SINTESIS Alumno: César Pérez Acosta Matrícula: 0121-1200-1300 Carrera: Contaduría Materia: Matemáticas Financieras 1307 Fecha de presentación de trabajo: 25 de Noviembre de 2011 Bibliografía: Matemáticas Financieras por Hugo M. Zendejas Núñez Ed. Trillas 1
INDICE Capítulo Uno Razones y proporciones Pág. 3 Capítulo Dos Interés simple Pág. 4 Capítulo Tres Exponenciación y radicalización Pág. 4 Capítulo Cuatro Logaritmos Pág. 5 Capítulo Cinco Progresiones Pág. 5 Capítulo Seis Interés compuesto Pág. 6 Capítulo Siete Descuento Pág. 6 Capítulo Ocho Capitales equivalentes Pág. 6 Capítulo Nueve Anualidades Pág. 7 Capítulo Diez Anualidades ordinarias o vencidas (cuando se conoce el monto) Pág. 7 Capítulo Once Anualidades ordinarias o vencidas (cuando se conoce el valor actual) Pág. 7 Capítulo Doce Anualidades anticipadas (cuando se conoce el monto) Pág. 8 Capítulo Trece Anualidades anticipadas (cuando se conoce el valor actual) Pág. 8 Capítulo Catorce Anualidades vencidas diferidas Pág. 8 Capítulo Quince Anualidades anticipadas diferidas Pág. 8 Capítulo Diez y Seis Rentas perpetuas Pág. 9 Capítulo Diez y Siete Mercado de dinero Pág. 9-10 Conclusión Pág. 11 Autoevaluación Pág. 12-15 2
Capítulo Uno Razones y Proporciones Para comenzar es importante la explicación teórica de los dos términos los cuales son: Proporción: es la igualdad de dos razones Razón geométrica: es el cociente de una división Al efectuar una división intervienen cuatro elementos los cuales son dividendo, divisor, cociente y residuo y en una razón geométrica interviene igual números de elementos, pero éstos se denominan antecedente, consecuente, razón y residuo. Reparto proporcional Este es la operación que tiene por objeto repartir una cantidad determinada en partes proporcionales a ciertos factores o números dados llamados de reparto, y los elementos que se ocupan para el reparto proporcional son: Cocientes de reparto: cantidad que corresponde a cada uno de los beneficiarios Índice de reparto: factores que determinan el reparto asignado a cada uno de los beneficiarios Cantidad por repartir: importe sujeto a la distribución entre los beneficiarios La clasificación del reparto proporcional es la siguiente: a) Directo simple: es la repartición en la que interviene un solo factor b) Directo compuesto: Intervienen dos o más factores al igual que el anterior c) Inverso simple: Interviene un solo factor a mayor número del índice de reparto d) Inverso compuesto: Participan dos o más factores cuanto mayor es el índice de reparto, menor es la cantidad que le corresponde e) Mixto: Intervienen uno o más factores directamente proporcionales, y otro u otros inversamente proporcionales Métodos de aplicación Para resolver un problema de reparto proporcional se pueden utilizar tres métodos: por reducción a la unidad, por proporciones y por partes alícuotas Reducción de unidad 3
Consiste en determinar cuánto de la cantidad por repartir le corresponde a cada unidad de los índices de reparto; se obtiene mediante la división de la cantidad por repartir entre la suma de los índices de reparto Reparto proporcional mixto Este consiste en ser aquel en el que intervienen uno o más factores directos o uno más factores inversos, el definitivo se obtiene al multiplicar los factores directos por el inverso de los otros, y el producto así obtenido es el índice de reparto Capítulo Dos Interés simple A continuación señalaremos algunas definiciones más comunes a) Interés: cantidad que se paga por el uso de dinero ajeno b) Capital: cierta cantidad de dinero que permite ganar más en prestamos c) Tasa: también llamada tipo de interés o tanto por ciento d) Tiempo: número de periodos que dura impuesto el capital, es decir la duración de un préstamo e) Tanto por uno: rendimiento que produce una unidad de moneda f) Monto: suma de capital más los intereses ganados g) Interés simple: Importe que se cobra al final de cada periodo señalado y que es constante, porque la deuda o capital siempre es el mismo A continuación presentamos varias fórmulas para obtener la incógnita de algunos datos necesarios Para obtener el capital: c = i/tn Para obtener la tasa: t = i/cn Para obtener el tiempo: n = i/ct Divisor fijo El procedimiento por el cual se obtiene el interés por medio de un divisor fijo, toma como base la forma de interés simple que trabaja la tasa en años y el tiempo en días Capítulo Tres Exponenciación y Radicalización Este es un capitulo introductorio para iniciar lo correspondiente al interés compuesto, ya que como veremos más adelante en el interés compuesto, el número de periodos aparece como exponente y en consecuencia es necesario 4
conocer las leyes que rigen la exponenciación y su operación inversa, la radicalización Leyes Básicas de los Exponentes 1. Para determinar el producto de dos potencias que tienen una misma base se suman los exponentes y se conserva la misma base 2. El producto de dos factores elevados a una misma potencia es igual al producto del primer factor elevado a esa potencia por el producto del segundo factor elevado a la misma potencia 3. Al elevar un factor a una potencia y este producto a otra potencia, el resultado es el factor elevado al producto de las potencias 4. Toda fracción común elevada a una potencia es igual al numerador elevado a la potencia indicada, sobre el denominador elevado a la misma potencia Capítulo Cuatro Logaritmos Se llama logaritmo de un número al exponente que indica la potencia a la que hay que elevar un número llamado base, para obtener el número deseado. Cualquier número diferente de 0 o de 1 positivo puede ser base de un sistema de logaritmos; Sin embargo únicamente se utilizan, como base de un sistema de logaritmos dos números: El número e y el número 10 El número e es la base del sistema de logaritmos naturales o hiperbólicos llamados también neperianos, en honor de su creador el matemático escoces Juan Neper, el número e es un número inconmensurable (no se determina su valor) e= 2.718281828 El número 10 es la base del sistema de logaritmos decimales, llamados también vulgares, comunes o logaritmos de Briggs, en honor de su creador el matemático ingles llamado Henry Briggs Capítulo Cinco Progresiones Por progresión podemos entender una serie no interrumpida, y si se habla en términos matemáticos cabe definirla como una serie de números no interrumpida cuya ley de formación está perfectamente definida 5
Las progresiones cuyos términos se integran por diferencia se llaman progresiones aritméticas, y las que se integran por cociente reciben el nombre de progresiones geométricas. Progresiones Aritméticas Para poder integrar una progresión aritmética es necesario que exista un primer término y la razón o diferencia de cada uno de los siguientes términos, y un número definido de términos. Capítulo Seis Interés Compuesto Definición En el interés compuesto, el capital inicial se va adicionando de los intereses ganados al final de cada periodo, para producir juntos nuevos intereses en el periodo siguiente Capitalización Continua Si los intereses se capitalizan anualmente, el capital recibirá una adición cada año. Si se capitalizan semestralmente habrá dos aumentos por concepto de intereses al año. Si la capitalización es trimestral recibirá cada tres meses un incremento, es decir cuatro veces al año, si es mensual cada mes, y consecuentemente el monto será mayor conforme se capitalicen en periodos más cortos. Capítulo Siete Descuento El descuento es la disminución que se hace a una cantidad por pagarse antes de su vencimiento, es decir, por el pago anticipado de un valor que vence al futuro Descuento a Interés Simple Existen dos procedimientos para calcular el descuento a interés simple: descuento comercial o exterior y descuento interior o racional Descuento comercial o exterior El descuento exterior consiste en determinar el interés entre el vencimiento de la deuda y la fecha del descuento a cierta tasa, tomando como base el valor nominal Capítulo ocho Capitales Equivalentes Se dice que dos capitales a vencimiento futuro son equivalentes cuando sus valores actuales son iguales, calculados a una misma tasa Vencimiento único 6
Consiste en sustituir dos o más pagos definidos por uno solo, si se conoce el importe que como un pago único se quiere hacer, como se aprecia en un problema de tiempo. Plazo Medio Estos problemas consisten en encontrar una fecha en la cual se tendrá que pagar una cantidad igual a la suma de los documentos con vencimiento futuro, que se quiera pagar en un mismo acto. Capítulo Nueve Anualidades Desde un punto de vista financiero, se denomina anualidad a una serie de cantidades que vencen progresivamente a intervalos iguales, ya sean importes que se tengan que invertir, o pagos que se tengan que efectuar. Clasificación de las anualidades Existen dos principales grupos de anualidades: 1. Ciertas. Las cuales son aquellas cuya anualidad se estipula en términos precisos 2. Eventuales. Se dan cuando el principio de la realización de la anualidad depende de un acontecimiento fortuito. Las anualidades eventuales se diferencian de las ciertas de rentas perpetuas en que mientras aquéllas tienen una duración imprevista, éstas son bien conocidas, ya que son perpetuas. Capítulo Diez Anualidades ordinarias o vencidas Para resolver el tipo de problemas que tienen que ver con este tipo de anualidades se pueden ocupar cualquiera de los dos siguientes procedimientos: 1. Aproximaciones sucesivas. Consiste en ir dando valores a t en el segundo miembro, hasta que el resultado del primer miembro sea igual al del segundo miembro 2. Interpolación. Consiste en encontrar el valor del primer miembro, comparando con los dos más próximos Capítulo Once Anualidades ordinarias o vencidas Ahora se hará referencia al valor actual; aquel cuya época de valuación coincide con la iniciación de la serie de las anualidades. Y estas se pueden presentar en las diferentes situaciones: 7
a. El descuento de una serie de pagos, cada uno de ellos con vencimientos escalonados, periódicos y a la misma tasa b. La determinación de un valor actual que, invertido a una tasa de interés fijo, permita recibir una serie de anualidades determinadas c. La amortización de una cantidad prestada que se liquidará mediante pagos fijos e iguales Vale la pena mencionar dos fórmulas muy útiles para los cálculos las cuales son: Formula especial que consiste en utilizar cuando el tiempo es superior a 50 periodos, cuando el tiempo es menor, el margen de error no es aceptable Formula de Baily toma como base el desarrollo del binomio (1+t) n, y se debe al actuario inglés Francis Baily Capítulo Doce Anualidades Anticipadas (cuando se conoce el monto) En estas solamente veremos aquellos problemas en los que la inversión, una cantidad determinada que hemos llamado anualidad, se hace al principio de cada periodo Capítulo Trece Anualidades Anticipadas (cuando se conoce el valor actual) Estas anualidades permiten resolver problemas como los siguientes: Pagar un préstamo mediante un pago de anualidades anticipadas Conocer el valor actual de una serie de anualidades Calcular el valor actual de un pago de arrendamiento que debería pagarse en anualidades por anticipado Capítulo Catorce Anualidades Vencidas Diferidas El valor actual de anualidades ordinarias se encuentra en el punto O y el valor actual en anualidades ordinarias o vencidas diferidas se encuentra en el punto D Capítulo Quince Anualidades Anticipadas Diferidas Hemos dicho que estas anualidades son aquellas en las que la percepción se difiere, pero una vez que se ha iniciado el tiempo de percepción, la anualidad se recibe al principio de cada periodo 8
Capítulo Diez y Seis Rentas Perpetuas Al iniciar el estudio de las anualidades se estableció que las rentas perpetuas son ciertas porque se sabe cuándo van a liquidarse o recibirse, aunque su plazo es perpetuo, es decir, tienen principio, pero no final Rentas perpetuas ordinarias o vencidas Determinación de la fórmula del valor actual El valor actual de las rentas perpetuas vencidas, será el importe que habrá de invertir una determinada t para que produzca una anualidad determinada a; por lo tanto la anualidad solo deberá absorber el importe de los intereses sin disminuir la inversión inicial, ya que ésta deberá mantenerse íntegra para que pueda seguir produciendo la misma anualidad. Rentas perpetuas anticipadas En estos casos, como se desea recibir al principio de cada año la anualidad, la inversión inicial deberá contar con el importe que se desea de anualidad, con objeto de que el capital continúe generando intereses para cubrir la anualidad Capítulo Diez y Siete Mercado de Dinero En este capítulo se exponen problemas vinculados con el mercado de dinero en sus aspectos más simples y se hace uso exclusivamente de los capítulos que anteceden Cabe mencionar algunos conceptos bursátiles que serán de utilidad no solo para este volumen sino para una cultura financiera permanente, los cuales son los siguientes: 1.- Bursátil, todo lo relativo al mercado de dinero 2.- Cetes. Certificados de tesorería, titulo valor emitido por el gobierno federal a través de la SHCP y se vende bajo la par a través de aplicarle un descuento, con un valor nominal de $ 10,000. 3.- Curva. Relativo a la tasa equivalente en interés compuesto entre diferentes plazos de vencimiento 4.- Fondeo. Venta de un instrumento a un plazo menor de su vencimiento actual con el compromiso de readquirirlo 5.- Instrumento. Titulo valor negociado en el mercado bursátil 9
6.- Mercado de dinero. Conjunto de ofertas y demandas sobre fondos para el financiamiento o inversión a corto plazo 7.- Papel comercial. Pagarés emitidos por sociedades autorizadas en bolsa, para obtener financiamiento a corto plazo y que se operan con tasa de descuento; su valor nominal es de $ 100,000 8.- Premio. Es el importe que paga el reportado y que representa la compensación que da el reportador por el uso del dinero de ésta y por el servicio que le presta al recibir los títulos, conservarlos y restituirlos al liquidarse la operación 9.- Reporto. Operación de crédito mediante la cual una persona adquiere propiedad títulos de crédito a cambio de entregar una cantidad de dinero y se obliga a devolver al reportado la propiedad de otros tantos títulos de la misma especie en un plazo previamente contenido, contra el rembolso del mismo precio más un premio en efectivo 10.- Tasa de descuento. Porcentaje que se aplica al valor nominal de un instrumento para determinar el descuento a disminuirle 11.- Tasa de rendimiento. Porcentaje que produce una inversión a partir del valor actual 12.- Valor actual. Es el valor real de venta al inicio de una operación con instrumentos del mercado de dinero, y se obtiene de disminuir al valor nominal el descuento 13.- Valor nominal. Es el valor que aparece en los títulos y corresponde al valor al que se amortizarían o pagarán los instrumentos de mercado de dinero a su vencimiento. Determinación del valor de una centésima Consiste en determinar el valor en dinero de una centésima en tasa de descuento de una inversión a cualquier plazo En primer lugar recordemos que para utilizar la tasa de descuento se parte del valor nominal al que le damos de valor $ 1.00 Determinación de tasas equivalentes En este apartado se expone lo relativo a problemas de tasas equivalentes de interés compuesto que, aunque ya se explicó en el capítulo relativo, ahora lo aplicamos a problemas de mercado de dinero 10
Conclusión Después de ver todos los capítulos contenidos en esta síntesis, el trasfondo de las operaciones monetarias, explicadas de forma numérica cobra un significado especial para mí, ya que ahora puedo saber algo de la casa de bolsa y entender algunos términos así como el cobro de intereses de forma anticipada, a periodos o perpetuo, o en modalidad de anualidad, mismas que por medio de todos los ejercicios contenidos en el libro objeto de este estudio se explican, así como la forma de utilizar como lo dicen en matemáticas la regla del 3, para determinar incógnitas que nos permitirán conocer los valor a determinar para la comprensión completa de los números que respaldan una decisión, o repartición de bienes, bonos, acciones, etc., es necesario seguir practicando para grabar estos términos de forma más específica para siempre tenerlas como una herramienta para toda la vida 11
Autoevaluación 1.- Es la igualdad de dos razones: Proporción 2.- Es el cociente de una división: Es el cociente de una división 3.- Es uno de los elementos que intervienen al efectuar una división: dividendo 4.- Es uno de los elementos que intervienen en una razón geométrica: consecuente 5.- Es la operación que tienen por objeto repartir una cantidad determinada en partes proporcionales a ciertos factores: Reparto proporcional 6.- Es la cantidad que le corresponde a cada uno de los beneficiarios: Cocientes de reparto 7.- Son los factores que determinan el reparto asignado a cada uno de los beneficiarios: Índice de reparto 8.- Es el importe sujeto a la distribución entre los beneficiarios: Cantidad por repartir 9.- En esta clasificación de reparto intervienen uno o más factores directamente proporcionales, y uno u otros inversamente proporcionales: Mixto 10.- Es la repartición en la que interviene un solo factor, a mayor número de unidades que indiquen el índice de reparto, mayor será la parte que le corresponda: Directo simple 11.- Intervienen dos o más factores; al igual que el anterior, a mayor número de unidades le corresponde mayor cantidad de lo repartido: Directo compuesto 12.- Interviene un solo factor, a mayor número de unidades del índice de reparto, menor es la cantidad asignada al beneficiario: Inverso simple 13.- Participan dos o más factores; cuanto mayor es el índice de reparto, menor es la cantidad que le corresponde: Inverso compuesto 14.- Este método consiste en determinar cuánto de la cantidad por repartir le corresponde a cada unidad de los índices de reparto: Reducción de la unidad 15.- Este método es la igualdad de dos razones: Proporción 16.- Son partes exactas que integran un todo: Partes alícuotas 12
17.- Es la cantidad que se paga por el uso de dinero ajeno: Interés 18.- En términos financieros se define como cierta cantidad de dinero que permite ganar más en operaciones de préstamos, llamada ésta última interés: Capital 19.- Qué es el número 10? Es la base del sistema de logaritmos decimales 20.- Qué es el número e? Es la base del sistema de logaritmos naturales 21.- Qué es el logaritmo de un número? Es el exponente que indica la potencia que hay que elevar un número llamado base, para obtener el número deseado 22.- Qué es el interés? cantidad que se paga por el uso de dinero ajeno 23.- Qué es el capital? cierta cantidad de dinero que permite ganar más en prestamos 24.- Qué es la tasa? también llamada tipo de interés o tanto por ciento 25.- Qué es el tiempo? número de periodos que dura impuesto el capital, es decir la duración de un préstamo 26.- Qué significa tanto por uno? rendimiento que produce una unidad de moneda 27.- Qué es monto? suma de capital más los intereses ganados 28.- Qué es interés simple? Importe que se cobra al final de cada periodo señalado y que es constante, porque la deuda o capital siempre es el mismo 29.- En las propiedades de los logaritmos todo logaritmo es un: Exponente 30.- Los números negativos y cero no tienen logaritmo: real 31.- En todo sistema de logaritmos, la unidad es el logaritmo de la base y el cero es el logaritmo de: La unidad 32.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de: Los factores 33.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del: divisor 34.- El logaritmo de un número afectado por un exponente es igual al exponente multiplicado por el logaritmo del: número 13
35.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando entre el índice del: radical 36.- En términos matemáticos se define como una serie de números no interrumpida cuya ley de formación está perfectamente definida: Progresión 37.- los términos que integran la serie de números llamada progresión, se pueden obtener por: diferencia y por cociente 38.- Las progresiones cuyos términos se integran por diferencia se llaman: Progresiones Aritméticas 39.- Las progresiones que se integran por cociente reciben el nombre de: Progresiones Geométricas CONTESTA FALSO O VERDADERO 40.- La suma de una progresión aritmética consiste en sumar cada uno de los términos que la integran. V 41.- En toda progresión aritmética limitada, la suma de los medios equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos. V_- 42.- En el interés simple, el capital permanece constante desde el inicio de la operación hasta que termina. _F_ 43.- En el interés compuesto, el capital inicial se va adicionando de los intereses ganados al final de cada periodo, para producir juntos nuevos intereses en el periodo siguiente. _V 44.- El descuento es la disminución que se hace a una cantidad por pagarse antes de su vencimiento, es decir, el pago anticipado de un valor que vence a futuro. V 45.- Existen dos procedimientos para calcular el descuento a interés simple: descuento comercial o exterior y descuento interior o racional. _V 46.- El descuento exterior consiste en determinar el interés entre el vencimiento de la deuda y la fecha de descuento a cierta tasa, tomando como base el valor nominal. _V_ 47.- El descuento interior es igual al descuento exterior, pero se considera como base el valor actual, es decir, el capital por pagar a la fecha que se desee pagar. _V_ 14
48.- Se dice que dos capitales a vencimiento futuro (monto) son equivalentes cuando sus valores actuales son iguales, calculados a una misma tasa. _V_ 49.- El vencimiento común consiste en efectuar un pago único en lugar de varios pagos que tienen diversos vencimientos, a diferentes tasas cada uno, siempre que el pago único sea una misma tasa. V_ 50.- El vencimiento único consiste en sustituir dos o más pagos definidos por uno solo, si se conoce el importe que como pago único se quiere hacer. V 51.- La determinación de pagos parciales consiste en que después de conocer el vencimiento único de un documento, se precisa cómo poder liquidarlo en varios pagos iguales con diferentes vencimientos, con ajuste del último pago para integrar el monto del documento original. V 52.- El plazo medio consiste en encontrar una fecha en la cual se tendrá que pagar una cantidad igual a la suma de los documentos con vencimiento futuro, que se quiera pagar en un mismo acto. V 53.- Desde el punto de vista financiero se defina anualidad a una serie de cantidades que se vencen progresivamente a intervalos iguales, ya sean importes que se tengan que invertir, o pagos que se tengan que efectuar. _V_ 54.- Anualidades ciertas son aquellas cuya finalidad se estipula en términos precisos. V 55.- Anualidades eventuales se dan cuando el principio de la realización de la anualidad depende de un acontecimiento fortuito. V 56.- El concepto Bursátil se utiliza para todo lo relativo al mercado de valores. _V 57.- Qué son los cetes? Certificados de tesorería, titulo valor emitido por el gobierno federal a través de la SHCP y se vende bajo la par a través de aplicarle un descuento, con un valor nominal de $ 10,000 58.- Qué es el fondeo? Venta de un instrumento a un plazo menor de su vencimiento actual con el compromiso de readquirirlo 59.- Qué es el instrumento? Titulo valor negociado en el mercado bursátil 60.- Qué es la tasa de rendimiento? Porcentaje que produce una inversión a partir del valor actual 15