NÚMEROS REALES Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE El paso de Z a Q Di cuáles de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cuáles es necesario el conjunto de los números racionales, Q. a) x 0 b) 7x c) x + d) x 0 e) x f) x + 7 Se pueden resolver en Z a), c), d) y f). Hay que recurrir a Q para resolver b) y e). El paso de Q a Á Resuelve, ahora, las siguientes ecuaciones: a) x 9 0 b) x 0 c) x x 0 d) x x + 0 e) 7x 7x 0 f) x + x 0 a) x 9 0 8 x ± b) x 0 8 x 8 x ± c) x ± 9 + ± x 0 8 x d) x ± 8 ± 7 x + 0 8 x + 7 7 e) 7x 7x 0 8 x x 0 8 x 0, x f) x + x 0 8 x(x + ) 0 8 x 0, x Unidad. Números reales
Números irracionales p Demuestra que es irracional. Para ello, supón que no lo es:. Eleva q al cuadrado y llega a una contradicción. Supongamos que no es irracional. Entonces, se podría poner en forma de fracción: p 8 8 p q q p q En p, el factor está un número par de veces (es decir, en la descomposición de factores primos de p, el exponente de es par). Lo mismo ocurre con q. Por tanto, en q el exponente de es un número impar. De ser así, no se podría cumplir la igualdad. p Suponiendo que llegamos a una contradicción: q p q, pero p no puede ser igual a q. Por tanto, no puede ponerse en forma de fracción. No es racional. Obtén el valor de F teniendo en cuenta que un rectángulo de dimensiones F : es semejante al rectángulo que resulta de suprimirle un cuadrado. F F F 8 F(F ) 8 F F 0 F ± + F + (negativo) + Como F ha de ser positivo, la única solución válida es F. Unidad. Números reales
UNIDAD Página 8. Sitúa los siguientes números en el diagrama: ; ; ;,; 7, ; ) ; ; 7 ; 8 Á Q Z N Á Q, 7, ) Z N 8 8 7. Sitúa los números del ejercicio anterior en los siguientes casilleros. Cada número puede estar en más de una casilla. NATURALES, N ENTEROS, Z RACIONALES, Q REALES, Á NO REALES Añade un número más (de tu cosecha) en cada casilla. NATURALES, N ; ENTEROS, Z ; ; ; 7 RACIONALES, Q ; ;,; 7, ; ) 7; REALES, Á ; ; ;,; 7, ; ) ; ; 7 NO REALES 8 Unidad. Números reales
Página 9. Representa los siguientes conjuntos: a) (, ) b) [, + @) c) (, 9] d) ( @, 0) a) 0 b) 0 c) 0 9 d) 0. Representa los siguientes conjuntos: a) {x / Ì x < } b) [, ) «(, 7] c) ( @, 0) «(, +@) d) ( @, ) «(, + @) a) c) b) 0 0 7 d) 0 0 Página 0. Halla los siguientes valores absolutos: a) b) π c) d) 0 e) π f) g) h) i) 7 0 a) b) π c) d) 0 e) π π f) g) h) i) 7 0 0 7. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones: a) x b) x Ì c) x d) x Ì e) x > f ) x + > a) y b) Ì x Ì ; [, ] c) y d) Ì x Ì ; [, ] e) x < o x > ; ( @, ) «(, +@) f) x < 9 o x > ; ( @, 9) «(, +@) Unidad. Números reales
UNIDAD Página. Simplifica: a) x 9 b) x 8 c) 9 d) 8 e) f) y 0 8 8 x 9 a) b) x 8 x x c) y y 0 d) 8 9 8 e) 9 f ) 8 8. Cuál es mayor, o? Reducimos a índice común: Por tanto, es mayor. 9 79 ; 8. Reduce a índice común: 8 a) a y a 7 b) y 9 0 8 9 a) a a ; a 7 a b) ; 9 0. Simplifica: k a) ( ) 8 b) c) 8 x 0 x x a) ( ) 8 k b) c) x k x 0 ( x ) Página. Reduce: 8 a) b) 9 c) d) 8 a) 8 b) 8 c) 8 8 8 7 d) 8 ( ) ( ) 7 Unidad. Números reales
. Simplifica: x a b a a b c a) b) c) d) x a b a a b c x a) b) a b x a b x x a b c) a d) a b c a a a a a b c b c c a b c 7. Reduce: 9 a) b) c) d 79 a) b) 8 c) 0 0 0 8 d) 8. Suma y simplifica: a) x + x + x b) 9 + c) 8 + 0 8 d) 7 0 + + 8 e) 0a 8a a) 0 x b) + 7 c) 8 + 0 8 + + d) + + + + e) a a a a a Unidad. Números reales
UNIDAD Página 9. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas: a) b) 7 7 c) d) a e) f) 0 8 g) h) 0 i) j) 00 a) 7 7 7 b) 7 c) 7 d) a a a a a e) 0 0 f) 8 g) h) 0 0 0 i) 0 j) 00 0 0 Unidad. Números reales 7
0. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas: x + y a) b) + x + y a x + y c) d) a x y + e) f) g) + + h) + + x y x + y a) ( + ) ( ) (x + y) ( x y ) (x + y) ( x y ) b) ( x + y ) ( x y ) x y x x x y + y x y y x y (a ) ( a + ) (a ) ( a + ) c) a + ( a ) ( a + ) (a ) ( x + y) ( x + y) d) ( x y ) ( x y ) x + y + xy x y + + e) ( ) ( + ) + 7 ( + ) 8 + + 0 + f ) + 8 + g) + + + x + y + x y h) x y x x y Página. Halla: a) log b) log 0, c) log 9 d) log 0 0, e) log f) log 7 9 g) ln e h) ln e / i) log 0,0 j ) log ( ) 8 Unidad. Números reales
UNIDAD a) log log b) log 0, log c) log 9 0 d) log 0 0, log 0 0 e) log log f) log 7 9 log 7 7 g) ln e h) ln e / i) log 0,0 log j) log log ( ). Halla la parte entera de: a) log 0 b) log 700 c) log 0 000 d) log 0 0,08 e) log 9 0 f) ln e a) ; ; < 0 < < log 0 < 8 log 0, b) ; ; < 700 < < log 700 < 8 log 700, c) 0 0 000 ; 0 00 000 ; 0 000 < 000 < 00 000 < log 0 000 < 8 log 0 000, d) 0 0,0 ; 0 0, ; 0,0 < 0,08 < 0, < log 0 0,08 < 8 log 0 0,08, e) 9 9 ; 9 8 ; 9 < 0 < 8 < log 9 0 < 8 log 9 0, f) ln e. Aplica la propiedad 8 para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de la calculadora: a) log 00 b) log 00 c) log 00 00 d) log 00 0 En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciación. a) log 00 0,; 0, log 00 00 b) log log,9;,9 00 log 00 c),; 00, log 0 00 d) log 00 log 00 0,80; 00 0,80 0 Unidad. Números reales 9
. Sabiendo que log A,8 y log B,, calcula: A a) log b) log B A B a) log A B 0,8 [ log A log log B] [,8,] 0,7 A b) log log + log A log B +,8, +,7,8, B. Averigua la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica: ln y x ln ln y x ln 8 ln y ln e x ln e x ln y ln 8 y e x Página 8. Di una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes mediciones: a) La superficie de esta casa es de 9, m. b) Por la gripe se han perdido 7 millones de horas de trabajo. c) Juana gana 9 000 al año. a) Error absoluto < 0,0 m 0,0 Error relativo < < 0,000 0,0% 9, b) Error absoluto < 0, millones de horas 00 000 horas 0, Error relativo < < 0,0,% 7 c) Si suponemos que los tres ceros finales se han utilizado para poder expresar la cantidad (es decir, que se trata de 9 mil, redondeando a los miles de euros ), entonces: 0, E.A. < 0, miles de 00 E.R. < < 0,07,7% 9 Si suponemos que es 9 000 exactamente: 0, E.A. < 0, E.R. < < 0,00007 0,007% 9 000 0 Unidad. Números reales
UNIDAD Página 9. Calcula en notación científica sin usar la calculadora: a) (800 000 : 0,000) 0, 0 b) 0,8 0 + 9 0 9 0 7 a) (800 000 : 0,000) 0, 0 ((8 0 ) : ( 0 )) 0 ( 0 9 ) 0 0 0 0 0 b) 0,8 0 + 9 0 9 0 7 8, 0 7 + 0,9 0 7 0 7, 0 7, 0. Opera con la calculadora: a) (,87 0,9 0 9 ) : (,9 0 ) b) 8,9 0 0 + 7, 0 0, 0 9 a) (,87 0,9 0 9 ) : (,9 0 ),8 0 b) 8,9 0 0 + 7, 0 0, 0 9,7 0 0 Página LENGUAJE MATEMÁTICO. Da nombre al conjunto sombreado en cada caso: N M» N N M N N M «N M M M M N U M N N M M M' (M «N) (M» N). Expresa simbólicamente estas relaciones: a) es un número natural. b) es un número entero. c) 0, es un número racional. Unidad. Números reales
d) π es un número real. e) Todos los enteros son racionales. f ) El intervalo [, ] está formado por números reales. a) é N b) é Z c) 0, é Q d) πéá e) Z å Q f) [, ] å Á. Designa simbólicamente estos conjuntos: a) Los números enteros mayores que y menores que 7 (utiliza Z y el intervalo abierto (, 7)). b) Los números irracionales (utiliza Á y Q). c) Los números racionales mayores que y menores o iguales que. d) Los números que son múltiplos de o de (el conjunto de los múltiplos de p se designa p ). a) {x é Z / x é (, 7)} b) Á Q c) {x é Q / < x Ì } d) {x / x o x }. Traduce: a) {x éz /x Ó } b) {x én /x > } c) {x én / < x Ì 9} d) {x éz / Ì x < 7} a) Números enteros mayores o iguales que. b) Números naturales mayores que. c) Números naturales mayores que y menores o iguales que 9. d) Números enteros mayores o iguales que y menores que 7.. Cuáles son los números que forman el conjunto (Á Q) [0, ]? Todos los irracionales comprendidos en el intervalo (0, ). Unidad. Números reales
UNIDAD Página EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Números racionales e irracionales Expresa como fracción cada decimal ) ) y opera: 0,, 0, ) +, ) ) Recuerda que, ; 0,. 9 90 +,78 ) 99 9 90 0 Demuestra que el producto,09 ),9 ) es un decimal exacto. Comprueba, pasando a fracción, que los dos factores son decimales exactos.,0 ) 09 0 9 9,, ) 9 9, 90 90 90 90,0 ) 9, ) 9,,,7, ) Calcula: a), 7 ) b) a), ) b) 0, ) 9 9 Indica cuál, de cada par de números, es mayor: 0 ) a) y b) 0, y 0, ) 99 c), 89 ) y d),098 y, a) b) 0, ) c), 89 ) d),098 Observa cómo hemos representado algunos números irracionales: A C E G B 0 D F H Unidad. Números reales
En el triángulo OAB, OB, AB y OA +. Por tanto, el punto D representa a. Qué números representan los puntos F y H? Justifica tu respuesta. F representa, pues OF OC OD + DC ( ) + H representa, pues OH OG ( ) + Cuáles son los números racionales a, b, c, d representados en este gráfico? d m 0 m a b c m m m m m m m es un segmento cualquiera a b c d 7 7 7 7 Potencias 7 Halla sin calculadora: ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) 9 9 + + 0 7 9 8 Simplifica, utilizando las propiedades de las potencias: 9 a) b) 9 8 a b c 7 c) d) 0 a b c Mira el problema resuelto número c). a) b) c) c d) 7 a c a c 8 8 78 a b b b 80 7 Unidad. Números reales
UNIDAD 9 Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccionario y simplifica: x a) a a b) c) x a) a / a / a 9/0 0 a 9 x / x / b) x / x a c) a / a 0 Resuelve, sin utilizar la calculadora: a) b) c) d) 0, e) 8 f) 0,00 a) b) 7 7 c) d) 0, e) f ) 0, 0, Expresa como una potencia de base : a) b) ( ) / c) ( ) a) / b) ( ) / c) /8 / 8 Calcula utilizando potencias de base, y : a) ( ) b) ( ) ( ) 9 8 ( ) c) ( 8) ( 9) d) 0 ( 0) 0 a) ( ) 8 b) 9 ( ) c) ( ) ( ) 9 ( ) 8 9 d) 00 8 Unidad. Números reales
Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica: a a a) a a b) / a a) / a a 7/ a a / a 7 b) ( ) / ( ) / ( ) / / / 0 Justifica las igualdades que son verdaderas. Escribe el resultado correcto en las falsas: a b a b 7 a) b) ( ) ( ) 8 c) d) ( ) ( ) 80 9 a a) Falsa. b a b a b 7 b) Verdadera. ( ) ( ) ( ) c) Verdadera. (/ /) (/ + /) (/ ) (/ ) / / (/ /) + 8 ( ) 8 9 d) Verdadera. ( ) ( ) 9 9 80 9 Demuestra, utilizando potencias, que: a) (0,) / b) (0,) / 000 a) (0,) / ( ) / ( ) / ( ) / 00 b) (0,) / ( ) / ( ) / ( ) / ( ) / 8 Unidad. Números reales
UNIDAD Página Radicales Introduce los factores dentro de cada raíz: a) b) c) d) e) 9 f) a) b) c) d) x x x e) f ) 8 7 Saca de la raíz el factor que puedas: a) b) 8 c) 000 a d) 8a e) f) + b 9 a a g) h) a + i) + a 9 a) b) 8 c) 0 0 a d) a e) f ) a a a b b a g) h) (a a i) + ) + a a a 9 8 Simplifica: 8 9 a) 0,07 b) 0,00 c) + a) ( / / ) ( 7 ( ) ) 000 0 0 0 0 b) 8 8 8 /8 / ( ) ( ( ) ) 0 000 0 0 c) ( / / ) ( ) x 0 x 8 Unidad. Números reales 7
9 Simplifica los siguientes radicales: a) b) 7 c) 08 8 8 d) y e) f) : a) b) / / c) d) y y y y e) f ) 8 : : 0 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor: a),, b), c), 0 d) 7, 9, 00 a), 8, ; < b), ; < 0 c) 7 77, 0 000; < d) 7 8,, 0 000 ; 9 < 00 < Realiza la operación y simplifica, si es posible: 7 a) 7 b) c) 8 8 0 0 7 d) ( ) e) ( ) f) : a) 0 7 0 0 80 7 b) 9 8 c) 8 d) ( ) e) ( ) f ) : : 8 8 Unidad. Números reales
UNIDAD Efectúa y simplifica, si es posible: a) b) a a a c) ( ) d) : 8 En b) y c) puedes expresar los radicales como potencias de bases a y, respectivamente. a) 08 b) a a a a c) ( ) ( ) 9 d) : : Expresa con una única raíz: 8 a) b) 7 8 c) 0 a a 0 0 a a a a 0 a) b) c) ( ) : a a a Racionaliza los denominadores y simplifica: a) b) c) 8 7 + 8 d) e) + 8 a) b) ( ) c) ( ) 9 ( ) d) 9 + 8 + 8 8 8 8 e) 8 8 8 Unidad. Números reales 9
Calcula y simplifica: a) + 7 0 + b) + c) + d) ( + )( ) a) + 8 + b) + 0 0 80 c) + + d) + 8 + + Simplifica al máximo las siguientes expresiones: a) 0 + 8 b) + 8 a c) 7 8a a + a) + 0 + 7 b) + + 9 c) 7 + a + a ( 0 a a a a a a ) a 7 Efectúa y simplifica: a) ( + ) ( ) b) ( + ) c) ( )( + ) d) ( ) e) ( ) ( + ) a) ( + + ) ( + + ) b) + 0 + 0 c) d) 0 + 8 0 8 0 e) ( ) 0 Unidad. Números reales
UNIDAD 8 Racionaliza y simplifica: + a) b) c) 8 ( ) + d) e) f) + + a) ( ) ( ) + + ( + ) + b) + ( + ) + + c) ( ) ( + )( + ) ( + ) d) ( + ) + ( )( + ) ( ) ( ) ( ) e) 0 9 ( + )( ) ( + )( ) ( + ) ( ) ( + ) + f ) 9 8 + 9 7 7 9 Efectúa y simplifica: 7 7 + a) b) + 7 + 7 ( + ) ( ) ( )( + ) + + a) + ( 7 ) ( 7 + ) ( 7 + 7 )( 7 7 ) b) 7 ( 7 + )( 7 ) 7 ( ) Unidad. Números reales
Página 7 Notación científica y errores 0 Efectúa y da el resultado en notación científica con tres cifras significativas. Determina también, en cada caso, una cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos. a) b) c) (, 0 + 7,0 0 ) 8, 0 8, 0 (, 0 7 8 0 9 )(, 0 + 8) 9, 0, 0, 0 + 8 0 8, 0 0 a), 0 Error absoluto < 0,00 0 0, 0, Error relativo < < 0,00 b),8 0 Error absoluto < 0,00 0 0 0 Error relativo < <, 0,8 0 c), 0 Error absoluto < 0,00 0 0 0 Error relativo < <,89 0, 0 Ordena de mayor a menor los números de cada apartado. Para ello, pasa a notación científica los que no lo estén: a),7 0 ; 8,7 0 ; 0 b),9 0 9 ; 0,0 0 7 ; 000 0 a) 8,7 0 >, 0 >,7 0 b) 0 9 > 0 9 >,9 0 9 Efectúa: 0 7 0 0 + 0 7,8 0 Expresa en notación científica y calcula: 0 000 0,0000 00 7 000 000 0,000 ( 0 ) ( 0 ) 0 7, 0 7 ( 0 ) 0 Unidad. Números reales
UNIDAD Considera los números: A, 0 7 ; B,8 0 y C,0 0 Calcula B + C. Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una A cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos. B + C A 7,9 0 E.A. < 0,00 0 0 E.R. <, 0 Si A, 0 ; B, 0 ; C,8 0 y D, 0, calcula A ( + C B ) D. Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos. A ( + C B ) D,7 0 E.A. 0,00 0 0 E.R. <,8 0 Intervalos y valor absoluto Expresa como desigualdad y como intervalo, y represéntalos: a) x es menor que. b) es menor o igual que x. c) x está comprendido entre y. d) x está entre y 0, ambos incluidos. a) x < ; ( @, ) b) Ì x; [, +@) c) < x < ; (, ) d) Ì x Ì 0; [, 0] 0 0 0 0 Unidad. Números reales
7 Representa gráficamente y expresa como intervalos estas desigualdades: a) Ì x Ì b) < x c) x Ó d) Ì x < / e) < x <, f) Ì x a) [, ] b) (, +@) 0 c) [, +@) d) [, 0 ) e) (;,) f ) [, +@), 0 0 / 8 Escribe la desigualdad que verifica todo número x que pertenece a estos intervalos: a) [, 7] b) [, +@) c) ( @, 0) d) (, 0] e) [/, ) f) (0, +@) a) Ì x Ì 7 b) x Ó c) x < 0 d) < x Ì 0 e) Ì x < f ) 0 < x < +@ 9 Expresa como intervalo la parte común de cada pareja de intervalos (A B) e (I J): a) A [, ] B [0, ] b) I [, +@) J (0, 0) a) [0, ] b) [, 0) 0 Escribe en forma de intervalos los números que verifican estas desigualdades: a) x < o x Ó b) x > 0 y x < c) x Ì o x > d) x < y x Ó Represéntalos gráficamente, y si son dos intervalos separados, como en a), escribe: ( @, ) [, +@) a) ( @, ) «[, +@) b) (0, ) c) ( @, ] «(, +@) d) [, ) Expresa, en forma de intervalo, los números que cumplen cada una de estas expresiones: a) x < 7 b) x Ó c) x < 8 d) x Ì e) x + > 9 f ) x Ó a) ( 7, 7) b) [ @, ] «[, +@] c) (, ) d) [, 7] e) (, 7) f) ( @, ] «[, +@) Unidad. Números reales
UNIDAD Averigua qué valores de x cumplen: a) x b) x Ì 7 c) x + Ó a) 7 y b) Ì x Ì ; [, ] c) x Ì 9 y x Ó ; ( @, 9] «[, +@) Escribe, mediante intervalos, los valores que puede tener x para que se pueda calcular la raíz en cada caso: a) x b) x + c) x d) x e) x x f) + a) x Ó 0 ò x Ó ; [, +@) b) x + Ó 0 ò x Ó ò x Ó ; [, +@ ) c) x Ó 0 ò x Ì 0; ( @, 0] d) x Ó 0 ò Ó x ò x Ì ; ( @, ] e) x Ó 0 ò Ó x; ( @, ] f ) + x Ó 0 ò + x Ó 0 ò x Ó ; [, +@) Halla la distancia entre los siguientes pares de números: a) 7 y b) y c) y 9 d) y a) 7 b) c) 9 ( ) 9 + d) ( ) 7 Expresa como un único intervalo: a) (, ] [, ) b) [, ) (0, ] c) (, ] [, 7) d) [, ) (0, ) a) (, ] «[, ) (, ] b) [, ) «(0, ] [, ] c) (, ]» [, 7) [, ] d) [, )» (0, ) (0, ) Unidad. Números reales
Página 8 Escribe en forma de intervalo los siguientes entornos: a) Centro y radio b) Centro, y radio,0 c) Centro y radio / a) (, + ) (, ) b) (,,0;, +,0) (0,9;,) c) ( ) (, + 7, ) 7 Describe como entornos los siguientes intervalos: a) (, ) b) (,;,9) c) (,; 0,) d) ( ;,8) + a) C ; R Entorno de centro y radio., +,9 b) C, ; R,9, 0,8 Entorno de centro, y radio 0,8, + 0, c) C ; R 0, ( ), Entorno de centro y radio,. + (,8) d) C, ; R,8 (,) 0, Entorno de centro, y radio 0,. 8 Comprueba si es verdadera o falsa cada una de las siguientes expresiones: a) a < b equivale a b < a < b b) a a c) a + b a + b d) a b a b a) Verdadera (siempre que b > 0). b) Falsa; pues a Ó 0 y a Ì 0. (Solo sería cierta para a 0). c) Falsa. Solo es cierta cuando a y b tienen el mismo signo. En general, a + b Ì a + b. d) Verdadera. Unidad. Números reales
UNIDAD Logaritmos 9 Calcula: a) log 0 b) log 0,00 c) log d) log e) log f) log 8 g) log / h) log π a) log 0 0 b) log 0 c) log d) log ( ) e) log / f) log / g) log / ( ) / h) 0 0 Calcula, utilizando la definición de logaritmo: a) log + log log 9 log b) log + log log 7 a) b) 0 8 Calcula la base de estos logaritmos: a) log x b) log x 9 a) x ; x b) x ; x 9 Calcula el valor de x en estas igualdades: a) log x b) log x c) 7 x d) x a) x,9 b) log x ; x log 0 log log c) x,8 d) x 0,8 log 7 log Unidad. Números reales 7
Halla con la calculadora y comprueba el resultado con la potenciación. a) log 8 b) ln (, 0 ) c) ln (7, 0 ) d) log,9 e) log,9 f ) log 0,0 a),08 b) ln (, 0 ), 8 e,, 0 c) ln (7, 0 ) 9, 8 e 9, 7, 0 d), 8,,9 e) 0, 8 0,,9 f),88 8,88 0,0 Calcula la base de cada caso: a) log x / b) log x / c) log x 0,0 d) log x / Aplica la definición de logaritmo y las propiedades de las potencias para despejar x. En c), x 0,0 ï. x 00 a) x 8 x b) x / 8 x c) x 0,0 8 x d) x / 8 x Halla el valor de x en estas expresiones aplicando las propiedades de los logaritmos: a) ln x ln 7 + ln b) log x log log 9 c) ln x ln d) log x log + log log e) ln x ln ln a) Por logaritmo de un producto: ln x ln (7 ) a) ln x ln (7 ) ò x 7 b) log x log ò x 9 9 c) ln x ln ò x d) log x log ò x e) ln x ln ln ln x ln ln ln x ln ò x 8 Unidad. Números reales
UNIDAD Sabiendo que log 0,77, calcula el logaritmo decimal de 0; 00; 000; 0,; 0,0; 0,00. log 0 log ( 0) log + log 0 0,77 +,77 log 00 log ( 0 ) log + log 0,77 log 000 0,77 +,77 log 0, log ( 0 ) 0,77 0, log 0,0 log ( 0 ) 0,77, log 0,00 0,77, 7 Sabiendo que log k,, calcula el valor de las siguientes expresiones: a) log b) log 0, k k c) log d) (log k) / 00 k a) log k log 00,, b) log 0, + log k +, 7,8 c) (log log k),,8 d) (,) /,,79 8 Sabiendo que ln k 0,, calcula el valor de: k a) ln b) ln k c) ln e e k k a) ln ln k ln e 0, 0, e b) ln k ln k 0, 0, e c) ln ln e ln k 0,, k 9 Calcula x para que se cumpla: a) x,7 9 b) log 7 x 0, c) +x 7 a) log x,7 log 9 ò,7 log x log 9 ò log x log 9,7 0,7 x 0 0,7,98 7 0, b) 7 0, x ò x 0,88 c) log + x log 7 ò ( + x) log log 7 ò + x log 7 x,8 log log 7 log Unidad. Números reales 9
0 Si log k x, escribe en función de x: a) log k k b) log c) log 0k 00 a) log k x b) log k log 00 x c) log 0k ( + x) log + log a a Comprueba que (siendo a? ). log a log a + / log a log a / log a log a Ha de ser a? para que log a? 0 y podamos simplificar. Página 9 CUESTIONES TEÓRICAS Explica si estas frases son verdaderas o falsas: a) Todo número entero es racional. b) Hay números irracionales que son enteros. c) Todo número irracional es real. d) Todos los números decimales son racionales. e) Entre dos números racionales hay infinitos números irracionales. f) Los números racionales llenan la recta. a) V b) F c) V d) F e) V f ) F Qué relación existe entre a y b en los siguientes casos?: a) log a + log b b) log a + log 0 b a a a) log a log b 8 log 8 0 8 a 0b b b ( ) a b) log a 0 8 0 0 a 8 8 a b b b b 0 Unidad. Números reales
UNIDAD Cuáles de estas igualdades son verdaderas? Explica por qué: a) log m + log n log (m + n) log m b) log m log n log n m c) log m log n log n d) log x log x + log x e) log (a b ) log (a + b) + log (a b) a) Falso. log m + log n log (m n) log (m + n) m b) Falso. log m log n log ( )? log m n log n c) Verdadero. Por una propiedad de los logaritmos. d) Verdadero. log x log (x x) log x + log x e) Verdadero. log (a b ) log [(a + b) (a b)] log (a + b) + log (a b) PARA PROFUNDIZAR Si n 0 es natural, determina para qué valores de n estos números pertenecen a Z: n a) b) c) n d) n + e) n n a) n par. b) n o n. c) n cualquier natural. d) Ninguno. e) n cuadrado perfecto. Di cuál es la parte entera de los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora: a) log 8 b) log 8 c) log 0,0 a) 00 < 8 < 000 8 < log 8 < 8 log 8, b) < 8 < 8 < log 8 < 8 log 8, c) 0,0 < 0,0 < 0, 8 < log 0,0 < 8 log 0,0, Unidad. Números reales
7 Sean m y n dos números racionales. Qué puedes decir del signo de m y n en cada uno de estos casos? a) m n > 0 y m + n < 0 b) m n < 0 y m n > 0 c) m n < 0 y m n < 0 a) m < 0, n < 0 b) m > 0, n < 0 c) m < 0, n > 0 8 Si x é N y x >, ordena estos números: ; x ; ; ; x + x x x < < < < x x x + x + x 9 Ordena de menor a mayor los números a, a,, a, si a > y si 0 < a <. a Si a > 8 < a < a < a a Si 0 < a < 8 a < a < a < a AUTOEVALUACIÓN. Dados los números: 8 π ; ; ; ; ; ;,07 ) 8 7 a) Clasifícalos indicando a cuáles de los conjuntos N, Z, Q o Á, pertenecen. b) Ordena de menor a mayor los reales. c) Cuáles de ellos pertenecen al intervalo (, /9]? a) N: Z: ; 8 7 7 8 Q: ; ; ;,07 ) 8 Á: ; ; ;,07; ) π 8 8 ; 7 7 b) < < <,07< ) 8 π 8 < 8 π c) ; ;,07 ) 7 Unidad. Números reales
UNIDAD. Representa los siguientes conjuntos: a) {x / Ì x < } b) [, +@) c) [, ) (, 0] d) ( @, ) (, +@) a) b) c) d) 0 0 0 0 0. Expresa en forma de intervalo en cada caso: a) x Ó 8 b) x < a) ( @, 8] «[8, + @) b) (, 9) 9. Multiplica y simplifica: 9a b 8a b Reducimos a índice común: (9a b) 8a b a 7 b a ab. Reduce: 0 + 0 ; ; 0 + +. Escribe como potencia y simplifica. ( ) : (a a ) a a a a a ; a ; a a a a /a a a a (a a ) : a a a 0 Unidad. Números reales
7. Efectúa, racionalizando previamente. + + ( + ) + 8 ( + ) + ( ) + + + + 8. Aplica la definición de logaritmo y obtén x: x a) log x b) ln c) log x a) x 8 x 0,7 x b) e 8 x e,0 c) x 8 x 9. Aplica las propiedades de los logaritmos y halla A. log A log + 0, log log 0, 9 log A log 8 A 8 0. Calcula x en cada caso. a), x 0,0087 b) e x log 0,0087 a) x log, log 0,0087 8 x,8 log, 9 b) x ln e ln 8 x ln,0 Unidad. Números reales