PARA LA VALORACION DE OPCIONES

PARA LA VALORACION DE OPCIONES Evidencia empirica para una muestra de 27 acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores Maria de la Paz Guzman Plata * Resumen La presente investigacion tiene como objetivo estudiar el modelo de Black- Scholes para la valoracion de opciones y aplicarlo a una muestra de 27 acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores. En la primera parte del estudio se analiza la teoria sobre las opciones y el coeficiente delta; en la segunda parte se presenta el modelo Black-Scholes de manera formal, y en la tercera se muestra la evidencia empirica. Esta ultima parte comprende la muestra, la valoracion de opciones de compra y venta y el coeficiente delta de una opcion de compra y de una opcion de venta. Al final, se plantean las conclusiones. Abstract This paper set out to study the Black-Scholes model for appraising options and then apply it to a sample of stocks that are quoted on the Mexican Stock Exchange. The first part of the paper analyzes the option theory and the Delta coefficient; the second part makes a formal presentation of the Black-Scholes model and the third displays empirical evidence. The latter includes the sample, the appraisal of buying and selling options and the Delta coefficient for a buying option and another for a selling option. Conclusions are offered in the final section. * Profesora e investigadora de la UAM-Azcapotzalco

lntroduccion radicionalmente, 10s inversionistas obtienen T un rendimiento por medio de multiples activos financieros, entre 10s que se incluyen titulos accionarios y bonos con diferente madurez. En el caso de 10s titulos accionarios, 10s rendimientos positivos se logran cornprando barato y vendiendo caro, de acuerdo con el rnovirniento del mercado; es decir, realizando ventas y compras en 10s momentos adecuados. Para 10s bonos, 10s rendimientos dependen de las fluctuaciones de las tasas de interes lideres que existen en 10s rnercados financieros. Sin embargo, en todas estas operaciones, a excepcion de las realizadas con instrumentos de renta fija, existe la gosibilidad de perder todo o parte del rnonto invertido y, peor aun, quedar endeudado. Afortunadamente, en 10s recientes afios han aparecido en 10s mercados financieros otro tipo de valores mas elaborados, entre 10s cuales se encuentran 10s instrurnentos derivados. El valor de estos depende del precio de algun bien subyacente como son acciones, bonos, divisas, metales y bienes de consumo. La caracteristica principal de 10s instrumentos derivados es que perrniten participar en 10s mercados financieros de manera mas flexible ya que con ellos se puede invertir a partir de una expectativa de mercado y adquirir un seguro contra movimientos adversos sobre 10s precios de 10s bienes subyacentes. Entre 10s instrumentos derivados podemos encontrar 10s futuros, 10s forwards, 10s swaps y las opciones. Aunque existe gran interes por el analisis de todos 10s instrumentos del mercado de derivados, la presente investigacion se centra en el estudio de las opciones, porque este mercado es uno de 10s mas recientes en nuestro pais. Con el fin de estudiar el valor de las opciones y el coeficiente delta (A) de estos instrumentos para una muestra de 27 acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores, esta investigacion se ha dividido en tres secciones: en la primera se hace una revision teorica de las principales caracteristicas de las opciones y del coeficiente delta; en la segunda se plantea el rnodelo de Black- Scholes para la valoracion de opciones; en la tercera se encuentra la evidencia empirica, en la que se destaca la muestra que se utilizo y el analisis de resultados. Por ultimo, en la parte final de este articulo se establecen las conclusiones. I. Opciones Las opciones pertenecen a una clase de instrumentos llamados derivados,' cuya caracteristica mas irnportante es que su valor depende de otro 1 El mercado de derivados en nuestro pais (MexDer) surge a partir de 1995 debido al exito del mercado de warrants que motivo al consejo de administracion de la Bolsa Mexicana de Valores a autorizar en 1994 un presupuesto para desarrollar el mercado de futuros y opciones financieras. Se propuso que el lanzamiento de 10s instrumentos del rnercado Mex- Der fuera progresivo. Las operaciones del mercado de futuros sobre el dolar seria el primero en abrirse, seguido por 10s futuros sobre el IPC, futuros sobre 10s bonos, opciones sobre el IPC, primero y segundo paquete de opciones sobre acciones individuales y, por ultimo, opciones sobre el dolar. Simultanearnente a la operacion progresiva de algunos instrumentos del MexDer, el rnercado de warrants se sigue desarrollando, y dentro de sus instrumentos mas importantes se encuentran titulos opcionales sobre acciones, titulos opcionales sobre el IPC, opciones sobre Telmex, warrants de valores mexicanos en el extranjero. El metodo de evaluacion tanto de 10s warrants como de 10s instrurnentos del MexDer se ha realizado principalmente por la formula de Black-Scholes con un factor de correction sobre la volatilidad que presenta cada instrumento.

bien o activo subyacente. Dentro de estos activos subyacentes se encuentran: 1. Acciones comunes 2. indices del mercado accionario 3. Pagares y bonos del tesoro 4. Depositos en eurodolares 5. Divisas (dolares australianos y canadienses, marcos alemanes, florines holandeses, franco frances, libra esterlina, franco suizo y yen) 6. Metales (oro, plata e indices de oro y plata) 7. Mercancias (ganado, maiz, algodon, cerdos, soya, azucar y trigo). Otra de las caracteristicas de las opciones es que, a cambio de una prima, otorgan el derecho, mas no la obligacion, de comprar o vender un determinado bien o activo a un precio fijo dentro de un plazo prestablecido. pueden e~ercers en cualquier instante, desde la fecha de su emision hasta su vencimiento, reciben el nornbre de americanas. 2. Participantes en el mercado de opciones En el mercado de opciones destacan dos figuras participantes: 10s que compran opciones y 10s que las venden. Los compradores pueden adquirir una opcion de compra o una de venta. Generalmente son grandes empresas las que venden este tipo de inversiones. Los posibles valores, antes del vencimiento de una opcion de compra que tiene un precio de ejercicio de X, pueden mostrarse en un diagrama. Valor de la opcion de compra 1. Tipos de opciones Existen dos tipos basicos de opciones en el mercado de estos productos: La opcion de compra (opcion call), que otorg a a su tenedor el derecho de comprar el activo subyacente en la fecha pactada y a1 precio convenido o precio de ejer~icio.~ La opcion de venta (opcion put), que otorga a quien la posee el derecho de vender el bien subyacente en la fecha pactada y a1 precio convenido. En algunos casos, la opcion solo puede ejercerse en la fecha de vencimiento. A este tipo de opciones se les llama europeas. Si las opciones 2 El precio de ejercicio es el que se establece en el contrato para realizar la operacion al vencirniento de la opcion. Este diagrama indica que si el precio de la accion es mayoral precio de ejercicio X, la opcion de compra tiene valor. Si el precio de la accion es menor al precio de ejercicio X, el valor de la opcion de compra es cero. Analicemos ahora 10s posibles valores de una opcion de venta con el mismo precio de ejercicio X: Al contrario de lo que sucede con el valor de una opcion de compra, una opcion de venta tiene

Valor de la opcion de venta valor cuando el precio de la accion es menor al precio del ejercicio: tendra valor cero cuando el precio de la accion sea mayor que el precio de ejercicio X.3 Ahora analicemos la posicion del otro participante del mercado de opciones: quien las ven- 3 Para asimilar con mayor rapidez la dinamica del valor de una opcion de compra y el valor de una opcion de venta supongamos un ejemplo en donde el bien subyacente es un cierto tonelaje de algun tipo de granos basicos (frijol, soya, arroz, etcetera). La opcion de compra tendra valor hoy si se tiene la expectativa de que el precio de la tonelada de grano en el mercado es mayor que el precio pactado porque el que compra la opcion de compra percibe obtener una ganancia por el diferencial entre el precio pactado y el precio del bien en el mercado en la fecha de vencimiento de la opcion. Por lo contrario, si se tiene la expectativa de que el precio pactado de la tonelada de grano sea menor que el precio en el rnercado entonces la opcion no vale nada. La dinarnica del valor de la opcion de venta es inversa si el precio de rnercado de la tonelada del grano se percibe que puede ser menor que el precio pactado; la opcion de venta tendra valor porque el duefio del bien podra colocar su producto a un precio mayor que si lo vende en el mercado. Pero la opcion de venta no tendra valor si el precio de rnercado es mayoral precio pactado, porque el duefio del bien entregara el producto a un precio menor que lo que cuesta en el mercado. de.4 El inversionista que vende una opcion tendra que entregar las acciones al comprador de la opcion si es requerida por este. Cuando el precio de la accion en el mercado es mayor que el precio de ejercicio en la fecha de vencimiento, el comprador ejercera la opcion de compra y su ganancia estara constituida de la siguiente forma: 1 1 Ganancia del com- Precio de la accion pradar de a opci6n = - en el mercado de compra de la accion I Valor de la opcion - de compra. Sin embargo, para el vendedor de la opcion de compra la ganancia del comprador constituye una perdida de igual magnitud. Ahora bien, si el precio de la accion es menor al precio de ejercicio, el que compra la opcion de compra no ejercera dicha opcidn y lo unico que perdera es el valor de la opcion. En este caso, el vendedor de la opcion de compra no entregara la accion, sencillamente ganara el valor de la opcion de compra. La figura que muestra la posicion del vendedor de una opcion de compra es: Valor de la posicion del vendedor 4 Quien vende o ernite una opcion de venta ode compra no necesariamente es duetio de la rnercancia

Considerernos la posicion del inversionista que vende la opcion de venta. Si el precio de la accion en el rnercado es rnenor que el precio de ejercicio, el cornprador de la opcion de venta ejercera su opcion y el vendedor de la opcion de venta entregara la accion recurriendo a una perdida. La perdida del vendedor de una opcion de venta es: 1 Perdida del vende- Precio de ejercicio - dor de una opcion = de la accion de venta 1 de 1 Precio de mercado + a accion 1 1 ~ ' ~ 6 Option ~ ~, l a Por lo contrario, si el precio de la accion en el rnercado es mayor que el precio de ejercicio, el que cornpra la opcion de venta no la ejercera y el que vende la opcion de venta no entregara la accion, obteniendo una ganancia igyal al valor de la opcion. La figura que muestra la posicion del vendedor de una opcion de venta es: 0 X Valor de la posicion del vendedor Precio de la accion subyacente. Cuando se presenta este caso, 10s vendedores de opciones reciben el nombre de vendedores en descubierto. 3. El delta de la opcion La valuacion de una opcion se calcula, en general, con base en el costo aproxirnado de una cobertura para el ernisor de dicha obligacion; es decir, en el costo se asurne que el ernisor de una accion neutraliza su riesgo y busca obtener un rendirniento similar al de renta fija. Asi, podernos encontrar que la idea de cobertura esta presente en la rnayoria de 10s rnodelos de valuacion de opciones que se utilizan en la practica. La idea de cobertura consiste en encontrar un equivalente de la opcion cornbinando la compra de acciones con endeudarniento. Al nljrnero de acciones necesarias para reproducir una opcion de cornpra se le conoce normalmente corno coeficiente delta5 de la opcion. El delta de la opcion la podernos calcular de la siguiente forma: r Delta de la opcion - A- sibles de la accion. Dispersion de 10s precios! posibles de la opcionldispersion de 10s preclos po- Delta tarnbien puede ser definida como "la porcion de acciones que el vendedor de la opcion necesita cornprar para hacer su cobertura; es decir, por cada opcion que venda tiene que comprar delta acciones para ser inrnune a rnovirnientos en la accion hacia arriba o hacia abajo" (Ordas, 1996b, p. 61). Corno el precio de la accion o del bien subyacente esta deterrninado por el tiernpo, por la 5 El coeficiente delta se puede interpretar matematicamente como la derivada del precio de la opcion respecto al precio de la accion; es decir, como cambia el precio de la opcion cuando cambia el precio de la accion.

tasa de interes y por la volatilidad de la accion, el coeficiente delta cambia al variar estos factores. El coeficiente delta de una opcion de compra toma el valor de 0 ( 6 ( 1 ; es decir, se mueve entre cero y uno; y 10s valores del coeficiente delta de una opcion de venta son -1 ( 6 ( 0; es decir, se mueven entre menos uno y cero. GRAFICA 2 DELTA DE LA OPCION DE VENTA GRAFICA I DELTA DE LA OPCION DE COMPRA 0 50 100 150 200 Precio de la acci6n 4. El valor de una opcion 0 50 100 150 200 Precio de la accion En las graficas 1 y 2 podemos observar que las opciones que estan muy en precio6 tienen delta constante, aproximadamente uno si se trata de una opcion de compra y menos uno si se trata de una de venta. Por lo contrario, si las opciones estan fuera de precio, delta es constante y cercana a cero. Ademas, tambien se aprecia en las graficas que el mayor cambio en el coeficiente delta lo podemos encontrar en donde las curvas son mas verticales. En estos tramos, las opciones fuera de precio presentan la mayor verticalidad. 6 Que las opciones esten rnuy en precio o no esten muy fuera de precio se refiere a que el precio del bien subybcente esta cerca del precio de ejercicio. El diagrama que representa la relacion basica entre el valor de la opcion y el precio de la accion presentado en el articulo de Fischer Black y Myron Scholes (1 973) lo retoman otros libros y articulos sobre op~iones.~ I O ' X Valor de la opcion de compra Precio de ejercicio Precio de la accion El limite superior del valor de una opcion se representa generalmente por una linea de 45O. En este caso, el precio de la opcion de compra 7 Por ejemplo, John y Rubinstein (1 985), y Brealey y Myers (1 993).

sera igual al precio de la accion y representa el precio mas alto que puede alcanzar una opcion. Este nivel puede alcanzarse cuando el precio de la accion es mayor que el precio de ejercicio. Sin embargo, cuando esto sucede, todos 10s participantes en el mercado de opciones se apresuran a vender la opcion y a cornprar la accion porque la accion proporciona, en ultimo terrnino, el rnejor resultado. Pero, usualrnente, esto ocasiona que el precio de la opcion se rnueva dentro de la region sornbreada. Por ultimo, el limite inferior expresa que el precio de la opcion nunca puede ser rnenor al precio de la accion rnenos el precio de ejercicio. Si analizarnos 10s puntos X, Y, Z, que estan sobre la linea del valor de la opcion, tambien podernos obtener algunos elementos irnportantes acerca del valor de las opciones. En el punto X la accion no vale nada, por lo que el valor de la opcion es cero. Sin embargo, a medida que la accion aurnenta de precio, el valor de la opcion es mayor que su nivel rninirno. Este argurnento se cornprendera mejor si nos ubicarnos en el punto Y. Como la opcion tiene fecha de vencirniento y no se sabe cual sera el precio de la accion en ese period0 determinado, hay 50% de probabilidades de que el precio de la accion suba por arriba del precio de ejercicio o de que termine por abajo del precio de ejercici~.~ "Si hay una probabilidad positiva de obtener un buen resultado y si, en el peor de 10s casos, el resultado es cero, la opcion debe tener algun valor. Esto significa que el precio de la accion en el punto Y es superior a su lirnite inferior" (Brealey y Myers, 1993). 8 Se supone que la distribucion de probabilidades de 10s precios futuros de las acciones es una normal que tendra mayor varianza si el precio de las acciones tiene mayor volatilidad. Esta mayor volatilidad del precio de las acciones significa, en el mercado de opciones, que el precio de la accion tiene un alto potencial de subida, por lo que la opcion sera ejercida y su valor sera positivo. En el punto B el precio de la opcion se acerca a1 precio de la accion rnenos el valor del precio de ejercicio porque a mayor precio de la accion mayor probabilidad hay de que la opcion sea ejercida. Por ultimo, tarnbien podernos observar en la grafica que la altura de la linea del precio de la opcion depende de la volatilidad del precio de las acciones y del tiernpo. Si el precio de la accion tiene mayor volatilidad y el tiernpo para su vencirniento es mayor, es mas probable que el valor de la opcion aurnente (linea A). Lo contrario sucede cuando el precio de las acciones no es volatil y el tiernpo de vencirniento es rnuy corto. 11. El modelo de Black-Scholesg para la valoracion de opciones El valor de las opciones tarnbien puede verse por rnedio de la teoria sobre inversiones en acciones con endeudamiento porque en realidad cornprar una opcion de cornpra o de venta es equivalente a comprar ylo vender la accion a un plazo determinado por medio de deuda. La cantidad irnplicita tornada a prestarno o dada en prestamo es el valor actual del precio del ejercicio. Entonces, la clave, segun Black y Scholes, para encontrar una de las formulas exactas para valorar opciones. es utilizar 10s elementos de la teoria de inversiones con endeudamiento bajo incertidurnbre. Los supuestos del rnodelo son: 1. La tasa de interes en el corto plazo esta dada y es constante en el tiernpo. 2. El precio del activo sigue un curso aleatorio 9 El modelo que se presenta en este articulo es la derivacion alternativa que proponen estos autores basada en el modelo de precios de 10s activos de capital (CAPM). Esta derivacion alternativa se encuentra en Black y Scholes (1973).

que es continuo y proportional al cuadrado del precio del activo. 3. No se pagan dividendos sobre 10s activos. 4. La opcion es europea; es decir, solo puede ser ejercida en la fecha de vencimiento. 5. No hay costos de transaccion en la compra o venta de acciones. 6. En el corto plazo es posible prestar o tomar prestado algh monto sobre el precio de las acciones a una tasa de interes dada. 7. No hay penalidades sobre las ventas en el corto plazo. Dentro de la teoria de inversiones con endeudarniento, estos autores retoman el rnodelo de 10s precios de 10s activos de capital CAPMIO para derivar el modelo sobre el valor de las opciones, ya que el CAPM proporciona un metodo general de descuento bajo condiciones de incertidumbre. Segun el modelo CAPM, el rendimiento esperado sobre un activo es una funcion del coeficiente p, el cual esta definido corno: donde: p, = coeficiente de la opcion R, = rendirniento esperado de la opcion R, = rendimiento esperado del mercado. La covarianza del rendimiento de la opcion y el rendimiento del mercado tarnbien pueden expresarse corno: donde: Aw = incremento en el precio de la opcion w = precio de la opcion, y la covarianza del rendimiento del activo y el rendirniento del mercado tambien pueden expresarse corno: donde: donde: p, = coeficiente p de la accion x R, = rendimiento esperado del activo x R,,, = rendimiento esperado del rnercado. Tomando corno base esta definicion del coeficiente 0 del rendirniento de un activo, el coeficiente de la opcion es el siguiente: Ax = incremento del precio del activo x = precio del activo. La relacion que deben guardar, en cada rnomento, tanto el coeficiente p de la opcion corno el coeficiente p de la accion, para que haya una compensacion entre el numero de opciones vendidas para obtener el precio de un activo, es la siguiente: donde: 10 Los supuestos y la derivacion formal del CAPM pueden verse en Guzman (1 995). x = precio del activo w = precio de la opcion

w,= derivada parcial del precio de la opcion respecto al precio del activo. - = elasticidad del precio de la opcion ( con respecto al precio del activo. La ecuacion (1) nos dice que la covarianza del rendimiento de la opcion con respecto al rendimiento del mercado debe ser igual a: se puede escribir corno: w (x + Ax, t + At) - w (x, f ) y la variacion en el precio de la opcion se encuentra utilizando el calculo para funciones estocasticas. dando como resultado: veces la covarianza del rendimiento del activo con respecto al rendimiento de mercado. Al aplicar el modelo de 10s precios del activo de capital, se define a como la tasa esperada de rendimiento sobre el mercado menos la tasa de interes, por lo que el rendimiento esperado del activo y el de la opcion son: donde: o2 = varianza del precio del activo wll = segunda derivada parcial del precio de la opcion con respecto al precio del activo w2 = derivada parcial del precio de la opcion con respecto al tiempo. Tomando el valor esperado de la ecuacion (4) y sustituyendo para E (Ax) en la ecuacion (2) se tiene que: donde: r = tasa de interes St = increment0 en el tiempo a = tasa esperada de rendimiento sobre el mercado menos la tasa de interes. Multiplicando la ecuacion (3) por w y sustituyendo el valor de (3, de la ecuacion (I), se encuentra que: E (AW) = rwat + axw,fi,at. (4) Combinando la ecuacion (4) y la ecuacion (6) y al resolver la ecuacion para w2. encontramos que 10s terminos a y p, pueden ser cancelados: La ecuacion (7) es una ecuacion diferencial cuya solucion es la siguiente: Una expansion estocastica del precio de la opcion como funcion de precio del activo y del tiempo (W = f (x, f))

EL MODEL0 BLACK-SCHOLES PARA LA VALORACI~N DE OPCIONES 14 5 donde las nuevas variables a definir son: c = precio de ejercicio del activo t * = tiempo de maduracion de la opcion N (d) = valor de la funcion de distribucion de densidad acumulada de una normal estandar para un valor d N (d,) = numero de acciones a mantener en el portafolios, conocido como el coeficiente delta ceqt - ') N (d2) = valor del prestamo a una tasa de interes r. Esta solucion es la unica que satisface la ecuacion (7), ya que esta sujeta a: cuentan con mayor capacidad para comprarse y venderse diariamente. Ademas, se torno en cuenta, para su election, que dichas acciones permanecieran bimestralmente como determinantes en el indice de precios y cotizaciones (cuadro 1). Se tomaron 437 observaciones diarias del precio al cierre de cada accion correspondientes a 10s aiios 1996 y 1997. En el caso de que la accion no haya cotizado en un dia laboral determinado se consider0 el precio del dia inmediatamente anterior. 2. Aplicacion del modelo Black-Scholes para la valoracion de opciones Siguiendo la formula para la valoracion de opciones de compra dada en la seccion anterior: w(x, t) =xn(d,)- cer('-'')n (d,), condicion que nos dice que la opcion tiene valor cuando el precio del activo en el mercado es mayor que el precio del ejercicio. = 0 x L c, condicion que nos dice que la opcion tiene valor cero (no vale nada) cuando el precio del activo en el mercado es menor al precio del ejercicio. 1. La muestra Ill. Evidencia empirica En este articulo se considera una muestra de 27 acciones que cotizaron en la Bolsa Mexicana de Valores en 10s aiios 1996 y 1997. Las acciones que integran la muestra son las que presentaron un indice de bursatilidad mayor; es decir, las que 10s valores que requieren una explicacion para determinar el valor de las opciones que se presentan en esta investigation son: x = precio de la accion N (d,) = coeficiente delta '7 = valor actual del precio de ejercicio. ce '('- El precio de la accion fue el del dia ultimo laborable del mes de octubre de 1997 dia en el que corta nuestra muestra, aunque cabe aclarar que este precio no esta ajustado por el pago de dividendos como supone este modelo. El precio de ejercicio se calculo suponiendo que 10s rendimientos de las acciones que se obtuvieron en 10s atios 1996 y 1997 se repetiran en 1998; es decir, se supone un escenario promedio para el comportamiento del rendimiento del precio de las acciones. Para la estimacion del valor actual del precio de

CUADRO la indice de bursatilidad Influencia en el indice Diciembre 1996 Diciembre 1997 Diciembre 1996 Diciembre 1997 AHMSA ALFA APASCO AUTLAN B BANACCI A BANACCI B BIMBO CELANESE B CEMEX A CEMEX B ELEKTRA EMPAQ B FEMSA B GCARSO GCC ClFRA A ClFRA B ClFRA C CYDSASA DlNA GRUMA B MASECA B MODERNA TAASA TELVISA TTOLMEX VITRO Sidenirgica Varios Cementera Minera Financiera Financiera Alimentos Quimica Cementera Cementera Comercio Celulosa Alimentos Varios Cementera Comercio Comercio Comercio Varios Equipo de trans. Alimentos Alimentos Alimentos Siderurgica Comunicaciones Cementera Minera a Elaborado con base en 10s datos de 10s lndicadores burst~tiles mensuales de la Bolsa Mexicana de Valores Bursatilidad alta 8.19 5 X< 10.00. Bursatilidad media 6.90 <X< 8.19. Bursatilidad baja 4.90 5x56.90. Nd: no disponible.

ejercicio, este se desconto por la tasa de interes promedio anual de 10s Cetes a 28 dias. La varianza del rendimiento de las acciones se calculo a partir de 10s rendimientos obtenidos en 10s afios 1996 y 1997. El valor de la opcion de venta se obtuvo por rnedio de la formula: 1 Valor de la opcion de venta - I Valor actual del I precio de ejercicio - El coeficiente delta de una opcion de venta o el nurnero de acciones que deben permanecer en el portafolios para mantener la cobertura se estirna corno el termino N (d,) de la ecuacion de Black-Scholes para la valoracion de opciones. El coeficiente delta para una opcion de venta se obtiene al restarle la unidad al coeficiente delta de la opcion de cornpra. ELEKTRA, FEMSA B, CYDSASA, TAMSA, TELVISA, TTOLMEX y VITRO. Estos movimientos en el precio de las opciones se deben a que la volatilidad en 10s rendimientos son diferentes para cada una de ellas. b) Valor de una opcion de venta Valor de la opcion Como se puede observar en el cuadro 3, solo de compra 10s valores de las opciones de FEMSA y de TAMSA son mayores a medida que aumenta el tiempo de vencirniento. Sin embargo, el valor de las op- LIz.l ciones de la mayoria de las acciones son rnayores Precio de la accion cuando la fecha de vencimiento es de un afio y de seis meses. Este comportamiento se debe principalmente a que el valor descontado del precio de ejercicio para un afio y para seis meses es mas grande que el precio de las acciones que se tomb de referencia. Ademas, si comparamos el valor de las opciones de cornpra y de venta de 10s cuadros 2 y 3, el valor de las opciones de cornpra es rnenor que el de las opciones de venta para las mismas fechas de vencimiento. 3. Analisis de resultados a) Valor de una opcion de compra La mayoria de las acciones analizadas presenta una reduccion en el valor de sus opciones de compra a rnedida que el vencimiento de la opcion es menor (cuadro 2). Este comportamiento del valor de sus opciones es el esperado, ya que el rnodelo de Black-Scholes depende del tiempo de vencimiento de la accion. Sin embargo, hay acciones cuyo valor de las opciones de compra presentan un mayor precio a menor period0 de vencimiento, como son APASCO, CEMEX A, CEMEX B, c) El coeficiente delta de una opcion de compra En el cuadro 3 se observa que las opciones de compra de la mayoria de las acciones presentan un coeficiente delta mayor a una fecha de vencimiento de nueve meses. Esto significa que se requiere un mayor numero de acciones si se desea vender una opcion de compra a nueve meses para mantenerse en cobertura. Ademds, como se observa en este cuadro, el coeficiente delta varia sensiblemente entre 10s distintos periodos de vencimiento de las opciones, aunque el precio de la accion es el rnismo para 10s cuatro periodos de vencimiento.

CUADRO 2 VALOR DE UNA OPCION DE COMPRA (Fecha de vencimiento) A nueve rneses A seis meses A tres meses AHMSA ALFA APASCO AUTLAN B BANACCI A BANACCI B BIMBO CELANESE B CEMEX A CEMEX B ELEKTRA EMPAQ B FEMSA B GCARSO GCC CIFRA A ClFRA B CIFRA C CYDSASA DlNA GRUMA B MASECA B MODERNA TAMSA TELVISA TTOLMEX VlTRO 1.60 2.41 13.48 0.80 2.69 4.90 3.55 6.20 4.04 3.61 8.69 0.73 2.95 7.37 1.96 1.45 1.29 1.81 4.08 1.65 8.99 2.32 7.82 9.00 13.67 5.20 2.62

CUADRO 3 VALOR DE UNA OPCION DE VENTA (Fecha de vencimiento) A nueve meses A seis meses A tres meses AHMSA ALFA APASCO AUTLAN B BANACCI A BANACCI B BIMBO CELANESE B CEMEX A CEMEX B ELEKTRA EMPAQ B FEMSA B GCARSO GCC CIFRA A CIFRA B CIFRA C CYDSASA DlNA GRUMA B MASECA B MODERNA TAMSA TELVISA TTOLMEX VlTRO

150 ECONOMIA: TEORlA Y P~CTICA, N~JMERO 10 CUADRO 4 COEFlClENTE DELTA DE UNA OPCION DE COMPRA (Fecha de vencimiento) A un aiio A nueve meses A seis rneses A tres meses AHMSA ALFA APASCO AUTLAN B BANACCI A BANACCI B BIMBO CELANESE B CEMEX A CEMEX B ELEKTRA EMPAQ B FEMSA B GCARSO GCC ClFRA A ClFRA B ClFRA C CYDSASA DlNA GRUMAB MASECA B MODERNA TAMSA TELVISA TTOLMEX 0.48 0.39 0.19 0.42 0.06 0.20 0.10 0.26 0.57 0.68 0.41 0.58 0.89 0.64 0.45 0.54 0.48 0.43 0.15 0.55 0.51 0.54 0.40 0.47 0.19 0.35 0.19 0.37 0.64 0.99 0.51 0.61 0.36 0.46 0.15 0.50 0.36 0.37 0.12 0.46 0.13 0.24 0.37 0.42 0.26 0.43 0.36 0.39 0.09 0.17 0.14 0.33 0.32 0.41 0.32 0.38 0.63 0.55 0.38 0 42 0.35 0.36 0.15 0.33 0.23 0.36 0.10 0.22 0.32 0.41 0.28 0.22 0.38 0.48 0.39 0.53 0.26 0.41 0.20 0.36 0.80 0.74 0.71 0.52 0.76 0.71 0.46 0.52 0 59 0.68 0.61 0.54 0.18 0.23 0.36 0.30 0.53 0.39 0.30 0.51 0.47 0.44 0.28 0.58 0.12 0.27 0.12 0.42

Cabe destacar que las opciones de compra que presentan un mayor coeficiente delta a cualquier fecha de vencimiento son las de AUTLAN B, CELANESE B, GRUMA B y MASECA B, 10 CU~I indica que el valor de las opciones de estas acciones esta muy en precio. d) Coeficiente delta de una opcion de venta En el cuadro 5 se presenta el coeficiente delta de las opciones de venta para las acciones que integran la muestra. En este cuadro se observa que dicho coeficiente es mayor a una fecha de vencimiento de tres meses. Esto significa que en lugar de comprar opciones de venta a tres meses se podria vender un porcentaje igual al coeficiente delta de acciones para mantenerse en cobertura. Ademas, podemos observar en este mismo cuadro que el coeficiente delta de una opcion de venta de las acciones de BIMBO, ELEKTRA, DINA, FENSA, TAMSA y VITRO es mayor para cualquier period0 de vencimiento. Conclusiones El modelo Black-Scholes para la valoracion de opciones se basa en una serie de supuestos que no necesariamente se cumplen en la realidad y que afectan directamente el precio de las opciones y las ganancias que se pueden derivar del mercado de estos productos. Uno de 10s principales supuestos de este modelo es que no hay pago de dividendos sobre las acciones; sin embargo, el pago de dividendos disminuye el precio de las acciones y como consecuencia la opcion se valuara con un precio del bien subyacente menor. Otro supuesto de este modelo y que en muchas circunstancias de la practica no se cumple es que no se presentan movimientos bruscos en el precio del bien subyacente, per0 en la realidad la mayoria de las acciones muestra saltos inesperados en sus precios debido a las buenas o malas noticias que afectan al mercado o a1 comportamiento natural de las acciones. Por ultimo, la volatilidad del precio de las acciones se supone constante, per0 una variacion en este termino puede cambiar el valor de la opcion radicalmente. A pesar de estas limitaciones, el modelo Black-Scholes para la valoracion de opciones es uno de 10s mas utilizados en la practica financiera y pertenece a uno de 10s modelos mas modernos de la teoria financiera. En lo que respecta a la parte empirica, se puede concluir que para la mayoria de las acciones que se tomaron como muestra, el valor de la opcion de compra es menor a medida que el plazo de vencimiento es mas corto, lo cual concuerda con lo que dice la teoria sobre el valor de las opciones. Por lo contrario, el precio de las opciones de venta de la mayor parte de las acciones analizadas es menor a medida que el plazo de vencimiento es mas grande; solo dos de las 27 acciones presentan un comportamiento inverso en el valor de la opcion de venta; es decir, el valor de la opcion de venta de esas acciones aumenta a medida que se incrementa el plazo de vencimiento. Este comportamiento se debe principalmente a que el precio de ejercicio descontado es mayor que el precio de la accion que se tom6 como referencia. Ademas, el coeficiente delta de las opciones de compra para la mayoria de las acciones analizadas fue mayor a plazos de vencimiento de nueve meses y de un afio; sin embargo, el coeficiente delta de estas acciones no es cercano a la unidad, lo cual significa que las opciones estan muy fuera de precio. Lo mismo sucede con el coeficiente delta de la opcion de venta: muy pocas acciones presentaron un coeficiente delta de la opcion cercano a menos uno,

CUADRO 5 COEFlClENTE DELTA DE UNA OPCI~N DE VENTA (Fecha de vencimiento) A un aiio A nueve meses A seis meses A tres meses AHMSA -0.59-0.61-0.81-0.58 ALFA APASCO AUTLAN B BANACCI A BANACCI 8 BIMBO CELANESE B CEMEX A CEMEX B ELEKTRA EMPAQ B FEMSA B GCARSO GCC ClFRA A ClFRA B ClFRA C CYDSASA DlNA GRUMA B -0.20-0.26-0.29-0.48 MASECA B -0.24-0.29-0.54-0.48 MODERNA -0.41-0.32-0.39-0.46 TAMSA -0.82-0.77-0.64-0.70 TELVISA -0.47-0.61-0.70-0.49 TTOLMEX -0.53-0.56-0.72-0.42 VlTRO -0.98-0.73-0.88-0.58

EL MODEL0 BLACK-SCHOLES PARA LA VALORACI~N DE OPCIONES 153 y por lo tanto podernos decir que el precio de ejercicio esta alejado del precio del bien subyacente. Por ultimo, aunque el rnercado de opciones para acciones individuales ya existe en nuestro pais y ha ido creciendo desde el inicio de sus operaciones, se necesita un mayor analisis de la teoria existente sobre la valuation de estos instrurnentos para hacer mas eficiente su operacion. Referencias bibliograficas Banco de Mexico, "lndicadores Economicos", varios afios. Black, Fischer, y Myron Scholes (1973), "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", Journal of Political Economy, num. 81, pp. 637-654, mayojunio. Bolsa Mexicana de Valores, S.A. de C.V. (1996-1997), lndicadores bursatiles. -(1994), Titulos opcionales (warrants), Direccion de Informacion Estadistica. -(1996-1997), Boletin bursatil diario. Brealey A., Richard, y Stewart C. Myers (1993), Principios de finanzas corporativas, Mexico. Mac Graw-Hill, segunda edicion. Cox, John, y Mark Rubinstein (1985), Option's Markets, Prentice Hall. Guzman, Maria de la Paz (1995), "Una aplicacibn del rnodelo CAPM para algunas acciones que coti- zan en la Bolsa Mexicana de Valores (1993-1995)", Analisis Economico, vol. XII, num. 27, UAM-A. Nacional Financiera (1997), "Mercado mexicano de derivados (MexDer)", revista El Mercado de Valores, julio. Ordas. P. Jose A,. (1996a), "El modelo Black-Scholes: La piedra fundamental", Derivados Serfin. Teoria y practica, Operadora de Bolsa, Mexico. -(1996b), " ~Que demonios es la gama?", Derivados financieros. Teoria y practica, Operadora de Bolsa Serfin. Stern, Joel M., y Donald H. Chew, JCox, Jr. (1992), Revolution in Corporate Finance, Estados Unidos, Blackwell Finance. Weston, Fred, y Thomas E. Copeland (1992), Finanzas en administration, Mexico, Mac Graw-Hill, tercera edicion.