Capitulo II Teoría De Conjuntos

Capitulo II Teoría De Conjuntos Definición: Entendemos por conjunto a toda agrupación, colección o reunión de objetos de cualquier especie siempre que exista un criterio preciso que nos permita que un objeto pertenece o no a dicha agrupación. Los objetos que pertenecen a un conjunto se llama elementos del conjunto. Notación: los conjuntos los representamos con letras mayúsculas, B, C,..., y a sus elementos representaremos con letras minúsculas a, b, x,... Relación de Pertenencia ( ): La relación de pertenencia es el símbolo que relaciona a los elementos de un conjunto con el mismo conjunto: (elemento) (conjunto) Si un objeto x es un elemento o pertenece al conjunto, escribimos: x Y leeremos x pertenece al conjunto. Si un objeto x no es elemento del conjunto, escribiremos: x Y leeremos x no pertenece al conjunto. Determinación de un Conjunto: Existen dos maneras de determinar un conjunto dado: por extensión y por comprensión. a) Por extensión: Un conjunto queda determinado por extensión cuando se conocen individualmente todos sus elementos. Ejemplos: B = { 1, 3, 5, 7, 9 } b) Por comprensión: Un conjunto que está determinado por comprensión cuando éste se define por medio de una propiedad la cual debe satisfacer cada uno de sus elementos. Ejemplos: C = { x/x es una vocal } = { x/x 3-3x 2 x + 2 = 0 } Conjuntos Numéricos: Los conjuntos numéricos que se estudian en matemáticas son: los números naturales, los números enteros, los números racionales, los números irracionales, los números reales y los números complejos. a) El conjunto de los números naturales: Es el conjunto denotado por N y cuyos elementos son empleados para realizar la operación de contar. N = { 1, 2, 3, 4, 5,... } b) El conjunto de los números enteros: Es el conjunto que se denota por Z y está constituido por los números naturales positivos, los números naturales negativos y el cero. Z = { - α... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... + α } c) El conjunto de los números racionales: Es el conjunto que se denota por Q y que es solución de la ecuación ax + b = 0, donde a y b son enteros, con a 0. Se escribe: Q = { x/ax + b = 0, a, b Z, a 0 } Q = {... b/a,... 1, -½, 0, ½, 1,..., b/a... } d) El conjunto de los números irracionales: Es el conjunto que se denota por I y está formado por los números que no son racionales, es decir, aquellos números que no pueden expresarse en la forma b/a, con a, b Z y a 0. I = {..., -π, - 5, 3 2, 3, e, π,... } Página 25 de 167

e) El conjunto de los números reales: Es el conjunto denotado por R y está formado por el conjunto Q e I. R = {..., -π, 2, ½, 3, e, π, 4, 8, 9/2,... } f) Conjunto finito: Es el conjunto que está formado por un número limitado de elementos. = { x/x es una vocal} B = { x N/s < x < 12 } C = { x/x es un día de la semana } g) Conjunto infinito: Es el conjunto que está formado por un número infinito de elementos. Relación entre Conjuntos: = { x Z/ x es impar} B = { x/x es un número natural } a) Inclusión de Conjunto: (Sub-conjuntos). Se dice que el conjunto es un subconjunto de B, o que está contenido en B, o que es parte de B, si todo elemento de pertenece al conjunto B, se escribe B y se lee está incluido en B. B { x, x x B } B B B Ejemplo: B B B Si = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B. 2. 4. 3. 1. 5. 6. 7 b) Subconjunto propio: Diremos que es un subconjunto propio de B o parte de B, si se verifica B y además existe algún x B tal que x. Ejemplo: El conjunto = {2, 4, 6} es un subconjunto propio de B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} puesto que B además 1 B, 3 B, 5 B, tal que 1, 3, 5. c) Igualdad de Conjuntos: Intuitivamente dos conjuntos y B son iguales cuando tienen los mismos elementos. Es decir: = B B B Propiedades: 1. ; = 2. = B B = 3. Si = B B = C = C d) Conjuntos Disjuntos: Dos conjuntos y B son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. Ejemplo: = { 4, 6, 8 } B = { x/x N 10 < x < 17 } y B son disjuntos. Página 26 de 167

Clases de Conjuntos: a) Conjunto Vacío: Llamado conjunto nulo, es aquel conjunto que carece de elementos. Se denota como: { } ó Ejemplo: = { x N/ 8 < x < 9 } b) Conjunto Unitario: Llamado también singleton, es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos: = { 7 } N = { x Z/ 2 < x < 4 } c) Conjunto Universal: Es un conjunto referencial que se toma convenientemente para el estudio de una situación particular. Se le representa como U y gráficamente por un rectángulo. U d) Familia de Conjuntos: Es un conjunto que tiene como característica que sus elementos son conjuntos. M = { {4}, {a,b}, {n}, {a,b,n} } e) Conjunto Potencia: Se llama potencia de, al conjunto formado por todos los subconjuntos de y se le denota como P(). El número de elementos de P() o número de subconjuntos de, está dado por: 2 n, donde representa el número de elementos del conjunto. Ejemplo: = { 3,5 } 2 2 = 4 P() = { {3}, {5}, {3,5}, } Nota: # de subconjuntos propios de es: 2 n 1 Propiedades: 1. P{ } = 2. Si B P() P(B) 3. Si = B P() = P(B) Representación Gráfica de Conjuntos: a) Diagrama de Venn-Euler: Son regiones planas limitadas por curvas que se usan para representar gráficamente a los conjuntos. U Página 27 de 167

b) Diagramas Lineales: Se emplea para ilustrar relaciones entre conjuntos, generalmente de inclusión. B B C B B C Nota: Número cardinal, indica el número de elementos que tiene el conjunto. = { 2, 4, 6 } n() = 3 B = { {3, 6} } n(b) = 1 C = { 2, 2, 2, 3, 3 } n(c) = 2 Operaciones entre Conjuntos: a) Reunión ( ): La reunión o unión de dos conjuntos y B; se llama así al conjunto formado por los elementos de, de B o de ambos. B = { x/x x B } Ejemplo: = { 2, 3, 4 } B = { 3, 5, 6, 7 } B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7 } 2 5 3 6 4 7 B U Propiedades: 1. = 2. B = B 3. ( B) C = (B C) 4. U = U 5. = 6. ( B) ; B ( B); B 7. Si B = = B = 8. Si B ( C) (B C), C 9. Si B B = B b) Intersección ( ): Dados dos conjuntos y B, se llama intersección de con B al conjunto formado por los elementos que pertenece a P y a B (a ambos), es decir los elementos comunes. B = { x/x x B } Ejemplo: = { 4, 5, 6, 8, 10 } B = { 2, 3, 4, 6, 9 } Página 28 de 167

B = { 4, 6} Propiedades: 5 2 4 8 3 6 10 9 B 1. = 2. = 3. U = 4. B = B 5. ( B) C = (B C) 6. ( B) y ( B) B 7. Si B ( B) (B C); C 8. Si B = y B son disjuntos 9. P( B) = P() P(B) 10. (B C) = ( B) ( C) 11. (B C) = ( B) ( C) c) Diferencia (-): La diferencia de con B, es otro conjunto que está formado por todos los elementos de, que no son elementos de B. B = { x/x x B } Ejemplos: = {4, 6, 7, 8} B = {2, 4, 6, 8, 9 } B = { 7 } B B B 4 2 7 6 8 9 Propiedades: 1. Si x ( - B) x x B 2. = 3. - = 4. ( B) = 5. B = ( B) B = ( B) 6. B ( B) = 7. (B C) = ( B) ( C) 8. Si B ( C) (B C); C 9. ( B) ( B = ) 10. ( B) B = B B B B Página 29 de 167

B B d) Complemento: El complemento de un conjunto, respecto del conjunto que le falta para ser igual al universal. Se denota: C = = C Luego: = U = { x/x U x } Para dos conjuntos y B ( B), se define el complemento de con respecto de B, y se denota C B. C B = B Ejemplo: U = { x N/ 2 < x < 9 } = { 4, 6, 8 } = { 3, 5, 7, 9 } Propiedades: 1. B = B 2. ( ) = 3. = U 4. = 5. U = 6. = U 7. Si B B 8. ( B) = B Leyes de 9. ( B) = B Morgan e) Diferencia Simétrica: Dados los conjuntos y B, se llama diferencia simétrica y B, denotado como B al conjunto. B = { x/x ( B) x ( B) } B B = ( B) - ( B) Página 30 de 167

B = ( B ) (B ) Ejemplo: = { 1, 2, 3, 4 } B = { 2, 3, 5, 6 } Hallar B: B = ( B) - ( B) B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} { 2, 3} B = { 1, 4, 5, 6 } Propiedades: 1. B = 2. = 3. B = B 4. ( B) C = (B C) 5. ( B) C = ( C) (B C) 6. Si B = = B Nota: Cardinal de = n() () = # de elementos de 1. Si y B son dos conjuntos disjuntos B = n ( B) = n () + n ( B) 2. Si y B son dos conjuntos cualesquiera. n ( - B) = n () - n ( B) 3. Si, B y C son conjuntos tales que: B C n ( B C ) = n() + n(b) + n(c) n ( B) n ( C) n (B C) + n ( B C) DEMOSTRCIONES DE LGUNS PROPIEDDES 1. Demostrar que: [ ( B) ( C) ] (B C) x [ ( B) ( C) ] x ( B) x ( C) x ( B) x x C [ x ( B) x ] [ x ( B) x C ] [ x x B x ] [ x ( B) x C ] [ x C x x ] [ x ( B) x C ] F [ x C F ] [ x ( B) x C ] F [ x ( B) x C ] x x B x C x [ x (B - C) ] x [ (B - C) ] Página 31 de 167

2. Demostrar que: (B C) ( B) ( C) Ojo: ( B) ( C) [ ( B) - ( C)] [ ( C) - ( B)] x [ (B C) ] x x (B C) x x (B - C) (C B) x x [ (B - C) (C B) ] [ x x (B - C)] [ x x (C - B)] [ x x B x C ] [ x x C x B ] [ x x B x C ] [ x x C x B ] x [ ( B) ( C ) ] x [( C) ( B ) ] x [ ( B) x ( C) ] x [( C) x ( B) ] x ( B) x ( C) x ( C) x ( B) x [ ( B) - ( C) ] x [ ( C) - ( B) ] x ( B) ( C) 3. Demostrar que: ( B) ( C ) ( B) C x ( B) x ( C ) [ x ( B) x ] [ x ( B) x C ] F x ( B) x C x [ ( B) C ] Par Ordenado: Un par ordenado es un conjunto de dos elementos, en el cual cada elemento tiene un lugar fijo. Si los elementos son a y b, el par ordenado se simboliza por: (a,b) = { {a}, {a,b} } Donde: a es la primera componente del par. b es la segunda componente del par. Proposición: Dos pares ordenados son iguales si y sólo si son iguales sus primeras y segundas componentes, respectivamente, se simboliza: Ejemplo: Determinar los valores de x e y de modo que: (x 2, 9y - 1) = (6y - x, x 3 ) (a,b) = (c,d) a = c b = d x 2 = 6y x 9y 1 = x 3 x (x + 1) = 6y (x + 1) (x 2 x + 1) = 9y x = 2 x 2 x + 1 3 Página 32 de 167

2x 2 2x + 2 = 3x 2x 2 5x + 2 = 0 2x -1 x -2 x = 2 y = 2 x = ½ y = 1/8 Producto Cartesiano de Conjuntos: Dados los conjuntos y B, se llama producto cartesiano de por B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) tales que a y b B. Se denota por x B y simbólicamente se representa: Ejemplos: x B = { {a,b}/a b B } Esto es: (a,b) x B a b B 1. Dado los conjuntos = { 1, 2, 4 } y B = { 3, 5}, hallar x B y B x empleando un diagrama de árbol. B x B 1 2 4 3 ( 1, 3 ) 5 ( 1, 5 ) 3 ( 2, 3 ) 5 ( 2, 5 ) 3 ( 4, 3 ) 5 ( 4, 5 ) B B x 1 ( 3, 1 ) 3 2 ( 3, 2 ) 4 ( 3, 4 ) 1 ( 5, 1 ) 5 2 ( 5, 2 ) 4 ( 5, 4 ) x B = { (1,3), (1,5), (2,3), (2,5), (4,3), (4,5) } B x = { (3,1), (3,2), (3,4), (5,1), (5,2), (5,4) } Página 33 de 167

2. Dado los conjuntos = {x Z/-1 < x < 1 } y B = { x N/0 < x < 3}. Hallar: a) ( x B) B 2 b) ( B) x ( B) = { -1, 0, 1 } B = { 1, 2 } x B = { (-1,1), (-1,2), (0,1), (1,1), (1,2), (0,2) } B x B = { (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) } a) ( x B) B 2 = { (1,1), (1,2) } b) ( B) x ( B) = { -1, 0 } ( B) = { 1 } ( B) x ( B) = { (-1,1), (0,1) } Propiedades del Producto Cartesiano: a) Si B x B B x b) x = x = c) x ( B C ) = ( x B ) ( x C ) d) x ( B C ) = ( x B ) ( x C ) e) ( x B ) x C x ( B x C ) f) Si B ( x C ) ( B x C ), Ejemplos: Demostrar que: x ( B C ) = ( x B ) ( x C ) (a,b) [ x ( B C ) ] a b ( B C ) a ( b B b C ) ( a b B ) ( a b C ) [ (a,b) ( x B ) ] [ (a,b) ( x C ) ] (a,b) [ ( x B ) ( x C ) ] Demostrar que: x ( B C ) = ( x B ) ( x C ) a,b [ x ( B C ) ] a b ( B C ) ( a b B ) b C m F m = m [ ( a b B ) a ] [ ( a b B ) b C ] [ ( a b B ) [ a b C ] (a,b) ( x B ) (a,b) ( x C ) (a,b) [ ( x B ) - ( x C ) ] Página 34 de 167

Ejercicios 1. Se tienen los conjuntos unitarios: = { a 2 + 1; 3a - 1 } B = { 3x + y; x y + 12 } Hallar: a + x + y a 2 + 1 = 3a - 1 3x + y = x y + 12 a 2 3a + 2 = 0 2x + 2y = 12 (a 2) (a 1) x + y = 6 a = 2 a = 1 Si a=1 Si a=2 y + x + a = 7 x + y + a = 8 x + y + a = 7 u 8 2. Indicar el conjunto por extensión: = { x Z/ 3x 3 2x 2 2x + 3 = 0 } plicamos Ruffini: 3x 3 2x 2 2x + 3 = 0 3-2 -2 3-1 -3 5-3 3-5 3 0 (x + 1) (3x 2 5x + 3) = 0 Luego: plicamos la Ecuación Cuadratica: 3x 2 5x + 3 = 0 x = x = 5 ± 25 36 6 5 ± 11 6 = { -1 } 3. Si: = { a Z/ a 5 5a 3 + 4a = 0 } B = { a / b Z, a = b 2 } Hallar: C B Con : a 5 5a 3 + 4a = 0 a (a 4 5a 2 + 4) = 0 a (a 2 4) (a 2 1) = 0 a (a + 2) (a 2) (a + 1) (a 1) = 0 = { -2, -1, 0, 1, 2 } Con B : Para a = -2 ó a = -1 No existe un b Z/ a = b 2 a = 0 b Z/0 = b 2 b = 0 b = 1 b Z/1 = b 2 b = +1 c = 2 b Z/2 = b 2 Página 35 de 167

B = { 0, 1 } C B = B = { -2, -1, +2 } 4. Si: = { x N/ x > 4 x = 6 } B = { x N/ x > 0 x < 5 } C = { x Z/ [ x > 1 x 2 4x 3 ] } Determinar: M = ( B) (B C) Para : x > 4 x = 6 x < 4 x = 6 = { 1, 2, 3, 4, 6 } Para B : x > 0 x < 5 B = { 1, 2, 3, 4, 5 } Para C : [ x > 1 x 2 4x 3 ] x > 1 x 2 = 4x 3 x > 1 (x 3) (x 1) = 0 x > 1 (x = 3 x = 1) C = { 3 } M = ( B) (B C) M = { 1, 2, 3, 4 } { 3 } M = { 1, 2, 4} 5. De una encuesta hecha a 135 personas para establecer preferencias de lectura de las revistas, B y C; se obtienen los siguientes resultados: Todos leen alguna de las 3 revistas; todos, menos 40, leen ; 15 leen y B pero no C, 6 leen B y C pero no ; 10 leen sólo C. El número de los que leen y C es el doble del número de los que leen las 3 revistas. El número de los que leen sólo B es el mismo que el total de los que leen y C. Según todo esto, hallar el número de los que leen solamente. B y 15 2x x 6 10 C n () = 95 n ( B C) = 15 n (B C ) = 6 n (C ( B) ) = 10 y + 15 + 2x = 95 y + 2x = 80 - y + 2x = 80 4x + y + 31 = 135 + y + 4x = 104 4x + y = 104 2x = 24 x = 12 y = 56 Página 36 de 167

6. Si: = {2 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 } B= { 1; 2 ; 4 ; 7 ; 9} Hallar: ( B) ( B) B = { 2;4;5;6;8} {1;2;4;7;9} {1;2;4;5;6;7;8;9} B = {2;4;5;6;8} {1;2;4;7;9} {5;6;8} Nos piden: {1;2;4;5;6;7;8;9} {5;6;8} {1;2;4;7;9} 7. Dados: = { x Z/x 2 3x + 2 = 0} B = { x Z/x 2 5x + 6 = 0} Hallar: n ( B) Con : Con B : x 2 3x + 2 = 0 x 2 5x + 6 = 0 x -2 x = 2 x -3 x = 3 x -1 x = 1 x -2 x = 2 = {1;2} B = {2;3} Nos piden: n ( B) Luego: [ {1;2} {2;3}] [ {1;2} {2;3} ] {1;2;3} {2} {1;3} Entonces: n( B) = 2 8. una reunión donde asisten 50 personas: - 5 mujeres tienen 17 años - 14 mujeres no tienen 19 años - 16 mujeres no tienen 17 años - 10 hombres no tienen ni 17 ni 19años. Cuántos hombres no tienen 17 ó 19 años? Graficando convenientemente con los datos: V = 50 19 10 5 7 9 H M tienen tienen no tienen 17 años 19 años ni 17 ni 19 Nos piden: 19 Página 37 de 167

9. Expresar el conjunto: = {36;45;54;63;72} por comprensión. Buscando el término general 36 = 9 (2 2 + 0) 45 = 9 (2 2 + 1) 54 = 9 (2 2 + 2) 9 (2 2 + n), donde: 63 = 9 (2 2 + 3) 0 < n < 4 n Z 72 = 9 (2 2 + 4) = {x/x = 9 (2 2 + n); 0 < n < 4; n Z} 10. Sean los conjuntos: = {a Z/a = (-1) n, n Z} B = {b Z/b 2 = (b-3) 2-3} C = {C Z/ 3C + 3 = 2C + 7/2 } 2 Entonces es cierto: ) B = C B) = B C C) = B C D) = C E) B = C Con : n = par n = impar = {1;-1} Con B : b 2 = b 2 6b + 9 3 b = 1 Con C : 3C - 2C = 7/2 3 C = -1 2 C = {-1} Se cumple que: = B C 11. En un avión viajan 120 personas, de las cuales: - Los 2/3 de ellas no beben. - Los 4/5 de ellas no fuman. - 72 no fuman ni beben. Cuántas personas fuman y beben o no fuman ni beben? No beben: 2/3 (120) = 80 No fuman: 4/5 (120) = 96 U = 120 Fuman Beben a b c 72 Con los datos: a + 72 = 80 a = 8 c + 72 = 96 c = 24 Página 38 de 167

De la figura: 8 + b + 24 + 72 = 120 b = 16 Nos piden: 16 + 72 = 88 12. De un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso de sociología y 53 no siguen el curso de filosofía. Si 27 alumnos nos siguen filosofía ni sociología, cuántos alumnos llevan sólo uno de tales cursos? S F x z y Datos: x + z = 49 = 100 x + z = 51 (1) y + z + 53 = 100 y + z = 47 (2) Sumando (1) y (2): x + y + z + z = 98 100 27 + z = 90 z = 25 x + y + 25 = 100 27 x + y = 48 27 13. Determinar por extensión: M = {x Z / x 3 17x 2 + 71x 55 = 0 } Factorizando por Ruffini: 1-17 71-55 x 1 = 5 5-60 55 1-12 11 0 x 2 = 1 1-11 1-11 0 x - 11 = 0 x 3 = 11 Luego: M = {1;5;11] 14. En una población: 50% toma leche, el 40% come carne, además sólo los que comen carne o sólo los que toman leche son el 54%, cuál es el porcentaje de los que no toman leche ni comen carne? L = 50% C = 40% 50-n x 40-n x Página 39 de 167

Dato: (50-n)% + (40-n)% = 54% 36% = 2n n = 18% Con el total: (50-18)% + 18% + (40-18)% + x = 100% De donde: x = 28% 15. En un aula de 35 alumnos, 7 hombres aprobaron aritmética, 6 hombres aprobaron literatura, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ningún curso, hay 16 hombres en total, 5 aprobaron los 2 cursos, 11 aprobaron sólo aritmética, cuántas mujeres aprobaron sólo literatura? Sea: x = mujeres que aprobaron literatura y = hombres que aprobaron aritmética y literatura 7-y 4+y y 5-y 8 5 6-y x L H = 16 M = 19 De la figura: (4 + y) + (5 y) + x + 8 = 19 De donde: x = 2 16. De un grupo de 62 trabajadores, 25 laboran en la fábrica, 33 trabajan en la fábrica B, 40 laboran en la fábrica C y 7 trabajadores están contratados en las tres fábricas. Cuántas personas trabajan en dos de estas fábricas solamente? Graficando con los datos: Total = 62 =25 B=33 x b 7 c y z C=40 Página 40 de 167

x + y + z + a + b + c + 7 = 62 (x + y + z) + (a + b + c) = 55 (1) x + a + b = 18 y + a + c = 26 + z + b + c = 33 (x + y + z) + 2 (a + b + c) = 77 (2) Restando (2) (1) : (a + b + c ) = 77 55 a + b + c = 22 17. De un grupo de 80 personas: - 27 leían la revista, pero no leían la revista B. - 26 leían la revista B, pero no C. - 19 leían C pero no. - 2 las tres revistas mencionadas. Cuántos preferían otras revistas? Total = 80 B a n m 2 p b x c C Con los datos: a + n = 27 b + m = 26 + c + p = 19 a + b + c + n + m + p = 72 (1) De la figura: a + b + c + n + m + p + 2 + x = 80 72 De donde: 72 + 2 + x = 80 Luego: x = 6 18. En un colegio el 50% de los alumnos aprobó física, el 42% aprobó química y el 56% de los alumnos aprobó uno y sólo uno de los dos cursos. demás 432 aprobaron física y química. Cuántos alumnos hay en el colegio? Total = x F=50% G=42% a b c De los datos: a + b = 50%x b + c = 42%x a + c = 56%x Página 41 de 167

Sumando las tres relaciones: 2 (a + b + c) = 148% x a + b + c = 74% x 56% x + b = 74% x b = 18% x = 432 Luego: 18/100 = 432 x = 2400 19. Una persona come plátano o naranja cada mañana durante el mes de marzo, si come naranja 25 mañanas y plátano 18 mañanas. Cuántas mañanas come plátano y naranjas? Sea U = {mes de marzo} conjunto universal n(u) = 31 = {mañanas que come plátano} n() = 18 B = {mañanas que come naranja} n(b) = 25 Ubiquemos la información en un diagrama de Venn-Euler. U B Mañanas que comen plátano y naranjas = x n( B) = n() + n(b) n( B) 31 = 18 x + 25 x x 18-x x 25-x 3x = 43 31 = 12 de donde x = 4 4 mañanas come plátano y naranja. 20. Sean y B dos conjuntos tales que n( B) = 24 y n( B) = 10, n(b ) = 6- Hallar 5[n()] 4 [n(b)] Ubiquemos los datos en un diagrama de Venn-Euler. B Calculando se tiene: 10 8 6 5 [n()] 4 [n(b)] = 5(18) 4(14) = 90 56 = 34 21. En una investigación realizada a un grupo de 100 personas, que estudiaban varios idiomas fueron los siguientes: Español 28, lemán 30, Francés 42, Español y lemán 8, Español y Francés 10, lemán y Francés 5 y los tres idiomas 3. a) Cuántos alumnos no estudiaban idiomas? b) Cuántos alumnos tenían como francés el único idioma de estudio? Ilustraremos el problema en un diagrama de Venn-Euler, para facilitar la solución. En el diagrama se observa que: 13 5 20 3 7 2 30 F B n (E F) = 3; n( F) = 5 n (E F) = 10 ; n(e ) = 8 n(f) = 42 ; n() = 30 n(e) = 28 Página 42 de 167

n( E F) = n()+n(e) +n(f) n( E) n( F) n(e F) + n( E F) = 28 + 30 + 42 8 10 5 + 3 = 80 Por lo tanto: a) No estudian idiomas = 100 80 = 20 b) Solo francés 30 22. En un instituto de investigación trabajan 67 personas. De estas 47 conocen el inglés, 35 el alemán y 23 ambos idiomas. Cuántas personas en el instituto no conocen el inglés ni el alemán? Para facilitar la solución utilizamos el diagrama de Venn-Euler. I I = inglés, = alemán 24 23 12 En el diagrama se observa que: n(i ) = 23, n() = 35, n(i) = 47 por conocer n(i ) Hallaremos n(i ) = n(i ) = n(u) n(i ) = 67 n (I ) (1) demás n(i ) = n(i) + n() n(i ) = 47 + 35 23 = 59 (2) Reemplazando (2) en (1) se tiene: n(u) n(i ) = 67 n(i ) = 67 59 = 8 Por lo tanto 8 personas no conocen el Inglés y lemán. 23. Sea un conjunto tal que n() = 3 p + q. B es un conjunto tal que n(b) = 2q + 3, y los dos tienen elementos comunes n ( B) = p + q 4. Cuántos elementos tiene B? Debemos de calcular n( B) =? n ( B) = n [( B) ( B)] = n( B) n( B) = n() + n(b) n( B) n( B) n ( B) = n() + n(b) 2n ( B) = (2p+q+2q+3) 2(p+q 4) = 3p + 2q + 12 2p 2q + 8 = p + 20 24. De 120 alumnos de una universidad se obtuvo la información siguiente: 72 alumnos estudian nálisis Matemático. 64 alumnos estudian Biología. 36 alumnos estudian Ciencias Sociales. 12 alumnos estudian las tres asignaturas. Cuántos alumnos estudian exclusivamente dos asignaturas? Sean: = {estudiantes de nálisis Matemático} B = {estudiantes de Biología} C = {estudiantes de Ciencias Sociales} Ilustraremos mediante el diagrama de Venn-Euler. Las variables x,y,z representan a los estudiantes que estudian exclusivamente dos asignaturas. B a y x 12 z b c Página 43 de 167

C Las variables a, b, c representan los estudiantes de una sola asignatura, de acuerdo a los datos del problema se tiene: a + x + y + 12 = 72 b + x + z + 12 = 64 c + y + z + 12 = 36 (a + b + c) + 2 (x + y + z) = 136 (1) Como son 120 alumnos, del diagrama se tiene: a + b + c + x + y + z +12 = 120 De donde: (a + b + c) + (x + y + z) = 108 (2) hora al restar (2) de (1) se tiene: x + y + z = 136 108 = 28 Por lo tanto, los estudiantes que estudian exclusivamente dos asignaturas son 28. 25. En una ciudad de 10,000 habitantes adultos el 70% de los adultos escuchan radio, el 40% leen los periódicos y el 10% ven televisión, entre los que escuchan radio el 30% lee los periódicos y el 4% ven televisión, el 90% de los que ven televisión, lee los periódicos, y solo el 2% de la población total adultos lee los periódicos, ven televisión y escuchan radio se pide: a) Cuantos habitantes no escuchan radio, no lee periódicos ni ven televisión. b) Cuantos habitantes leen periódicos solamente. Consideremos los siguientes conjuntos: = {conjunto de personas que escuchan radio} B = {conjunto de personas que leen periódicos} C = {conjunto de personas que ven televisión} Personas que escuchan radio 70% de 10,000 es 7,000 Personas que leen periódicos 40% de 10,000 es 4,000 Personas que ven televisión 10% de 10,000 es 1,000 Para facilitar la solución utilizaremos diagramas de Venn. B U 1900 4820 1200 200 80 700 20 C a) Observando el diagrama se tiene: b( B C) = 4820 + 1900 + 1200 + 700 + 200 + 80 + 20 = 4820 + 3100 + 1000 = 8920 demás se conoce que n(u) = 10,000 Los que no leen periódicos, no escuchan radio, ni ven T.V. estará dado por: n(u) n( B C) = 10,000 8920 = 1080 Es decir: 1,080 personas adultas, no leen periódicos, no escuchan radio, ni ven T.V. b) Según el diagrama de Venn-Euler las personas que leen periódicos solamente son 1,200. Página 44 de 167

26. En una encuesta realizada a 154 personas, se obtuvieron las siguientes informaciones: 6 personas cenan y desayunan pero no almuerzan 5 personas desayunan y almuerzan solamente 8 personas almuerzan solamente El número de personas que realizan las tres comidas es el séxtuplo de las que sólo desayunan y el triple de las que solo cenan, nadie declara almorzar y cenar solamente. Cuántas personas cenan por lo menos? Sean: = {conjunto de personas que almuerzan} B = {conjunto de personas que cenan} C = {conjunto de personas que desayunan} Sea x el número de personas que desayunan solamente entonces las personas que realizan las tres comidas es el séxtuplo de los que desayunan solamente 6x y esto es el triple de los que quiere decir que los que cenan solamente es 2x. Para facilitar la solución usaremos los diagramas de Venn-Euler. B U 0 8 2x 6x 5 6 x D demás se tiene que: n(u) = 154. Donde U = C D, donde n(c) = 6x + 6 + 0 + 2x = 8x + 6 n( C D) = n(u) = 154, de donde al observar el diagrama de Venn-Euler se tiene: 6x + 6 + 2x + 0 + 8 + 5 + x = 154 Simplificando 9x + 19 = 154 9x = 135 x = 15 Las personas que cenan por lo menos es: n(c) = 8(15) + 6 = 120+6 = 126 27. En una encuesta realizada en una población sobre su preferencia de tres diarios, B y C se encontró el 42% leen el diario, el 34% leen B, el 28% leen C, el 17% lee y B, el 15% lee y C, el 8% lee B y C y el 66% leen al menos uno de los tres diarios, determinar: a) Que tanto por ciento leen un solo diario. b) Que tanto por ciento leen exactamente dos de los diarios. c) Que tanto por ciento ninguno de los tres diarios. B U 17-x a b x 15-x 8-x c C n() = 42, n(b) = 34, n(c) = 28 n( B) = 17, n( C) = 15, n(b C) = 8 y n( B C) = 66 Sea x el porcentaje de personas que leen los tres diarios. Página 45 de 167

Si n( B C) = n() + n(b) + n(c) n( B) n( C) n(b C) + n( B C) 66 = 42 + 34 + 28 17 15 8 + x De donde 66 = 62 + x x = 2 En el diagrama: Luego: n() = a + (17-x) + (15-x) + x = 42 a =12 n(b) = b + (17-x) + (8-x) + x = 34 b =11 n(c) = c + (15-x) + (8-x) + x = 28 c =7 a) Leen un solo diario a + b + c = 30% b) Leen exactamente dos de los tres diarios 15 + 17 + 8 3x = 34% c) No leen ninguno de los tres diarios 100 66 = 34% 28. Se tienen los conjuntos unitarios: = {a 2 + 1; 3a - 1} B = {3x + y; x - y + 12} Hallar: a + x + y Para que {m;n} sea unitario debe cumplir que: m = n, luego. i) a 2 + 1 = 3a 1 ii) 3x + y = x y + 12 a 2 3a + 2 = 0 3x x + y + y = 12 a -2 a = 2 2x + 2y = 12 a -1 a = 1 2 (x+y) = 12 a = 2 ó a = 1 x + y = 6 a + x + y = 7 ó 8 29. Dados los conjuntos iguales: = {a + 2; a +1} C = {b + 1; c + 1} B = {7 a; 8 a} D = {b + 2; 4} Hallar: a + b + c Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. i) Si = B ii) = C a + 2 = 8 a a + 2 = b + 1 2a = 6 3 + 2 = b + 1 a = 3 4 = b iii) C = D c + 1 = 4 c = 4 1 c = 3 a + b + c = 10 Página 46 de 167

30. Indicar el conjunto por extensión: = { x Z / 3x 3 2x 2 2x + 3 = 0 } Con la ecuación: 3x 3 2x 2 2x + 3 = 0 3-2 -2 3 x = -1-3 5-3 3-5 3 0 3x 2 5x + 3 (x + 1) (3x 2 5x + 3) = 0 x = -1 3x 5x + 3 = 0 x = 5 ± -17 (No) 6 = {-1} x = 5 ± i 6 31. Si: = { a Z / a 5 5a 3 + 4a = 0 } B = { a Z / b Z, a = b 2 } Hallar: B Con : a 5 5a 3 + 4a = 0 a (a 4 5a 2 + 4) = 0 a (a 2 1) (a 2 4) = 0 a (a 2 1) (a + 1) (a + 2) (a 2) = 0 Entonces: = { -2; -1; 0; 1; 2 } Con B: Para a = -2 ó a = -1, no existe un b Z/a = b 2 a = 0 b Z/0 = b 2 b = 0 a = 1 b Z/1 = b 2 b = -1;1 a = 2 b Z/2 = b 2 Entonces: B = { 0; 1 } Piden: = Hallar: B = B = { -2, 2, -1 } 32. Determinar el conjunto por comprensión: = { 1, 2, 4, 7, 11, 16 } 1, 2, 4, 7, 11, 16 1 2 3 4 5 1 1 1 1 t n = an 2 + bn + c n = 1 a + b + c = 1 a = ½ n = 2 4a + 2b + c = 2 b = - ½ n = 3 9a + 3b + c = 4 c = 1 Luego: t n = ½ n 2 ½ n + 1 = { ½ (n 2 -n) + 1/n Z, 1 < n < 6 } Página 47 de 167

33. De 76 alumnos; 46 no estudian lenguaje, 44 no estudian historia y 28 no estudian ni lenguaje ni historia. Cuántos estudian lenguaje e historia? Estudian: L = 76 46 = 30 H = 76 44 = 32 Sea x los alumnos que estudian ambos cursos. L = 30 H = 32 30-x x 32-x 28 (30 x) + x + (32 x) + 28 = 76 De donde: x = 14 34. De un grupo de 100 personas; 40 son mujeres, 73 estudian matemática, 12 mujeres no estudian matemática. Cuántos hombres no estudian matemática? M = 40 H = 60 M = 73 De la figura: 12 + x + 73 0 100 x = 15 12 x 35. Si tiene 16 subconjuntos, B tiene 8 subconjuntos y ( B) tiene 32 subconjuntos. Cuántos subconjuntos tiene ( B)? Datos: 2 n() = 2 4 n() = 4 2 n(b) = 2 3 n() = 3 2 n( B) = 2 5 n( B) = 5 B = 5 = 4 B = 3 4 - x x 3 - x Página 48 de 167

(4 x) + x + (3 x) = 5 7 5 = x x = 2 B Piden: 2 n( B) 2 2 = 4 36. En una población: 50% toma leche, el 40% come carne, además sólo los que comen carne o sólo los que toman leche son el 54% Cuál es el porcentaje de los que no toman leche ni comen carne? El total será: 100% L = 50 C = 40 50 - a a 40 - a Dato: (50 a) + (40 a) = 54 De donde: 18 = a Reemplazando en la figura: a = 18 (50 18) + 18 + (40 18) + x = 100 De donde: x = 28 28% 37. Tony come fréjoles y/o tortilla en su almuerzo en cada día durante el mes de enero. Si come 19 días fréjoles y 20 días tortilla. Cuántos días comió fréjoles con tortilla? Enero = 31 días F = 19 T = 20 x 19 - x x 20 - x (19 x) + x + (20 x) = 31 39 x = 31 x = 8 38. Sean x, y Q tal que y es el menor posible. Sean y B conjuntos tales que B, B es un conjunto unitario. = { x 2 + 2y, x + 2y + 2 } B = { - 5/4 x + 3y 2, 3x + 4y + 3 } Hallar: B. Como B es unitario y B, entonces es unitario. Luego: = B = B Página 49 de 167

De a se tiene: x 2 + 2y = x + 2y + 2 x = 2, x = -1 De B se tiene: { - 5/4 x + 3y 2, 3x + 4y + 3 } (α) (β) De (α), si x = 2, en (β): - 5/4 (2) + 3y 2 = 3(2) + 4y + 3 3y 2 4y + 5/4 = 0 12y 2 16y + 5 = 0 5/6 (se rechaza), y = ½ Finalmente: x = -1, y = ½ Como = B = B, entonces B = = { x 2 +2y, x+2y+2}= {2} 39. Sean: U = { x N / 1 < x < 15 } = { x U / x es par } B = { x U / x es impar} C = { x / x = 2 n, n U } {12} Si D = { x U / x C x B } { x / x es múltiplo de 4 } Cuántos subconjuntos de C contienen a D? Desarrollando, tenemos: U = { 1, 2, 3, 4, 15 } = { 2, 4, 6, 8, 14 } B = { 1, 3, 5, 7, 15 } C = { 2, 4, 8 } {12} = { 2, 4, 8, 12} Para D: x C x B x C B Entonces: D = { x U / x C B } { x / x es múltiplo de 4} = Los subconjuntos de C que contienen a D =, son en total 2 4 conjunto potencia de C. = 16, y son los elementos del 40. Dados los conjuntos: = { x R / x/3 [-1,4] } B = { x R / (x+3) [4,7] } C = { x R / (1-2x)/2 [-1,2] } Hallar el conjunto S en términos de intervalos, sabiendo que: S = { x R / x x (B C) } Dar como respuesta la suma de los extremos finitos de cada uno de los intervalos que lo conforman. Trabajamos con las condiciones de cada conjunto: Para : x/3 [-1, 4], entonces: -1 < x/3 < 4 Luego: -3 < x < 12 Finalmente: = [ -3, 12 ] Para B: (x+3) [ 4, 7 ], entonces 4 < x + 3 < 7 Luego: 1 < x < 4 Por lo tanto: B = [ 1, 4 ] Para C: 1-2x [-1, 2], entonces -1 < 1-2x < 2, Luego: -2<1-2x<4 2 2 De donde: -3 < -2x < 3, finalmente: -3/2 < x < 3/2 Luego: C = [ -3/2, 3/2 ] Para S: x x (B C) x (B C) x (B C) (1) Página 50 de 167

Pero: (B C) = [ -3, 12 ] ( [ 1, 4] - [ -3/2, 3/2 ] ) = [ -3, 12 ] < -3/2, 4 ] = < 3/2, 4 ] hora: (B C) = [ (B - C) ] = ( [ -3, 12] < -3/2, 4 ] ) = [ -3, 12 ] = < -, -3 > < 12, > En (1): x x (B C) x < -3/2, 4 ] (x <-, -3 > < 12, >) = x < -, -3 > < 3/2, 4> < 12, > Finalmente: S = < -, -3 > < 3/2, 4> < 12, > hora: -3 + 3 + 4 + 12 = 29 2 2 41. Sean, B y C subconjuntos de U tales que: n ( B C) = 200, n ( B C ) = 150, n ( B C ) = 450, n () = 1050, n (U) = 2000, n [ (B C) ] = 250, n [ (B ) (B - C ) ] = 400, n (B C) = n [ C ( B) ] Hallar n [ ( * B) (B * C)], si P * Q P Q Por dato: 250 + 450 + 200 + 150 + x + y + 150 + 400 = 2000 1600 + x + y + 2000 x + y = 400 (1) B U 450 250 400 200 150 x 150 y C De n (B C) = n [ C ( B) ] se tiene: x + 200 = y Sabemos que P * Q P Q P Q, luego: ( * B) (B * C) = ( B ) (B C ) = [( B ) (B C ) ] [(B C ) ( B ) ] = [( B ) (B C)] [(B C ) ( B)] = ( B C) ( B C ) = [ (B C) ] [ ( B) C ] Luego: n [ ( * B) (B * C) ] = n { [ (B C) ] [ ( B) C ] } = n [ (B C) ] + n [ ( B) C ] = x + 450 = 550 Página 51 de 167

42. Si se sabe que: B, n (B C) = 4; n ( C) = 10, n(c) = 18 n() = 22, n(b - C) = 5, n [ B C) ] = 9 Hallar el número de elementos de: [ ( C) B ] x [ (C ) U ( B C ) ] U B C 7 5 4 6 8 9 n [ ( C) B ] x [ (C ) U ( B C ) ] = = n [ ( C) B ] x [ (C ) U ( B C ) ] = 6 x (8 + 9) = 6 x 17 = 102 43. Dados los conjuntos: = { x R / (2x + 3) (x 4) (x + 2) = 0 }, B = [ x R / x 3 /4 = x}, C = { y R / y = -2 x, x = 0, 1, 2 } Hallar: ( B) x C 2x+3 = 0 x = -3/2 Para : (2x + 3) (x 4) (x + 2) = 0 x 4 = 0 x = 4 x + 2 = 0 x = -2 Luego: = { -3/2, 4, -2 } Para B: x 3 = x x 3 x = 0 x x 2 1 = 0 x x 1 x + 1 = 0 4 4 4 2 2 Luego: B = { 0, 2, -2 } Para C: x y = -2 x Luego: C = { -1, -2, -4 } 0-1 1-2 2-4 hora: B = {-2} Finalmente: ( B) x C = { -2 } x { -1, -2, -4 } = { (-2, -1), (-2, 2), (-2, -4) } Página 52 de 167

44. Sean y B conjuntos unitarios tales que: = { x 2 + y }, B = { x 2y }, B = { x + y 2 } Hallar x + y, si es lo menor posible, donde x, y R Como y B son conjuntos unitarios, se deduce: x 2 + y = x - 2y x 2 x = 3y (1) x 2 +y = x-2y = x+y 2 = x 2 + y = x + y 2 x 2 x = y 2 y (2) x - 2y = x + y 2 y 2 = -2y (3) De (3) : y 2 + 2y = 0 y (y + 2) = 0 y = 0, y = -2 Si y = 0 en (2): x = 0, x = 1. Luego: x + y = 0, x + y = 1 Si y = -2 en (2): x 2 x = 6 x = -2, x = 3. Luego: x + y = -4, x + y = 1 45. Cuáles de las siguientes proposiciones representa la región sombreada? I) { [ ( B) D ] C } { B C } II) {{ [ ( B) ( B) ] C } D } ( B D ) III) { [ ( B) ( B) ] D C } ( B C ) U B C D I) [ ( B) D ] C = { [ ( - B ) (B ) ] D } C representa la región sombreada excepto la central. La región central está dada por: B C. Luego: { [ ( B) D ] C } { B C } es toda la región sombreada. Es verdadera. II) {[ ( B) ( B) ] C } D representa la región sombreada excepto la central. Pero B D no representa la región sombreada. Es falsa. III) En forma similar, es verdadera. 46. En un salón de clases, de 70 alumnos, (todos ellos con 25 años cumplidos o más): 10 varones tienen 25 años, 25 varones no tienen 26 años, 16 varones no tienen 25 años y 14 mujeres no tienen 25 años ni 26 años. Cuántas mujeres tienen 25 ó 26 años? Total de alumnos = 70 (10 + x) + (11 + y) + (15 + 14) = 70 50 + x + y = 70 x + y = 20 Página 53 de 167

Luego hay 20 mujeres que tienen 25 ó 26 años. 25 años 26 años 10V xm 11V y V 15 V 14 M 27 años o más 47. Sean, B, C y D los conjuntos de actores de cuatro revistas r, s, t y u respectivamente. Un anuncio de media página vale S/.2500 en r S/.1500 en s y S/.1000 en t ó u ; el cual se desea publicar, disponiendo para ello de un presupuesto de S/.5000. En qué revistas se debe hacer la publicación, de manera que tenga un máximo de lectores? Se sabe que: n() = 700; n(b) = 500; n(c) = 450; n(d) = 350; n ( B C) = 100; n( B D) = 110; n ( C D) = 20; n (B C D) = 50; n( B) = 250; n ( C) = 250; n ( D) = 190; n (B C) = 250; n (B D) = 100; n (C D) = 150 Teniendo un presupuesto de S/.5000, el máximo de lectores se consigue con el máximo de revistas, luego las combinaciones posibles son: Combinación 1. Revistas: r, s, t. Gastos: 2500 + 1500 + 1000 = 5000 El número de lectores es: n ( B C) = n () + n (B) + n (C) n( B) n ( C) n (B C) + n ( B C) = 700 + 500 + 450 250 250 250 + 100 = 1000 Combinación 2. Revistas: r, s, u. Gastos: 2500 + 1500 + 1000 = 5000 El número de lectores es: n ( B D) = 700 + 500 + 350 250 190 100 + 110 = 1120 Combinación 3. Revistas: s, t, u. Gastos: 1500 + 1000 + 1000 = 3500 Número de lectores: n (B C D) = 500 + 450+ 350 250 100 150 + 50 = 850 Combinación 4. Revistas: r, t, u. Gastos: 2500 + 1000 + 1000 = 4500 Número de lectores: n ( C D) = 700 + 450 + 350 250 190 150 + 20 = 930 La publicación debe hacerse de acuerdo a la combinación 2, revistas: r, s, u 48. Se encuesta a 4400 personas, que consumen los productos, B y C. El número de personas que consumen los tres productos es igual a: 1/6 de los que consumen sólo 1/5 de los que consumen sólo B 1/4 de los que consumen sólo C 1/2 de los que consumen sólo y B Página 54 de 167

1/3 de los que consumen sólo y C 1/4 de los que consumen sólo B y C a) Cuántas personas consumen aunque consumen B? b) Cuántas consumen B a menos que no consumen? Dar como respuesta la suma de ambos resultados. B U 6x 3x 2x x 4x 5x 4c C De acuerdo a los datos se tiene: Como n(u) = 4400 tenemos: 6x + 2x + x + 3x + 5x + 4x + 4x = 4400 25x = 4400 x = 176 a) Sean, p: consumen. q: consumen B. Luego consumen aunque consumen B, queda expresado como p q; con la cual se tiene que nos piden el número de elementos de B. Entonces: n ( B) = 2x+ x = 3x = 3 (176) = 528 b) Sean, p: consumen B q: consumen Luego, consumen B a menos que no consumen, se expresa como p a menos que no q la cual equivale a: q p q p; con lo cual se tiene que nos piden el número de elementos de: B. Entonces: n ( B) = n ( ) + n (B) n ( B) = (5x + 4x + 4x) + (2x + x + 5x + 4x) 9x = 16x = 16 (176) = 2818 La respuesta es: 528 + 2816 = 3344 49. En una encuesta realizada a 4400 personas acerca de su preferencia política sobre los candidatos, B, C; se obtiene la siguiente información: El número de personas que simpatiza con los tres candidatos es: 1/3 de los que simpatizan con y B 1/6 de los que simpatizan con B y C 1/7 de los que simpatizan sólo con B 1/6 de los que simpatizan sólo con 1/8 de los que simpatizan sólo con C Si el número de personas que simpatizan con sí y sólo sí simpatizan con B ó C es 1800; hallar el número de personas que simpatizan sólo con y C o con ninguno de los tres. Como n(u) = 4400, se tiene: 6x + 3x + x + y + 7x + 5x + 8x + x = 4400 30x + y + z = 4400 (1) Página 55 de 167

B U 6x y 3x x 5x 7x z 8x C demás: n [ (B C) ] = 1800 Luego: 1800 = n [ ( (B C)) ( (B C) ] = n [ ( (B C)) ( (B C) ] 1800 = 4x + y + z (2) De (1) y (2): x = 100, y + z = 1400 Nos piden: n { [ ( C) B ] [ B C] } = n [ ( C) B ]+ n ( [ B C] ) = y + z = 1400 50. El número de personas que leen las revistas y B es 4, y C es 5, mientras que los que leen B y C también es 5. Si los que leen pero no C es 6, y los que leen B pero no C es 7. Hallar el número de personas que leen las tres revistas si y sólo si leen ó C; sabiendo que todas las personas encuestadas leen por lo menos una de las revistas y que: n [ P ( B) ] = n [ P [ ( B) C ] ] + 8 B U n ( B) = 4 x + s = 4 (1) n ( C) = 5 x + r = 5 (2) n (B C) = 5 x + t = 5 (3) u s v x r t C De: n [ P ( B) ] = n [ P [ ( B) C ] ] + 8 2 4 = 2 s + 8 2 s = 8 s = 3 En (1): x = 1 En (2) y (3): r = 4 = t demás: n [ C] = 6 u + s = 6 u = 3 n [B C] = 7 v + s = 7 v = 4 Piden: n [ ( B C) ( C) ]: Sabiendo que n [ ( B C) ] = 0 Luego: n [ ( B C) ( C) ] = n { [ ( B C) ( C) ] [ B C] + n [B-( C) ] = n [ B C ] + n [B ( C) ] = x + v = 1 + 4 = 5 Página 56 de 167

51. Se obtuvo la siguiente información acerca de 90 postulantes: El número de postulantes que prefieren solamente la especialidad C es el triple de los que prefieren sólo la carrera, mientras que los postulantes que prefieren solamente la carrera B es el doble de los que prefieren sólo la especialidad. El cuádruple del número de postulantes que prefieren sólo, no prefieren ninguna de las tres carreras; mientras que hay 10 que prefieren las tres especialidades. Hay 68 postulantes que prefieren la especialidad B a menos que no prefieran ; y hay 45 que prefieren la carrera B sí y sólo sí prefieren C. Hallar el número de postulantes que prefieren sólo ó sólo C ó sólo y B. B U Luego: 68 = n [ B] = 9x+y+Z+10 (1) x y 2x 10 w z n (B C) = 45 = n [(B C) (B C )] 45 = (10 + Z) + 5x (2) 3x C 4x De (1) y (2): 4x + y = 23 El número de postulantes que prefieren sólo ó sólo C ó sólo y B es: x + 3x + y = 4x + y = 23 52. En una encuesta acerca del consumo de bebidas gaseosas se obtuvo la siguiente información: El 45% consumen la marca B El 40% consumen la marca C El 8% no consume ninguna de las tres El 63% consumen y B, si y sólo si consumen C El 67% consumen B y C, si y sólo si consumen El 5% consumen las tres marcas El 8% consumen sólo B y C Qué porcentaje toman bebidas según la operación: ( * B) * C = ( B) (C )? B U Tenemos: 67 = 5 + b + c + 8 a y b 5 x 8 c 8 C b + c = 54 63 = 5 + a + b + 8 (1) a + b = 50 40 = c + x + 13 (2) c + x = 25 45 = b + y + 13 (3) b + y = 32 demás: a + b + c + x + y + 21 = 100 (4) a + b + c + x + y = 79 (5) (3) y (4) en (5): a + 32 + 27 = 79 a = 20 En (2): b = 30, en (1): c = 24; en (3): x = 3; en (4): y = 2 hora: n [ ( * B) * C ] = n [ ( B) (C ) ] = (5 + y) + (c + ) = 7 + 32 = 39 53. Sea U = Z, y sean: = {x Z / x es un número par} Página 57 de 167

B = {x Z / x es un número impar} C = {x Z / x es un número natural par} D = {x Z / x es un número natural impar} En que parte del plano se encuentra el gráfico de ( C)x(B D). Tenemos que: C = { x Z / x es un número par negativo, incluido el cero } B D = { x Z / x es un número impar negativo } Luego: ( C) x (B D) = { (x,y) / x es un número par negativo (incluido el cero), y es un impar negativo } Graficando, unos cuantos valores: B D -12 10 8 6 4 2 0 C -1-2 -5-7 Se encuentra en el tercer cuadrante. 54. Sean, B conjuntos, simplificar : (B )-(UB) SOLUCION B n = (B n ) ( U B) - ( U B) 55. Sean, B conjuntos y U conjunto Universal, simplificar: [ (U ) U ' ] U(B' U B) Solución U = ; B' U B = U [ ( U ) U ' ] U (B' U B) Por propiedad U [ U ' ] U U U U U = U ' U Página 58 de 167

56. Si MCM, Simplificar : [(M U N ) n (N' P) ] 'U M' Solución Graficamos la condición [ ( M N ) (N' P) ] U M' N M [N (N' P)] U M' Condición M U N = N [(M U N' ) P ] U M' Prop. sociat. [ P ] U M' Prop. ' = M' M' Prop. ' = Prop. ' = EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Dado el conjunto unitario: = { a + b ; a + 3b 3; 12 } Calcular: a 2 + b 2 a) 80 b) 74 c) 104 d) 90 e) 39 2. Los conjuntos y B son tales que n( B) = 30, n(- B) = 12 y n (B ) = 10. Hallar n() + n(b) a) 22 b) 38 c) 36 d) 25 e) 37 3. Si n[ P () ]=128, n[ P (B) ]=16 y n [ P ( B)]=8. Hallar : n [ P ( B) ] a) 128 b) 32 c) 256 d) 1024 e) 512 4. Dados los conjuntos: = { 1, 2, {1,2}, 3} B = { {2,1}, {1,3}, 3} Hallar el conjunto [ ( B) B ] (B ) a) { 1, {1,3} } b) { {1,3} } c) {1,3} d) { {1,3}, 3} e) { {1,2} } 5. Sean los conjuntos: = { x R / 2 log x 3 log x 2 = 2 (log x) 2 } B = { x R / 5 3 (2x2-x) = 125 } 3 C = x R / x = n ; n N, n < 4 n + 1 Hallar ( B) (C B) a) {1,2} b) {1} c) {2} d) {1,3} e) N.. 6. Si: U = { x N / 0 < x < 11 } = { 1, 3, 5, 7 } B = { 2, 4, 6, 8 } C = { 1, 3} C = { 1,2,3,5,7,9 } Hallar n(b C) + n( C) a) 4 b) 10 c) 7 d) 11 e) N.. Página 59 de 167

7. Dados los conjuntos: = { y R / y = 2x, x = -2, -1, 0, 1} B = x R / 3x 5 = 1 _ x 5 C = x R / x 2 5 = x _ 2 Hallar ( B) (B C) a) 2, 2/3 b) φ c) {1,2} d) { ¼, ½ } e) N.. 8. Sea: U = {-5,π, 2, -2,0,2,4,3/8,1+π, π- 2,1+ -4 } J = { x U / x N x Q } K = { x U / x Z x R } L = { x U / x N x R } Hallar M si M = ( J K) (K L) a) { 2,3/8} b) {-5,3/8 } c) { π,2} d) {2,4 } e) N.. 9. En un taller mecánico se observa lo siguiente: 1/3 del total de los trabajadores saben arreglar motores, 7/12 del total son especialistas en arreglar llantas; 1/12 del total arreglan llantas y motores, siendo 30 los que arreglan motores solamente. Cuántos no saben arreglar llantas y motores? a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) N.. 10. En una biblioteca había 100 alumnos, de los cuales 70 estudian ciencias y 30 estudiaban letras. Si 20 estudiaban letras y ciencias, señalar cuántos estudiaban letras, si y sólo si estudiaban ciencias. a) 40 b) 38 c) 32 d) 42 e) N.. 11. Durante todas las noches del mes de octubre, Soledad escucha música o lee un libro. Si escucha música 21 noches y lee un libro 15 noches, cuántas noches escucha música y lee un libro simultáneamente? a) 5 b) 6 c) 4 d) 3 e) 10 12. Un conjunto tiene 1023 subconjuntos propios y el producto cartesiano de y B tiene 50 elementos. Cuántos subconjuntos propios de 3 elementos posee el conjunto potencia de B? a) 10 b) 12 c) 11 d) 13 e) 9 13. En una encuesta de un club se determinó que el 60% de los socios lee La República y el 30% lee El Comercio, se sabe que los que leen La República o El Comercio pero no ambos constituyen el 70% del club y hay 400 socios que no leen ningún diario. Cuántos socios leen ambos diarios? a) 240 b) 210 c) 180 d) 200 e) 150 14. De los 96 asistentes a una fiesta se sabe que el número de hombres es igual al número de mujeres solteras. Si hay 18 hombres casados y más de 29 mujeres casadas. Cuántas personas son solteras si entre ellas hay más de 14 hombres? a) 48 b) 45 c) 38 d) 32 e) 28 15. Sean, B y C tres conjuntos no vacíos contenidos en U donde: n(u) = 95 n() = n(b) = 50 n(c) = 40 n[-(b C)] = 24 n[( B)-C)] = 8 Página 60 de 167

n[(b C)-C)] = 17 n[( B C) ] = 10 Determinar el número de elementos de B C a) 6 b) 8 c) 12 d) 17 e) 20 16. Qué operación representa la región sombreada? a) B C B b) B C c) (-B) C d) (B C) e) (B C) C 17. Qué operación representa la región sombreada? a) [( C) B ] (B C) B b) [(B C ) ] (C B) c) [(-B) C] B d) [( B)-C] e) [( B) ] (B C) 18. Sean y B dos conjuntos no vacíos donde se tiene: B = { 5, 8, 11, 14, 15, 17 } B = { 8, 15} Indicar el número de sub conjuntos de B a) 8 b) 6 c) 32 d) 64 e) 4 19. De un grupo de 200 comensales a 120 no les gusta el arroz con pato y a 130 no les gusta la carapulcra. Si a 80 no les gusta ambos potajes cuántos de ellos les gusta el arroz con pato y la carapulcra? a) 18 b) 24 c) 30 d) 36 e) 42 20. De un total de 230 alumnos se conocer que 90 postulan a la UJCM, mientras que 110 alumnos postulan a la UPT cuántos alumnos postularon a ambas universidades si hay 80 alumnos que postulan a otras universidades y no a estas dos? a) 40 b) 60 c) 80 d) 70 e) 50 CLVE DE RESPUESTS: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 d b c b b d a b c a 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 a a d a c d b b c e C Página 61 de 167