Números naturales El conjunto de los números naturales se representa por la letra, y está formado por: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} Los números naturales sirven para contar los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien para expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (número ordinal). Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales: 7 > 2; 5 es mayor que 3. 2 < 7; 3 es menor que 5. Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural. Representación de los números naturales Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor. En una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los números naturales: 1, 2, 3... 1
Operaciones con números naturales Suma de números naturales a + b = c Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma. Propiedades de la suma 1. La suma de números naturales es una operación Interna: a + b natural? (la suma de dos o más números naturales da otro número 2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) 3. Conmutativa: a + b = b + a 4. Elemento neutro: a + 0 = a Factores comunes En una suma de varios sumandos, se llama factor común a cualquier factor que pertenezca a todos y cada uno de los sumandos. Así, en la suma 3 x 5 + 7 x 5, el número 5 es un factor común. En la expresión 5 x 9 + 9 x 7 + 9 x 2, el 9 es un factor común. En la operación 7 x 5 + 7 x 3 + 5 x 4, no hay ningún factor común. En una suma de varios sumandos en la que haya algún factor común, se llama sacar factor común a aplicar la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma. 2
Resta de números naturales a - b = c Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia. Propiedades de la resta 1. No es una operación interna 2. No es Conmutativa. Multiplicación de números naturales a b = c Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto. Propiedades de la multiplicación 1. Interna: a b 2. Asociativa: 3
(a b) c = a (b c) 3. Conmutativa: a b = b a 4. Elemento neutro: a 1 = a 5. Distributiva: a (b + c) = a b + a c 6. Sacar factor común: a b + a c = a (b + c) División de números naturales D : d = c Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente. Propiedades de la división 1. División exacta D = d c 2. División entera D = d c + r 3. No es una operación interna 4. No es Conmutativa. 5. Cero dividido entre cualquier número da cero. 6. No se puede dividir por 0. Prioridades en las operaciones 1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.. 2º.Calcular las potencias y raíces. 3º.Efectuar los productos y cocientes. 4
4º.Realizar las sumas y restas. Potencia de números naturales Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales. 5*5*5*5=5 4 Los elementos que constituyen una potencia son: La base de la potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5. El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4. Propiedades de las potencias de números naturales Un número elevado a 0 es igual a 1 5 0 =1 Un número elevado a 1 es igual a sí mismo 5 1 =5 Producto de potencias con la misma base Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. 3 5 * 3 3 = 3 8 División de potencias con la misma base Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. 5
Potencia de una potencia Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. (4 5 ) 3 = 4 15 Producto de potencias con el mismo exponente Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases. 5 3 * 3 3 =(5*3) 3 Cociente de potencias con el mismo exponente Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. Ejercicios: 5 3 : 3 3 = (5:3) 3 6
Números enteros El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. = {... 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...} Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero. Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los números enteros. Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo. a = a a = a 7
Criterios para ordenar los números enteros 1. Todo número negativo es menor que cero. 7 < 0 2. Todo número positivo es mayor que cero. 7 > 0 3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. 7 > 10 7 < 10 4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. 10 > 7 10 > 7 Operaciones con números enteros Suma de números enteros 1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común. 3 + 5 = 8 ( 3) + ( 5) = 8 2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto. 3 + 5 = 2 3 + ( 5) = 2 8
Propiedades de la suma de números enteros 1. Interna: a + b 3 + ( 5) 2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) (2 + 3) + ( 5) = 2 + [3 + ( 5)] 5 5 = 2 + ( 2) 0 = 0 3. Conmutativa: a + b = b + a 2 + ( 5) = ( 5) + 2 3 = 3 4. Elemento neutro: a + 0 = a ( 5) + 0 = 5 5. Elemento opuesto a + (-a) = 0 5 + ( 5) = 0 ( 5) = 5 Resta de números enteros La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. a - b = a + (-b) 7 5 = 2 7 ( 5) = 7 + 5 = 12 9
Propiedades de la resta de números enteros 1. Interna: a b 10 ( 5) 2. No es Conmutativa: a - b b a 5 2 2 5 Multiplicación de números enteros La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos. Regla de los signos 2 5 = 10 ( 2) ( 5) = 10 2 ( 5) = 10 ( 2) 5 = 10 10
Propiedades de la multiplicación de números enteros 1. Interna: a b 2 ( 5) 2. Asociativa: (a b) c = a (b c) (2 3) ( 5) = 2 [(3 ( 5)] 6 ( 5) = 2 ( 15) -30 = -30 3. Conmutativa: a b = b a 2 ( 5) = ( 5) 2-10 = -10 4. Elemento neutro: a 1 = a ( 5) 1 = ( 5) 5. Distributiva: a (b + c) = a b + a c ( 2) (3 + 5) = ( 2) 3 + ( 2) 5 ( 2) 8 =- 6 10-16 = -16 6. Sacar factor común: a b + a c = a (b + c) ( 2) 3 + ( 2) 5 = ( 2) (3 + 5) 11
División de números enteros La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos. 10 : 5 = 2 ( 10) : ( 5) = 2 10 : ( 5) = 2 ( 10) : 5 = 2 Propiedades de la división de números enteros 1. No es una operación interna: ( 2) : 6 2. No es Conmutativo: a : b b : a 6 : ( 2) ( 2) : 6 Potencia de números enteros La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas: 1. Las potencias de exponente par son siempre positivas. 2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base. a 0 = 1 Propiedades a 1 = a a m a n = a m+n ( 2) 5 ( 2) 2 = ( 2) 5+2 = ( 2) 7 = 128 12
a m : a n = a m n ( 2) 5 : ( 2) 2 = ( 2) 5-2 = ( 2) 3 = 8 (a m ) n = a m n [( 2) 3 ] 2 = ( 2) 6 = 64 a n b n = (a b) n ( 2) 3 (3) 3 = ( 6) 3 = 216 a n : b n = (a : b) n ( 6) 3 : 3 3 = ( 2) 3 = 8 Potencias de exponente entero negativo Raíz cuadrada de un número entero Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y negativo. El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado número. 13
Operaciones combinadas con números enteros Prioridades en las operaciones 1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.. 2º.Calcular las potencias y raíces. 3º.Efectuar los productos y cocientes. 4º.Realizar las sumas y restas. 14