0 MÓULO E MTEMÁTI º MEIO P.G. UNI N : RELIONES MÉTRIS EL TRIÁNGULO RETÁNGULO Nombre:....... urso: º Fecha:.. I. Teorema de Euclides onsideramos el triángulo, rectángulo en, donde: c es la. h es altura. p y q son las proyecciones ortogonales de los catetos a y b sobre la, respectivamente. Se cumplen, entonces, las siguientes propiedades: a) Referente a un cateto: El cuadrado de un cateto es igual al producto de la por la proyección ortogonal de este mismo cateto sobre la. a b c p c q b) Referente a la ltura: El cuadrado de la medida de la altura es igual al producto de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la. h p q ) En la figura siguiente m. y m., el valor de es: plicando el teorema de Euclides referente a un cateto, tenemos que: ( + ) 6 ( + x) x m ) En la figura siguiente, 6 cm.; cm. eterminar el área del triángulo. plicando el teorema de Euclides referente a la altura, determinamos el valor de la base : 6 ( x ) x cm Teniendo este valor, determinamos el área del triángulo: 6 cm II. Teorema particular de Pitágoras En un triángulo Rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la. En el triángulo rectángulo, se cumple entonces que: a + b c º medio 0 Página
III. Razones trigonométricas. Razones trigonométricas Utilizaremos un triángulo rectángulo para definir las razones trigonométricas: seno (sin), coseno (cos), tangente (tan), cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (csc). a β c b En un triángulo rectángulo, estas razones se definen como sigue: sin cos tan cot sec csc quí podemos darnos cuenta que basta con conocer las razones razones, veamos por qué: sin y cos para poder calcular las otras sen tan cos cot cos sen sec cos csc sen ) Si se sabe que cos, determina el valor de cada una de las restantes razones trigonométricas. 7 Para responder esta pregunta, consideramos el siguiente triángulo rectángulo: ado que cos, tenemos los valores de un cateto y de la, por teorema de Pitágoras podemos determinar el valor del otro cateto: x + 7 x 7 x Teniendo esta medida, podemos determinar el valor de cada una de las razones para el ángulo. sin 7 tan cot sec 7 csc 7 ) Si tan, entonces el valor de cos es: Procedemos de igual forma, considerando el siguiente triángulo: eterminamos el valor de x por medio de Pitágoras x + x + x hora podemos determinar el valor de cos : cos º medio 0 Página
Ángulos Notables: 0, y 60 Si consideramos los siguientes triángulos rectángulos, podemos encontrar los valores de las razones trigonométricas de los ángulos de medida 0, y 60. Razón sin cos tan etermina el valor de la siguiente expresión: tan sin0 + cos 60 esarrollamos reemplazando los valores correspondientes a cada una de las razones: 0º º 60º csc sec cot tan sin 0 + cos 60 + + Ángulo de elevación y ángulo de depresión. Son aquellos ángulos formados por la horizontal, considerada a nivel del ojo del observador y la línea de mira, según que el objeto observado esté por sobre o bajo esta última. on respecto a un observador, los ángulos de elevación y de depresión contituyen ángulos alternos internos entre paralelas, por lo tanto, sus medidas son iguales. ) uál es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 0m de altura cuando el sol se ha elevado 0º sobre el horizonte? ebemos utilizar una razón que nos relacione los datos que tenemos con el dato que queremos determinar. Observando el triángulo rectángulo que se genera, podemos que tenemos al al ángulo de 0 y queremos determinar el valor del cateto adyacente a él. Por esto la razón que nos ayudará a resolver el problema es la tangente. Luego tenemos: 0 0 tan 0 x x,9m x tan 0 º medio 0 Página
) esde un avión que vuela a.000 m de altura se observa el inicio de la pista de aterrizaje 0 por debajo de la línea horizontal de vuelo (ángulo de depresión). uál es la distancia desde el avión al inicio de la pista? l igual que en el ejercicio anterior, debemos determinar que razón trigonométrica relaciona los datos dados con el que queremos determinar. Observamos que la razón correcta es seno, pues conocemos el y queremos determinar la medida de la, luego: 000 000 sin 0 x x 000m x sin0 IV. Teorema del seno y del coseno. Los teoremas del seno y del coseno se utilizan para resolver cualquier tipo de triángulos. Resolver un triángulo corresponde a determinar las medidas de sus tres lados y de sus tres ángulos. a) Teorema del seno: los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos a cada lado. a b c sin sin β sinγ b) Teorema del coseno. Se puede utilizar en los siguientes casos: Si conocemos las medidas de los tres lados del triángulo. Si conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Si conocemos dos lados y el ángulo que forman. a b + c b a + c c a + b bc cos ac cos β ab cosγ ) Resolver un triángulo con los siguientes datos: acm, bcm y β0 -Utilizando el teorema del seno, podemos determinar el valor del ángulo. sin0 0. sin sin sin 0, sin sin 0 Luego, sin 0,,. -onocidos y β, podemos determinar γ, pues sabemos que deben sumar 0. Luego, + 0 + γ 0 γ 6,. -Finalmente para determinar c, utilizamos el teorema del seno: c sin6, c c,cm. sin 0 sin6, sin 0 º medio 0 Página
) Resolver un triángulo con los siguientes datos: a00m, c700m y β0. -Utilizando el teorema del coseno, podemos determinar b: b b 00 00 + 700 + 700 00 700 cos0 00 700 cos0 b 6,97m -Para determinar el valor de γ, utilizamos: c a a b cosγ 700 00 6,97 cosγ 00 6,97 0,90 cosγ 0,90 γ, γ Para determinar γ, también podemos utilizar el teorema del seno. -Para determinar, consideramos que la suma de los ángulos debe ser 0, luego tenemos: + 0 +, 0 6, + b cos EJERIIOS. ) Los catetos de un triángulo rectángulo miden cm. y cm. eterminar la proyección mayor de los catetos sobre la. a), cm. b), cm. c) cm. d) cm. e) cm. ) En el triángulo de la figura,, m.; m.;? a), m. b) m. c) m. d), 76 m. e) 6 m. ) En la figura, - cm; - cm; la altura del triángulo es: a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) Ninguna de 0 las anteriores ) Los catetos de un triángulo rectángulo miden cm y cm. eterminar la altura del triángulo. 9 6 d) cm. e) Ninguna de a) cm. b) cm. c) cm. las anteriores º medio 0 Página
) cm.; 9 cm.;? a) V cm. b) 6 cm. c) 6 V cm. d) 6 cm. e) Ninguna de las anteriores 6) Si sen 7 y es un ángulo agudo, entonces de las siguientes afirmaciones son verdaderas: I) cos 7 II) sec 6 III) cosec 7 a) Sólo I b) Sólo II c)sólo III d) I y III e) Todas 7) El valor de la expresión sen º + cos 0º es: a) ( ) ( + + ) b) c) d) e) N.. ) Qué altura tiene un árbol si proyecta una sombra de 0 m, cuando el ángulo de elevación del sol es de 0º? a), m b), m c), m d) 6, m e), m 9) En la cima de un cerro se ha levantado una antena de telefonía celular. esde un punto ubicado en el valle se miden los ángulos de elevación del extremo superior y la base de la antena. uál es la altura del cerro si estos ángulos son 7º y º respectivamente y además la antena mide 0 m de alto? a) 00 m b),6 m c) m d) 6, m e) N.. 0) Si sen 7, entonces el valor de la tg es: a) 7 b) 0 7 c) 0 0 d) 0 e) N.. ) En la figura, 00 dm. Entonces mide: a) 0 dm b) 00 dm c) 0 dm d) dm e) dm 60º 0º ) En los siguientes triángulos rectángulos, calcula las seis razones trigonométricas para sus ángulos agudos. a) 0 b) 6 β β º medio 0 Página 6
) Utiliza los teoremas del seno o del coseno para resolver los siguientes triángulos. a) Resolver un triángulo tal que a. cm., β 0 y γ 7. b) Resolver un triángulo sabiendo que a. cm. β y b0 cm. c) Resolver el triángulo a m., b m. y γ 0 ) etermina la altura de un árbol, sabiendo que su sombra mide m cuando el ángulo de elevación del sol es de º. Haz un dibujo del problema. ) Un avión se encuentra a 00m de altura cuando comienza su descenso para aterrizar. Qué distancia debe recorrer el avión antes de tocar la pista, si baja con un ángulo de depresión de º? Haz un dibujo del problema 6) Un edificio tiene una altura de 7m. Qué medida tiene la sombra que proyecta cuando el sol tiene un ángulo de elevación de º?. Haz un dibujo del problema 7) La longitud del hilo que sujeta un volantín es de m y el ángulo de elevación es de 0º. Qué altura alcanza el cometa? ) En un momento determinado, los dos brazos de un compás están separados por una distancia de cm. Si cada brazo mide 0 cm, cuál es el grado de abertura del compás? 9) Encuentre el ángulo de elevación del sol si un hombre de,7 m. de estatura, produce una sombra de cm. de longitud en el suelo. 0) El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de grados con la horizontal. Encuentre la altura del cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 7 m. y el extremo de la cuerda se sostiene a, m. del suelo. º medio 0 Página 7
Soluciones ) ) ) ) ) 6) 7) ) 9) 0) ) sin cos tan sec csc cot ) a) sin β cos β tan β sec β csc β cot β ) a) 7, b,7 cm., c,6 cm. b), γ 0, c,6 cm. b) sin sec sin β sec β c),7, β 66,6, c,7m. ) Su altura es de 0,6 metros. ) ebe recorrer, metros. 6) La sombra mide 0, metros. 7) lcanza una altura de 7, metros ) El grado de abertura del compás es de 9 aproximadamente. 9) El ángulo de elevación es de 6,9 0) La altura del cometa es de 66 metros. cos csc cos β csc β tan cot tan β cot β º medio 0 Página