6 0, d)... 9 e) 9... 5 ) Completar con el número que verifique a cada una de las siguientes proporciones:... 5... 6... b) c) d) 8 9 5 0 5... 5 5 ) Encontrar el valor de x aplicando la propiedad fundamental de las proporciones: 7 5 x 5 b) x + x 6 8 c) x x d) 5 5 x ( 0,5) 6 ) Escribir V (verdadero) y F (falso): a. A le corresponde ef sobre la otra transversal. b. A bd le corresponde gh sobre la otra transversal. c. A le corresponde ef sobre la otra transversal. b) c) d) e) 5) Tener en cuenta el gráfico y escribir los segmentos que correspondan para completar la proporción:... bc... bc bd............ a' b' c'....... c'...... c' 6) Calcular el valor de x y escribir el valor de cada segmento: x + 5 cm b) x bc x cm bc 8 cm de 7,5 cm db 6cm ef 7 cm de x + 7 cm
c) x + cm bc x + 5 cm ce 8 cm cd 8cm 7) Utilizar la calculadora científica y unir con flechas según corresponda: a. sen 5 5 * 0,575766 b. cos 70 5 * 0,57759 c. tg 60 * 0,5 d. sen 5 *,7050808 e. cos 60 * 0,969065 8) Escribir en la línea punteada el valor del ángulo al que corresponden las siguientes razones: a. sen... 0,59 b. tg..., 8560969 c. cos... 0, 9078 d. sen... 0,996755507 9) Resolver los siguientes triángulos rectángulos: b) 6,5 cm df cm b 7 f 5 5
0) Resolver los problemas aplicando las razones trigonómetricas: a. Hallar el área y los ángulos de un triángulo isósceles, cuyos lados iguales miden 6cm cada uno y su base 0cm. b. Desde un faro, a una altura de 9 m, se observa un velero con un ángulo de depresión de 5 0. a qué distancia de la base del faro se encuentra el velero? c. Un hombre trata de cruzar un río, en línea recta y en forma perpendicular, desde una orilla hasta la otra. La corriente lo desvía alejándolo 50m del punto adonde quería llegar. Si el ancho del río es de 00m, con qué ángulo se desvía? d. Desde el patio de una casa y a una distancia de 5m de la misma, una persona calculó en el ángulo de elevión hia el extremo superior de una antena ubicada en el techo de la casa. Luego midió el ángulo de elevión, desde la posición anterior, hasta el techo de la casa y resultó de 8. cuál es la altura de la antena? Qué distancia hay desde el techo hasta donde el observador realizó las mediciones? e. Se colocaron cuatro alambres de suspensión para una antena de transmisión y cada uno fue sujetado formando un ángulo de 7 con el piso. Si se utilizaron en total 50 m de alambre, cuál es la altura de la antena? f. Un globo aerostático se observa desde dos posiciones A y B con un ángulo de elevión de y 7, respectivamente. Si el globo se encuentra a 8 m de altura, cuántos kilómetros existen entre los dos puntos de observión? g. Un radar se encuentra a 80 m de altura. a qué distancia de la base del radar se encuentra una persona que lo observa con un ángulo de elevión de 8? Nota: Para tener en cuenta en la resolución de los problemas: 6