Teoría elemental de números

Teoría elemental de números Matemática discreta 1

Resultados previos Axioma: todo subconjunto no vacío de N tiene mínimo, con el orden usual en N. Toda sucesión decreciente en N converge. 2

Divisibilidad Divisibilidad Si a,b Z, a divide a b, a b, si c Z tal que b=a c. Se dice también que b es múltiplo de a o que a es divisor de b. En caso contrario, a b, a no divide a b. 3

Divisibilidad Propiedades de divisibilidad a, b, c Z 1 a a a a 0 Si a b y b a, entonces a=± b a b, entonces a b c a b y a c, entonces a bx+cy x,y Z Si x=y+z, a x, a y, entonces a z x,y,z Z 4

Divisibilidad División euclídea Dados a,b Z siendo b 0, existen únicos q,r Z tales que a=b q+r, con 0 r< b. a: dividendo b: divisor q: cociente r: resto 5

Números primos Números primos Dado p N, p>1, p es primo si n N n p n=p ó n=1 Todo natural mayor que 1 es divisible por, al menos, un número primo. 6

Números primos Teorema fundamental de la aritmética n N, n>1, existen únicos p 1,.., p r Ny existen únicos α 1,.., α r N* tales que n= p 1 α 1...pr α r Todo natural se descompone de manera única como producto de potencias de números primos. 7

Números primos Máximo común divisor Dados a,b Z no simultáneamente nulos. d es divisor común de a y b si d ay d b. El máximo común divisor de a y b, mcd(a,b), es el mayor de los divisores comunes de a y b. a y b son primos relativos si mcd(a,b)=1. Si b 0 y r es el resto de la división euclídea entre a y b, entonces: Los divisores comunes de a y b son divisores de r. Los divisores comunes de b y r son divisores de a. 8

Números primos Algoritmo de Euclides Dados a,b Z* y r el resto de la división euclídea entre a y b, entonces mcd(a,b) = mcd(b,r) Nos proporciona un algoritmo para calcular el mcd utilizando la división euclídea. mcd(a,b) = mcd( a, b ) 9

Números primos Algoritmo de Euclides 2 Sean a,b Z + con a b>0, llamamos r 0 =a y r 1 =b. Aplicamos sucesivas veces la división euclídea: r 0 =q 1 r 1 + r 2. 0< r 2 < r 1 r 1 =q 2 r 2 + r 3. 0< r 3 < r 2... r n-2 =q n-1 r n-1 + r n 0< r n < r n-1 r n-1 =q n r n + r n+1 r n+1 =0 Entonces, el mcd(a,b)=r n 10

Números primos ejemplo mcd(6,9)=3 9=6 1+3 6=3 2+0 El último resto distinto de 0 es 3, el mcd. mcd(24,62)=2 62=24 2+14 24=14 1+10 14=10 1+4 10=4 2+2 4=2 2+0 El último resto distinto de 0 es 2, el mcd. 11

Números primos Teorema de Bezout Dados a,b N* y mcd(a,b)=d, entonces x,y Z tales que d=ax+by Identidad de Bezout mcd(a,b)=1 x,y Z tales que 1=ax+by Dados a,b Z se verifica Si p a b y p es primo, entonces p aóp b. Si p a b y mcd(a,p)=1, entonces p b. 12

Ecuaciones diofánticas Ecuaciones diofánticas Buscamos soluciones enteras de una ecuación. Ecuación diofántica lineal en dos variables ax+by=c Diofanto, s. III a.c. a, b, c Z 13

Ecuaciones diofánticas Ecuaciones diofánticas 2 Dados a,b,c Z, mcd(a,b)=d, y dada la ecuación ax+by=c Si d c la ecuación no tiene soluciones enteras. Si d c la ecuación tiene infinitas soluciones enteras. A partir de una solución particular (x 0,y 0 ) calculamos el resto de las soluciones x= x 0 +(b/d) n y=y 0 -(a/d) n n Z 14

Ecuaciones diofánticas Ecuaciones diofánticas 3 Para calcular una solución particular: dividimos ax+by=c por mcd(a,b)=d y obtenemos a x+b y=c como mcd(a,b )=1, por la identidad de Bezout a x+b y=1 tiene solución. Encontramos la solución (x 1,y 1 ) de a x+b y=1 por el algoritmos de Euclides. Una solución particular es (c x 1,cý 1 ). 15

Ecuaciones diofánticas ejemplo (1) 6x+4y=10. Como mcd(6,4)=2 10, dividimos la ecuación por 2 (2) 3x+2y=5. Como mcd(3,2)=1, la ecuación (3) 3x+2y=1 tiene solución (identidad de Bezout). 3=2 1+1, luego (1,-1) es solución de (3) y (5,-5) es solución particular de (2) x= 5+(4/2) n=5+2 n y=-5-(6/2) n=-5-3n n Z 16

Aritmética modular Dado m N Aritmética modular a es congruente con b módulo m, a b (mod m), si m b-a, es decir, q Z tal que b=a+qm. a b (mod m) q a,q b Z y r Z que verifican a= q a m+r b= q b m+r z Z, z es congruente módulo m forzosamente con un elemento del conjunto {0, 1,..., m-1}. 17

Aritmética modular Clases de equivalencia La relación (mod m) es de equivalencia. Reflexiva a a (mod m) Simétrica a b (mod m) b a (mod m) Transitiva a b (mod m) y b c (mod m) a c (mod m) Dado k Z, se define la clase de equivalencia de k como [k]= k={x Z / x k (mod m) }. ejemplo: (mod 3) [0]= 0={0,3,6,9,12,...,-3,-6,-9,-12,...}. [1]= 1={1,4,7,10,...,-2,-5,-8,-11...}. [2]= 2={2,5,8,11,...,-1,-4,-7,-10,...}. 18

Aritmética modular Conjunto cociente Z/ (mod m)={ k/ k Z}. (mod m) define en Z una partición llamada Z m que está formada por m clases de equivalencia Z m ={ 0, 1,..., m-1}. ejemplo: En Z, (mod 3) induce la partición Z 3 ={ 0, 1, 2} 19

Aritmética modular a,b,c,d Z, m N* Propiedades Si en Z m [a]=[b] y [c]=[d], entonces la clase de la suma y el producto es independiente del representante que elijamos de cada clase. [a+c]=[b+d] [a c]=[b d] Propiedad cancelativa: si en Z m [a c]=[b c] y mcd(m,c)=1, entonces [a]=[b] 20

Aritmética modular Aritmética en Z n Suma de clases : Z n xz n Z n :[a] [b]=[a+b] Cumple las propiedades: Asociativa: [a] ([b] [c]) = ([a] [b]) [c] Conmutativa: [a] [b] = [b] [a] Elemento neutro: [0] [a]=[a] [0]=[a] Elemento opuesto: -[a] [a]=[a] (-[a])=[0] 21

Aritmética modular ejemplo 1 Tabla de la suma de clases en Z 4 [0] [1] [2] [3] [0] [0] [1] [2] [3] [1] [1] [2] [3] [0] [2] [2] [3] [0] [1] [3] [3] [0] [1] [2] 22

Aritmética modular ejemplo 2 En Z 7 -[2]=[-2]=[5] -2-5=-7 [5] (-[10])=[5] [-10]=[5] [4]=[9]=[2] -10= -2 7+4,-10-4 7 [5] (-[10])=[5-10]=[-5]=[2] -5= -1 7+2, -5-2 7 3 [5]=[5] [5] [5]=[3 5]=[15]=[1] -3 [5]=-[5] (-[5]) (-[5])=[-3 5]=[-15]=[6] 23

Aritmética modular Aritmética en Z n Producto de clases +: Z n xz n Z n :[a] + [b]=[a b] Cumple las propiedades: Asociativa: [a] + ([b]+[c]) = ([a]+[b]) + [c] Conmutativa: [a]+[b] = [b]+[a] Elemento neutro: [1]+[a]=[a]+[1]=[a] Elemento inverso: si mcd(a,n)=1 [a] -1 +[a]=[a]+[a] -1 =[1] (si n es primo, existe el inverso [a] Z n ) 24

Aritmética modular ejemplo 1 Tabla del producto de clases en Z 4 + [0] [1] [2] [3] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [2] [0] [2] [0] [2] [3] [0] [3] [2] [1] 25

Aritmética modular ejemplo 2 En Z 7 como mcd(7,2)=1, por la identidad de Bezout α,β Z / α 2+β 7=1, por tanto [α 2+β 7]=[1] [α 2] [β 7]=[1] [α 2] [0]=[1] [α] + [2] =[1] [2] -1 =[α] Para que se cumpla α 2+β 7=1 basta tomar α=4 y β=-1, luego [2] -1 =[4]. Efectivamente, [2]+[4]=[8]=[1] 26

Aritmética modular ejemplo 3 En Z 6. Como mcd(6,2) 1, [2] -1, es decir, α tal que [2]+[α]=[1]. Efectivamente, basta observar la tabla del producto de clases en Z 6 + [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [2] [2] [4] [0] [2] [4] [3] [3] [0] [3] [0] [3] [4] [4] [2] [0] [4] [2] [5] [5] [4] [3] [2] [1] 27

Aritmética modular Propiedad distributiva del producto respecto de la suma de clases n N* y [a],[b],[c] Z n [a] + ([b] [c]) = ([a] + [b]) ([a] + [c]) 28

Aritmética modular Ecuaciones modulares Dados a,b Z, en Z n si mcd(a,n)=d la ecuación [a] [x]=[b] no tiene solución si d b tiene d soluciones en Z n si d b [a] [x]=[a x]=[b] existe a x-b es múltiplo de n, es decir, si k Z / ax-b=kn. La ecuación ax+kn=b tiene solución mcd(a,n) b. Entonces, si x 0 es solución particular de ax+kn=b, las soluciones en Z n vienen dadas por [x 0 ], [x 0 +n/d], [x 0 +2 n/d],..., [x 0 +(d-1) n/d]. 29

Aritmética modular ejemplo Las soluciones de [5] [x]=[6] son: En Z 4 : como [5]=[1] y [6]=[2] tenemos [1] [x]=[2] como mcd(1,4)=1 y 1 2, hay una única solución. Consideramos la ecuación 1 x+4 k=1 que tiene solución particular x=5 y k=-1, por tanto una solución particular de 1 x +4 k=2 es x=10. Como [10]=[2], la única solución es [2]. En Z 10 : como mcd(5,10)=5 y 5 6, no hay solución. 30

Aritmética modular ejemplo Las soluciones de [5] [x]=[6] son: En Z 4 : como [5]=[1] y [6]=[2] tenemos [1] [x]=[2] como mcd(1,4)=1 y 1 2, hay una única solución. Consideramos la ecuación 1 x+4 k=1 que tiene solución particular x=5 y k=-1, por tanto una solución particular de 1 x +4 k=2 es x=10. Como [10]=[2], la única solución es [2]. En Z 10 : como mcd(5,10)=5 y 5 6, no hay solución. 31

Diofanto de Alejandría Dios le concedió el ser un muchacho durante una sexta parte de su vida, y añadiendo a esto una doceava parte, El pobló de vello sus mejillas; Le iluminó con la luz del matrimonio después de una séptima parte, y cinco años después de su matrimonio Le concedió un hijo. Pero ay! Infeliz niño nacido tarde; después de alcanzar la mitad de la medida de la vida de su padre, el frío destino se lo llevó. Después de consolar sus penas con la ciencia de los números durante cuatro años más, finalizó su vida. 32