Compacidad y densidad en C(X,Y )

Capítulo 5 Compacidad y densidad en C(X,Y. El teorema de Arzelà-Ascoli En esta sección clasificaremos los subespacios compactos de C A (X,Y, donde X es compacto y Y = R l. Cuando X no es compacto esta tarea es más dificil, y estudiaremos el caso cuando X es un conjunto abierto en R l en la siguiente sección. Por ahora, asumiremos que el espacio métrico (X, d es compacto. Recordemos que en tal caso podemos denotar a C A (X,Y simplemente como C(X,Y. Primero haremos notar que, en general, C(X,Y no es compacto. Ejemplo 5.. Si Y no es acotado, entonces C(X,Y no es acotado, como lo muestra fácilmente la colección de funciones constantes {f y } y Y, donde f y (x = y para todo x X. Ejemplo 5.2. Si Y es acotado, entonces C(X, Y es también acotado. Sin embargo, ni siquiera cuando Y es compacto C(X,Y es compacto. Consideramos por ejemplo el espacio C([0, ],[0, ] y la sucesión de funciones { nx if 0 x f n (x = n, 0 if n < x. (Véase la figura. Esta sucesión no puede tener subsucesiones convergentes, como vimos en el ejemplo 3.26. Entonces C([0,],[0,] no es secuencialmente compacto, y por lo tanto no es compacto. 79

80 5. Compacidad y densidad en C(X,Y n Figura. Las funciones f n. Por el teorema 3.23 los subespacios compactos de C(X,Y son aquéllos que son cerrados y totalmente acotados en C(X,Y, por lo que son éstos los conjuntos que tenemos que clasificar. Para ésto necesitaremos del concepto de equicontinuidad, definido a continuación. Definición 5.3. Sea F C(X, Y. Decimos que F es una familia equicontinua en x 0 X si, para cada ε > 0, existe un δ > 0 tal que f(b δ (x 0 B ε (f(x 0 para todo f F. El número δ depende de x 0 y de la familia F, pero es independiente de las funciones f F. Decimos que F es equicontinua en X si es equicontinua en cada punto de X. Ejemplo 5.4. Consideramos la sucesión de funciones f n (x = xn n en C([0,]. Por el teorema del valor medio, f n (x f n (y = f n (t x y para algún t entre x y y. Como f n (t = tn para todo t [0,], tenemos que, para ε > 0, si x y < δ = ε entonces f n (x f n (y x y < ε, en cada x [0,] y para todo f n. Entonces la familia {f n } es equicontinua en cada punto de [0, ]. Notamos que la selección de δ no depende de n, el índice de la sucesión (f n. Distinto es el caso de las funciones x n en [0,], o de las funciones xn n en el intervalo [0,2] (ejercicio. Equicontinuidad es una condición necesaria para que una familia de funciones F C(X,Y pueda ser un espacio compacto, como lo muestra la siguiente proposición.

. El teorema de Arzelà-Ascoli 8 Proposición 5.5. Sea F C(X,Y. Si la familia F es totalmente acotada, entonces es equicontinua en X. Demostración. Sean ε > 0 y x 0 X. Debemos mostrar que existe un δ > 0 tal que f(b δ (x 0 B ε (f(x 0 para toda f F, y que esta δ no depende de f, sólo de x 0. Como F es un conjunto totalmente acotado, existen funciones f,f 2,...,f n C(X,Y (no necesariamente en F, aunque esto es irrelevante tales que F B ε/3 (f B ε/3 (f 2... B ε/3 (f n. Además, como cada f i es continua en x 0, i =,2,...,n, existen δ i > 0 tales que, para cada i, f i (B δi (x 0 B ε/3 (f(x 0. Escogemos δ = mín{δ,δ 2,...,δ n }, y mostraremos que f(b δ (x 0 B ε (f(x 0 para cada f F. Así que sean f F y x B δ (x 0. Queremos mostrar la desigualdad d (f(x,f(x 0 < ε. Como F B ε/3 (f B ε/3 (f 2... B ε/3 (f n, f B ε/3 (f i0 para algún i 0, es decir d (f(y,f i0 (y < ε 3 para todo y X. Además d (f i0 (x,f i0 (x 0 < ε 3, ya que d(x,x 0 < δ δ i0. Entonces d (f(x,f(x 0 d (f(x,f i0 (x + d (f i0 (x,f i0 (x 0 + d (f i0 (x 0,f(x 0 < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Es preciso notar que en esta demostración no hemos utilizado la compacidad de X, por lo que la proposición 5.5 es cierta también cuando X no es compacto. Definición 5.6. Decimos que la familia F C(X,Y es uniformemente acotada si el conjunto F es acotado en C(X,Y. F es acotada punto por punto si, para cada x X, el conjunto es acotado en Y. {f(x : f F} Asumiendo que la familia F es un subconjunto de CA (X, Y, desde luego.

82 5. Compacidad y densidad en C(X,Y Es claro que si F es uniformemente acotada, entonces es acotada punto por punto. Sin embargo, la inversa no es cierta, como lo demuestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 5.7. Considere la sucesión de funciones f n C([0,], R dada por [ 0 si x 0, [ 2n n(2nx si x f n (x = 2n, [ n n(2nx 3 si x n, 3 [ 2n 3 ] 0 si x 2n,. Esta familia es acotada punto por punto porque, para cada x, f n (x 0. Sin embargo, como f N (/N = N, esta familia no es uniformemente acotada. (Véase la figura 2. n n 2n 3 2n Figura 2. Las funciones g n. Sin embargo, si la familia es equicontinua, la inversa es cierta. Lema 5.8. Si la familia F C(X,Y es equicontinua y acotada punto por punto, entonces F es uniformemente acotada. Recordemos que asumimos la compacidad de X. Demostración. Para mostrar que F es uniformemente acotada, tenemos que encontrar F C(X,Y y M > 0 tales que d u (f,f < M para toda función f F. Por equicontinuidad, para cada x X, existe un δ x > 0 tal que f(b δx (x B (f(x

. El teorema de Arzelà-Ascoli 83 para toda f F. Como X es compacto, podemos encontrar x,x 2,...,x n X tales que X B δx (x B δx2 (x 2... B δxn (x n. Pero cada conjunto {f(x i : f F}, i =,2,...,n, es acotado en Y, por lo que existen puntos y i Y y M i > 0 tales que, para toda f F, d (f(x i,y i < M i, i =,2,...,n. Definimos entonces la función constante F(x = y, y el número M = máx{m,m 2,...,M n,d (y 2,y,...,d (y n,y }. Sean x X y f F, y estimaremos d (f(x,f(x. Primero, escogemos x i tal que x B δxi (x i. Entonces, por el hecho de que f(b δxi (x i B (f(x i, d (f(x,f(x d (f(x,f(x i + d (f(x i,y i + d (y i,f(x < + M i + d (y i,y + 2M. Por lo tanto, d u (f,f 2M + y la familia F es acotada. Casi estamos listos para mostrar el teorema de Arzelà-Ascoli, el cual clasificará los subespacios compactos de C(X, R l. Antes mostraremos el siguiente lema, que concierne a familias uniformemente acotadas en C(X, R l. Lema 5.9. Sea F una familia uniformemente acotada en C(X, R l. Entonces existe un conjunto compacto E en R l tal que f(x E para toda f F. Demostración. Como F es uniformemente acotada, existe una función f 0 C(X, R l y un número M > 0 tales que d u (f,f 0 < M para toda f F. Pero X es compacto, por lo que f 0 (X es compacto y entonces acotado en R l, es decir, existe N > 0 tal que f 0 (x < N para todo x X. Por lo tanto f(x f(x f 0 (x + f 0 (x < M + N para toda f F y x X. Por lo tanto f(x B M+N (0 en R l, y podemos tomar E = B M+N (0, el cual es compacto en R l por el teorema de Heine- Borel. Teorema 5.0 (Arzelà-Ascoli. Sea (X, d un espacio métrico compacto y F una familia de funciones en el espacio C(X, R l. Entonces F es compacto si y solo si F es cerrado en C(X, R l, equicontinuo y acotado punto por punto.

84 5. Compacidad y densidad en C(X,Y Demostración. Ya hemos visto que cerrado, equicontinuo y acotado punto por punto son condiciones necesarias (corolario 3.23 y proposición 5.5 para que F sea compacto. Para demostrar que tales condiciones son suficientes, es suficiente con demostrar, por el corolario 3.23, que F es totalmente acotado. Sea ε > 0. Mostraremos que podemos cubrir F con un número finito de bolas en C(X, R l de radio ε. Los lemas 5.8 y 5.9 nos permiten concluir que existe un conjunto compacto E en R l tal que f(x E para toda función f F. Además, por la equicontinuidad de la familia F y la compacidad de X podemos escoger bolas B δi (x i, i =,2,...,n, tales que y X B δ (x B δ2 (x 2... B δn (x n f(b δi (x i B ε/5 (f(x i para toda f F. Ahora bien, E es compacto, por lo que podemos encontrar puntos y,y 2,...,y k R l tales que E B ε/5 (y B ε/5 (y 2... B ε/5 (y k. Tenemos las siguientes observaciones: A: Si f F, entonces, para cada i, existe un entero j(f,i, j(f,i k, tal que f(x i B ε/5 (y j(f,i. De esta forma cada f F induce (al menos una función j(f, de {,2,...,n} en {,2,...,k}. B: Si f,g F inducen la misma función j(i, entonces, si x B δi0 (x i0, f(x g(x f(x f(x i0 + f(x i0 y j(i0 + y j(i0 g(x i0 + g(x i0 g(x < ε 5 + ε 5 + ε 5 + ε 5 = 4ε 5, por lo que d u (f,g 4ε 5 < ε. Ahora consideremos una función arbitraria φ : {,2,...,n} {,2,...,k}. Si existe alguna f F tal que φ( = j(f,, a ésta le llamaremos f φ. Sea entonces Φ el conjunto de todas las funciones φ tales que f φ existe. El conjunto Φ es finito, por lo que el conjunto de funciones {f φ } φ Φ también es finito. Demostraremos que F φ ΦB ε (f φ,

2. Sucesiones de funciones en R m 85 donde B ε (f φ es la bola en C(X, R l de radio ε con centro en f φ. Si f F, entonces induce φ = j(f,, por la observación A. Entonces, por B, d u (f,f φ < ε. Por lo tanto f B ε (f φ. Podemos reescribir el teorema de Arzelá-Ascoli de la siguiente manera. Corolario 5.. Sea (X,d un espacio métrico compacto y (f n una sucesión en C(X, R l equicontinua y acotada punto por punto. Entonces existe una subsucesión de (f n que converge en C(X, R l. Demostración. Por el teorema de Arzelá-Ascoli, la cerradura de {f n } es compacta, y el corolario se sigue por el teorema de Bolzano-Weierstrass. Versiones más generales del teorema de Arzelà-Ascoli pueden ser encontradas en textos de topología, como por ejemplo en [4, Teorema 6.]. 2. Sucesiones de funciones en R m El teorema de Arzelá-Ascoli clasifica los subespacios compactos del espacio C(X, R l solo cuando X es compacto, y es claro que la compacidad del dominio es necesaria. Sin embargo, el corolario 5. se puede modificar de la siguiente manera, la cual es de hecho la versión más útil de los resultados anteriores. Teorema 5.2. Sea Ω un conjunto abierto en R m y (f n, f n : Ω R l, una sucesión de funciones continuas en Ω (no necesariamente acotadas equicontinua y acotada punto por punto. Entonces existe una subsucesión de (f n que converge uniformemente en cada subconjunto compacto de Ω. Es decir, existe una subsucesión (f nk y una función continua f : Ω R l tal que, para todo compacto E Ω, f nk f en C(E, R l. Cuando decimos f nk f en C(E, R l, queremos decir que la sucesión de restricciones (f nk E converge a la restricción f E en C(E, R l. Demostración. Por la proposición 3.25, podemos encontrar una sucesión creciente de conjuntos compactos E k tal que Ω = k E k, y todo compacto E contenido en Ω está contenido en algún E k. Por el corolario 5., existe una subsucesión de (f n, a la que llamaremos (f n p p=, que converge en C(E, R l. Podemos utilizar este mismo corolario para encontrar

86 5. Compacidad y densidad en C(X,Y una subsucesión de (f n p p=, a la cual llamamos (f n 2 p p=, la cual converge en C(E 2, R l. Inductivamente construimos sucesiones (f n k p p=, cada una subsucesión de (f n k p p=, k = 2,3,..., que convergen en C(E k, R l, para cada k, f n f n 2 f n 3... f n 2 f n 2 2 f n 2 3... f n 3 f n 3 2 f n 3 3.... Consideremos ahora la sucesión diagonal f np = f n p p, p =,2,... Esta sucesión es subsucesión de cada una de las (f n k p p=, y por lo tanto converge en C(E k, R l, para cada k. Como Ω = k F k, podemos definir en Ω la función f(x = lím p f n p (x. Entonces f es continua en Ω. Si E es un conjunto compacto contenido en Ω, entonces está contenido en algún E k y, por lo tanto, como f np f en C(E k, R l, f np f en C(E, R l. 3. El teorema de Stone-Weierstrass En esta sección demostraremos el teorema de aproximación de Stone- Weierstrass, el cual enlista familias de funciones densas en C(X = C(X, R. Este teorema, al igual que el de Arzelà-Ascoli estudiado en la sección anterior, también se refiere al espacio de funciones continuas definidas en espacios compactos X. Recordemos que A es denso en un espacio métrico X si A X. Ésto es equivalente a decir que A es denso en X si, para todo ε > 0 y x X, la bola B ε (x interseca al conjunto A; es decir, existe a A tal que d(x,a < ε. Consideremos ahora el caso C([a, b], el espacio de funciones continuas reales en [a,b], y P, el conjunto de las funciones polinomiales. La versión clásica del teorema de aproximación de Weierstrass es la siguiente. Teorema 5.3 (Weierstrass. P es denso en C([a,b].

3. El teorema de Stone-Weierstrass 87 Aunque ahora existen muchas demostraciones de este teorema, las más famosas dadas por Bernstein 2 o Lebesgue 3, aquí daremos la demostración originalmente dada por Weierstrass en 885 [7]. Consideremos la función ψ(x = e πx2. Esta función es positiva y su integral (impropia sobre R converge y es igual a Además, tenemos el siguiente lema. ψ =. Lema 5.4. Sea f : R R una función uniformemente continua, acotada y, para cada r > 0, definimos F(x,r = ( u x f(uψ du. r r Entonces lím r 0 F(x,r = f(x uniformemente en x; es decir, para todo ε > 0 existe r 0 > 0 tal que, si 0 < r < r 0, entonces F(x,r f(x < ε para todo x R. Demostración. Para δ > 0, escribimos F(x,r f(x = ( u x f(uψ r r = = = + u > δ r du f(x f(x + ruψ(udu f(x ( f(x + ru f(x ψ(udu u δ r ( f(x + ru f(x ψ(udu ( f(x + ru f(x ψ(udu. ψ(udu 2 La demostración de Bernstein es constructiva. De hecho, si [a, b] = [0,], Bernstein demostró que la sucesión de polinomios (ahora llamados polinomios de Bernstein n ( k ( n B n(x = f x k ( x n k n k k=0 converge uniformemente a f. Véase por ejemplo [5, Capítulo]. 3 La demostración de Lebesgue consiste, primero, en aproximar uniformemente con polinomios la función en [,] y, luego, observar que las funciones poligonales son densas en C([a, b]. Este trabajo, de hecho, fue la primera publicación de Lebesgue [3].

88 5. Compacidad y densidad en C(X,Y Ahora bien, sea ε > 0 dado. Como f es acotada, existe M > 0 tal que f(x M para todo x R. Como ψ converge, existe N > 0 tal que ψ(udu < ε 4M. u >N Como f es uniformemente continua, existe δ > 0 (independiente de x tal que x y < δ implica f(x f(y < ε/2. Tomamos entonces r 0 > 0 tal que r 0 < δ/n. Entonces, si 0 < r < r 0, F(x,r f(x + u > δ r u δ r u >N < 2M f(x + ru f(x ψ(udu f(x + ru f(x ψ(udu 2Mψ(udu + ε 4M + ε 2 R u δ r ψ(udu = ε. ε 2 ψ(udu Demostración del teorema 5.3. Sea f C([a, b] y ε > 0. Escogemos c,d R tales que c < a y d > b, y una función continua f : R R que coincide con f en [a,b] y es cero afuera de [c,d]. Por ejemplo, podemos tomar 0 si x < c f(a x c si c x < a a c f(x = f(x si a x b f(b d x si b < x d d b 0 si x > d. (Véase la figura 3. Entonces, si como en el lema anterior definimos F(x,r = ( u x f(uψ du = d ( u x f(uψ du, r r r r existe r 0 tal que, para todo x R, F(x,r 0 f(x < ε 2. ( u x Ahora bien, si hacemos g u (x = ψ, no es muy difícil ver que la serie r 0 de Taylor en x de g u alrededor de x = 0, g (n (0 g u (x = x n ( n ψ (n (u/r 0 = n! n!r0 n x n, n=0 n=0 c

3. El teorema de Stone-Weierstrass 89 c a b d Figura 3. La función f en [a, b] extendida a f en R. converge a g u uniformemente en x y en u sobre cualquier subconjunto compacto de R, en particular para x,u [c,d]. Si M = máx f, entonces existe N 0 tal que, para todo x,u [c,d], ( u x ψ r 0 por lo que si hacemos N 0 n=0 P(x = N 0 r 0 n=0 ( n ψ (n (u/r 0 n!r0 n x n r 0 < 2M(d c ε, ( n n!r n 0 d x n f(uψ (n (u/r 0 du, entonces P(x es un polinomio de grado N 0 que satisface F(x,r 0 P(x = d ( ( u x N 0 ( f(u n ψ (n ( u r ψ 0 r 0 c r n!r0 n x n du c n=0 < d r f(u r 0 0 2M(d c εdu ε 2, para todo x [c,d]. Esto implica que c f(x P(x f(x F(x,r 0 + F(x,r 0 P(x < ε para x [c,d] y, como f f en [a,b], tenemos que para todo x [a,b]. f(x P(x < ε Por lo tanto P es denso en C([a,b]. Recordemos que un espacio métrico X es separable si tiene un subconjunto denso contable. Como corolario al teorema 5.3, tenemos entonces que C([a,b] es separable porque P Q, el espacio de polinomios con coeficientes racionales, es también denso en C([a,b].

90 5. Compacidad y densidad en C(X,Y Corolario 5.5. C([a, b] es separable. Demostración. Sea M = máx{, a, b, a 2, b 2,..., a n, b n }. Si p(x = a 0 +a x+... a n x n es un polinomio y ε > 0, sean r 0,r,...,r n Q tales que a i r i ε nm, i = 0,,...,n, y p 0 (x = r 0 + r x +... + r n x n. Entonces, para x [a,b], n p(x p 0 (x a i r i x n < ε. i=0 Esto implica que el conjunto de polinomios con coeficientes racionales P Q es denso en P, y por lo tanto denso en C([a,b]. Como P Q es contable, C([a,b] es separable. El teorema de Stone-Weierstrass ofrece una generalización a este resultado, donde consideramos un espacio compacto X general. En este caso, en lugar de las funciones polinomiales, consideraremos una familia A de funciones con las siguientes propiedades:. A es un álgebra, es decir, es un subespacio vectorial de C(X cerrado bajo multiplicación: si f,g A, entonces fg A. 2. A separa puntos en X: para x,y X, x y, existe f A tal que f(x f(y. 3. A contiene las funciones constantes. Es claro que el espacio de polinomios P, o incluso P Q, satisface las propiedades anteriores. Teorema 5.6 (Stone-Weierstrass. Sea X un espacio métrico compacto y A un álgebra de funciones continuas en X que separa puntos y contiene las funciones constantes. Entonces A es denso en C(X. Demostraremos que la cerradura Ā = C(X. Para esto, primero demostraremos que Ā satisface las tres propiedades mencionadas anteriormente. Es obvio que satisface las últimas dos, puesto que Ā A. El que también sea un álgebra lo enunciaremos como lema. Lema 5.7. Sea A un álgebra en C(X. Entonces su cerradura Ā es también un álgebra en C(X. Demostración. Para verificar que Ā es un álgebra, tenemos que mostrar que si f,g Ā entonces f + g y fg están en Ā.

3. El teorema de Stone-Weierstrass 9 Para ε > 0, existen f,g A tales que f f u < ε 2 y g g u < ε 2. Entonces, (f + g (f + g u < ε. Como A es un álgebra, f + g A; como ε es arbitrario, f + g Ā. Dado ε > 0, escogemos g A tal que g g ε u < 2 f u +. Ahora bien, tomamos f A tal que Entonces, f g A y f f u < ε 2 g u +. fg f g u = fg fg + fg f g u f u g g u + f f u g u Como ε es arbitrario, fg Ā. f uε 2 f u + + g u ε 2 g u + < ε. En la demostración anterior hemos usado el hecho que, si f, g C(X, entonces fg u f u g u, que es consecuencia directa de la definición de la norma uniforme (ejercicio 6. Separaremos la demostración del teorema de Stone-Weierstrass en otros tres lemas. Los dos primeros se refieren a álgebras cerradas en C(X, y la compacidad de X no es necesaria (si trabajamos, claro, en C A (X. Lema 5.8. Sea A un álgebra cerrada en C(X. Si f A, entonces f A. Con f nos referimos a la función f (x = f(x. Demostración. Sea ε > 0 dado. Para M = f u, tomamos un polinomio p tal que x p(x < ε para x [ M,M]. Tal polinomio existe por el teorema de Weierstrass. Entonces, como f(x [ M,M] para todo x X, tenemos que f(x p(f(x < ε para todo x X. La función p f A porque A es un álgebra. Como ε es arbitrario y A es cerrada, f A.

92 5. Compacidad y densidad en C(X,Y Lema 5.9. Si A es un álgebra cerrada en C(X, entonces, si f,g A, máx(f,g,mín(f,g A. Con máx(f,g nos referimos a la función máx(f,g(x = máx{f(x,g(x}, y similarmente para mín(f,g. Es fácil ver que estas dos funciones también son continuas (ejercicio 7. Un subconjunto S de C(X con la propiedad de que si f,g S entonces máx(f,g,mín(f,g S es llamado un latiz. Entonces, el lema 5.9 implica que toda álgebra cerrada en C(X es un latiz. Demostración. La demostración se sigue inmediatamente del lema 5.8, ya que máx(f,g = (f + g + f g 2 mín(f,g = (f + g f g. 2 Es claro que, recursivamente, si A es un latiz y f,...,f n A, entonces máx{f,...,f n } A y mín{f,...,f n } A. Casi estamos listos para la demostración del teorema. Antes, demostraremos un lema referente a latices cerrados en C(X. Es aquí donde la compacidad de X es necesaria. Lema 5.20. Sea (X,d un espacio compacto y A un latiz cerrado en C(X, Si f C(X es tal que, para cada x,y X, existe g xy A tal que entonces f A. g xy (x = f(x y g xy (y = f(y, Demostración. Sea ε > 0. Demostraremos que existe g A tal que, para x X, f(x g(x < ε. Entonces f g u < ε y, como A es cerrado, esto implica que f A. Dado y X, para cada x X escogemos g xy A como en la hipótesis. Como f y cada g xy son continuas, existen δ x > 0 tales que para z B δx (x. g xy (z > f(z ε Ahora bien, {B δx (x} x X es una cubierta para X. Como X es compacto, existe una subcubierta finita {B δ (x,...,b δn (x n }. Si tomamos g y = máx{g x y,...,g xny},

3. El teorema de Stone-Weierstrass 93 entonces g y A y g y (z > f(z ε para todo z X. Para cada y X, consideramos la función (continua g y construida anteriormente y tomamos δ y > 0 tales que, si z B δy (y, entonces g y (z < f(z + ε. De nuevo, {B δy (y} y X forma una cubierta de X. Si es una subcubierta finita, tomamos {B δ (y,...,b δm (y m } g = mín{g y,...,g ym }. Entonces g A y, para todo z X, g(z < f(z+ε. Tenemos entonces que, para z X, ε < g(z f(z < ε, por lo que g(z f(z < ε para todo z X. Una inspección cuidadosa de la demostración del lema 5.20 nos permite notar que, escencialmente, estamos generalizando el hecho que las funciones continuas en un intervalo [a,b] se pueden aproximar uniformemente por las funciones poligonales (lineales por pedazos. Si A contiene al latiz de las funciones poligonales en un intervalo, generado por las funciones lineales, entonces g xy es la recta que pasa por los puntos (x,f(x y (y,f(y, por lo que g y corresponderá la cuña con vértice en (y,f(y sobre todas estas rectas (figura 4. Figura 4. La construcción de la función g y en [0, ]. Al izquierda, las rectas g xy con base en el punto (y,f(y y, a la derecha, la cuña g y con vértice en (y,f(y. Finalmente, la función g corresponde a la función poligonal que pasa por debajo de las cuñas g y,...,g ym (figura 5. Ahora sí estamos listos para concluir la demostración del teorema de Stone-Weierstrass.

94 5. Compacidad y densidad en C(X,Y Figura 5. La función g es la función poligonal que pasa por debajo de las cuñas de la figura 4. Demostración del teorema de Stone-Weierstrass: Dada una función f C(X, demostraremos que, para cada x,y X, existe g Ā tal que g(x = f(x y g(y = f(y. El teorema entonces quedará demostrado por los lemas 5.9 y 5.20. Sean x,y X. Si x = y, entonces tomamos la función constante g(z = f(x para todo z X. Como A contiene a las constantes, g Ā. Ahora bien, si x y, tomamos h Ā tal que h(x h(y. Tal función existe porque A separa puntos. Definimos ahora g : X R por f(y f(x ( g = f(x + h h(x. h(y h(x Por el lema 5.7, Ā es un álgebra y, como contiene a las constantes, g Ā. Finalmente, observamos que g(x = f(x y g(y = f(y. Hemos asumido que el álgebra A separa puntos y contiene a las funciones constantes. Es claro ver que la primera de estas hipótesis es necesaria porque, si A no separara puntos bien podría contener sólo a la función cero. Ejemplo 5.2. Un ejemplo no trivial de un álgebra que no separa puntos es el conjunto de las funciones pares en [ a,a]. Es claro que esta álgebra es cerrada y, definitivamente, no es todo C([ a,a]. Ejemplo 5.22. Consideremos el subespacio de C([0,] dado por K = {f C([0,] : f(0 = 0}. Entonces K es un álgebra cerrada en C([0,] que separa puntos, pero claramente no es todo C([0,]. El álgebra K del ejemplo 5.22 es un álgebra que no contiene a las constantes (excepto por la función cero. De hecho, en general uno puede mostrar que, si A es un álgebra en C(X que no contiene a todas las funciones constantes, entonces existe x 0 X tal que f(x 0 = 0 para toda f A. Véase, por ejemplo, [2, Sección 4.7].

3. El teorema de Stone-Weierstrass 95 Ejemplo 5.23 (Polinomios trigonométricos. Sea T el círculo de radio, con centro en 0, en R 2, y consideremos el espacio C(T de funciones continuas en T. Si f C(T, entonces la función g : [0,2π] R dada por g(t = f(cos t,sen t es continua en [0,2π], con g(0 = g(2π. De manera inversa, si g C([0,2π] y g(0 = g(2π, podemos definir f : T R por f(cos t,sen t = g(t, y f es continua en T. Esto nos permite identificar C(T con el subespacio de C([0,2π] de funciones g continuas con g(0 = g(2π. Un polinomio trigonométrico es una función T : [0, 2π] R de la forma T(x = n ( ak cos(kx + b k sen(kx. k=0 Es claro que T C(T. Si T es el conjunto de polinomios trigonométricos en [0,2π], entonces T es denso en C(T. Para ver esto, verificaremos que T satisface las hipótesis del teorema de Stone-Weierstrass. Primero, es claro que T contiene a las funciones constantes y que separa puntos: si x y, entonces sen x sen y, al menos que 0 x,y π y y = π x, ó π x,y 2π y y = 3π x. En tales casos cos x = cos y cos y. Para verificar que T es un álgebra, sólo tenemos que verificar que es cerrado bajo productos, porque es claro que es un espacio vectorial. Sin embargo, esto se sigue porque cos nxcos mx = ( cos(n mx + cos(n + mx 2 sen nxsen mx = ( cos(n mx cos(n + mx 2 cos nxsen mx = 2( sen(n + mx sen(n mx. Algunas aplicaciones del teorema de Stone-Weierstrass se pueden encontrar en los ejercicios de este capítulo, y algunas generalizaciones y aplicaciones adicionales se pueden encontrar en el artículo [6].

96 5. Compacidad y densidad en C(X,Y Ejercicios. Determine si las siguientes colecciones de funciones son equicontinuas y/o acotadas punto por punto. {sen(nx} n= en C([0,2π]; {x n } n= en C([0,]; { x n} en C([0,2]. n n= 2. Sea f n : [a,b] R una sucesión monótona de funciones continuas que converge punto por punto a la función continua f : [a,b] R. Entonces f n f en [a,b]. 3. Sea Ω un conjunto abierto en R m y (f n una sucesión equicontinua de funciones tal que (f n (x converge para cada x Ω. Entonces (f n converge uniformemente en cada subconjunto compacto de Ω. 4. Sea K : [0,] [0,] una función continua, y definimos el operador L : C[0,] C[0,] por Lf(x = 0 K(x, yf(ydy, como en el ejemplo 4.9. Entonces la cerradura de la imagen de la bola B (0 en C([0,] bajo L es un conjunto compacto en C([0,]. 5. Sea X un espacio métrico compacto y L C(X, R l la familia de funciones L = {f C(X, R l : f u, f(x f(y E d(x,y,x,y X}. Entonces L es compacto. 6. Sean f,g C A (X. Entonces fg u f u g u. 7. Sean f,g C(X. Entonces las funciones son continuas. máx(f,g : X R y mín(f,g : X R 8. Sea a > 0. Entonces el espacio de las funciones continuas pares en [ a,a], P = {f C([ a,a] : f(x = f( x,x [ a,a]}, es un álgebra cerrada propia en C([ a,a]. 9. Sea f una función continua en [a,b] tal que b a f(xx n dx = 0

Ejercicios 97 para todo n = 0,,2,... Entonces f(x = 0 para todo x [a,b]. (Sugerencia: Utilice el teorema de Weierstrass para demostrar que b a f2 = 0. 0. Encuentre f : [0,] R continua tal que 0 f(xdx = y f(x 0 para algún x [0,]. 0 f(xxdx = 0 f(xx 2 dx = 0. Sean X y Y espacios métricos compactos, X Y el espacio producto y A el álgebra generada por las funciones f : X Y R de la forma f(x,y = g(xh(y g C(X,h C(Y. Entonces A es denso en C(X Y.