Sesión 1 Demostraciones Demostración directa 1.1 Si n es un número entero impar, entonces n 2 es impar. 1.2 Si a y b son enteros impares, entonces a + b es par. Demostración indirecta 1.3 Si n 2 es par, entonces n es par. 1.4 Si el producto de enteros a y b es par, entonces alguno de ellos es par. 1.5 Si m y n son enteros positivos tales que mn = 100, entonces m 10 ó n 10 Contradicción 1.6 Probar que 2 no es racional. 1.7 Si se colocan los números 1, 2, 3... 10 alrededor de un círculo, entonces hay tres números en posiciones consecutivas cuya suma es al menos 17. 1.8 Sean x e y enteros. Entonces xy es par si, y sólo si, ambos son pares. 1
Proposición bicondicional Inducción matemática 1.9 Probar que la suma de los n primeros enteros positivos impares es n 2. 1.10 Probar que el número 2 n+2 + 3 2n+1 es múltiplo de 7 para todo entero positivo n. [ ] 2 n(n + 1) 1.11 Probar que 1 3 + 2 3 + 3 3 + n 3 =. 2 1.12 Encuéntrese el fallo de la siguiente demostración de que todos los ordenadores tienen el mismo precio. Proposición: Dado un conjunto de n ordenadores, todos tienen el mismo precio. Demostración: La proposición es verdadera para n = 1. Supongamos que lo es para n = k; dados k +1 ordenadores que llamaremos O 1, O 2... O k, O k+1 y, tomando los k primeros O 1, O 2... O k por hipótesis de inducción, todos tienen el mismo precio. Tomando ahora los k últimos O 2, O 3... O k+1 por hipótesis de inducción, todos tienen el mismo precio. Por tanto el último vale igual que el segundo, que vale igual que el primero; en definitiva, todos valen igual (pero sabemos que no es verdad). 2
Sesión 2 Conjuntos 1. Conjuntos y subconjuntos. 2. Diagramas de Venn. 3. Operaciones y propiedades. Idempotentes (a) A A = A (b) A A = A Conmutativas (c) A B = B A (d) A B = B A Asociativas (e) (A B) C = a (B C) (f) (A B) C = a (B C) Distributivas (g) A (B C) = (A B) (A C) (h) A (B C) = (A B) (A C) De absorción (i) A (A B) = A (j) A (A B) = A Involutiva 3
(k) (A c ) c = A Propiedades de De Morgan (l) (A B) c = A c B c (m) (A B) c = A c B c De identidad (n) A = A y A = (ñ) A U = U y A U = A Complementariedad (o) A A c = U y A A c = (p) U c = y c = U 4. Producto cartesiano. Ejercicios 2.1 Escribir por extensión los siguientes conjuntos (cuando sea un conjunto infinito usar la notación...): 1. {x : x Z, 3 < x < 4} 2. {x : x Z, x > 0, x = 3} 3. {x : x Z, x 2 Z} 4. {x : x Z, (3x 1)(x + 2) = 0} 5. {x : x Q, (3x 1)(x + 2) = 0} 2.2 Sea X = {0, 1, 2}. Escribir por extensión los siguientes conjuntos: 1. {z : z = 2x, x X} 2. {z : z = x + y, x, y X} 3. {z : x = z + y, x, y X} 4. {z : z R, z 2 X} 5. {z : z Z, z 2 X}. 4
2.3 En cada caso determínese si x A, ó x A, ambas o ninguna: 1. x = {1}; A = {1, 2, 3} 2. x = {1}; A = {{1}, {2}, {3}} 3. x = {1}; A = {1, 2, {1, 2}} 4. x = {1, 2}; A = {1, 2, {1, 2}} 5. x = {1}; A = {{1, 2, 3}} 6. x = 1; A = {{1}, {2}, {3}}. 2.4 Sea E = {x : x Z, 2 x 10}. Siendo A y B subconjuntos de E, determínese en cada caso si A B, B A, ambas o ninguna: 1. A = {x : x es impar } B = {x : x = 3} 2. A = {x : x es par } B = {x : x 2 es par } 3. A = {x : x es par } B = {x : x es potencia de 2} 4. A = {x : 2x + 1 > 7} B = {x : x 2 > 20} 5. A = {x : x Z} B = {x : es potencia de 2 o de 3} 6. A = {x : x 2} B = {x : es cuadrado perfecto } 7. A = {x : x 2 3x + 2 = 0} B = {x : x + 7 es cuadrado perfecto}. 2.5 Represéntese mediante diagramas de Venn los siguientes conjuntos: 1. (A B) \ C 2. A \ (B C) 3. (A B) \ C 4. A \ (B C). 5
2.6 Dado el conjunto E = {1, 2, 3,..., 12} y los subconjuntos de E Escribir los conjuntos 1. A B 2. A B C 3. B C 4. (A C) c 5. C \ A 6. (A B) c. A = {n : n divide a 12} B = {n : n es primo} C = {n : n es impar}. 2.7 Pruébense las siguientes identidades: 1. A \ B = A \ (A B) 2. A (B \ C) = (A B) \ C 3. (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) 4. A (B \ C) = (A B) \ (A c C). 2.8 Para cada uno de los siguientes casos, dése un ejemplo de conjuntos A, B, C con B C tales que:. 1. A \ B = A \ C 2. A B = A C 3. A B = A C. 2.9 Demuéstrese que si A B, C D, entonces A C B D y A C B D 6
2.10 Demuéstrese la equivalencia de las siguientes condiciones. 1. A C. 2. A (B C) (A B) C. 2.11 Demuéstrense las siguientes identidades: 1. A (X Y ) = (A X) (A Y ). 2. A (X Y ) = (A X) (A Y ). 3. (X Y ) A = (X A) (Y A). 4. (X Y ) A = (X A) (Y A). 5. A (X \ Y ) = (A X) \ (A Y ). 2.12 1. Pruébese la igualdad de los conjuntos (a) F = (A B) (X Y ). (b) G = (A X) (B Y ). (c) H = (A Y ) (B X). 2. (a) Pruébese que (A B) (X Y ) (A X) (B Y ). (b) Búsquese conjuntos A, B, X, Y tales que (A B) (X Y ) (A X) (B Y ). 7
Sesión 3 Relaciones y aplicaciones Relaciones 1. Relación (o correspondencia) entre dos conjuntos. Dominio y codominio. 2. Representación cartesiana. 3. Relación de igualdad o identidad en un conjunto A. 4. Conjunto imagen. 5. Relación inversa. Conjunto antiimagen. 6. Diagramas sagitales, grafos dirigidos y representación matricial. 7. Tipos de relaciones. Relaciones de equivalencia. 8. Aplicaciones entre conjuntos. 9. Tipos de aplicaciones, composición y aplicación inversa. 3.1 En el conjunto A = {1, 2, 3,..., 20} se define la relación a R b a + b = 20. Estúdiense las propiedades que satisface R. 8
3.2 En el conjunto A = {1, 2, 3,..., 20} se define la relación a R b a + b es par. Estúdiense las propiedades que satisface R Es de equivalencia? 3.3 En el conjunto de los meses del año { enero,febrero,...,diciembre } se define la relación tener el mismo número de letras. Pruébese que es de equivalencia, hallando el conjunto cociente. 3.4 En N se define la relación sumar par ; es decir m R n m + n = 2 Pruébese que es de equivalencia y hállese el conjunto cociente N/R. 3.5 En el conjunto Z Z se define la relación (m, n) R (p, q) mq = np. Pruébese que es de equivalencia. Hállense las clases asociadas a los elementos (0, 1) y (1, 1). Aplicaciones 3.6 Cuáles de las siguientes relaciones de Z Z son aplicaciones? 1. {(n, 2n): n Z} 2. {(2n, n): n Z} 3. {(n, n 3 ): n Z} 4. {(n 3, n): n Z} 5. {(n + 4, n): n Z} 6. {(n, 2 n ): n Z} 7. {(n, m): n Z, m = a n para algún a Z}. 3.7 Cuáles de las siguientes relaciones de R en R son aplicaciones? 9
1. G = {(x, y): 2x + 4y = 7} 2. H = {(x, y): x = 2} 3. I = {(x, y): y 2 = x} 4. J = {(x, y): 2x 2 = 7y} { 5. K = (x, y): y = x + 1 } x 1 6. L = {(x, y): y = 3 x } { 7. M = (x, y): y = 3 }. 1 + x 4 3.8 Calcúlese la imagen de las siguientes aplicaciones 1. f : R R, f(x) = x 4 2. f : R R, f(x) = x 2 + 2 3. f : R R, f(x) = 3x/(x 2 + 1) 4. f : R R, f(x) = 1/(x 2 + 2) 5. f : R R, f(x) = (x + 2)/(x 2 + 5) 6. f : R R, f(x) = x 2 + 1. 3.9 Cuáles de las siguientes aplicaciones son inyectivas? 1. f : R \ {1} R definida por f(x) = 1 1 x 2. f : R R definida por f(x) = x 4 + 1 3. f : R + R definida por f(x) = x. 3.10 Clasifíquense las siguientes aplicaciones de R en R 1. f(x) = 2x + 7 2. g(x) = x 2 10
3. h(x) = x 3 4. j(x) = x 5. k(x) = 1 x 2 + 1 6. l(x) = x 2 + x 7. m(x) = e x. 3.11 Las aplicaciones f y h del problema 3.10 son biyectivas. Hállense las inversas. 3.12 Dada la funcion f : R R, f(x) = 2x + 1. Se define f (1) = f, f (n) = f (n 1) f para n > 1. Pruébese que f (n) (x) = 2 n x + (2 n 1). (Sugerencia: úsese inducción). 3.13 Se considera la función f : Z + Z +, f(x) = x + 2 y la identidad I(x) = x. 1. Pruébese que existen infinitas funciones g : Z + Z + tales que g f = I Z + 2. Pruébese que no existe ninguna función h: Z + Z + tal que f h = I Z + 3. Dése una expresión de f (n). 3.14 Pruébese que las siguientes funciones son biyectivas y hállense las inversas 1. f : R \ { 1} R \ {3}, f(x) = 3x/(x + 1). 2. f : R R, f(x) = (2x + 3) 3. { n 3. f : Z + si n es par Z, f(n) = 2 1 n si n es impar. 2 { n 1 si m = 0 4. f : Z + {0, 1} Z, f(n, m) = n si m = 1. 3.15 Defínase una biyección entre dos intervalos cerrados cualesquiera. 11
Sesión 4 Producto escalar y vectorial 1. El conjunto de vectores R n. 2. Operaciones. 3. Combinaciones lineales. 4. Producto escalar. 5. Norma de un vector. 6. Desigualdades de Cauchy-Schwarz y triangular. 7. Ángulo entre dos vectores. Vectores ortogonales. 8. Teorema de Pitágoras. 9. Producto vectorial en R 3. 10. Propiedades del producto vectorial. 11. Producto mixto. 12. Área del triángulo y paralelogramo. 13. Volumen del paralelepípedo 12
Problemas 4.1 Probar que si u = v, entonces u + v y u v son ortogonales. 4.2 Calcular 2u + v sabiendo que u y v son unitarios y forman 60 o 13