Tema II: Programación Lineal

Tema II: Programación Lineal Contenido: Solución a problemas de P.L. por el método gráfico. Objetivo: Al finalizar la clase los alumnos deben estar en capacidad de: Representar gráficamente la solución de problemas de P.L. con dos variables. Encontrar la solución óptima de P.L. representado en la gráfica. Interpretar las soluciones obtenidas y reconocer las diferentes clases de soluciones que se pueden presentar. Método gráfico El método grafico permite resolver modelos de P.L. que tienen solamente dos variables, también facilita la compresión de la estructura de un modelo de P.L. y del método general de solución (Método Simplex). Los pasos básicos del método son: a) Determinar la región de soluciones factibles (R.S.F.), es decir el área en que se satisfacen todas las restricciones del problema. Para esto se debe, representar cada restricción mediante una línea de igualdad y luego representar el área según sea (menor o igual) ó (mayor o igual). b) Encontrar las coordenadas de los vértices de la R.S.F. resolviendo los sistemas de ecuaciones que se forman en cada punto. c) La solución óptima será el punto (s) que proporcionen el mayor valor para Z si el problema es de maximizar o el menor valor si el problema es de minimizar. Para ilustrar el uso del método gráfico se resolverá el siguiente modelo de P.L. ya planteado: Sea X 1 : Cantidad a elaborar del producto tipo 1 : Cantidad a elaborar del producto tipo 2 F.O. Maximizar Z = 500 X 1 + 400 s.a X 1 + 15 180 20 X 1 + 10 6-2 X 1 + 3 6 4 X j 0 1

Solución: Paso 1: representar las restricciones mediantes líneas rectas en un sistema de coordenadas cartesianas. Se puede hacer que X 1 coincida con el eje X y coincida con el eje Y. Solamente se tomará el cuadrante superior derecho debido que las variables no pueden tomar valores negativos. La restricción uno (R1) debe ser considerada primeramente como una igualdad para graficar la recta. (R1) X 1 + 15 180 X 1 + 15 = 180 (ecuación 1) Hallar dos pares ordenados (0, ) y (X 1, 0) para graficar la recta R1. Al sustituir X 1 = 0 en R1 despejar = 180 15 se obtiene el punto (0, ) Al sustituir = 0 en R1 despejar X 1 = 180 se obtiene el punto (15, 0) La gráfica de estos dos puntos es la línea que representa la ecuación de (R1). Para determinar cuál es el área en que se cumple la desigualdad (R1), se escoge un punto cualquiera fuera de la recta y se evalúa en la desigualdad. El mejor punto a escoger es el origen (0, 0) es decir x 1 = 0 y x 2 = 0 ya que este punto facilita los cálculos. (R1) X 1 + 15 180 Al evaluar en el punto (0, 0) (0) + 15 (0) 180 (verdadero) En consecuencia R1 se cumple en cualquier punto que esté del mismo lado del punto (0, 0). Las flechas indica la región que es solución para R1. R1 15 X 1 La región sombreada corresponde a la solución para R1. 2

Para la restricción (R2) (R2) 20 X 1 + 10 160 20 X 1 + 10 = 160 (ecuación 2) Al sustituir X 1 = 0 en (R2) resulta = 160 se forma el punto (0,16) 10 Al sustituir = 0 en (R2) resulta X 1 = 160 20 se forma el punto (8,0) Graficamos estos dos puntos en el mismo plano cartesiano y trazamos la recta. Para determinar el área que representa a la restricción R2: Evaluamos R2 en (0, 0) 20 (0) + 10 (0) 160 lo que resulta falso, esto quiere decir que la restricción no se cumple para ningún punto que esté al lado del origen (debajo de la recta). En consecuencia el área que es solución para R2 son todos los puntos que están por encima de la recta R2. 16 R2 (R2) 20 X 1 + 10 160 Evaluada en el punto (0, 0) es falsa. Por lo tanto la solución estará en la parte contraria a la región donde está el (0, 0). Las flechas indica la solución para R2. R1 8 15 X 1 La parte sombreada corresponde a la región que es solución para R1 y R2. 3

Para la restricción R3-2 X 1 + 3 6-2 X 1 + 3 = 6 (ecuación 3) Al sustituir X 1 = 0 entonces = 2 el punto es (0, 2) Al sustituir = 0 entonces X 1 = el punto es (-3,0) Graficar los puntos y trazar la recta. En este caso la recta se prolonga hasta el primer cuadrante para que tome solo valores positivos. Al evaluar R3 en el punto (0, 0) resulta -2 (0) + 3 (0) 6 0 6 (verdadero). En consecuencia R3 se cumple para cualquier punto que esté al mismo lado donde está el (0, 0), es decir por debajo de la recta R3. 16 R2 Las flechas indican la solución de la desigualdad R3. La región son todos los puntos que están por debajo de la recta R3. R3 2 R1-3 8 15 X 1 La parte sombreada corresponde a la solución de R1, R2 y R3. 4

Para la restricción R4 4 = 4 Se representa en el plano cartesiano como una recta paralela al eje X 1 (recta horizontal) pasando por el punto (0, 4). El área que es solución de la desigualdad 4 son todos puntos por debajo de la recta = 4 (todos los valores menores que 4). Indicado por las flechas hacia abajo. 16 R2 Las flechas hacia abajo de la recta R4 indican la solución para la restricción R4. R3 4 A B R4 2 RSF R1-3 D 8 C 15 X 1 La región sombreada indica la solución para R1, R2, R3 y R4. En el gráfico la parte sombreada representa el área en que se cumple simultáneamente las 4 restricciones, llamada también región de solución factible (RSF) para el sistema de restricciones del modelo de P.L. Solución óptima Dado que en la RFS hay un número infinito de puntos que son soluciones factibles, hay que determinar cuál de todas estas soluciones es la óptima. La propiedad que se aplica es la siguiente: si un modelo de P.L. tiene una solución óptima, entonces por lo menos uno de los vértices de la región factible será siempre el punto de la solución óptima.

En consecuencia para hallar la solución óptima se determinan las coordenadas de cada uno de los vértices (esquinas de la región). Cada vértice de la región se puede enumerar en cualquier orden con las letras A, B, C, D según el número de vértices que se tenga. Los valores de las coordenadas de los vértices se hallan resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas que pasan por el dicho punto. Coordenadas del vértice A Resolver el sistema formado con las ecuaciones de las rectas R2 y R4 { Solución X 1 = 6, = 4 Coordenadas del vértice B Resolver el sistema formado con las ecuaciones de las rectas R1 y R4 { Solución X 1 = 10, = 4 Coordenadas del vértice C En este caso no es necesario formar un sistema, dado que el vértice está sobre el eje X 1. La solución es X 1 = 15 y = 0 Coordenadas del vértice D: X 1 = 8 y = 0 Vector Coordenadas Valor de la F.O. Z = 500 (X 1 ) + 400 ( ) A (6, 4) Z = 500 (6) + 400 (4) = 4600 B (10, 4) Z = 500 (10) + 400 (4) = 6600 C (15, 0) Z = 500 (15) + 400 (0) = 7500 D (8, 0) Z = 500 (8) + 400 (0) = 4000 Como el problema es de maximizar la solución óptima será el vértice C el cual proporciona el valor más alto para la F.O. En el caso en que el problema sea de minimizar, la solución óptima será el vértice que proporciona el menor valor para la F.O. 6

Resuelva los siguientes modelos de programación lineal: Sea X j : Cantidad a elaborar del producto j. j = 1,2 1) Min Z = 70 X 1 + 40 s.a X 1 + 100 2 X 1 + 180 55 X 1, 0 2) Max Z = 50 X 1 + 20 s.a 3 X 1 + 6 18 5 X 1 + 4 20 8 X 1 + 2 16 7 X 1 + 6 42 X 1, 0 3) Max Z = 20 X 1 + 15 s.a 3 X 1 + 4 60 4 X 1 + 3 60 X 1 10 X 1, 0 4) Max Z = 20 X 1 + 40 s.a 2 X 1 + 2 26 X 1 + 2 24 11 X 1, 0