Dirección de Operaciones SESIÓN # 5: El método simplex. Segunda parte.
Contextualización Qué más hay que conocer del método simplex? En la sesión anterior dimos inicio a la explicación del método simplex. Ahora continuaremos conociendo el resto de los pasos que nos llevarán a la correcta aplicación del mismo y a una segunda forma de representación del mismo a través de tablas. En la sesión anterior estudiamos los fundamentos en los cuales se va a desarrollar todo el método, los cuales nos permiten una mayor comprensión del método y poder tener los elementos necesarios para una correcta resolución de problemas a través del método simplex, ya sea algebraico o tabloide.
Introducción Es necesaria una introducción? No es necesaria una introducción exhaustiva en esta sesión, pues se trata de una continuación de la sesión anterior. Pero tampoco podemos olvidar que el objetivo que perseguimos al finalizar esta sesión es tener las suficientes herramientas que nos permitan resolver problemas de programación lineal a través del método simplex y conocer los casos especiales que se pueden dar al momento de utilizar esta metodología. Primero explicaremos los conceptos y al final utilizaremos un ejemplo en dónde se ilustren los conocimientos adquiridos durante esta sesión.
Explicación Formulación del método Aquí nos referimos a la forma en que se debe plantear el problema de programación lineal que se nos propone en términos que permitan su resolución a través del método simplex. Como se decía en una sesión anterior, es traducir la realidad a estudiar en términos que permitan resolverse a través del método elegido. Para el caso específico del método simplex es necesario que se cumplan las siguientes condiciones al momento de formularlo. Si no se cumple alguna de ellas, el problema no podrá ser resuelto a través de este método. 1. El objetivo se debe plantear en la forma de maximización o de minimización. 2. Todas las restricciones deben ser de igualdad. 3. Todas las variables deben ser no negativas. 4. Las constantes a la derecha de las restricciones deben ser no negativas.
Se podría resumir lo anterior en la siguiente fórmula general: Max. o Min. Z = cx Sujeto a: Ax = b X > 0 b > 0
Tablado simplex La tabla simplex o el tabloide es una herramienta que hace más sencillo el trabajo con el problema, pues representa a modo de resumen detallado toda la información del mismo. Al finalizar la sesión a través de un ejemplo veremos la manera de realizar dicha tabla y cómo utilizarla para la resolución de problemas.
Metodología de solución La metodología de solución de un problema a través del método simplex son: 1. Convertir las desigualdades en igualdades. 2. Igualar la función objetivo a cero. 3. Escribir la tabla inicial simplex. 4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base. 5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla. 6. Ver si se ha encontrado la solución óptima, de ser así, hemos terminado el problema, sino seguir al paso 7. 7. Repetir el proceso a partir del paso 4. Podemos pensar que es diferente al método simplex algebraico, pero es el mismo método pero con herramientas diferentes.
Casos especiales Como en el método gráfico, en éste también se pueden dar casos especiales. Los posibles casos son: Óptimos alternos Solución no acotada Solución infactible
Ejemplo Resolveremos el siguiente problema a través del método simplex. Función objetivo Max Z = 100X 1 + 200X 2 Sujeto a: 4X 1 + 2X 2 < 16 8X 1 + 8X 2 < 16 2X 2 < 10 X 1, X 2, > 0
1. Convertir la función objetivo en 0 y las restricciones en igualdades a través de variables de holgura -100x 1 200x 2 + z = 0 4x 1 + 2x 2 + H 1 = 16 8X 1 + 8x 2 + H 2 = 16 2x 2 + H 3 = 10
2. Escribir la tabla simplex inicial En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo: X 1 X 2 H 1 H 2 H 3 Sol H 1 8 8 1 0 0 16 H 2 4 2 0 1 0 16 H 3 0 1 0 0 1 10 Z -100-200 0 0 0 0
3. Iniciar con las iteraciones hasta encontrar una solución óptima única. Para ello hay que encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base 4. Elaborar la nueva tabla simplex X 1 X 2 H 1 H 2 H 3 Sol X 2 1 1 1/8 0 0 2 H 2 2 0-1/4 1 0 12 H 3-1 0-1/8 0 1 8 Z 100 0 25 0 200 400
Dado que ya no existen coeficientes de Z negativos, ya nos encontramos ante la solución óptima y no es necesario hacer más iteraciones. El resultado al problema es que el valor máximo puede tomar Z= 400 con un valor de X 2 = 2 En caso de que existiera algún coeficiente Z negativo, se repetirían las iteraciones hasta ya no tener el valor de Z negativo.
Conclusión Qué puedo concluir al finalizar esta sesión? Ya en esta sesión hemos concluido todo el método simplex. Es un método sencillo, aunque el día de mañana no seamos unos expertos en la resolución de problemas a través de este método, es importarte conocerlo. Actualmente existen muchos sistemas computacionales que los resuelven automáticamente, pero es importante que sepamos interpretar los resultados que arrojan las tablas con las variables de decisión. El auge que ha tenido esta herramienta dentro de las empresas ha sido grande, porque permite de forma sencilla encontrar soluciones a problemas de gran alcance para lograr los objetivos esperados.
Para aprender más Bellini, F. (2004). Problemas de programación lineal, método simplex. Consultado el 14 de julio de 2013: http://www.investigacion-operaciones.com/simplex_analitico.htm Maestro dirige una clase a sus alumnos sobre la resolución de problemas a través del método simplex. Método simplex. (2011). Consultado el 14 de julio de 2013: http://www.youtube.com/watch?v=leirdl5g8s4
Bibliografía Arreola, A y Arreola J. (1984).Programación lineal, introducción a la toma de decisiones cuantitativa. (Edición preliminar) México: ITESM. Hillier, F. y Lieberman, G. (2001).Introducción a la investigación de operaciones. (8ª Ed). México: McGraw Hill. Schroeder, R. (2011). Administración de operaciones. España: McGraw Hill.