MATEMÁTICAS DE LAS OPERACIONES 5 de septiembre de 2005 PRIMERA PREGUNTA (2 puntos) La empresa Asa vende unos productos por valor de 10.000 euros a la empresa Isa. Ésta, en lugar de pagar en efectivo lo hace con dos letras de igual cuantía con vencimientos al mes y a los tres meses de la compra cada una. Sabiendo que la operación se formaliza con la ley financiera de capitalización simple a un tanto anual del 6%. Se pide: a) Calcular el importe de las letras b) Calcular el saldo de la operación transcurridos 2 meses desde la compra. Interpretar el resultado. c) Obtener el tanto anual en descuento comercial que mantendría la equivalencia de la operación anterior. a) Lo primero antes de nada es representar gráficamente la situación que me proponen. Hacer el dibujo es fundamental para resolverlo correctamente. Situaré cada capital en el momento del tiempo donde me indican. Debemos tener en cuenta varias cuestiones, la primera de ellas es que la ley financiera que DEBO y TENGO que utilizar es la ley financiera de capitalización simple no sólo porque me lo indican sino porque la operación financiera es a 3 meses como plazo máximo. Puesto que hablan de una ley financiera de capitalización simple, estableceré el punto p de proyección al final ( RECORDAD ESTO, INSISTO EN ELLO PORQUE SIEMPRE OS EQUIVOCAIS). EXAMEN DE DE LAS OPERACIONES ENRIQUE- 1
Planteo la siguiente ecuación de equivalencia financiera para calcular la X, ya que son mis incógnitas. 10.000 (1 0,06 3 ) = X (1 0,06 2 ) X 12 12 10.150 = 2,01 X X = 5.049,75 Una vez calculado el importe de las letras, os enseño la representación gráfica: b) He calculado la Reserva Matemática o Saldo Financiero por los dos métodos: retrospectivo y prospectivo a los 2 meses por la derecha y como puedes ver dan el mismo valor, como tiene que ser. Por supuesto el punto p de proyección será a los tres meses, INSISTO EN ESTO PORQUE SIEMPRE SE OS OLVIDA. SALDO RETROSPECTIVO ( lo que ocurre antes de los 2 meses) (1 0, 06 1 ) = 10.000 (1 0, 06 3 ) 5.049, 75 (1 0, 06 2 ) 12 12 12 1 0,06 3 1 0,06 2 = 10.000 12 5.049, 75 12 1 0,06 1 1 0,06 1 12 12 = 5.024, 63 SALDO PROSPECTIVO (lo que ocurre después de los 2 meses) (1 0, 06 1 ) = 5.049, 75 12 1 = 5.049, 75 ; 1 0,06 1 12 = 5.024, 63 EXAMEN DE DE LAS OPERACIONES ENRIQUE- 2
c) Recordad que plantearemos la ecuación de equivalencia financiera entre los capitales de la operación, pero en esta ocasión, al tratarse de descuento simple, el punto p de proyección, ESTARÁ AL PRINCIPIO DE LA OPERACIÓN (CUIDADITO CON ESTO ) 10.000 = 5.049, 75 (1 d 1 ) 5.049, 75 (1 d 3 ) 12 12 10.000 = 5.049, 75 420,8125 d 5.049, 75 1.262, 4375 d d = 5,911183722% SEGUNDA PREGUNTA (1,5 puntos) Sea un préstamo por importe de 100.000. Se procede a amortizar este préstamo en cinco años, habiendo los dos primeros años una carencia total. El tipo de interés para los tres primeros años es del 4% efectivo anual y para los dos últimos del 5% efectivo anual también. Cuando termina la carencia, el préstamo se amortiza mediante anualidades constantes. Se pide: a) Capital vivo al principio del tercer año. b) Términos amortizativos que amortizan el préstamo. c) Calcular la cuota de interés y la cuota de amortización del tercer año. a) Interesante problema que vemos en clase una y otra vez, por ello no os resultará difícil de resolver. Hago el dibujo de la operación financiera: Existen dos años de carencia total, donde no se paga absolutamente ninguna cantidad y os preguntaréis que facilidades da el banco, pero claro como debéis de saber los bancos NO SON ONG S, por ello te aplazan el nominal del préstamo y te lo capitalizan 2 años, por ello la deuda que tienes contraída es mucho mayor. El nominal capitalizado dos años al tipo de interés que le corresponde al período (4%) será: 2 C 2 = 100.000 (1 0,04) = 108.160 EXAMEN DE DE LAS OPERACIONES ENRIQUE- 3
b) Los términos amortizativos del préstamo se calcularan planteando la siguiente ecuación de equivalencia financiera. 1 1 = 108.160 a (1 0,04) a (1 0,04) 2 0,05 a = 39.339,02 NOTA: CUIDADO El préstamo se amortiza mediante anualidades constantes, es decir, es un préstamo FRANCÉS, pero los tipos de interés de los dos subperiodos son diferentes y por tanto no puedo calcular los términos mediante la formula que os enseñé en clase. c) Aplicamos las leyes de recurrencia bien conocidas: a I3 = C2 i1 = 108.160 0, 04 = 4.326, 4 A3 = 35.012, 62 He construido la tabla amortizativa del préstamo completa para que repaséis vuestros conocimientos. a A I C 0 - - - 100000 1 - - - 104000 2 - - - 108160 3 39339,02 35012,62 4326,4 73147,38 4 39339,02 35681,65 3657,37 37465,73 5 39339,02 37465,73 1873,29 0,00455 EXAMEN DE DE LAS OPERACIONES ENRIQUE- 4
TERCERA PREGUNTA (1,5 puntos) Para títulos de un determinado riesgo crediticio, los Tipos de Interés al contado (spot) a 1, 2 y 3 años se sitúan en el 4,00%, 4,50% y 5,00% respectivamente. Se pide: a) Obtener el Tipo de Interés a plazo (forward) a 1 año dentro de 1 año y a 1 año dentro de 2 años. b) Si una inversora adquiere un Bono con Amortización a los 2 años, cuyo nominal es de 100 euros y que paga un cupón de 5 euros al final de cada año, calcular el precio del bono, utilizando la ETTI del enunciado. a) Pregunta tremendamente fácil siempre y cuando me hayas atendido en clase ya que hago todos los tipos de problemas, aunque en ICADE sabéis que os lo tenéis que aprender por vuestra cuenta, pero con DELTA MASTER ASUNTO ADO. TIPO FORWARD A UN AÑO DENTRO DE UN AÑO (1 ) (1 ) (1 ) (1 0,045) (1 0,04) (1 ) 2 1 1 2 1 1 i = i i = i 0,2 0,1 1,2 1,2 1 1 1, 050024038 = (1 i ) i = (1, 09282248391) 1 = 0, 050024038 1,2 1,2 TIPO FORWARD A UN AÑO DENTRO DE DOS AÑOS (1 ) (1 ) (1 ) (1 0, 05) (1 0, 045) (1 ) 3 2 1 3 2 1 i = i i = i 0,3 0,2 2,3 2,3 1 1 1, 060071885 = (1 i ) i = (1, 060071885) 1 = 0, 060071885 2,3 2,3 b) Este apartado es otro regalo, ya que como no hay ni primas de amortización, ni de emisión pues simplemente planteo la ecuación siguiente actualizando cada flujo con el tipo de interés spot de cada subperíodo. P = 5 (1 i 0,1 P = 100,9593372 ) 1 105 (1 i 0, 2 ) 2 = 5 (1 0,04) 1 105 (1 0,045) 2 EXAMEN DE DE LAS OPERACIONES ENRIQUE- 5
SEGUNDA PARTE PRIMERA PREGUNTA (0,75 puntos) Cierta empresa ha solicitado en su banco habitual una cuenta de crédito a dos años con liquidaciones trimestrales y con un límite de 20.000 euros y se le han ofrecido las siguientes condiciones: Tipos de interés nominales: para saldos acreedores: 0,5% para saldos deudores: 8% para saldos excedidos: 14% Comisiones: de apertura: 0,3% de excedido: 1% de disponibilidad: 1% Se pide obtener el TAE de dicha oferta. Debemos tener en cuenta varias cosas como que lo intereses que me dan como datos del problema son en términos nominales (J m ), bien, pues lo convertimos a efectivo trimestral de la siguiente manera (DATE CUENTA DE QUE SOLO HE UTILIZADO EL INTERÉS DEUDOR PARA CALCULAR EL TAE DE LA OFERTA). j (4) deudor Calculo la cuantía de la comisión de apertura: = 8 % i(4) deudor 0,08 = = 0,02 4 C apertura a 8 0,02 = 20.000 0,003 = 60 Hallamos el prorrateo de esos 60 entre el período completo de la liquidación: 60 = X X = 8,190587948 Aplicamos la siguiente expresión, que os he enseñado en clase y transformamos dicho interés en términos anuales, es decir el TAE de la oferta i * (4) i 20.000 0,02 8,190587948 = = 0,024095294 20.000 = (1 i ) 1 = (1 0,0204095294) 1 = 0,08417159071 * * 4 4 (4) * i TAE ( ) = 8, 417159071% EXAMEN DE DE LAS OPERACIONES ENRIQUE- 6
SEGUNDA PREGUNTA (1 punto) La empresa Jota ha descontado hoy, 5 de septiembre, en su banco una letra de 6.000 euros (timbre de 16,83 euros). La letra había sido girada el 25 de agosto a 90 días vista y fue aceptada el 31 de agosto. Sabiendo que el cliente recibe por ella 5.900 euros, se pide obtener el tanto efectivo para el banco en capitalización simple. Problema muy sencillo de descuento de efectos comerciales que es un REGALITO como vas a poder ver. Comenzare con los datos del problema, conviene que seamos ordenados para no hacernos un lío con tanta fecha: FECHA DE DCTO.: 05/09 FECHA DE GIRO: 25/08 90 d/v FECHA ACEPTACION: 31/08 NOMINAL: 6000 TIMBRE: 16,83 DIAS DE DESCUENTO: 85 días Los días vista cuentan a partir de la fecha de aceptación que es el día 31/08 pero como se lleva a descontar el 05/09 has pasado 5 días, por lo que los días de descuento son 90-5 = 85 días. Como el cliente recibe 5.900 debo calcular lo que entrega realmente el banco que es el efectivo junto con el timbre (16,83 ) es decir 5.916,83. PRESTACION (5.916,83; 0) CONTRAPRESTACION (6.000; 85 d) Como me piden el tanto efectivo en capitalización simple para el banco debo tener en cuenta lo que aporta realmente la entidad que en este caso es 5916,83 y plantear la ecuación de equivalencia financiera entre prestación y contraprestación. NOTA: Si me pidieran el tanto efectivo en capitalización simple para el cliente, tomo el cuenta lo que recibe el cliente que en este caso es 5900. 85 5.916,83 (1 i c ) = 6.000 ic = 0,06036032212 365 Por tanto el tanto en capitalización simple para el banco es del 6,036 %. EXAMEN DE DE LAS OPERACIONES ENRIQUE- 7
TERCERA PREGUNTA (2 puntos) La empresa MAFI, S.A. está estudiando realizar una inversión que presenta las siguientes características: Duración de la operación. 5 años Desembolso inicial: 10.000 Valor residual: 3.000 Los gastos que conlleva la inversión son 2.000 constantes, semestrales y pospagables durante los cinco años que dura la operación. Los ingresos, se producen únicamente durante los últimos cuatro años, y son mensuales pospagables constantes año a año. Su cuantía será de 1.000 mensuales durante ese año. Al año siguiente dichos ingresos se verán incrementados en un 5% y así sucesivamente crecerán al 5% acumulativo anual durante los dos años restantes. Si el tipo de interés del mercado en ese momento para operaciones de riesgo y duración similar es del 6% anual, determinar razonadamente: a) El valor actual de los gastos b) El valor actual de los ingresos. c) El asesor financiero de la empresa aconseja realizar la inversión. Es razonable su afirmación? Responda razonadamente indicando en que criterio de selección de inversiones basa la respuesta. Gran problema de rentas financieras al cual tenemos que prestar muchísima atención ya que engloba el tipo de problema mas completo de este tema. VALOR ACTUAL DE LOS GASTOS Los gastos son semestrales, constantes y pospagables, por ello convierto el tipo de interés en semestral para calcular el valor actual de esta renta. 1 i 2 (2) = (1 0,06) 1 = 0,0295630141 V = 2.000 a = = G 0 10 i(2) 0,0295630141 10 1 (1 0, 0295630141) 2.000 = 17.098,51 0, 0295630141 EXAMEN DE DE LAS OPERACIONES ENRIQUE- 8
VALOR ACTUAL DE LOS INGRESOS En este caso, los ingresos son mensuales y constantes año a año pero crecen de forma acumulativa ANUALMENTE, es decir, se trata de una renta en progresión geométrica con razón 1,05 durante los 4 años que dura. CUIDADO La renta en progresión geométrica es MENSUAL PERO DATE CUENTA DE LOS TÉRMINOS QUE HE INCORPORADO EN LA EXPRESION. Como la razón es ANUAL todos los términos tienen que aparecer en años, motivo por el cual, he puesto un (m=12) pequeño, que quitare con el correspondiente factor de transformación. V A 1 i 12 (12) = (1 0,06) 1 = 0,004867550565 ( m= 12) = (1 0, 06) = (1 0, 06) = I 1 1 0 4 0,06 4 0,06 = i 4 4 1 (1, 05) (1 0, 06) 0, 06 12.000 (1 0, 06) 1 1 0, 06 1, 05 12 ((1 0, 06) 12 1) = 43.265,19 (12.000;1,05) (12.000;1,05) J (12) A 1 i j (12) Una vez calculados los valores actuales, tanto de gastos como de ingresos, para comprobar si es efectuable o no dicha inversión, calculo el Valor Actual Neto de la siguiente manera: I G 3.000 VAN = 10.000 V0 V0 = 10.000 43.265,19 17.098,51 2.241,77 5 (1 0,06) * VAN = > i > i 18.408, 44 0 INV.EFECTUABLE EXAMEN DE DE LAS OPERACIONES ENRIQUE- 9
CUARTA PREGUNTA (1,25 puntos) A continuación se facilita información de la subasta de 3 de febrero de Bonos del Estado a 5 años: Fecha de vencimiento: 31 de Enero de 2009 Se pide obtener el precio medio de compra y, si procede, el precio medio ex - cupón. Dibujo la estructura del problema con cada una de las fechas que hay que incorporar, como he hecho en muchas ocasiones en clase. Planteo la ecuación de equivalencia financiera el día en el que se liquida el bono: 4 [,60% 4 02845 100% (1 0,02845) ] 0, 8 365 EEF 08 / 02 / 05 PMED = 3 a (1 0,02845) P MED = 102,8800796% que es el Precio Medio de Compra No procede calcular el precio medio ex - cupón ya que no es necesario, aunque lo he calculado para repasar todo lo que ya sabéis. 8 C. Corrido = 3.60 = 0,078904109% 365 Precio Medio = Precio Medio Ex - Cupón Cupón Corrido Precio Medio Ex - Cupón = Precio Medio Ex - Cupón Precio Medio - Cupón Corrido 102,801% = 102,8800796 0,078904109 EXAMEN DE DE LAS OPERACIONES ENRIQUE- 10