GEOMETRÍA BÁSICA 14. Teorema de Tales Corresponde a la sesión de GA 2.14 BUENA TRIANGULACIÓN El filósofo y matemático griego Tales de Mileto fue uno de los siete sabios más grandes de la antigüedad. El teorema de Tales, llamado así en su memoria, es una parte fundamental en el estudio de la semejanza. A él se debe una de las numerosas aplicaciones que tiene la semejanza, que es la determinación de la distancia entre dos puntos inaccesibles entre sí; para ello se dice que calculó la altura de una de las pirámides de Egipto sin medirla directamente, basándose en la longitud de la sombra de su bastón; así logró realizar una brillante triangulación El teorema de Tales afirma: Si tres o más paralelas son cortadas por transversales, la razón entre las medidas de dos segmentos cualesquiera cortados por una transversal será igual a la razón de las medidas de los segmentos correspondientes de la otra, es decir, son proporcionales. Al trazar el ángulo TOS y dividir la recta OT en tres segmentos en donde cada división se marca con los puntos P, Q y R, si se trazan paralelas que corten a OT y OS por lo puntos P, Q y R, se originan los puntos U, V, W. En la figura las medidas de los segmentos son las siguientes: OP=2cm; PQ=2.5cm; QR=3cm
OU=3cm; UV=3.75cm; V W=4.5cm Al establecer proporciones con las medidas, se observa que: es decir que las medidas de los segmentos correspondientes, son proporcionales. En esta otra figura, al medir los segmentos MN, MN' NP y NP', se puede observar que las medidas son proporcionales: al comprobar que los segmentos son proporcionales, se puede afirmar que las rectas NN' y PP' son paralelas. Así que: Si una recta intriseca a dos lados de un triángulo, y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado. Como consecuencia del teorema de Tales, se puede enunciar el teorema fundamental de semejanza de triángulos. Toda paralela a uno de los lados de un triángulo, divide a los otros dos en segmentos proporcionales, por lo que forman un triángulo semejante al primero. Obsérvese el triángulo PQR, al trazar la recta TS paralela al lado RP se puede demostrar que:
congruentes. por tener los lados proporcionales y los ángulos homólogos RP II TS El ángulo Q es común a los dos triángulos Los triángulos PQR y SQT tienen ángulos congruentes. Además: por el teorema de Tales Para obtener la proporcionalidad entre los segmentos, se traza la recta VS, paralela a RQ. Pero en el paralelogramo STRV, RV = TS. Se puede sustituir: proporcionales así que los lados de los triángulos PQR y SQT son Por lo tanto porque sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados homólogos proporcionales.
15. Teorema de Pitágoras Corresponde a la sesión de GA 2.15 DIMENSIÓN DESCONOCIDA El teorema de Pitágoras ha sido una herramienta muy importante en el conocimiento y cálculo de grandes distancias. Este teorema dice que en un triángulo rectángulo la suma del área de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa. Una de esas demostraciones puede hacerse con base en el teorema de semejanza de triángulos. Véase: Si el ABC es rectángulo, entonces (AC)² + (CB)² = (AB)² es decir, b² + a² = c² El por el teorema de triángulos semejantes, que dice: Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, los dos triángulos formados son semejantes entre sí, y semejantes al triángulo dado. Como:, entonces cn = a², entonces cm = b² Al sumar las igualdades cn = a² y cm = b², se tiene: cn + cm = a² + b² Si se factoriza el primer miembro de esta igualdad, se tiene: c (n + m) = a² + b² Pero, n + m = c, entonces (c) (c) = a² + b², por lo tanto: c² = a² + b² Una aplicación de dicho teorema puede observarse en el siguiente ejemplo:
Se quiere conocer el área de un terreno en forma de triángulo isósceles y se tiene que la medida de los dos lados iguales es 15 m y la del tercero es 24 m. Como ya sabe, para calcular el área de un triángulo es necesario saber cuánto mide la base y cuánto la altura. El siguiente dibujo representa el terreno del problema ya planteado. La altura es un valor que se desconoce, pero se puede calcular por medio del teorema de Pitágoras, pues se sabe que la altura de un triángulo es la perpendicular a la base. Esto es: Una vez conocida la altura del triángulo, se sustituyen valores en la fórmula del área, es decir: La utilidad de! teorema de Pitágoras es evidente en muchas actividades prácticas que realiza el hombre. 17. Razones trigonométricas Corresponde a la sesión de GA 2.17 TIENES RAZÓN? La trigonometría, en sus inicios, se concretó al estudio de los triángulos. Por varios siglos se empleó en topografía, navegación y astronomía. Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Por ejemplo:
Los ángulos de A y B son agudos El ángulo C es recto. Puede notarse que los lados de los ángulos agudos son la hipotenusa y un cateto y los del ángulo recto son catetos. Considerado uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo e identificada previamente la hipotenusa, es necesario diferenciar los catetos. Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia. Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de éste. Obsérvense los siguientes triángulos: Nótese que los lados del triángulo se representan con las dos letras mayúsculas que corresponden a sus puntos extremos, colocando sobre ellas una línea horizontal, o bien, con una sola letra minúscula. Las razones trigonométricas se establecen entre dos lados de un triángulo rectángulo en relación con uno de sus ángulos agudos.
En el siguiente cuadro se observan las seis razones trigonométricas que se pueden establecer, para cualesquiera de los ángulos agudos, en un triángulo rectángulo. Seno y cosecante En un triángulo rectángulo, el seno y la cosecante de cualesquiera de sus ángulos agudos (x), se expresan con las razones siguientes: Coseno y secante En un triángulo rectángulo, las razones del coseno y la secante de cualesquiera de sus ángulos agudos (x) son:
Tangente y cotangente La tangente y cotangente de cualesquiera de los ángulos agudos (x) de un triángulo se establece con las siguientes razones: En el cuadro se resumen las seis funciones trigonométricas para cualquiera de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo Puede notarse que las funciones trigonométricas fundamentales y sus recíprocas tienen invertidos sus términos. 18. Problemas sobre triángulos rectángulos Corresponde a la sesión de GA 2.18 SE BUSCA Las razones trigonométricas se emplean en la resolución de triángulos rectángulos, esto es, en el cálculo de uno o más de sus lados o ángulos, con un mínimo de datos.
Para aplicar estas razones, es necesario conocer el valor numérico de dos de sus elementos (que pueden ser dos lados o un ángulo agudo y un lado) para encontrar el valor desconocido de otro de ellos. Existen dos casos en la resolución de triángulos rectángulos cuyo procedimiento se ejemplifica a continuación. 1.-Obtención del valor de un lado, conocidos un ángulo y un lado Ejemplo: Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60 con respecto al piso. Procedimiento: a) Trazar el triángulo rectángulo anotando los datos e indicando, con una letra, el lado que se desea calcular. b) Seleccionar una razón trigonométrica que relacione al ángulo y lado conocidos con el lado que se desea calcular. c) Despejar algebraicamente la letra que representa el lado que se desea calcular. d) Sustituir las literales por sus valores numéricos de acuerdo con los datos. e) Obtener el valor natural del ángulo por medio de las tablas trigonométricas o de la calculadora y efectuar las operaciones.
c = 5 m f) Dar solución al problema. c = longitud de la escalera Por lo tanto, la escalera mide 5 m. 2. Obtención del valor de un ángulo agudo, conocidos dos lados del triángulo Obtener el ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, desde la punta del primero hasta el piso, y que tiene un largo de 13.75 m Ahora se tienen únicamente los valores de dos lados, con los cuales se debe obtener e! valor del ángulo. Procedimiento: a)trazar un triángulo rectángulo anotando en él los datos. b) Seleccionar la función trigonométrica que relacione a los lados conocidos con el ángulo. c) Sustituir las literales por sus valores numéricos. d) Efectuar la división indicada. cos = 0.5454
e) Obtener, en las tablas de funciones trigonométricas o con la calculadora, el valor del ángulo. f) Dar respuesta al problema. El ángulo formado por el poste y el cable tirante es de 56 57' Para resolver algunos problemas, donde se aplica la trigonometría, es conveniente conocer lo que es un ángulo de elevación y un ángulo de depresión. Ángulo de elevación El ángulo O, formado por la horizontal y la visual situadas en el mismo plano vertical es el ángulo de elevación del punto N, que es, a su vez, el punto más elevado del objeto. Ángulo de depresión El ángulo B, formado por la horizontal BD y la visual plano vertical, es el ángulo de depresión del punto A. situadas en el mismo
Nótese que: a) son congruentes por ser ángulos alternos internos entre paralelas. b) son complementarios porque sus medidas suman 90. c) Triángulo ABC es congruente con el triángulo ABD. En el siguiente cuadro se resumen los dos procedimientos para la resolución de triángulos rectángulos